Nauka i Metoda/Rozumowanie matematyczne/Całość

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
<<< Dane tekstu >>>
Autor Henri Poincaré
Tytuł Księga Druga: Rozumowanie matematyczne
Pochodzenie Nauka i Metoda
Data wydania 1911
Wydawnictwo G. Centnerszwer i Ska.
Druk Drukarnia Narodowa w Krakowie
Miejsce wyd. Warszawa
Tłumacz Maksymilian Horwitz
Źródło Skany na Commons
Inne Pobierz jako: Pobierz jako ePub Pobierz jako PDF Pobierz jako MOBI
Indeks stron


KSIĘGA DRUGA.
ROZUMOWANIE MATEMATYCZNE.

Rozdział I.
Względność przestrzeni.
I.

Niemożliwością jest wyobrazić sobie przestrzeń próżną; wszystkie wysiłki, by przedstawić sobie przestrzeń czystą, z wyrugowaniem zmiennych obrazów przedmiotów materjalnych, mogą dać jedynie wyobrażenie, w którym np. powierzchnie silnie zabarwione ustąpią miejsca linjom o barwie słabej; chęć posunięcia się po tej drodze aż do końca sprawiłaby, że wszystkoby się rozwiało w nicość. To właśnie stanowi o radykalnej względności przestrzeni.
Ktokolwiek mówi o przestrzeni bezwzględnej, używa wyrazu bez treści. Jestto prawda, głoszona oddawna przez wszystkich, którzy zastanawiali się nad tą kwestją, a przecież nazbyt często jest się skłonnym o niej zapominać.
Znajduję się w określonym punkcie Paryża, np. na placu Panteonu, i mówię: jutro przyjdę tutaj znowu. Jeśliby kto zapytał: czy rozumiesz przez to, że powrócisz do tego samego punktu przestrzeni, — skłonny byłbym odpowiedzieć: owszem; lecz odpowiedź ta byłaby błędna, gdyż do jutra ziemia się przesunie, unosząc ze sobą plac Panteonu, który przebiegnie przeszło 2 miljony kilometrów. Uwzględnienie tego przesunięcia nie o wiele poprawiłoby moją odpowiedź, albowiem te 2 miljony kilometrów ziemia przebiegnie w swym ruchu dookoła słońca, a słońce z kolei przesuwa się w stosunku do Drogi Mlecznej, a i sama Droga Mleczna znajduje się w ruchu, lubo nie jesteśmy w możności poznać jej prędkości. Tak więc nie wiemy nic, i nic nigdy wiedzieć nie będziemy o tym, o ile plac Panteonu przesuwa się w ciągu dnia. Słowem, chciałem powiedzieć: Jutro będę znów widział kopułę i fronton Panteonu, a gdyby nie było Panteonu, zdanie moje nie miałoby żadnego sensu, i wyobrażenie przestrzeni rozwiałoby się.
Jestto jedna z najbanalniejszych postaci zasady względności przestrzeni; lecz istnieje inna jeszcze, którą ze szczególnym naciskiem uwydatnił Delboeuf. Przypuśćmy, że w ciągu jednej nocy wszystkie wymiary wszechświata stały się tysiąc razy większe: świat pozostanie podobny do siebie samego w tym sensie, w jakim rozumie się pojęcie podobieństwa w trzeciej księdze gieometrji (w trzeciej księdze — według klasycznego we Francji legendre’owskiego układu gieometrji elementarnej. — Przyp. tłum.). Tylko że długości dawniej jednometrowe będą teraz wynosiły jeden kilometr, długości jednomilimetrowe — jeden metr. Łóżko, na którym spoczywam, i samo moje ciało wzrosną w tej samej proporcji. Jakież będą moje odczucia, kiedy się nazajutrz obudzę, wobec tak zadziwiającego przekształcenia? Otóż nie zauważę nic zgoła. Najdokładniejsze pomiary nie będą w stanie ujawnić mi cośkolwiek z tego olbrzymiego przewrotu, gdyż metry, któremi będę mierzył, będą również zmienione w tych samych proporcjach, co przedmioty, które będę usiłował zmierzyć. W rzeczywistości przewrót ten istnieje dla tych jedynie którzy rozumują tak, jakgdyby przestrzeń była bezwzględna. Jeżeli przez chwilę rozumowałem, jak oni, to po to, by lepiej uwidocznić, że w poglądzie ich tkwi sprzeczność. To też należałoby powiedzieć, że ponieważ przestrzeń jest względna, nie wydarzyło się nic wcale, i dlatego to nic nie zauważyliśmy.
Czy wobec tego mamy prawo mówić, że znamy odległość między dwoma punktami? Nie, gdyż odległość ta mogłaby ulec ogromnym zmianom, a mybyśmy nic o tym nie mogli wiedzieć, jeżeliby inne odległości zmieniły się w tej samej proporcji. Przed chwilą widzieliśmy, że kiedy mówię: Będę tutaj jutro, nie znaczy to: Będę jutro w tym punkcie przestrzeni, w którym jestem dzisiaj, lecz: Będę jutro na tej samej odległości od Panteonu, co dzisiaj. A oto już przekonywamy się, że sformułowanie to nie wystarcza, i że należy powiedzieć: jutro i dzisiaj stosunek odległości mojej od Panteonu do długości mego ciała będzie równy tej samej liczbie.
Przypuściliśmy powyżej, że przy zmianie wymiarów świata, świat ten pozostaje jednak podobny do siebie. Ale można iść znacznie dalej, i pochop do tego da nam jedna z najosobliwszych teorji fizyków współczesnych. Według Lorentza i Fitzgeralda[1] wszystkie ciała, unoszone przez ziemię w jej ruchu, ulegają odkształceniu. Odkształcenie to jest wprawdzie bardzo niewielkie, gdyż wszystkie wymiary równoległe do ruchu ziemi zmniejszają się o jedną miljonową, wymiary zaś prostopadłe do tego ruchu pozostają niezmienione. Ale samo już istnienie tego odkształcenia — niezależnie od tego, czy jest ono niewielkie, czy znaczne — wystarcza dla wniosku, który powyżej wywiodę. Zresztą, chociaż powiedziałem, że jest ono niewielkie, w istocie nic o tym nie wiem; sam uległem tu uporczywemu złudzeniu, które każe nam mniemać, że wyobrażamy sobie przestrzeń bezwzględną; miałem na myśli ruch ziemi po jej orbicie eliptycznej dookoła słońca, i prędkość tego ruchu wziąłem równą 30 kilometrom. Ale prawdziwej jej prędkości (rozumiem przez to, tym razem, nie jej prędkość bezwzględną, co nie miałoby sensu, lecz prędkość jej w stosunku do eteru) nie znam, i nie mam żadnej możności ją poznać: jest ona, być może, 10, 100-kroć większa, a więc odkształcenie byłoby 100, 10.000 razy znaczniejsze.
Czy jesteśmy w stanie uwidocznić to odkształcenie? Oczywiście nie; oto sześcian o krawędzi 1-ometrowej; naskutek przenoszenia się ziemi odkształca się on, jedna z jego krawędzi, mianowicie równoległa do ruchu, kurczy się, inne pozostają niezmienione. Jeśli zechcę sprawdzić to zapomocą metra, zmierzę naprzód jedną z krawędzi prostopadłych do ruchu, i stwierdzę, że mój metr przywiera ściśle do tej krawędzi; jakoż żadna z tych dwu długości nie jest zmieniona, bo obie są prostopadłe do ruchu. Przejdę następnie do pomiaru innej krawędzi, równoległej do ruchu; w tym celu zmienię położenie mego metra, obrócę go tak, iżby przywarł do tej krawędzi. Ale ta zmiana położenia metra, naskutek której stał się on równoległym do ruchu, sprawia, że i on z kolei uległ odkształceniu; tak więc, chociaż długość krawędzi nie wynosi już 1 metra, metr przylgnie do niej ściśle, i ja nic z tej zmiany nie zauważę.
Zapyta więc kto, jaki jest pożytek z hypotezy Lorentza i Fitzgeralda, skoro żadne doświadczenie nie jest zdolne jej sprawdzić? Otóż tak nie jest; powyższy mój wykład był niezupełny; mówiłem jedynie o pomiarach, których można dokonać za pomocą metra; ale długości można również mierzyć przez czas, jakiego potrzebuje światło, by je przebiec, pod warunkiem założenia, że prędkość światła jest stała i niezależna od kierunku. Lorentz mógł był wytłumaczyć fakty, zakładając, że prędkość światła jest większa w kierunku ruchu ziemi niż w kierunku prostopadłym. Wolał on przypuścić, że prędkość jest ta sama we wszystkich tych kierunkach, lecz, że ciała są mniejsze w jednych, większe w innych. Gdyby powierzchnie fal światła uległy tym samym odkształceniom, co ciała materjalne, nie zauważylibyśmy wcale odkształcenia Lorentza Fitzgeralda.
Zarówno w jednym jak w drugim wypadku nie może być mowy o wielkości bezwzględnej lecz o pomiarze tej wielkości zapomocą jakiegoś narzędzia; narzędziem tym może być metr lub droga, przebieżona przez światło; mierzymy jedynie stosunek wielkości do narzędzia; i jeśli stosunek ten okaże się zmienionym, nie mamy żadnego sposobu dowiedzieć się, czy zmieniła się dana wielkość, czy też narzędzie.
Na co wszakże chcę położyć nacisk, to na to, że przy tym odkształceniu świat nie pozostał podobny do siebie; kwadraty stały się prostokątami lub równoległobokami, koła elipsami, kule elipsoidami. A jednak nie mamy żadnego sposobu dowiedzieć się, czy odkształcenie to jest rzeczywiste.
Jasne jest, że możnaby posunąć się jeszcze znacznie dalej; zamiast odkształcenia Lorentza-Fitzgeralda, którego prawa są szczególnie proste, możnaby wyobrazić sobie odkształcenie całkiem dowolne. Ciała mogłyby się odkształcać według praw dowolnych, dowolnie skomplikowanych, nie zauważylibyśmy tego, byle wszystkie ciała bez wyjątku zmieniały się według tych samych praw. Kiedy mówimy: wszystkie ciała bez wyjątku, rozumiemy przez to i nasze ciało, i promienie świetlne, wysyłane przez poszczególne przedmioty.
Gdybyśmy oglądali świat w jednym z owych zwierciadeł o skomplikowanym kształcie, odkształcających przedmioty w sposób dziwaczny, wzajemne stosunki poszczególnych części tego świata nie byłyby przez to zmienione; albowiem gdy dwa ciała stykają się, odbicia ich zdają się również stykać. Wprawdzie patrząc w takie zwierciadło, dostrzegamy odkształcenie, ale to dlatego, że świat rzeczywisty istnieje swego odkształconego odbicia; i gdyby nawet rzeczywisty ten świat był dla nas ukryty, istnieje coś, czego przed nami ukryć nie można: my sami; nie możemy przestać widzieć lub przynajmniej czuć naszego ciała i naszych członków, które nie uległy odkształceniu, i które dalej nam służą jako narzędzia pomiaru. Jeżeli przecież wyobrazimy sobie, że i nasze ciało zostało odkształcone, i to w taki sam sposób, jak jego odbicie w zwierciadle, zabrakłoby nam z kolei i tych narzędzi pomiaru, i nie możnaby było stwierdzić odkształcenia.
Rozważmy teraz dwa światy, z których jeden jest odbiciem drugiego; każdemu przedmiotowi P świata A odpowiada w świecie B przedmiot P′, który jest jego odbiciem; współrzędne tego odbicia P′ są określonemi funkcjami współrzędnych przedmiotu P; funkcje te mogą być zresztą zupełnie dowolne; zakładam jedynie, że obrano je raz na zawsze. Między położeniem P i położeniem P′ zachodzi stała zależność; jaka jest ta zależność, niema to dla nas znaczenia; wystarcza, by była stałą.
Otóż dwa te światy nie dają się od siebie odróżnić. Chcę powiedzieć, że pierwszy będzie dla swoich mieszkańców tym, czym jest drugi dla swoich. I trwałoby to dopóty, dopóki światy te pozostawałyby sobie obce. Przypuśćmy, że zamieszkujemy świat A, i że zbudowaliśmy naszą naukę i w szczególności naszą gieometrję; w ciągu tego czasu mieszkańcy świata B zbudują naukę, że zaś ich świat jest odbiciem naszego, ich gieometrja będzie również odbiciem naszej, albo, mówiąc trafniej, będzie ta sama. Jeżeli przecież pewnego dnia otworzy się dla nas okno na świat B, zdejmie nas litość nad jego mieszkańcami: »Nieszczęśliwi, powiemy, myślą, że zbudowali gieometrję, ale to, co tak nazywają, jest tylko grubym odbiciem naszej, ich proste są koślawe, ich koła garbate, kule ich pokryte kapryśnemi nierównościami«. I podejrzewać nie będziemy, że oni to samo mówią o nas, i że nigdy nie będzie wiadomo, kto ma słuszność.
Widzimy, w jakim szerokim znaczeniu rozumieć należy względność przestrzeni; przestrzeń jest w rzeczywistości bezkształtna [amorfna], i jedynie rzeczy, które w niej tkwią, nadają jej formę. Cóż wtedy trzymać o owej, ponoć nam właściwej, bezpośredniej intuicji linji prostej lub odległości? Intuicji odległości samej w sobie tak dalece nie posiadamy, że, jak powiedzieliśmy, w ciągu jednej nocy dana odległość mogłaby się stać tysiąc razy większa, a mybyśmy tego nie byli w stanie zauważyć, gdyby wszystkie inne odległości uległy takiej samej zmianie. W ciągu tej nocy świat A mógłby zostać nawet zastąpiony przez świat B, a my nie mielibyśmy żadnego sposobu dowiedzenia się o tym, i wówczas wczorajsze linje proste przestałyby być prostemi, a my nicbyśmy z tego nie zauważyli.
Część przestrzeni nie jest sama przez się, i w bezwzględnym znaczeniu tego wyrazu, równa się innej części przestrzeni; albowiem, jeśli jest równą tamtej dla nas, to nie jest tamtej równą dla mieszkańców świata B; i ci mają akurat tyleż prawa do odrzucenia naszego poglądu, co my do potępienia ich zapatrywania.
Okazałem gdzieindziej[2], jakie są konsekwencje tych faktów ze stanowiska właściwego pojmowania gieometrji nieeuklidesowej i innych gieometrji analogicznych; nie chcę do tego wracać; dzisiaj spojrzę na nie z innego punktu widzenia.

II.

Skoro owa intuicja odległości, kierunku, linji prostej, słowem intuicja przestrzeni nie istnieje, skądże pochodzi nasze mniemanie, że ją posiadamy? Jeżeli jestto tylko złudzenie, to czemu jest ono tak uporczywe? Wypada się nad tym bliżej zastanowić. Niemasz bezpośredniej intuicji wielkości, powiedzieliśmy, nie możemy dotrzeć poza stosunek tej wielkości do naszych narzędzi pomiaru. Nie bylibyśmy tedy w stanie skonstruować przestrzeni, gdybyśmy nie rozporządzali narzędziem dla jej mierzenia; otóż narzędziem, do którego wszystko odnosimy, którym posługujemy się instynktownie, jest nasze własne ciało. W stosunku do niego umieszczamy przedmioty zewnętrzne, i jednemi stosunkami przestrzennemi tych ciał, jakie sobie możemy wyobrazić, są ich stosunki z naszym ciałem. Nasze ciało służy nam, że tak powiem, jako układ osi współrzędnych.
Naprzykład w chwili α o obecności przedmiotu A dowiaduję się przez zmysł wzroku; w innej chwili β obecność innego przedmiotu B oznajmia mi inny zmysł, np. słuch lub dotyk. Sądzę, że przedmiot B zajmuje to samo miejsce, co przedmiot A. Co to znaczy? Przedewszystkim nie znaczy to, że dwa te przedmioty zajmują w dwu różnych chwilach jeden i ten sam punkt przestrzeni bezwzględnej, która, gdyby nawet istniała, uchylałaby się od naszego poznania, ponieważ w czasie między chwilami α i β układ słoneczny przesunął się, i przesunięcia jego nie mamy możności poznać. Znaczy to, że te dwa przedmioty zajmują to samo położenie względne w stosunku do naszego ciała.
Cóż jednak znaczy to ostatnie powiedzenie? Wrażenia, które odebraliśmy od tych przedmiotów, szły drogami absolutnie różnemi, przez nerw optyczny w wypadku przedmiotu A, przez nerw akustyczny dla przedmiotu B. Z punktu widzenia jakościowego nie mają one ze sobą nic wspólnego. Wyobrażenie tych przedmiotów, jakie możemy sobie wytworzyć, są absolutnie różnorodne, jedno nie daje się do drugiego sprowadzić. Ale wiem, że aby dosięgnąć przedmiotu A, wystarczy, że wyciągnę w pewien sposób prawą rękę; kiedy tego nie robię, wyobrażam sobie czucia mięśniowe i inne czucia analogiczne, które towarzyszyłyby temu wyciągnięciu ręki, i wyobrażenie to jest skojarzone z wyobrażeniem przedmiotu A.
Otóż wiem również, że mogę dosięgnąć przedmiotu B wyciągając prawą rękę w ten sam sposób, któremu to wyciągnięciu ręki towarzyszy ten sam orszak czuć mięśniowych. I kiedy mówię, że te dwa przedmioty zajmują to samo miejsce, nie mówię nic ponadto.
Wiem również, że mógłbym dosięgnąć przedmiotu A przez inny odpowiedni ruch ręki lewej, i wyobrażam sobie czucia mięśniowe, które towarzyszyły temu ruchowi; i przez ten sam ruch ręki lewej, któremu towarzyszyłyby te same czucia, mógłbym również dosięgnąć przedmiotu B.
Jestto dla mnie rzeczą dużej wagi, bo w ten sposób potrafię się bronić przeciw niebezpieczeństwom, które mogłyby mi grozić bądź ze strony przedmiotu A, bądź ze strony przedmiotu B. Każdemu ciosowi, który może w nas ugodzić, przyroda dodała jeden lub kilka sposobów zasłonięcia się przed nim. Jeden i ten sam sposób zasłonięcia się może odpowiadać kilku uderzeniom; tak n. p. jeden i ten sam ruch ręki prawej pozwoliłby nam obronić się w chwili α od przedmiotu A; w chwili β od przedmiotu B. Podobnie przed jednym i tym samym ciosem można się zasłonić w różny sposób, powiedzieliśmy n. p., że przedmiotu A można dosięgnąć równie dobrze pewnym ruchem ręki prawej, jak pewnym ruchem ręki lewej.
Wszystkie te zasłony [parades] nie mają ze sobą nic wspólnego pozatym, że pozwalają się zasłonić od jednego i tego samego ciosu, i to właśnie, i nic ponadto, chcemy wyrazić, kiedy mówimy, że są to ruchy, prowadzące do jednego i tego samego punktu przestrzeni. Podobnież przedmioty, o których mówimy, że zajmują jeden i ten sam punkt przestrzeni, nie mają ze sobą nic wspólnego pozatym, że jedna i ta sama zasłona pozwala się od nich obronić.
Albo wyraźmy to jeszcze inaczej. Wyobraźmy sobie niezliczone druty telegraficzne, jedne dośrodkowe, inne odśrodkowe. Druty odśrodkowe uprzedzają nas o wypadkach, zachodzących na zewnątrz, druty dośrodkowe mają wypadkom tym zaradzić. Między drutami ustanowione są połączenia [connexions] w taki sposób, że kiedy prąd przebiega przez jeden z drutów dośrodkowych, prąd ten działa na cewkę [relai] i wzbudza prąd w jednym z drutów odśrodkowych, przyczym urządzone to jest tak, aby kilka drutów dośrodkowych mogło działać na jeden i ten sam drut odśrodkowy, jeśli jeden i ten sam zabieg odpowiada kilku niebezpieczeństwom, i aby jeden i ten sam drut dośrodkowy był w stanie wstrząsnąć różne druty odśrodkowe bądź jednocześnie, bądź jednym w braku drugiego, ilekroć jednemu i temu samemu niebezpieczeństwu może zaradzić kilka zabiegów.
Ten to złożony system skojarzeń, ta, że tak powiemy, tablica rozdzielcza [tableau de distribution], stanowi całą naszą gieometrję, albo raczej całą treść instynktowną naszej gieometrji. To, co nazywamy naszą intuicją linji prostej lub odległości jest to nasza świadomość tych skojarzeń i ich imperatywnego charakteru.
Nietrudno też jest zrozumieć źródła samej tej imperatywności. Skojarzenie wydaje się nam tymbardziej niezniszczalnym, im jest dawniejszym. Lecz skojarzenia te nie są w swej większości zdobyczą jednostki, bo ślady ich dają się stwierdzić u nowonarodzonego dziecka: są to zdobycze rasy. Dobór naturalny musiał doprowadzić do tych zdobyczy tym szybciej, im bardziej były one niezbędne.
Z tego stanowiska należy uznać te, o których mówimy, za chronologicznie najdawniejsze, bo bez nich organizm nie mógłby się bronić. Skoro tylko komórki przestały poprostu się sklejać, i wypadło im wzajemnie się wspomagać, z konieczności musiał zorganizować się mechanizm podobny do opisanego przez nas, aby pomoc ta nie zbaczała z drogi i chroniła wprost od niebezpieczeństw.
Jeśli żabie odetnie się głowę, i następnie opuści się kroplę kwasu na pewien punkt jej skóry, usiłuje ona zetrzeć kwas zapomocą najbliższej łapki, jeśli zaś i tę łapkę się odamputuje, posługuje się ona w tym celu łapką symetryczną do tamtej. Mamy tu ową podwójną zasłonę, o której mówiliśmy powyżej, która pozwala zwalczać zło zapomocą innego środka, skoro pierwszym się nie rozporządza. I ta właśnie rozmaitość zasłon oraz wynikająca z niej koordynacja stanowią przestrzeń.
Widzimy tedy, do jakich głębin nieświadomego trzeba się opuścić, aby odkryć pierwsze ślady owych skojarzeń przestrzennych, wynikających z gry najniższych części systemu nerwowego. Nic więc dziwnego, że każda próba odkojarzenia tego, co od tak dawna jest skojarzone, musi napotkać na silny opór. Ten właśnie opór nazywamy oczywistością prawd gieometrycznych; oczywistość ta jestto poprostu wstręt do zerwania z bardzo staremi przyzwyczajeniami, z któremi zawsze nam było dobrze.


III.

Stworzona w ten sposób przestrzeń nie sięga dalej, niż dokąd może dotrzeć moje ramię; rozsunięcie jej granic wymaga interwencji pamięci. Istnieją punkty, których nie jestem w stanie dosięgnąć, z jakimkolwiek wysiłkiem wyciągać będę rękę; gdybym był przygwożdżony do ziemi, jak np. polip wodny, który może jedynie wyciągać swe macki, wszystkie te punkty byłyby poza przestrzenią, gdyż wrażenia, jakie moglibyśmy odczuwać wskutek działania ciał, znajdujących się w tych punktach, nie kojarzyłyby się z ideją żadnego ruchu, pozwalającego nam na dosięgnięcie ich, żadnej odpowiedniej zasłony. Wrażenia te zdawałyby się nie posiadać żadnej cechy przestrzennej, nie próbowalibyśmy ich lokalizować.
Ale my nie jesteśmy przytwierdzeni do ziemi, jak zwierzęta niższe; jeżeli nieprzyjaciel jest zbyt daleko, możemy naprzód iść ku niemu, i potym, skoro będziemy dość blizko, wyciągnąć rękę. Jestto również zasłona, lecz zasłona na dużą odległość. Nadto jestto zasłona złożona, i w wyobrażenie o niej wchodzą wyobrażenia czuć mięśniowych, wynikłych z ruchu nóg, czuć mięśniowych, wynikłych z końcowego ruchu ręki, wyobrażenia czuć kanałów półkolistych i t. d. Winniśmy zresztą wyobrażać sobie nie kompleks czuć współczesnych, lecz kompleks czuć kolejnych, następujących po sobie w określonym porządku, i dlatego powiedziałem przed chwilą, że interwencja pamięci jest niezbędna.
Zauważmy jeszcze, że aby dotrzeć do jednego i tego samego punktu, mogę bliżej podejść do celu, aby mniej forsownie wyciągnąć rękę; nie jedną określoną zasłonę, tysiąc rozmaitych zasłon mogę przeciwstawić jednemu i temu samemu niebezpieczeństwu. Wszystkie te zasłony mogą składać się z czuć, nie mających ze sobą nic wspólnego, a przecież uważamy je za oznaczające jeden i ten sam punkt przestrzeni, ponieważ odpowiadają one jednemu niebezpieczeństwu, i wszystkie są skojarzone z pojęciem tego niebezpieczeństwa. Możliwość odparowania jednego i tego samego uderzenia stanowi o jedności tych rozmaitych zasłon, podobnie jak możliwość być odparowanemi w jeden i ten sam sposób stanowi o jedności uderzeń najrozmaitszej natury, grożących nam z jednego i tego samego punktu przestrzeni. Ta podwójna tożsamość stanowi o indywidualności każdego punktu przestrzeni, i w pojęciu przestrzeni niemasz nic ponadto.
Przestrzeń, rozważana w paragrafie poprzednim, którą moglibyśmy nazwać przestrzenią zwężoną, była odniesiona do osi, związanych z moim ciałem; osi te były stałe, bo ciało moje nie poruszało się, poruszały się jedynie niektóre jego członki. Do jakichże osi należy odnosić w sposób naturalny przestrzeń rozległą, to znaczy przestrzeń nową, powyżej określoną? Punkt określamy szeregiem ruchów, które należy wykonać, żeby doń dotrzeć, wychodząc z pewnego początkowego położenia ciała. Osi są tedy związane z tym położeniem początkowym ciała.
Ale położenie, które nazwałem początkowym, może być dowolnie obranym zpośród wszystkich położeń, jakie ciało moje kolejno zajmowało; jeżeli mniej lub bardziej nieświadoma pamięć tych położeń kolejnych jest niezbędna dla gienezy pojęcia przestrzeni, pamięć ta może przecież sięgać mniej lub bardziej daleko w przeszłość. Wynika stąd już w samej definicji przestrzeni pewna nieoznaczoność, i ta właśnie nieoznaczoność stanowi jej względność.
Niema przestrzeni absolutnej, istnieje jedynie przestrzeń względna w odniesieniu do pewnego początkowego położenia ciała. Dla istoty świadomej, przytwierdzonej do ziemi, jak zwierzęta niższe, która przeto znałaby jedynie przestrzeń zwężoną, przestrzeń byłaby również względna (bo byłaby odniesiona do jej ciała), lecz istota ta nie miałaby świadomości tej względności, gdyż osi, do których odnosiłaby ona tę przestrzeń, nie zmieniałyby się! Zapewne, skała, do której byłaby przykuta ta istota, nie byłaby nieruchomą, bo brałaby udział w ruchu naszej planety; dla nas więc osi te zmieniałyby się co chwila; lecz dla niej nie zmieniałyby się wcale. Mamy możność odnosić naszą przestrzeń rozciągłą to do położenia A naszego ciała, uważanego za początkowe, to do położenia B, które zajmowało ono w parę chwil później, i które wolno nam z kolei uważać za początkowe; co chwila dokonywamy przeto nieświadomej zmiany współrzędnych. Możności tej nie posiadałaby nasza urojona istota, i dlatego, że wzbronioneby jej było podróżowanie, uważałaby przestrzeń za absolutną. W każdym momencie narzucałby się jej określony układ osi; układ ten mógłby się w rzeczywistości zmieniać, dla niej byłby on ciągle tym samym, bo byłby ciągle układem jedynym. Inaczej rzecz się ma dla nas, którzy w każdej chwili posiadamy kilka układów osi, zpośród których możemy wybierać dowolnie pod warunkiem sięgania pamięcią w mniej lub bardziej odległą przeszłość.
Ale, ponadto, przestrzeń zwężona nie byłaby jednorodną poszczególnych punktów tej przestrzeni nie można uważać za równoważne, gdyż jednych możnaby dosięgnąć jedynie za cenę największych wysiłków, inne natomiast byłyby łatwo dostępne. Natomiast przestrzeń rozciągła wydaje się nam jednorodną, i wszystkie jej punkty uważamy za równoważne. Co mamy przy tym na myśli?
Wychodząc z pewnego położenia A, możemy, poczynając od A, wykonać pewne ruchy M, którym odpowiada pewien kompleks czuć mięśniowych. Z innego położenia B możemy wykonać ruchy M′, którym odpowiadają te same czucia mięśniowe. Niechaj natenczas a będzie położeniem pewnego punktu ciała, np. końca małego palca ręki prawej, w położeniu początkowym A, niechaj b będzie położeniem tego samego palca po wykonaniu ruchów M, wychodząc z tego położenia A. Niechaj następnie a′ będzie położeniem tego palca w położeniu B, b′ jego położeniem po wykonaniu ruchów M′, poczynając od położenia B.
Otóż mamy zwyczaj mówić, że punkty przestrzeni a i b są do siebie w takim stosunku, jak punkty, a′ i b′, co poprostu znaczy, że obydwu szeregom ruchów M i Mtowarzyszą te same czucia mięśniowe. Ponieważ zaś mam świadomość tego, że po przejściu od położenia A do położenia B ciało moje zachowało zdolność wykonywania tych samych ruchów, wiem tedy, że istnieje punkt przestrzeni, który znajduje się do punktu a′ w takim samym stosunku, jak jakikolwiek punkt b do punktu a, tak iż oba punkty a i a′ są równoważne. To właśnie nazywa się jednorodnością przestrzeni. I dlatego również przestrzeń jest względna, ponieważ własności jej pozostają te same, niezależnie od tego, czy się ją odniesie do osi A lub do osi B. W ten sposób względność przestrzeni i jej różnorodność są jednym i tym samym.
Jeżeli teraz chcę przejść do wielkiej przestrzeni, która służy nietylko mnie, lecz w której mogę umieścić cały wszechświat, to przejście to będzie aktem wyobraźni. Wyobrażę sobie, co odczuwałby olbrzym, który mógłby w paru susach dosięgnąć planet; albo też, jeśli kto woli, co odczułbym ja sam w obliczu miniaturowego świata, w którym planety te byłyby zastąpione przez małe kulki, a na jednej z tych kulek poruszałby się lilipucik, którego nazwę »ja«. Lecz ten akt wyobraźni byłby niemożliwy, gdybym był uprzednio nie skonstruował mojej przestrzeni zwężonej i mojej przestrzeni rozciągłej na mój osobisty użytek.

IV.

Dlaczego wszystkie te przestrzenie posiadają trzy wymiary? Powróćmy do »tablicy rozdzielczej«, o której mówiliśmy wyżej. Z jednej strony mamy listę możliwych niebezpieczeństw; oznaczmy je przez A1, A2 itd.; a z drugiej listę rozmaitych środków zapobiegawczych, które podobnie nazwiemy B1, B2 itd. Mamy następnie połączenia między ostrzegaczami pierwszej listy i zasłonami drugiej tak, iż np. jeżeli ostrzegacz o niebezpieczeństwie A3 zacznie działać, wprawi on w ruch cewkę, odpowiadającą zasłonie B4.
Ponieważ mówiłem poprzednio o drutach dośrodkowych i drutach odśrodkowych, obawiam się, że ktoś może widzieć w tym wszystkim nie proste porównanie, lecz opis systemu nerwowego. Bynajmniej tak nie jest, a to dla kilku racji: przedewszystkim nie pozwoliłbym sobie na wygłoszenie zdania o strukturze systemu nerwowego, którego nie znam, kiedy ci, co go badali, robią to jedynie z ostrożnością; następnie dlatego, że pomimo mojej niekompetencji, czuję, że schemat byłby nadto symplistyczny; wreszcie dlatego, że na mojej liście zasłon figurują zasłony bardzo złożone, które w wypadku przestrzeni rozciągłej mogą nawet, jak widzieliśmy, składać się z paru kroków oraz ruchu ramienia. Nie idzie więc o połączenie fizyczne między dwu przewodnikami, lecz o skojarzenie psychologiczne między dwu szeregami czuć.
Jeżeli zarówno A1 jak A2 są skojarzone z zasłoną B1, i jeżeli A1 jest również skojarzone z zasłoną B2, natenczas naogół A2 i B2 będą również skojarzone. Gdyby podstawowe to prawo nie było ogólnie prawdziwe, mielibyśmy jeden wielki zamęt, i nie byłoby nic podobnego do koncepcji przestrzeni ani do gieometrji. Istotnie, przypomnijmy, jak określiliśmy punkt przestrzeni. Zrobiliśmy to w dwojaki sposób: z jednej strony jestto ogół ostrzegaczy A, znajdujących się w połączeniu z jedną i tą samą zasłoną B; jestto z drugiej strony ogół zasłon B, znajdujących się w połączeniu z jednym i tym samym ostrzegaczem A. Gdyby prawo nasze nie było prawdziwe, należałoby powiedzieć, że A1 i A2 odpowiadają jednemu i temu samemu punktowi, ponieważ oba znajdują się w połączeniu z B1; ale należałoby powiedzieć również, że nie odpowiadają one jednemu i temu samemu punktowi, ponieważ A1 byłby w połączeniu z B2, co nie miałoby miejsca dla A2. Stalibyśmy wobec sprzeczności.
Gdyby wszelako prawo to było ściśle i zawsze prawdziwe, przestrzeń byłaby całkiem różna od tego, czym jest. Mielibyśmy ostro od siebie odcięte kategorje, na które rozpadałyby się z jednej strony ostrzegacze A, z drugiej zasłony B; kategorje te byłyby bardzo liczne lecz całkowicie od siebie odosobnione. Przestrzeń składałaby się z punktów bardzo licznych lecz odosobnionych, byłaby nieciągła. Nie byłoby racji, aby uszeregować te punkty raczej w tym porządku, niż w owym, a przeto nie byłoby racji, aby przypisywać przestrzeni trzy wymiary.
Ale tak nie jest; niechaj mi wolno będzie powrócić na chwilę do języka ludzi, znających już gieometrję; muszę to zrobić, bo jestto język, który rozumieją najlepiej ci, od których usiłuję być zrozumianym. Kiedy chcę odparować cios, staram się dotrzeć do punktu, z którego cios ten pochodzi, lecz wystarczy, bym się doń dostatecznie zbliżył. Wówczas zasłona B1 będzie mogła odpowiadać A1 i A2, jeżeli punkt odpowiadający B1 jest dostatecznie blisko zarówno punktu, odpowiadającego A1, i punktu, odpowiadającego A2. Możliwe jest przecie, że punkt, odpowiadający innej zasłonie B2, będzie dostatecznie bliski punktu, odpowiadającego A1, nie będąc bliskim punktu, odpowiadającego A2. Tak iż zasłona B2 będzie mogła odpowiadać A1, nie mogąc odpowiadać A2.

Dla człowieka, nie znającego gieometrji, wyrazi się to poprostu, jako wykroczenie przeciw sformułowanemu powyżej prawu. Wówczas stan rzeczy będzie następujący. Dwie zasłony B1 i B2 będą skojarzone z jednym i tym samym ostrzegaczem A1 oraz z wielką bardzo ilością ostrzegaczy, które zaliczymy do tej samej kategorji co A1, i które będą dla nas odpowiadały jednemu i temu samemu punktowi przestrzeni. Ale będziemy mogli znaleźć ostrzegacze A2, które będą skojarzone z B2 a nie będą skojarzone z B1, i które w zamian będą skojarzone z B3, które to B3 nie było skojarzone z A1 itd., tak iż w szeregu
B1, A1, B2, A2, B3, A3, B4, A4

każdy wyraz jest skojarzony z następnym i z poprzednim, lecz nie jest skojarzony z wyrazami odległemi o parę miejsc.
Zbyteczna dodawać, że każdy wyraz tych szeregów nie jest odosobniony, lecz wchodzi w skład bardzo licznej kategorji innych ostrzegaczy lub innych zasłon, która posiada te same co on połączenia, i którą można uważać za odpowiadającą jednemu punktowi przestrzeni. Prawo podstawowe, lubo dopuszcza wyjątki, pozostaje tedy niemal zawsze prawdziwym. Tylko że naskutek tych wyjątków kategorje te nie są już całkowicie odosobnione lecz wzajemnie na siebie następują i w pewnej mierze się przenikają, tak iż przestrzeń staje się ciągła.
Z drugiej strony porządek, w którym kategorje te powinny być uszeregowane, nie jest już dowolny, i np. w powyżej wypisanym szeregu B2 musi być umieszczone między A1 i A2, a przeto między B1 i B3, błędnym zaś byłoby umieszczenie go między B3 i B4.
Istnieje przeto pewien naturalny porządek, według którego szeregują się nasze kategorje, odpowiadające punktom przestrzeni, i doświadczenie mówi nam, że porządek ten ma postać tablicy o potrójnym wejściu, i dlatego to przestrzeń posiada trzy wymiary.

V.

Tak więc własność charakterystyczna przestrzeni, polegająca na tym, że posiada ona trzy wymiary, jest poprostu własnością naszej tablicy rozdzielczej, własnością wewnętrzną, że tak powiemy, umysłu ludzkiego. Wystarczyłoby zniszczyć niektóre z tych połączeń tj. z tych skojarzeń pojęć, aby otrzymać inną tablicę rozdzielczą, i mogłoby to wystarczyć, aby przestrzeń nabyła czwartego wymiaru.
Niejednego czytelnika wniosek ten zapewne zadziwi. Czyby, pomyśli on, świat zewnętrzny nie miał na te rzeczy wcale wpływu? Skoro ilość wymiarów pochodzi od naszego ustroju, mogłyby istnieć istoty myślące, żyjące w naszym świecie, lecz zbudowane inaczej niż my, a przeto mniemające, że świat posiada mniej lub więcej niż trzy wymiary. Czyż p. de Cyon nie powiedział, że japońskie myszy, posiadające tylko dwie pary kanałów półkolistych sądzą że świat ma dwa wymiary? I czy wobec tego ta istota myśląca, o ile jest zdolna zbudować fizykę, nie zbuduje fizyki dwu- lub cztero- wymiarowej, która wszakże będzie w pewnym sensie tą samą co nasza, bo będzie opisem tego samego świata w innym języku?
Istotnie, wydaje się, że byłoby możliwe przełożyć naszą fizykę na język gieometrji czterowymiarowej; lecz ten, kto podjąłby tę próbę, zadałby sobie wiele trudu dla małej korzyści; wystarczy więc, że wspomnimy tutaj, że w mechanice Hertza można znaleźć coś analogicznego. Wszelako zdaje się, że przekład byłby zawsze mniej prosty niż tekst, że zawsze miałby cechy przekładu, że język trzech wymiarów jest najwłaściwszy dla opisu naszego świata, jakkolwiek opisu tego możnaby dokonać ostatecznie i w innym narzeczu.
Zresztą nasza tablica rozdzielcza nie powstała drogą przypadku. Istnieje połączenie między ostrzegaczem A1 i zasłoną B1, jestto wewnętrzną własnością naszego umysłu; skądże pochodzi to połączenie? stąd, że zasłona B1 pozwala rzeczywiście obronić się od niebezpieczeństwa A1; to zaś jest faktem zpoza nas, jest własnością świata zewnętrznego. Nasza tablica rozdzielcza jest więc tylko przekładem zespołu faktów zewnętrznych; jeżeli posiada ona trzy wymiary to dlatego, że przystosowała się do świata, który posiadał pewne własności; a główną zpośrod tych własności jest istnienie przyrodzonych ciał stałych, których przemieszczenia odbywają się w granicach postrzegalności według praw, które nazywamy prawami ruchu ciał stałych niezmiennych. Jeśli tedy język trzech wymiarów jest językiem, który pozwala nam najłatwiej opisać nasz świat, nie powinno to nas dziwić; język ten jest modelowany na naszej tablicy rozdzielczej; a tablica ta została ustanowiona po to, żebyśmy mogli żyć w tym świecie.
Powiedziałem, że moglibyśmy pomyśleć istoty myślące, żyjące w naszym świecie, których tablica rozdzielcza posiadałaby cztery wymiary, i któreby przeto myślały w nadprzestrzeni. Nie jest wszakże pewne, czy podobne istoty, o ileby się narodziły w naszym świecie, mogłyby żyć w nim i bronić się od tysiącznych niebezpieczeństw, jakieby je osaczały.


VI.

Na zakończenie parę jeszcze uwag. Zachodzi uderzający kontrast między nieokrzesaniem owej gieometrji prymitywnej, sprowadzającej się do tego, co nazwałem tablicą rozdzielczą, a nieskończoną dokładnością gieometrji matematyków. A przecież ta ostatnia narodziła się z tamtej; ale nietylko z niej; musiała ona zostać zapłodniona naszą zdolnością konstruowania pojęć matematycznych, np. pojęcia grupy; trzeba było znaleźć pośród czystych pojęć pojęcia najlepiej przystosowane do owej przestrzeni nieokrzesanej, której gienezę spróbowałem wytłumaczyć na poprzedzających kartkach, i która jest nam wspólną z wyższemi zwierzętami.
Oczywistość pewnych postulatów gieometrycznych jest jedynie, jak się rzekło, naszym wstrętem do zrzeczenia się bardzo starych nawyknień. Lecz postulaty te są nieskończenie dokładne, kiedy nasze nawyknienia mają kontury zasadniczo mgliste. Skoro tylko chcemy myśleć, musimy mieć postulaty nieskończenie dokładne, bo jestto jedynym sposobem uniknięcia sprzeczności; lecz wśród wszystkich możliwych systemów postulatów istnieją takie, które wzdragalibyśmy się wybrać, ponieważ nie godziłyby się dostatecznie z naszemi nawyknieniami; jakkolwiek mglistemi, jakkolwiek elastycznemi są te nawyknienia, posiadają one przecież granice elastyczności.
Widzimy więc, że jeśli gieometrja nie jest nauką doświadczalną, to jestto nauka, zrodzona z okazji doświadczenia, że przestrzeń, która jest przedmiotem jej badania, stworzyliśmy my, lecz stworzyliśmy ją, przystosowując do świata, w którym żyjemy. Wybraliśmy przestrzeń najdogodniejszą, lecz wyborem naszym kierowało doświadczenie; ponieważ wybór ten był nieświadomy, zdaje nam się, że został nam narzucony; jedni mówią, że narzuca go nam doświadczenie, inni, że rodzimy się z gotową przestrzenią; z poprzedzających rozważań wynika, jaka doza prawdy i jaka błędu tkwi w każdym z tych poglądów.
Trudno jest oznaczyć, jaki udział w tym postępowym wychowaniu, które doprowadziło do skonstruowania przestrzeni, przypada jednostce a jaki rasie. W jakiej mierze jeden z nas, przeniesiony od urodzenia w świat całkowicie odmienny, w którym np. przeważałyby ciała, poruszające się według praw ruchu ciał stałych nie-euklidesowych, w jakiej, powiadam, mierze, mógłby on zrzec się przestrzeni przodków i zbudować przestrzeń zupełnie nową?
Udział rasy zdaje się o wiele przeważającym; wszelako, jeśli jemu to zawdzięczamy przestrzeń nieokrzesaną, przestrzeń mglistą, o której mówiłem powyżej, przestrzeń zwierząt wyższych: to czyż nie nieświadomemu doświadczeniu jednostki zawdzięczamy nieskończenie dokładną przestrzeń matematyka? Pytanie to niełacno daje się rozstrzygnąć. Przytoczmy przecież przykład, wskazujący, że przestrzeń, przekazana nam przez naszych przodków, posiada jednak jeszcze pewną plastyczność. Niektórzy myśliwi potrafią strzelać do ryb w wodzie, pomimo, że obraz tych ryb jest podniesiony przez załamanie. Robią to zresztą instynktownie: nauczyli się modyfikować dawny swój instynkt kierunku; albo, jeśli kto woli, zastępować skojarzenie A1, B1 innym skojarzeniem A1, B2, ponieważ doświadczenie wykazało im, że tamto skojarzenie chybiało celu.



Rozdział II.
Definicje matematyczne a nauczanie.

1. Mam mówić tutaj o ogólnych definicjach w matematyce; tak przynajmniej opiewa tytuł tego rozdziału, nie potrafię wszakże zamknąć się w tym przedmiocie tak, jakby tego wymagała reguła jedności akcji; nie będę go mógł traktować, nie zahaczając trochę o inne kwestje pobliskie, i jeśli zmusi mnie to do wkraczania od czasu do czasu na zagony brzeżne z prawa i z lewa, czytelnicy moi zechcą mi to przebaczyć.
Cóż to jest dobra definicja? Dla filozofa czy dla uczonego jestto definicja, stosująca się do wszystkich zdefinjowanych przedmiotów, i stosująca się jedynie do nich: jestto definicja, czyniąca zadość regułom logiki. W nauczaniu wszakże jest inaczej: dobrą definicją jest ta, która jest zrozumiała dla uczniów.
Czym się dzieje, że istnieje tyle umysłów opornych rozumieniu matematyki? Czyż nie jest w tym coś paradoksalnego? Jakże to, oto nauka, która odwołuje się jedynie do podstawowych zasad logiki, np. do zasady sprzeczności, do tego, co stanowi poniekąd szkielet naszej umysłowości, z czego nie możnaby się wyzuć, nie przestając myśleć, — i są ludzie, którzy uważają ją za niejasną! i ludzie ci stanowią nawet większość! Że nie są w stanie sami tworzyć, to jeszcze ujdzie, ale że nie rozumieją dowodów, jakie im się wykłada, że pozostają ślepi, gdy ofiarowujemy im światło, które nam zdaje się świecić najczystszym blaskiem, to już jest dziw nad dziwy.
A przecież nie trzeba mieć za sobą wielkiej praktyki egzaminacyjnej, żeby wiedzieć, że ci ślepi nie są bynajmniej istotami wyjątkowemi. Stoimy tu wobec niełatwej do rozwiązania kwestji, którą muszą się jednak zajmować wszyscy ci, co się chcą poświęcić nauczaniu.
Co znaczy: rozumieć? Czy wyraz ten ma to samo znaczenie dla każdego? Czy zrozumieć dowód pewnego twierdzenia znaczy zbadać kolejno każdy z sylogizmów, które się nań składają, i stwierdzić, że jest on poprawny, odpowiadający regułom logiki? Podobnież czy zrozumieć definicję, to znaczy stwierdzić jedynie, że się zna już znaczenie wszystkich użytych terminów, i że nie zawiera ona żadnej sprzeczności wewnętrznej?
Tak jest dla niektórych; kiedy stwierdzą to, tedy powiedzą: zrozumiałem. Tak nie jest — dla większości. Wszyscy niemal są o wiele bardziej wymagający, chcą wiedzieć nietylko, czy wszystkie sylogizmy danego dowodu są poprawne, ale nadto, dlaczego wiążą się one w takim porządku a nie w innym. Dopóki wydają się im one wytworem kaprysu nie zaś umysłu bezustannie świadomego celu, do którego zmierza, sądzą oni, że nie zrozumieli.
Zapewne nie zdają sobie oni sami dobrze sprawy, czego wymagają, i nie umieliby sformułować swych życzeń, ale nie są zadowoleni, czują niewyraźnie, że coś im brakuje. Cóż następuje wówczas? Na początku postrzegają oni jeszcze rzeczy oczywiste, które się im przedkłada; ponieważ jednak są one związane z poprzedzającemi i z następującemi nicią zbyt cienką, przesuwają się one, nie pozostawiając śladu w ich mózgu; idą natychmiast w zapomnienie; po jednej chwili oświetlenia pogrążają się one znowu w noc wieczną. Kiedy posuną się oni dalej w matematyce, nie będą widzieli nawet i tego przemijającego światła, bo twierdzenia opierają się jedne na drugich, a te, któreby im były potrzebne, będą zapomniane; w ten sposób staną się oni niezdolni do rozumienia matematyki.
Nie zawsze jestto wina profesora; często umysł ich, który musi postrzegać nić przewodnią, jest zbyt leniwy, by szukać jej i by ją znaleźć. Ale żeby im przyjść z pomocą, musimy przedewszystkim dobrze zrozumieć, o co się oni potykają.
Inni będą sobie ustawicznie zadawali pytanie: do czego to służy? nie będą rozumieli, dopóki nie znajdą dokoła siebie, w praktyce czy w przyrodzie, racji bytu tego lub innego pojęcia matematycznego. Pod każdy wyraz chcieliby podłożyć obraz zmysłowy; definicja musi wywoływać w ich umyśle ten obraz, w każdym stadjum dowodzenia muszą widzieć, jak się obraz ten przekształca i rozwija. Pod tym jedynie warunkiem zrozumieją i zapamiętają. Ci ulegają często własnemu złudzeniu; nie słuchają oni rozumowań, patrzą na figury; zdaje im się, że zrozumieli, a oni tylko widzieli.
2. Ileż rozmaitych skłonności! Czy należy je zwalczać? Czy trzeba z nich korzystać? I gdybyśmy chcieli je zwalczać, to którą wypadałoby popierać? Czy trzeba wykazać tym, co zadawalają się czystą logiką, że widzą tylko jedną stronę rzeczy? Czy może należy mówić tym, co się nie zaspokajają tak tanim kosztem, że to, czego się domagają, nie jest potrzebne?
Innemi słowy, czy powinniśmy zmuszać młodzież do zmienienia natury jej umysłu? Wysiłki takie byłyby próżne; nie posiadamy kamienia filozoficznego dla transmutacji metali, nad któremi pracujemy; możemy co najwyżej obrabiać je, przystosowując się do ich własności.
Wiele dzieci jest niezdolnych do zostania matematykami, a przecież trzeba je nauczyć matematyki; a i sami matematycy nie zostali wszyscy odlani w jednej formie. Wystarczy czytać ich dzieła, by rozróżnić wśród nich dwa typy umysłów, logików jak n. p. Weierstrass, i intuityków, jak Riemann. Tę samą różnicę stwierdzić można wśród naszych studentów. Jedni wolą rozwiązywać zadania »zapomocą analizy«, jak się wyrażają, inni »zapomocą gieometrji«.
Bezcelowym byłoby chcieć coś w tym zmienić, a zresztą czyby to było pożądanym? Dobrze jest, by istnieli logicy i intuitycy; któż odważyłby się orzec, że wolałby, żeby Weierstrass nie był nigdy pisał, albo żeby nie było Riemanna. Musimy się tedy pogodzić z rozmaitością umysłów albo raczej powinniśmy się nią cieszyć.
3. Skoro wyraz rozumieć ma kilka znaczeń, definicje, które będą najbardziej zrozumiałe dla jednych, nie będą najlepiej odpowiadały innym. Mamy definicje, które starają się wywołać obraz, oraz definicje, które ograniczają się kombinowaniem form pustych, doskonale logicznych, ale tylko logicznych, wypatroszonych przez abstrakcję z wszelkiej zawartości.
Nie wiem, czyli jest bardzo potrzebne przytaczanie przykładów? Przytoczmy ich przecież kilka, i weźmy nasamprzód, jako przykład krańcowy, definicję ułamków. W szkołach początkowych, aby określić ułamek, kraje się na części jabłko lub ciasto; kraje się je oczywiście w myśli, nie w rzeczywistości, nie przypuszczam bowiem, by budżet nauczania początkowego pozwalał na taką rozrzutność. W wyższej szkole normalnej natomiast i na uniwersytetach mówi się: ułamek jestto zespół dwu liczb całkowitych, oddzielonych od siebie poziomą kreską; określa się, drogą umów, działania, jakim się poddaje te symbole; dowodzi się, ze prawidła tych działań są te same, co w rachunku z liczbami całkowitemi, i stwierdza się w końcu, że pomnożenie według tych prawideł ułamka przez jego mianownik daje w rezultacie licznik. Wszystko to jest bardzo dobre, bo wykład ten przeznaczony jest dla młodzieży, oddawna już spoufalonej z pojęciem ułamków przez dzielenie jabłek i innych przedmiotów, i której umysł wysubtelniony przez tęgie wykształcenie matematyczne dojrzał stopniowo do pożądania definicji czysto logicznej. Ale jakież byłoby oszołomienie początkującego, któremuby chciano je zaprezentować?
Takie również definicje znajdziecie w słusznie podziwianej i wielokrotnie nagradzanej książce Hilberta »Grundlagen der Geometrie«. Jakoż, rozpoczyna się ona od słów: »Pomyślmy trzy układy rzeczy, które nazwiemy punktami, prostemi, płaszczyznami«. Cóż to są te »rzeczy«? nie wiemy i nie potrzebujemy wiedzieć; szkodliwym byłoby nawet, gdybyśmy starali się o tym dowiedzieć; mamy prawo wiedzieć o nich to jedynie, co nam o nich mówią pewniki, jak ten n. p.: Dwa różne punkty oznaczają zawsze prostą, opatrzony takim komentarzem: zamiast oznaczają, możemy powiedzieć, że prosta przechodzi przez te dwa punkty, albo, że łączy te dwa punkty, albo, że te dwa punkty leżą na prostej. Tak więc »leżeć na prostej« jest poprostu zdefinjowane jako synonim »oznaczać prostą«. Książkę Hilberta cenię wysoko, ale nie poleciłbym jej liceiście. Mógłbym zresztą zrobić to bez obawy, nie dobrnąłby on w niej zbyt daleko.
Wziąłem przykłady krańcowe — żadnemu nauczycielowi nie przyszłoby na myśl posunąć się aż tak daleko. Ale nawet na znacznej jeszcze odległości od takich wzorów czyż nie naraża się on na podobne niebezpieczeństwo?
Jesteśmy w klasie 4-ej; profesor dyktuje: okręg jest miejscem punktów płaszczyzny jednakowo odległych od punktu wewnętrznego, nazwanego środkiem. Dobry uczeń wypisuje to zdanie w swoim kajecie; zły uczeń rysuje w nim rozmaite figielki; lecz żaden z nich nie zrozumiał; wówczas profesor bierze kredę i kreśli na tablicy koło. »Aha! — myślą uczniowie, czemuż to nie powiedział odrazu; okrąg to jest krążek, bylibyśmy zrozumieli«. Bezwątpienia rację ma profesor. Definicja uczniów nic nie byłaby warta, gdyż nie mogłaby służyć do żadnego dowodzenia, a zwłaszcza dlatego, że nie mogłaby ich wdrożyć do zbawiennego przyzwyczajenia analizowania swych pojęć. Ale trzebaby im wykazać, że nie rozumieją tego, co im się zdaje, że rozumieją, naprowadzić ich na to, by zdali sobie sprawę z nieociosania ich pierwotnego pojęcia, by sami odczuli potrzebę odczyszczenia go i okrzesania.
4. Powrócę jeszcze do wszystkich tych przykładów; chciałem tylko pokazać wam owe dwie przeciwne koncepcje; stanowią one w stosunku do siebie jaskrawy kontrast. Kontrast ten tłumaczy nam historja nauki. Kiedy czytamy książkę, napisaną przed pięćdziesięciu laty, większa część znajdujących się w niej rozumowań wyda się nam nieścisłą.
Przyjmowano w owych czasach, że funkcja ciągła nie może zmienić znaku, nie przybierając wartości zero; dzisiaj dowodzi się tego. Przyjmowano, że zwykłe reguły rachunku są stosowalne do liczb niewspółmiernych, dzisiaj dowodzi się tego. Przyjmowano wiele innych rzeczy, które niekiedy były błędne.
Ufano intuicji; lecz intuicja nie może nam dać ścisłości ani nawet pewności, jak się o tym coraz bardziej przekonywano. Mówi ona n. p., że każda krzywa posiada styczną, to znaczy, że każda funkcja ciągła posiada pochodną, co jest błędne. A ponieważ zależało ludziom na pewności, trzeba było coraz bardziej kurczyć dział intuicji.
Jak odbyła się ta nieunikniona ewolucja? Dostrzeżono rychło, że ścisłość nie może zamieszkać w rozumowaniach, jeśli się jej uprzednio nie wprowadzi do definicji.
Przedmioty, któremi zajmuje się matematyka, były przez długi czas źle zdefinjowane; zdawało się, że się je zna, bo przedstawiano je sobie przy pomocy zmysłów, czy wyobraźni, ale były to jedynie grube obrazy nie zaś ścisłe pojęcia, których mogłoby się imać rozumowanie.
Tutaj więc musiały się zwrócić wysiłki logików. Tak np. dla liczby niewspółmiernej.
Niejasna idea ciągłości, którąśmy poczerpnęli z intuicji, rozłożyła się na skomplikowany układ nierówności, do których wchodzą jedynie liczby całkowite. W ten sposób rozproszyły się ostatecznie wszystkie trudności, które przestrach siały w naszych ojcach, gdy ci rozmyślali nad podstawami rachunku nieskończonostkowego.
Dzisiaj w analizie pozostają jedynie liczby całkowite lub układy skończone albo nieskończone liczb całkowitych, połączone siecią równości i nierówności.
Matematyka, jak się mówi, zarytmetyzowała się.
5. Czy jednak to zdobycie przez matematykę absolutnej ścisłości odbyło się bez ofiary? Bynajmniej, co wygrała ona na ścisłości, to straciła na objektywności. Właśnie przez oddalanie się od rzeczywistości zdobyła ona ową doskonałą czystość. Można dziś swobodnie przebiec cały jej obszar, niegdyś najeżony przeszkodami, lecz przeszkody te nie znikły. Przeniesiono je tylko na granicę, i trzeba je znowu przezwyciężyć, jeśli się chce przekroczyć tę granicę i przeniknąć do królestwa praktyki.
Dawniej posiadaliśmy niewyraźne pojęcie, utworzone z różnorodnych elementów, z których jedne były a priori, inne pochodziły z mniej lub bardziej przetrawionych doświadczeń; zdawało nam się, że znamy intuicyjnie główne ich własności. Dzisiaj odrzuca się elementy empiryczne, zachowując jedynie elementy a priori; jedna z własności służy za definicję, a wszystkie inne wyprowadza się z niej drogą ścisłego rozumowania. Wszystko to jest zupełnie w porządku, ale pozostaje dowieść, że własność tę, która stała się definicją, posiadają istotnie przedmioty rzeczywiste, które poznaliśmy z doświadczenia, i które nasunęły nam owo niewyraźne intuicyjne pojęcie. Aby tego dowieść, trzeba będzie odwołać się do doświadczenia lub wysilić intuicję — a gdybyśmy nie byli w stanie tego dowieść, twierdzenia nasze byłyby doskonale ścisłe, ale też doskonale bezużyteczne.
Logika płodzi niekiedy potwory. W ciągu ostatniego półstulecia zjawiło się mnóstwo dziwacznych funkcji, które jakgdyby starają się usilnie o to, by możliwie najmniej mieć podobieństwa z uczciwemi funkcjami, które służą do czegoś. Nie są ciągłe, albo też są ciągłe ale nie mają pochodnych itd. Cowięcej, z punktu widzenia logicznego te osobliwe funkcje są najogólniejszemi, te zaś, które napotykamy bez szukania, okazują się wypadkami szczególnemi. Zajmują one mały tylko kącik.
Niegdyś, kiedy wynajdywano jaką nową funkcję, robiono to ze względu na jakiś praktyczny cel; dziś wynajduje się je umyślnie po to, by wystawić na szwank rozumowania naszych ojców, i nie wydobędzie się z nich nigdy nic ponadto.
Gdyby logika była jedynym przewodnikiem pedagoga, powinienby on zaczynać naukę od funkcji najogólniejszych, to jest najdziwaczniejszych. Powinienby kazać początkującemu borykać się z całym tym muzeum teratologicznym. Jeśli tego nie robicie, mogliby powiedzieć logicy, dojdziecie do ścisłości jedynie etapami.
6. Zapewne, ale nie możemy tak lekceważyć sobie rzeczywistości, a nie mam na myśli jedynie rzeczywistości świata zmysłowego, choć i ta również ma swoją cenę, skoro właśnie dla walki z nią żąda od was uzbrojenia dziewięć dziesiątych waszych uczniów. Istnieje rzeczywistość subtelniejsza, nadająca życie matematyce, a przecież całkiem odmienna od logiki.
Ciało nasze składa się z komórek, a komórki z atomów; czyż komórki te i te atomy stanowią całą rzeczywistość ciała ludzkiego? Czyż sposób, w jaki komórki te są uszykowane, nadający jedność osobnikowi, nie jest również rzeczywistością i to rzeczywistością o wiele bardziej interesującą?
Czy przyrodnik, który słonia nie badał nigdy inaczej jak przez mikroskop, zna to zwierzę w zupełności?
Tak samo jest w matematyce. Kiedy logik rozłoży każdy dowód na mnóstwo działań elementarnych, z których każde będzie poprawne, nie będzie on jeszcze w posiadaniu całej rzeczywistości; owo nieuchwytne coś, które nadaje jedność dowodowi, wymknie się z jego sieci.
Pocóż będziemy w gmachach, dźwigniętych przez naszych mistrzów, podziwiali dzieło murarza, jeśli nie potrafimy zrozumieć planu architekta? A tego widoku ogólnego nie jest w stanie dać nam czysta logika, żądać go musimy od intuicji.
Weźmy dla przykładu pojęcie funkcji ciągłej. Jestto zrazu tylko obraz zmysłowy, kreska nakreślona kredą na czarnej tablicy. Stopniowo oczyszcza się ono; służy nam do zbudowania złożonego układu nierówności, odtwarzającego wszystkie linje obrazu pierwotnego; kiedy wszystko jest skończone, kabłąki się zdejmuje, jak po zbudowaniu sklepienia; owo nieociosane wyobrażenie, jako niepotrzebna już teraz podpora, znika, i pozostaje jedynie sam gmach, niepokalany dla logika. A przecież gdyby profesor nie był przypomniał pierwotnego obrazu, gdyby nie posiłkował się chwilowo kabłąkiem, jakżeby miał uczeń zrozumieć, jaki to kaprys kazał owym nierównościom piętrzyć się w określony sposób jedne na drugich? Definicja byłaby logicznie poprawna, lecz nie wskazywałaby mu prawdziwej rzeczywistości.
7. Oto tedy zmuszeni jesteśmy cofnąć się wstecz; przykro jest niewątpliwie nauczycielowi wykładać to, co go nie zadawala w zupełności; lecz zadowolenie nauczyciela nie jest jedynym celem nauczania; trzeba przedewszystkim dbać o to, czym jest umysł ucznia, i czym go chcemy zrobić.
Zoologowie twierdzą, że rozwój embrjonalny zwierzęcia streszcza w krótkim bardzo okresie czasu całe dzieje jego przodków z czasów gieologicznych. Rozwój umysłowy zdaje się podlegać podobnemu prawu. Wychowawca musi przeprowadzić dziecko przez tę samą drogę, przez którą przeszli jego ojcowie; szybciej, ale nie przeskakując etapów. W tym też sensie historja nauki winna być pierwszym naszym przewodnikiem.
Ojcowie nasi sądzili, że wiedzą, co to jest ułamek, lub ciągłość, lub pole powierzchni krzywej; dopiero my zauważyliśmy, że oni tego nie wiedzieli. Podobnie uczniom naszym zdaje się, że wiedzą to, gdy zaczynają poważnie uczyć się matematyki. Jeśli bez należytego przygotowania przyjdę i powiem im: »Nie, nie wiecie tego; nie rozumiecie tego, co według waszego mniemania rozumiecie; trzeba, żebym wam dowiódł tego, co się wam wydaje oczywistym«, i jeśli w dowodzeniu oprę się na przesłankach, które wydadzą im się mniej oczywistemi niż wnioski, tedy cóż pomyślą ci nieszczęśliwi? Pomyślą, że nauka matematyczna jest poprostu dowolnym nagromadzeniem bezużytecznych subtelności; i albo nabiorą do niej odrazy; albo będą się nią bawili jak grą, i dojdą do podobnego stanu umysłów, jak sofiści greccy.
Natomiast później, kiedy umysł ucznia, obyty z rozumowaniem matematycznym, dojrzeje przez długie z nim obcowanie, wątpliwości zrodzą się same przez się, i wówczas dowodowi waszemu będą radzi. Wywoła on później nowe wątpliwości, i dziecku nasuwać się będą kolejno kwestje, jak nasuwały się one kolejno naszym ojcom, aż umysł jego, aby mieć uczucie zadowolenia, będzie wymagał doskonałej ścisłości. Nie wystarcza wątpić o wszystkim, trzeba wiedzieć, dlaczego się wątpi.
8. Głównym celem nauczania matematyki jest rozwijanie pewnych zdolności umysłu, a wśród tych zdolności intuicja nie jest najmniej cenną. Przez nią to świat matematyczny pozostaje w zetknięciu ze światem rzeczywistym, i gdyby matematyka czysta mogła się bez niej obejść, trzebaby było zawsze do niej się uciekać, by zapełnić przepaść, oddzielającą symbol od rzeczywistości. Praktyk będzie jej zawsze potrzebował, a na jednego czystego matematyka musi przypadać stu praktyków.
Inżynier winien otrzymać zupełne wykształcenie matematyczne — lecz na co mu ono ma służyć? na to, by widział rozmaite postaci rzeczy, i by widział je szybko; nie ma on czasu wdawać się w subtelne szczególiki. Musi on w przedmiotach fizycznych, z jakiemi ma do czynienia, rozpoznawać rychło punkty, których mogą się imać narzędzia matematyczne, któreśmy mu dali w rękę. Jakeżby to zrobił, gdybyśmy pozostawili między jednemi a drugiemi ową głęboką przepaść, wykopaną przez logików?
9. Obok przyszłych inżynierów siedzą inni mniej liczni uczniowie, którzy z czasem mają zostać nauczycielami; ci przeto muszą poznać całą głębię nauki; im przedewszystkim jest niezbędna pogłębiona i ścisła znajomość pierwszych zasad. Lecz nie jestto racja, by nie kultywować u nich intuicji; albowiem nabyliby fałszywego pojęcia o nauce, gdyby patrzyli na nią zawsze z jednej tylko strony, a i u swoich przyszłych uczniów nie potrafiliby rozwijać zdolności, którejby nie posiadali sami.
Nawet czystemu matematykowi zdolność ta jest potrzebna, gdyż zapomocą logiki dowodzi się, zapomocą intuicji — tworzy. Umieć krytykować jest dobrze, umieć tworzyć lepiej. Potraficie rozpoznać, czy dana kombinacja jest poprawna; ale pięknie będziecie wyglądali, jeżeli nie posiądziecie sztuki wybierania zpośród wszystkich możliwych kombinacji. Logika nas poucza, że na pewnej drodze nie napotkamy z pewnością przeszkód; nie mówi nam, jaka droga wiedzie do celu. Trzeba bo umieć widzieć cel zdaleka, a zdolnością która nas uczy widzieć, jest intuicja. Bez niej matematyk byłby tym czym pisarz biegły w gramatyce, lecz pozbawiony myśli. A jakżeby zdolność ta miała się rozwijać, jeśli się ją goni i prześladuje, skoro się tylko objawi, jeśli się uczy nieufać jej, zanim się jeszcze dowie, co dobrego można z niej przeczerpnąć.
I tutaj muszę otworzyć nawias, by podnieść wielką wagę ćwiczeń pisemnych. Zadaniom pisemnym nie wyznaczono, być może, dostatecznego miejsca przy niektórych egzaminach, np. w Szkole politechnicznej. Powiadają mi, że zamknęłyby one drzwi przed wielu bardzo dobremi uczniami, którzy umieją bardzo dobrze swoje kursa, bardzo dobrze je rozumieją, a którzy przecie są niezdolni zastosować je w najprostszym nawet wypadku. Powiedziałem powyżej, że wyraz rozumieć ma kilka znaczeń: ci rozumieją jedynie w pierwszy sposób, a widzieliśmy przed chwilą, że takie rozumienie nie wystarcza, aby zrobić z ucznia ani inżyniera ani matematyka. A ponieważ zmuszeni jesteśmy dokonać wyboru, wolę wybrać tych, co rozumieją całkowicie.
10. Czy jednak sztuka trafnego rozumowania nie jest również cenną zaletą, którą profesor matematyki powinien przedewszystkim kultywować? Bynajmniej o tym nie zapominam; troska o nią musi być żywa i to od samego początku. Byłbym głęboko zmartwiony, gdyby się gieometrja w moich oczach miała wyrodzić w jakąś nędzną tachymetrję, i nie piszę się wcale na krańcowe poglądy niektórych niemieckich Oberlehrer’ów. Ale dosyć jest sposobności ćwiczenia uczniów w poprawnym rozumowaniu w częściach matematyki, w których się nie spotyka wskazanych przezemnie niedogodności. Istnieją długie łańcuchy twierdzeń, w których absolutna logika panowała od pierwszej chwili i, że tak powiemy, w sposób naturalny, w których pierwsi matematycy dali nam modele, godne ustawicznego naśladowania i podziwu.
Nadmiernej subtelności należy unikać przy wykładzie pierwszych zasad: tutaj działałaby ona raczej odpychająco i zresztą byłaby bez pożytku. Niepodobna wszystkiego dowieść ani wszystkiego zdefinjować; trzeba będzie zawsze kiedyś poczerpnąć z intuicji; cóż to waży, czy się to zrobi trochę wcześniej lub trochę później, albo nawet czy się od niej weźmie trochę więcej lub trochę mniej, byleśmy przez poprawne posługiwanie się przesłankami, których nam ona dostarczyła, nauczyli się trafnie rozumować.
11. Czy możliwe jest uczynić zadość tylu sprzecznym warunkom? Czy jest to zwłaszcza możliwe, kiedy idzie o danie definicji? Jak znaleźć zwięzłe sformułowanie, odpowiadające równocześnie nieprzejednanym prawom logiki, naszej potrzebie zrozumienia miejsca, jakie nowe pojęcie zajmuje w całokształcie nauki, naszej potrzebie myślenia obrazami? Najczęściej sformułowania takiego się nie znajdzie, i dlatego też nie wystarcza wypowiedzieć definicję; trzeba ją przygotować i trzeba ją usprawiedliwić.
Co chcę przez to powiedzieć? Wiecie, że mówi się często: wszelka definicja zawiera w sobie domyślnie pewnik, albowiem zakłada ono istnienie definjowanego przedmiotu. Definicja będzie tedy usprawiedliwiona z punktu widzenia logicznego dopiero wówczas, gdy się dowiedzie, że nie pociąga ona za sobą żadnej sprzeczności, ani wewnętrznej ani w stosunku do dawniej przyjętych prawd.
Ale tego nie dosyć; definicja jest sformułowana jako umowa; lecz większość umysłów zaprotestowałaby, gdybyście chcieli ją im narzucić, jako umowę dowolną. Nie zaznają spokoju, dopóki nie odpowiecie im na mnóstwo zapytań.
Definicje matematyczne są najczęściej, jak to okazał Liard, prawdziwemi konstrukcjami, zbudowanemi w całości z pojęć prostych. Ale dlaczego ułożyć te elementy w taki właśnie sposób, kiedy istnieje tysiąc innych układów możliwych? Czy dla kaprysu? Jeśli nie, to dlaczego ta oto kombinacja ma mieć większe prawo bytu niż każda inna? Jakiej potrzebie czyni zadość? Jakim sposobem przewidziano, że odegra ona w rozwoju nauki wybitną rolę, że skróci nasze rozumowania i nasze rachunki? Czy istnieje w przyrodzie jakiś zwykły przedmiot, któryby był jej, że tak powiem, grubym i nieociosanym obrazem?
To nie wszystko jeszcze; skoro odpowiecie na wszystkie te pytania w sposób zadawalający, będziemy już wiedzieli, że noworodek ma prawo być ochrzczonym; lecz i wybór imienia nie jest dowolny; trzeba wytłumaczyć jakiemi kierowaliśmy się analogjami, i że jeśli daliśmy analogiczne nazwy rzeczom różnym, to rzeczy te różnią się tylko co do zawartości a podobne są do siebie co do formy; że własności ich są analogiczne i, że tak powiem, równoległe.
Za tę to cenę będzie można uczynić zadość wszelkim skłonnościom i wszelkim wymaganiom. Jeśli sformułowanie jest dość poprawne, by podobać się logikowi, usprawiedliwienie zadowoli intuityka. Ale można zrobić jeszcze lepiej; ilekroć będzie to możliwe, usprawiedliwienie poprzedzi sformułowanie i przygotuje je; do sformułowania ogólnego poprowadzi zbadanie kilku wypadków szczególnych.
Inna jeszcze okoliczność: każda z części sformułowania pewnej definicji ma na celu odróżnienie przedmiotu definjowanego od klasy innych pobliskich przedmiotów. Definicja będzie zrozumiana dopiero wówczas, gdy wskażecie nietylko przedmiot zdefinjowany lecz i przedmioty sąsiednie, od których należy go odróżnić, gdy jasną się stanie ta różnica, i gdy dodacie wyraźnie: dlatego to, formułując definicję, powiedziałem to i to.
Ale czas już wyjść poza okólniki i rozważyć, jak wyłożone powyżej nieco abstrakcyjne zasady mogą być zastosowane do arytmetyki, gieometrji, analizy i mechaniki.

Arytmetyka.

Nie potrzeba definjować liczby całkowitej; natomiast zazwyczaj definjuje się działania nad liczbami całkowitemi; myślę, że uczniowie uczą się tych definicji na pamięć i niewkładają w nie żadnej treści. Dwie są po temu racje: naprzód każe się im ich uczyć zbyt wcześnie, gdy ich umysł nie odczuwa jeszcze żadnej tego potrzeby; następnie definicje te nie są zadawalające ze stanowiska logiki. Dla dodawania nie podobna znaleźć dobrej definicji poprostu dlatego, że trzeba się gdzieś zatrzymać, i że nie można wszystkiego definjować. Nie jestto definicją dodawania, gdy się mówi, że polega ono na »dokładaniu«. Jedyne, co można zrobić, to zacząć od pewnej ilości przykładów konkretnych i powiedzieć: działanie, któreśmy oto wykonali, nazywa się dodawaniem.
Inaczej z odejmowaniem; można określić je logicznie jako działanie odwrotne do dodawania; czy od tego jednak trzeba zacząć? I tutaj należy również rozpocząć od przykładów, wykazać na tych przykładach odwrotność obu działań; przygotuje to i usprawiedliwi definicję.
Podobnie i dla mnożenia; weźmie się jakieś zadanie szczególne; wykaże, iż można je rozwiązać przez dodanie kilku równych sobie liczb; wskaże się następnie, że dochodzi się prędzej do rezultatu przez mnożenie, działanie, które uczniowie umieją już wykonywać przez rutynę, a definicja logiczna wyłoni się już stąd całkiem naturalnie.
Dzielenie określi się jako działanie odwrotne w stosunku do mnożenia; ale rozpocznie się od przykładu, wziętego z pospolitego pojęcia podziału, i wskaże się na tym przykładzie że przez mnożenie otrzymujemy z powrotem dzielną.
Pozostają działania nad ułamkami. Trudności nastręcza jedynie mnożenie. Najlepiej będzie wyłożyć naprzód teorję proporcji, z niej dopiero będzie można wyprowadzić definicję logiczną; ale żeby pobudzić do przyjęcia definicji, które napotyka się na początku tej teorji, trzeba definicje te przygotować na wielu przykładach, wziętych zpośród zagadnień klasycznych na regułę trzech, przyczym dane w tych zagadnieniach będą musiały być ułamkami. Nie trzeba się też obawiać spoufalenia uczniów z pojęciem proporcji za pomocą obrazów gieometrycznych, czy to odwołując się do ich wspomnień, jeśli uczyli się już gieometrji, czy uciekając się do intuicji bezpośredniej, jeśli się jej nie uczyli, co przygotuje ich zresztą do nauki gieometrji. Dodam wreszcie, że określiwszy mnożenie ułamków, należy usprawiedliwić tę definicję przez dowód, że posiada ono cechy przemienności, łączności i rozdzielności; i zwrócić wyraźnie uwagę słuchaczy na to, że stwierdzenie tych cech ma na celu usprawiedliwienie definicji.
Obrazy gieometryczne, jak widzimy, odgrywają w tym wszystkim dużą rolę; i rolę tę usprawiedliwia filozofja oraz historja nauki. Gdyby arytmetyka pozostała wolna od jakiejkolwiek mieszaniny z gieometrją, znałaby ona jedynie liczbę całkowitą; jeżeli zaś stworzyła coś jeszcze, to po to, aby przystosować się do potrzeb gieometrji.

Gieometrja.

W gieometrji napotykamy przedewszystkim pojęcie linji prostej. Czy można określić linję prostą? Definicja zwykła, najkrótsza droga pomiędzy dwoma punktami, wcale mnie nie zadawala. Zacząłbym poprostu od linjału i pokazałbym nasamprzód uczniowi, jak można sprawdzić linjał przez odwrócenie; to sprawdzenie jest prawdziwą definicją linji prostej; linja prosta jest osią obrotu. Pokazalibyśmy mu później, jak sprawdza się linjał przez ślizganie, co dałoby nam jedną z najważniejszych własności linji prostej. Co zaś do owej innej własności linji prostej, że jest ona najkrótszą drogą od jednego punktu do drugiego, to jestto twierdzenie, którego można dowieść apodyktycznie, lecz dowód jest zbyt subtelny, by można go było wkluczyć w kurs szkoły średniej. Lepiej będzie pokazać, że sprawdzony uprzednio linjał przylega do napiętej nici. Wobec innych analogicznych trudności nie trzeba się obawiać wprowadzania nowych pewników, które należy poprzeć pospolitemi doświadczeniami.
Toż i tak trzeba przyjąć pewną ilość pewników, a jeśli przyjmiemy ich trochę więcej niż jest ściśle niezbędnym, nie będzie stąd wielkiego nieszczęścia; istotnym jest, nauczyć się trafnie rozumować na przyjętych już pewnikach. Wujaszek Sarcey, który lubił się powtarzać, mawiał często, że w teatrze widz przyjmuje chętnie wszelkie postulaty, które mu się narzuca na początku, ale skoro kurtyna się podniesie, staje się on nieprzejednanym co do logiki. Otóż w matematyce jest tak samo.
Przy kole można zacząć od cyrkla; uczniowie rozpoznają od pierwszego rzutu oka nakreśloną krzywą; zwróci się im później uwagę na to, że odległość obu ostrzy przyrządu pozostaje stała, że jedno z tych ostrzy jest nieruchome, drugie ruchome, i w ten sposób dojdzie się naturalnie do definicji logicznej.
Definicja płaszczyzny wymaga domyślnego pewnika, i nie należy tego taić. Weźcie rajzbret i zwróćcie uwagę na to, że ruchomy linjał ciągle przystaje do tego rajzbretu, zachowując przy tym trzy stopnie swobody ruchów. Porównajcie z walcem i stożkiem, do których to powierzchni prosta przystaje tylko o tyle, o ile pozostawimy jej dwa jedynie stopnie swobody; następnie weźmie się trzy rajzbrety; pokaże się naprzód, że mogą one ślizgać się, przylegając do siebie, i to przy trzech stopniach swobody; i wreszcie, żeby wyróżnić płaszczyznę od kuli, że dwa z tych rajzbretów, z których każdy przylega do trzeciego, przylegają i do siebie.
Zdziwi was może to ustawiczne posługiwanie się ruchomemi narzędziami; nie jestto bynajmniej jakieś radzenie sobie nieokrzesanemi domowemi środkami, jest w tym więcej filozofji, niżby się zrazu mogło wydawać. Czym bo jest gieometrja dla filozofa? Jestto badanie pewnej grupy, — i jakiej grupy? — grupy ruchów ciał stałych. Jakże tedy określić tę grupę, nie wprawiając w ruch pewnej ilości ciał stałych?
Czy mamy zachować klasyczną definicję równoległych i rzec, że nazywa się tak dwie proste, które, leżąc w jednej płaszczyźnie, nie spotkają się, jakkolwiek dalekobyśmy je przedłużyli? Nie — bo definicja ta jest negatywna, bo jest niesprawdzalna w doświadczeniu, i przeto nie może być uważana za bezpośrednią daną intuicji. Nie — dlatego zwłaszcza, że jest ona całkiem obca pojęciu grupy, rozważaniu ruchu ciał stałych, który, jakem powiedział, jest istotnym źródłem gieometrji. Czy nie byłoby lepiej określić naprzód prostolinijne przesunięcie figury niezmiennej, jako ruch, w którym wszystkie punkty tej figury posiadają drogi prostolinijne; okazać, że przesunięcie takie jest możliwe, ślizgając ekierkę po linjale? Z tego twierdzenia doświadczalnego, podniesionego do godności pewnika, łatwoby już było wyprowadzić pojęcie równoległej i sam postulat Euklidesa.

Mechanika.

Nie będę się tu zaprzątał definicją prędkości, przyspieszenia i innych pojęć kinematycznych; korzystnie będzie je związać z pojęciem pochodnej.
Zatrzymam się natomiast dłużej na definicji pojęć dynamicznych siły i masy.
Jedno mnie uderza: w jakim stopniu młodzieńcy, którzy otrzymali wykształcenie średnie, dalecy są od stosowania do świata realnego praw mechanicznych, których ich nauczono. Nietylko są niezdolni to robić; ale nawet nie przychodzi im to na myśl. W ich pojęciu świat nauki odgrodzony jest od świata rzeczywistości nieprzebytą tamą. Nierzadko zdarza się widzieć dobrze ubranego pana, prawdopodobnie bakałarza (czyli, według naszej terminologii, posiadacza patentu dojrzałości, abiturjenta, przyp. tłum.) który, siedząc w powozie, wyobraża sobie, że pomaga mu się toczyć, opierając się nogami o przód, i to wbrew zasadzie akcji i reakcji (działania i oddziaływania).
Jeśli spróbujemy zanalizować stan dusz naszych uczniów, mniej nas to będzie dziwiło; jaka jest dla nich prawdziwa definicja siły? nie ta, którą recytują, lecz inna, przyczajona w kąciku ich umysłu i stamtąd całkowicie nim kierująca. Oto ta definicja: siły są to strzałki, z których buduje się równoległoboki. Strzałki te są urojonemi istotami, nie mającemi nic wspólnego z niczym istniejącym w przyrodzie. Oczywiście można byłoby temu zapobiec, gdyby się było pokazało im siły, działające w rzeczywistości, zanim się je zaczęło przedstawiać zapomocą strzałek.
Jak określić siłę? Niema dobrej definicji logicznej, wykazałem to, jak sądzę, dostatecznie gdzieindziej.[3] Istnieje definicja antropomorficzna, czucie mięśniowego wysiłku; ta jest doprawdy zbyt gruba, i niepodobna z niej wyprowadzić nic użytecznego.
Oto jaką trzeba będzie iść drogą: trzeba przedewszystkim, aby poznać rodzaj »siła«, zaznajomić się kolejno z wszystkiemi gatunkami tego rodzaju, są one bardzo liczne i bardzo rozmaite; mamy ciśnienie cieczy na ścianki naczyń, w których są one zawarte; napięcie nici; sprężystość sprężyny; ciężkość, działającą na wszystkie molekuły ciała; tarcia; wspólną normalną akcję i reakcję dwu stykających się ciał stałych.
Jestto tylko definicja jakościowa; trzeba się nauczyć mierzyć siłę. W tym celu okażemy naprzód, że można zastąpić jedną siłę przez inną, nie nadwerężając równowagi; pierwszy przykład takiego zastąpienia znajdujemy w wadze i podwójnym ważeniu Bordy. Pokażemy następnie, że można zastąpić ciężar nietylko przez inny ciężar, lecz przez siły innego typu: n. p. hamulec Prony’ego pozwala nam zastąpić ciężar przez tarcie.
Z wszystkiego tego wynika pojęcie równoważności dwu sił.
Trzeba określić kierunek siły. Jeżeli siła F jest równoważna do innej siły F′, przyłożonej do rozważanego ciała za pośrednictwem napiętej nici, tak, iż F może być zastąpione przez F′ bez zakłócenia równowagi, natenczas punkt zaczepienia nici będzie, mocą definicji, punktem przyłożenia siły F′ oraz równoważnej siły F; kierunek nici będzie kierunkiem siły F′ oraz równoważnej siły F.
Następnie przejdzie się do porównywania wielkości sił. Jeżeli pewna siła może zastąpić dwie inne o tym samym kierunku, tedy równa się ona ich sumie, pokaże się n. p., że ciężar 20 gramów może zastąpić dwa ciężary 10-cio gramowe.
Czy to wystarcza? Nie jeszcze. Umiemy już porównywać napięcie dwu sił, które posiadają ten sam kierunek i ten sam punkt przyłożenia; trzeba nauczyć się to robić w wypadku kierunków różnych. Wyobraźmy sobie w tym celu nić, napiętą przez ciężar, i przechodzącą przez blok; powiemy, że napięcie obu kawałków nici jest jednakowe i równe ciężarowi napinającemu.
Oto nasza definicja — pozwala nam ona porównywać napięcia naszych dwu kawałków nici, a przy pomocy poprzedzających definicji porównywać dwie jakiekolwiek siły, równoległe do tych dwu kawałków. Trzeba ją usprawiedliwić przez wykazanie, że napięcie ostatniego kawałka pozostaje to samo dla tego samego napinającego ciężaru niezależnie od ilości i rozkładu bloków transmisyjnych. Trzeba ją potym uzupełnić przez wykazanie, że jestto prawdziwe jedynie dla bloków bez tarcia.
Skoro tylko opanujemy te definicje, trzeba okazać, że punkt przyłożenia, kierunek i natężenie wystarczają do oznaczenia siły; że dwie siły, dla których elementy te są te same, są zawsze równoważne i mogą być zawsze wzajemnie przez siebie zastąpione, czy to w równowadze czy w ruchu i to niezależnie od tego, jakie inne siły wchodzą ponadto w grę.
Trzeba okazać, że dwie siły zbieżne mogą być zawsze zastąpione przez jedną wypadkową, i że wypadkowa ta pozostaje ta sama, czy ciało jest w spoczynku, czy w ruchu, i niezależnie od tego, jakie inne siły są doń przyłożone.
Trzeba wreszcie okazać, że siły określone, tak, jakeśmy to powyżej zrobili, czynią zadość zasadzie równości akcji i reakcji.
Wszystkiego tego nauczyć nas może doświadczenie, i tylko doświadczenie.
Wystarczy przytoczyć kilka pospolitych doświadczeń, które uczniowie robią codzień, nie zdając sobie z tego sprawy, oraz wykonać wobec nich niewielką ilość eksperymentów prostych i dobrze dobranych.
Dopiero po przejściu przez te wszystkie zakręty wolno będzie przedstawiać siły zapomocą strzałek, a chciałbym nawet, by się w dalszym ciągu rozumowań powracało od czasu do czasu od symbolu do rzeczywistości. Nie trudno byłoby n. p. zilustrować równoległobok sił zapomocą przyrządu, utworzonego z trzech nici, przechodzących przez bloki, napiętych przez ciężary, i wzajemnie się równoważących przy ciągnieniu jednego i tego samego punktu.
Znając siłę, łatwo jest określić masę; tym razem definicję należy zaczerpnąć z dynamiki; niema sposobu zrobić inaczej, boć celem jest tu właśnie zrozumienie różnicy między masą a wagą. I tutaj definicję należy przygotować przez doświadczenia; jakoż, istnieje maszyna, jakgdyby specjalnie stworzona po to, żeby pokazać, co to jest masa, mianowicie maszyna Atwooda; przypomnieć zresztą będzie potrzeba prawa spadku ciał, że przyspieszenie naskutek ciężkości jest takie same dla ciał ciężkich i dla ciał lekkich, że zmienia się z szerokością gieograficzną itd.
A teraz, jeśli mi powiecie, że wszystkie metody, jakie zalecam, oddawna już są stosowane w liceach, więcej mnie to uraduje niż zadziwi: wiem, że wzięte w całości nasze nauczanie matematyki jest dobre, nie chcę wywracać go do góry nogami, przeciwnie, chcę jedynie udoskonaleń zwolna postępowych. Nauczanie to nie powinno ulegać nagłym wahaniom pod kapryśnym tchnieniem przemijających mód. W takich burzach zginęłaby rychło wysoka jego wartość wychowawcza. Dobra i tęga logika powinna i nadal być jego podstawą. Definicja przez przykład jest zawsze potrzebna, lecz powinna ona przygotować definicję logiczną, nie powinna jej zastąpić; powinna przynajmniej budzić jej potrzebę w wypadkach, gdy prawdziwa definicja logiczna może być z pożytkiem wyłożona dopiero w nauczaniu wyższem.
Nie będzie między nami nieporozumienia co do tego, że to, co powiedziałem dzisiaj, nie oznacza zarzucenia tego, co napisałem gdzieindziej. Częstokroć miałem sposobność krytykowania niektórych definicji, które zalecam dzisiaj. Krytyki te podtrzymuję w całości. Definicje te mogą być jedynie prowizoryczne. Ale trzeba przez nie przejść.



Rozdział III.
Matematyka a Logika.

Wstęp.

Czy matematyka może zostać sprowadzona do logiki, czy może się obejść bez właściwych sobie zasad? Istnieje cała szkoła, pełna zapału i wiary, usiłująca wykazać, że tak jest. Posiada ona swój specjalny język, w którym niema słów, i który się posługuje jedynie znakami. Język ten jest rozumiany jedynie przez niewielką ilość wtajemniczonych, profani więc skłonni są ufać ich stanowczym orzeczeniom. Nie będzie, być może, bez pożytku rozpatrzenie nieco bliższe tych orzeczeń, aby przekonać się, czy wykluczający wszelkie wątpienie ich ton jest usprawiedliwiony.
Dla tym lepszego przecież zrozumienia natury kwestji, trzeba będzie wdać się w niektóre szczegóły historyczne, zwłaszcza przypomnieć charakter prac Cantora.
Oddawna już wprowadzone zostało do matematyki pojęcie nieskończoności; lecz nieskończoność ta była, mówiąc językiem filozofów, stawaniem się. Nieskończoność matematyczna była jedynie ilością, zdolną rosnąć ponad wszelkie granice; była to ilość zmienna, o której nie można było powiedzieć, że przekroczyła wszelkie granice, lecz że może je przekroczyć.
Cantor przedsięwziął wprowadzenie do matematyki nieskończoności aktualnej, to znaczy ilości, która nietylko jest zdolna przekroczyć wszelkie granice, lecz którą uważa się za taką, która je istotnie przekroczyła. Nasuwają się pytania w rodzaju następujących: Czy punktów w przestrzeni jest więcej niż liczb całkowitych? Czy w przestrzeni jest więcej punktów niż na płaszczyźnie? Itp.
Ilość liczb całkowitych, ilość punktów w przestrzeni itd. jest dla Cantora liczbą kardynalną nadskończoną, to znaczy liczbą kardynalną większą niż wszystkie zwykłe liczby kardynalne. Zajął się on następnie porównaniem tych liczb kardynalnych nadskończonych; przez ułożenie w odpowiednim porządku elementów zespołu, który zawiera ich nieskończoność, wymyślił on również liczby porządkowe nadskończone, nad któremi się nie będę tutaj rozwodził.
Liczni matematycy puścili się w jego ślady i postawili sobie szereg podobnych pytań. W takim stopniu spoufalili się z liczbami nadskończonemi, że w końcu doszli do uzależnienia teorji liczb skończonych od teorji liczb kardynalnych Cantora. Ich zdaniem prawdziwie logiczny wykład matematyki powinien rozpocząć od ustanowienia własności ogólnych liczb kardynalnych nadskończonych, i następnie wyodrębnić z pośród nich pewną malutką klasę — zwykłych liczb całkowitych. Dzięki tej okólnej drodze możnaby było dowieść wszystkich twierdzeń, dotyczących tej małej klasy (to znaczy całej naszej arytmetyki i algiebry), nie opierając się na żadnej zasadzie, nieobjętej logiką.
Metoda ta jest oczywiście przeciwna wszelkiej zdrowej psychologji; nie tak z pewnością postępował umysł ludzki, gdy budował matematykę; to też autorzy jej nie zamierzają, jak mniemam, wprowadzić ją do nauczania średniego. Ale czy jest ona przynajmniej logiczna, albo, mówiąc trafniej, czy jest poprawna? Wolno jest o tym wątpić.
Jednakże matematycy, którzy się nią posługiwali, są bardzo liczni. Nagromadzili wzory i wyzwolili się w swym mniemaniu od wszystkiego, co nie jest czystą logiką, przez napisanie rozpraw, w których wzory nie są przeplatane, jak to bywa w zwykłych książkach matematycznych, mową wyjaśniającą, lecz z których mowa ta zupełnie znikła.
Na nieszczęście doszli oni do wyników sprzecznych ze sobą, do tak zwanych antynomji cantorowskich, do których będziemy mieli sposobność powrócić. Sprzeczności te nie zniechęciły ich, pobudziły ich raczej do wprowadzenia zmian do stosowanych reguł tak, iżby ujawnione już sprzeczności zostały usunięte, co zresztą nie gwarantuje zupełnie od ukazania się sprzeczności nowych.
Czas jest poddać sprawiedliwemu sądowi te przesadne dążności. Nie mam nadziei, że przekonam ich wyznawców; gdyż zbyt długo żyli w tej atmosferze. Zresztą, kiedy obaliliście jeden z ich dowodów, możecie być pewni, że odrodzi się on jutro z nieznacznemi zmianami, i niektóre zpośród nich kilkakrotnie już powstawały z popiołów. Podobne są do starożytnej hydry lerneńskiej o słynnych, wciąż znowu odrastających głowach. Herkules dał sobie z nią radę, bo jego hydra miała dziewięć tylko czy też jedenaście głów; ale tutaj jest ich więcej, są one w Anglji, w Niemczech, we Włoszech, we Francji, i sam Herkules musiałby spasować. Odwołuję się przeto jedynie do ludzi zdrowego rozsądku bez uprzedzeń.

I.

W ostatnich latach ogłoszono wiele prac o matematyce czystej i filozofji matematyki, zmierzających do wywikłania i wyodrębnienia z rozumowania matematycznego pierwiastków logicznych. Prace te zanalizował i wyłożył z dużą jasnością Couturat w dziele zatytułowanym: »Zasady Matematyki«.
Zdaniem Couturat nowsze prace, zwłaszcza prace Russella i Peano ostatecznie, rozstrzygnęły tak długo ciągnący się spór między Leibnitzem a Kantem. Wykazali oni, że niemasz sądu syntetycznego a priori (jak Kant nazywał sądy których nie można dowieść analitycznie, ani sprowadzić do tożsamości, ani ustanowić doświadczalnie), wykazali, że matematyka daje się całkowicie sprowadzić do logiki, i że intuicja nie gra w niej żadnej roli.
To właśnie wyłożył Couturat w wymienionej powyżej książce; to samo wypowiedział wyraźniej jeszcze w mowie swojej na jubileuszu Kanta, czym spowodował mego sąsiada do zauważenia półgłosem: »Widać, że obchodzimy setną rocznicę śmierci Kanta«.
Czy możemy się podpisać pod tym ostatecznym wyrokiem? Nie sądzę, i spróbuję okazać, dlaczego.

II.

W nowej matematyce uderza nas przedewszystkiem czysto formalny jej charakter: »Pomyślmy, mówi Hilbert, trzy rodzaje rzeczy, które nazywać będziemy punktami, prostemi i płaszczyznami, umówmy się, że prosta będzie oznaczona przez dwa punkty, i że zamiast mówić, że ta prosta jest oznaczona przez dwa punkty, będziemy mogli mówić, że przechodzi ona przez te dwa punkty, albo też, że te dwa punkty leżą na tej prostej«. Nie tylko nie wiemy, czym są te rzeczy, lecz nie powinniśmy nawet próbować się tego dowiedzieć. Nie potrzebujemy tego, i ktoś, ktoby nigdy nie widział ani punktu, ani prostej, ani płaszczyzny, mógłby uprawiać gieometrję równie dobrze jak my. Niech wyrażenie przechodzić przez lub wyrażenie leżeć na nie wywołuje w nas żadnego obrazu, gdyż pierwsze jest poprostu synonimem wyrażenia być oznaczonym, drugie wyrażenia oznaczać.
Tak tedy, aby dowieść pewnego twierdzenia, nie jest potrzebne ani nawet pożyteczne wiedzieć, co ono oznacza. Możnaby zastąpić gieometrę przez fortepian do rozumowania, wymyślony przez Stanley Jevonsa; albo, jeśli wolicie, możnaby wymyślić maszynę taką, iż w jeden jej koniec wkładanoby pewniki, a z drugiego otrzymywanoby twierdzenia, podobnie jak do legiendarnej maszyny chicagoskiej wkłada się żywe wieprze a wydobywa szynki i kiełbasy. Matematyk nie potrzebuje więcej niż ta maszyna rozumieć, co robi.
Z tego formalnego charakteru jego gieometrji nie robię zarzutu Hilbertowi. Ku temu musiał dążyć wobec zagadnienia, jakie sobie postawił. Przedsięwziął on sprowadzić do minimum liczbę podstawowych pewników gieometrji i sporządzić zupełną ich listę; otóż w rozumowaniach, w których umysł nasz pozostaje czynnym, w których intuicja odgrywa jeszcze pewną rolę, w rozumowaniach, że tak powiem, żywych, trudno jest nie wprowadzić jakiegoś pewnika lub postulatu, któryby pozostał niedostrzeżony. Dlatego dopiero po sprowadzeniu wszystkich rozumowań gieometrycznych do postaci czysto mechanicznej mógł on mieć pewność, że spełnił swoje zamierzenie i wykończył swe dzieło.
Inni podjęli zrobienie dla arytmetyki i dla analizy tego, co Hilbert zrobił dla gieometrji. Czy jednak, nawet gdyby im się to całkowicie powiodło, równałoby się to ostatecznemu skazaniu kantystów na milczenie? Może niezupełnie — gdyż sprowadzenie myśli matematycznej do próżnej formy z całą pewnością myśl tę kaleczy. Przypuśćmy nawet, że dowiedziono, iż wszystkie twierdzenia można wyprowadzić zapomocą metod czysto analitycznych, zapomocą prostych kombinacji logicznych ze skończonej ilości pewników, i że pewniki te są jedynie umowami. Filozof miałby prawo dochodzić źródeł tych umów, badać, dlaczego uznano je za lepsze, niż umowy przeciwne.
Dalej, logiczna poprawność rozumowań, które prowadzą od pewników do twierdzeń, nie jest jedyną rzeczą, którą się mamy zajmować. Czy prawidła doskonałej logiki wyczerpują całą matematykę? Równałoby się to powiedzeniu, że sztuka szachisty sprowadza się do prawideł posuwania figur. W pośród wszystkich konstrukcji, które można skombinować z materjałów, jakich dostarcza logika, trzeba dokonać wyboru; prawdziwy gieometra dokonywa wyboru trafnie, bo kieruje nim określony instynkt lub niewyraźne poczucie jakiejś głębszej, bardziej ukrytej gieometrji, która jedynie nadaje wartość całej skonstruowanej budowli.
Poszukiwać źródło tego instynktu, badać prawa tej głębokiej gieometrji, które się czuje lecz których się nie formułuje, byłoby też pięknym zadaniem dla filozofów, którzy nie chcą, by logika była wszystkim. Nie z tego wszakże punktu widzenia chcę patrzeć, nie tak chcę postawić kwestję. Instynkt ten, o którym mówiłem powyżej, niezbędny jest dla tych, co tworzą, zdawaćby się jednak mogło, że możnaby się bez niego obejść przy uczeniu się danej już stworzonej nauki. Otóż chcę poddać zbadaniu, czy prawdą jest, że skoro przyjmiemy za dane zasady logiki, można już nie odkryć lecz dowieść wszystkich prawd matematycznych, nie odwołując się znowu do intuicji.

III.

Na pytanie to dałem dawniej już odpowiedź przeczącą (p. Nauka i Hypoteza, rozdział I); czy nowsze prace pobudzają nas zmienienia tej odpowiedzi? Jeśli odpowiedź moja brzmiała przecząco, to dlatego, że »zasada indukcji zupełnej« wydawała mi się niezbędną dla matematyka i niedającą się sprowadzić do logiki. Zasada ta, jak wiadomo ma następujące brzmienie:
»Jeśli pewna własność jest prawdziwa dla liczby 1, i jeśli ustanowimy, że jest ona prawdziwa dla n + 1 o ile jest prawdziwa dla n, tedy będzie ona prawdziwa dla wszystkich liczb całkowitych«. Upatrywałem w tej zasadzie rozumowania matematyczne par excellence. Nie chciałem przez to powiedzieć, jak mniemali niektórzy, że wszystkie rozumowania matematyczne dadzą się sprowadzić do zastosowania tej zasady. Bliższe nieco rozpatrzenie tych rozumowań wykazałoby nam, że stosują one wiele innych analogicznych zasad, posiadających te same cechy istotne. Zasada indukcji zupełnej jest tylko najprostszą ze wszystkich tej kategorji, i dlatego wybrałem ją, jako typ.
Nazwa zasady indukcji zupełnej, która się upowszechniła, nie jest trafna. Niemniej ten tryb rozumowania jest prawdziwą indukcją matematyczną, różniącą się od indukcji zwykłej jedynie swą pewnością.

IV.
Definicje i pewniki.

Istnienie takich zasad stanowi trudność dla nieprzejednanych logików; jakże dają sobie z nią radę? Zasada indukcji zupełnej, mówią oni, nie jest właściwym pewnikiem czyli sądem syntetycznym a priori; jestto poprostu definicja liczby całkowitej. Jestto więc prosta umowa. Ażeby roztrząsnąć ten pogląd, musimy zbadać nieco bliżej stosunki między definicjami a pewnikami.
Zajrzyjmy nasaprzód do artykułu Couturat o definicjach matematycznych, umieszczonego w czasopiśmie »l’Enseignement mathématique«, wydawanym przez księgarnie Gauthier-Villarsa w Paryżu i Georga w Gienewie. Znajdziemy w tym artykule rozróżnienie między definicją bezpośrednią i definicją przez postulaty.
»Definicja przez postulaty, mówi Couturat, stosuje się nie do jednego oddzielnego pojęcia lecz do układu pojęć; polega ona na wyliczeniu zależności podstawowych, które je łączą, i które wystarczają dla dowiedzenia wszystkich innych własności; zależności te są postulatami...«
Jeżeli uprzednio określono wszystkie te pojęcia prócz jednego, tedy to ostatnie będzie mocą definicji przedmiotem, czyniącym zadość tym postulatom.
Tak więc niektóre niedające się dowieść pewniki matematyczne miałyby być poprostu przebranemi definicjami. Stanowisko to jest często słuszne; i ja je podzielam w stosunku n. p. do postulatu Euklidesa.
Inne pewniki gieometrji nie wystarczają dla zupełnego określenia odległości; odległością jest tedy, mocą definicji, ta zpośród wszystkich wielkości, czyniących zadość tym innym pewnikom, dla której postulat Euklidesa jest prawdziwy.
Otóż logicy zapatrują się na zasadę indukcji zupełnej tak, jak ja na postulat Euklidesa, chcą w niej widzieć jedynie przebraną definicję.
Aby wszakże na to mieli prawo, muszą być spełnione dwa warunki. Stuart Mill powiedział, że każda definicja przypuszcza pewnik, opiewający, że definjowany przedmiot rzeczywiście istnieje. W tym rozumieniu nie pewnik byłby przebraną definicją lecz przeciwnie definicja — przebranym pewnikiem. Stuart Mill rozumiał wyraz »istnieć« w znaczeniu materjalnym i empirycznym; chciał on powiedzieć, że definjując koło, twierdzi się, że w przyrodzie istnieją rzeczy okrągłe.
W tej postaci niepodobna się zgodzić z jego poglądem. Matematyka jest niezależna od istnienia przedmiotów materjalnych; w matematyce wyraz »istnieć« może mieć jedno tylko znaczenie — znaczy on: być wolnym od sprzeczności. Z tą poprawką myśl Stuarta Milla staje się słuszną; definjując pewien przedmiot, twierdzimy, że definicja nie zawiera w sobie sprzeczności.
Jeżeli tedy mamy pewien układ postulatów i jeżeli potrafimy dowieść, że postulaty te nie zawierają sprzeczności, będziemy mieli prawo uważać je za definicję jednego z figurujących w nich pojęć. Jeżeli nie możemy tego dowieść, musimy to przyjąć bez dowodu, i to właśnie będzie pewnikiem; i w ten sposób, szukając definicji pod postulatem, znajdziemy znowu pewnik pod definicją.
Aby okazać, że definicja nie zawiera sprzeczności, posługujemy się najczęściej przykładem, usiłujemy znaleźć przykład przedmiotu, czyniącego zadość definicji. Weźmy definicję przez postulaty; chcemy zdefinjować pojęcie A i mówimy, że mocą definicji do kategorji A należy każdy przedmiot, dla którego pewne postulaty są prawdziwe. Jeżeli potrafimy dowieść bezpośrednio, że wszystkie te postulaty są prawdziwe dla pewnego przedmiotu B, definicja będzie usprawiedliwiona; przedmiot B będzie przykładem dla kategorji A. Będziemy mieli pewność, że postulaty nie są ze sobą sprzeczne, skoro istnieją wypadki, w których wszystkie one są prawdziwe.
Ale taki bezpośredni dowód przez przykład nie zawsze jest możliwy.
Ażeby ustanowić, że postulaty nie zawierają sprzeczności, trzeba wówczas rozpatrzeć wszystkie twierdzenia, jakie dają się wyprowadzić z tych postulatów, uważanych jako przesłanki, i wykazać, że pośród tych twierdzeń niema dwóch, z którychby jedno było w sprzeczności z drugim. Jeżeli ilość tych twierdzeń jest skończona, bezpośrednie sprawdzenie jest możliwe. Wypadek taki jest nieczęsty i mało zresztą interesujący.
Jeżeli ilość tych twierdzeń jest nieskończona, przeprowadzenie takiego bezpośredniego sprawdzenia nie jest możliwe; trzeba się uciec do sposobów dowodzenia, które zwykle będą się musiały powoływać na tę zasadę indukcji zupełnej, którą właśnie chce się poddać sprawdzeniu.
Wyłuszczyliśmy powyżej jeden z warunków, którym logicy winni uczynić zadość, i zobaczymy dalej, że tego nie zrobili.

V.

Istnieje inny ponadto warunek. Skoro dajemy definicję, to po to, by się nią posługiwać.
W dalszym więc ciągu wykładu znajdujemy zdefinjowany uprzednio wyraz; czy mamy prawo stosować do przedmiotu, który wyraz ten wyobraża, postulat, który nam posłużył jako definicja? Oczywiście, że tak, jeżeli tylko wyraz zachował to samo znaczenie, jeżeli nie przypisujemy mu domyślnie odmiennego znaczenia. Otóż zdarza się to niekiedy, i po większej części trudno jest to zauważyć; trzeba sprawdzić, w jaki sposób wyraz ten dostał się do naszego wykładu, i czy w samej rzeczy drzwi, przez które wszedł, nie wymagają innej definicji niż ta, która została sformułowana.
Trudność tę napotykamy we wszystkich zastosowaniach matematyki. Pojęcie matematyczne ujęliśmy w definicję oczyszczoną i ścisłą; i dla czystego matematyka niemasz miejsca na żadne wahanie; kiedy wszakże zechcemy je zastosować do nauk fizycznych n. p., natenczas mamy nie to czyste pojęcie lecz przedmiot konkretny, który jest częstokroć grubym tylko pojęcia tego obrazem. Mówiąc, że przedmiot ten czyni bodaj w przybliżeniu zadość definicji, wypowiadamy nową prawdę, którą wynieść ponad wątpliwość może jedynie doświadczenie, i która nie posiada już cech na umowie opartego postulatu.
Ale i w obrębie matematyki czystej napotyka się tę samą trudność.
Dajecie subtelną definicję liczby; poczym, gdy załatwiliście się z definicją, nie myślicie o niej więcej; albowiem w istocie nie z definicji tej dowiedzieliście się, co to jest liczba, wiedzieliście to oddawna, i kiedy później pióro wasze kreśli wyraz liczba, wkładacie weń tę samą treść, co każdy; żeby wiedzieć, jaka jest ta treść, i czy jest ona rzeczywiście ta sama w tym lub innym zdaniu, trzeba sprawdzić, jak zostaliście naprowadzeni na mówienie o liczbie i na wprowadzenie tego wyrazu do każdego z tych zdań. Nie będę się tutaj dłużej nad tym rozwodził, gdyż będę miał sposobność do tego powrócić.
Tak tedy niechaj będzie wyraz, który określiliśmy jawnie przez wyraźną definicję A; stosujemy go następnie w wykładzie naszym w sposób, przypuszczający domyślnie inną definicję B. Możliwe jest, że obie definicje oznaczają ten sam przedmiot. Ale jeżeli tak jest, jestto nowa prawda, której trzeba albo dowieść, albo którą trzeba przyjąć jako niezależny pewnik.
Zobaczymy poniżej, że logicy nie uczynili temu drugiemu warunkowi lepiej zadość niż pierwszemu.

VI.

Definicje liczby bardzo są liczne i bardzo rozmaite; zrzekam się wyliczenia nawet nazwisk ich autorów. Nie powinno nas to dziwić, że jest ich tak wiele. Gdyby jedna z nich była zadowalająca, nie kuszonoby się o dawanie nowych. Jeżeli każdy nowy filozof, który zajmował się tą kwestją, uważał za konieczne wynaleźć inną definicję, to dlatego, że nie był zadowolony z definicji swych poprzedników, a nie był zadowolony dlatego, że wydawało mu się, że zawierają one błędne koło.
Ilekroć czytałem prace, poświęcone temu zagadnieniu, miałem zawsze silne uczucie niepokoju; ustawicznie spodziewałem się potknięcia o błędne koło, a jeślim go odrazu nie zauważał, obawiałem się, żem źle patrzył.
Bo nie można dać definicji, nie formułując zdania, a trudno jest sformułować zdanie, do któregoby nie wchodził wyraz, oznaczający jakąś liczbę, albo przynajmniej wyraz »kilka«, albo przynajmniej jakiś wyraz w liczbie mnogiej. Znajdziemy się wówczas na śliskiej pochyłości, która w każdej chwili naraża na niebezpieczeństwo spadku w błędne koło.
Poniżej zatrzymam się na tych jedynie definicjach, w których błędne koło najzręczniej jest ukryte.

VII.
Pazygrafja.

Język symboliczny, stworzony przez Peano, odgrywa w nowych tych badaniach dużą bardzo rolę. Wprawdzie język ten posiada pewną pożyteczność, lecz zdaje mi się, że Couturat przywiązuje doń przesadną wagę, co wywołać musiało ździwienie u samego Peana.
Istotnym pierwiastkiem tego języka są pewne znaki algiebraiczne, przedstawiające poszczególne łączniki: jeżeli, i, albo, więc. Być może, że znaki te są dogodne; inną jest rzeczą, czy są one powołane do odnowienia całej filozofji. Trudno jest przypuścić, że wyraz jeżeli, skoro go napiszemy w postaci nabiera nowej jakiejś mocy.
Ten wynalazek Peana nazywał się dawniej pazygrafją t. j. sztuką napisania traktatu matematycznego bez użycia ani jednego wyrazu z języka pospolitego. Nazwa ta określała bardzo wyraźnie jej stosowalność. Później podniesiono ją do wybitniejszej godności, nadając jej tytuł logistyki. Wyrazu tego używają podobno w Szkole wojennej dla oznaczenia sztuki wachmistrzowskiej (po francusku maréchal des logis), sztuki prowadzenia i rozkładania obozem wojska; jasne przecież jest, że nowa logistyka nie ma z tą nic wspólnego, że nowa ta nazwa zdradza zamiar dokonania przewrotu w logice.
Nową tę metodę widzimy przy pracy w rozprawie matematycznej Burali-Fortiego: »Una Questione sui numeri transfiniti«, umieszczonej w tomie XI Rendiconti del circolo matematico di Palermo.
Przedewszystkim zaznaczam, że jestto rozprawa bardzo ciekawa, i jeśli biorę ją tutaj jako przykład, to właśnie dlatego, że jest ona najważniejszą ze wszystkich, napisanych w nowym języku. Zresztą mogą ją czytać i profani, dzięki tłumaczeniu włoskiemu, podanemu między wierszami.
Ważność tej rozprawy polega na tym, że zawiera ona pierwszy przykład owych antynomji, które napotykamy w badaniu liczb nadskończonych, i które od kilku lat przyprawiają matematyków o rozpacz. Celem tej rozprawki, mówi Burali-Forti, jest okazanie, że mogą istnieć dwie liczby nadskończone (porządkowe) a i b, takie, iż a nie jest równe b, ani większe, ani mniejsze.
Niechaj się czytelnik uspokoi: aby zrozumieć poniższe rozważania, nie ma on potrzeby wiedzieć, co to jest liczba porządkowa nadskończona.
Owóż Cantor właśnie dowiódł, że między dwiema liczbami nadskończonemi, podobnie jak między dwiema liczbami skończonemi, nie może zachodzić żaden inny stosunek prócz równości lub nierówności w tę lub inną stronę. Ale nie o treści tej rozprawy chcę tutaj mówić: chcę jedynie zająć się jej formą, i pytam właśnie, czy forma ta pozwala dużo zyskać pod względem ścisłości, i czy wynagradza ona przez to wysiłki, jakich wymaga od pisarza i od czytelnika.
Burali-Forti daje nam taką oto definicję liczby 1:

1 = ɩ T′Ko ⌒ (u, h) ε (u ε Jeden),

która to definicja wybitnie się nadaje do tego, aby dać pojęcie o liczbie 1 ludziom, którzy nigdy o liczbie tej nie słyszeli.
Zbyt mało znam język peański, by odważyć się na krytykę, ale mam obawę, czy definicja ta nie zawiera petitio principii, bo zauważam 1 w cyfrze w pierwszej części równości i jeden literami w drugiej.
Jakkolwiek jest, Burali Forti wychodzi z tej definicji i po krótkim rachunku otrzymuje równanie

(27) 1 ε No

które poucza nas, że Jeden jest liczbą.
Skoro już mówimy o tych definicjach pierwszych liczb, przypomnijmy, że Couturat określił również O i 1.
Co to jest zero? jestto ilość elementów klasy żadnej (classe nulle); a co to jest klasa żadna? jestto klasa nie zawierająca żadnego elementu.
Określać zero przez nul a nul przez żaden jestto doprawdy nadużywaniem bogactwa języka francuskiego; to też Couturat wprowadził do swojej definicji udoskonalenie przez to, że ją napisał tak oto:

0 = ɩΛ : φ x = Λ..Λ = (xεφx),

co znaczy po polsku: zero jestto ilość przedmiotów, czyniących zadość warunkowi, który nigdy nie jest spełniony.
Ponieważ jednak nigdy znaczy w żadnym razie, nie widzę, by postęp był bardzo znaczny.
Spieszę dodać, że definicja liczby 1, jaką daje Couturat, jest bardziej zadawalająca.
Jeden, mówi on, jestto ilość elementów klasy, której dwa jakiekolwiek elementy są identyczne.
Jest ona bardziej zadawalająca, rzekłem, w tym sensie, że dla określenia 1 nie posługuje się on wyrazem jeden; wzamian zato posługuje się wyrazem dwa. Otóż obawiam się, że gdyby zapytano Couturat, co to jest dwa, musiałby się on uciec do wyrazu jeden.

VIII.

Ale powróćmy do rozprawy Burali-Fortiego; powiedziałem, że wnioski jego znajdują się w bezpośredniej sprzeczności z wnioskami Cantora. Otóż pewnego dnia odwiedził mnie p. Hadamard, i rozmowa dotknęła tej antynomji.
»Czy rozumowanie Burali-Fortiego, powiedziałem mu, nie wydaje się panu bez zarzutu?
— Nie, przeciwnie, nie umiem nic zarzucić Cantorowi. Zresztą Burali-Forti nie miał prawa mówić o zespole wszystkich liczb porządkowych.

— Przepraszam, miał to prawo, bo mógł położyć
Ω = T′ (No, ε>).

Chciałbym wiedzieć, kto mógłby go od tego powstrzymać, i czyż można powiedzieć, że pewien przedmiot nie istnieje, skoro go nazwano Ω?«
Napróżno jednak, nie mogłem go przekonać (co zresztą byłoby smutne, bo on właśnie miał rację). Czy dlatego tylko żem nie mówił dość wymownie po peańsku? być może, choć, w gruncie rzeczy, myślę, że nie dlatego.
Tak więc, pomimo całego tego pazygraficznego aparatu, kwestja nie została rozwiązana. Czego to dowodzi? Dopóki idzie jedynie o okazanie, że jeden jest liczbą, pazygrafja wystarcza, lecz skoro nastręcza się trudność, skoro trzeba rozwiązać antynomję, pazygrafja staje się bezsilna.



Rozdział IV.
Nowe Logiki.
I.
Logika Russella.

Ażeby usprawiedliwić swe pretensje, logika musiała się przekształcić. Narodziły się nowe logiki, z pośród których najbardziej interesującą jest logika Russella. Mogłoby się zdawać, że o logice formalnej nie można napisać nic nowego, i że Arystoteles przejrzał ją do dna. Lecz pole, jakie Russell przypisuje logice, jest nieskończenie rozleglejsze niż pole logiki klasycznej, i powiodło mu się wypowiedzieć o tym przedmiocie poglądy oryginalne i niekiedy słuszne.
Przedewszystkim, podczas gdy logika Arystotelesa była przedewszystkim logiką klas, i za punkt wyjścia brała stosunek podmiotu do orzeczenia, Russell podporządkowuje logikę klas logice twierdzeń. Klasyczny sylogizm »Sokrates jest człowiekiem« itd. ustępuje miejsca sylogizmowi hypotetycznemu: Jeżeli A jest prawdziwe, B jest prawdziwe, otóż jeżeli B jest prawdziwe, C jest prawdziwe, i t. d. Jestto, moim zdaniem, bardzo fortunny pomysł, ponieważ klasyczny sylogizm daje się łatwo sprowadzić do sylogizmu hypotetycznego, gdy natomiast przekształcenie odwrotne nie daje się uskutecznić bez trudności.
Cowięcej: Russella logika twierdzeń jest badaniem praw, według których kombinują się spójniki jeżeli, i, albo i przeczenie nie. Stanowi to znaczne rozszerzenie dawnej logiki. Własności klasycznego sylogizmu rozciągają się bez trudności na sylogizm hypotetyczny, a w formach tego ostatniego łatwo jest rozpoznać formy scholastyczne; odnajduje się tedy wszystko, co jest istotne w logice klasycznej. Lecz teorja sylogizmu jest dopiero składnią spójnika jeżeli oraz, być może, przeczenia.
Przez dodanie dwu innych spójników i i albo Russell otwiera przed logiką nowe dziedziny. Znaki i, albo stosują się do tych samych praw, co znaki ✕ i +, to znaczy do praw przemienności, łączności i rozdzielności.
Tak i przedstawia mnożenie logiczne, gdy albo przedstawia dodawanie logiczne. I to również jest bardzo interesujące.
B. Russell dochodzi do wniosku, że z jakiegokolwiek twierdzenia fałszywego wynikają wszystkie inne twierdzenia prawdziwe lub fałszywe. Couturat powiada, że wniosek ten na pierwszy rzut oka wydawać się będzie paradoksalnym. Ale każdy, komu zdarzyło się poprawiać złą dysertację matematyczną, oceni, jak trafna jest uwaga Russella. Autor często potrzebuje znacznego mozołu, żeby dojść do pierwszego fałszywego równania, lecz skoro tylko je otrzymał, gromadzenie najbardziej zadziwiających rezultatów — z których ten lub ów może być nawet prawdziwy — idzie mu jak po maśle.

II.

Widzimy, o ile nowa logika jest bogatsza od logiki klasycznej; rozporządza ona liczniejszemi symbolami, które pozwalają na urozmaicone kombinacje, i ilość tych kombinacji nie jest, jak poprzednio, ograniczona. Czy ma się prawo nadać takie rozszerzone znaczenie wyrazowi logika? Próżnym byłoby zastanawiać się nad tą kwestją i toczyć przeciw Russellowi poprostu spór o słowa. Przyznajmy mu to, czego żąda; lecz nie dziwmy się, jeśli niektóre prawdy, które uznano za niedające się sprowadzić do samej logiki, w dawnym tego słowa znaczeniu, zostaną w ten sposób sprowadzone do logiki w znaczeniu nowym, zupełnie od tamtego różnym.
Wprowadziliśmy wiele nowych pojęć, które nie są prostemi kombinacjami dawnych; Russell zdawał też sobie z tego sprawę, i nietylko na początku rozdziału pierwszego, to jest logiki twierdzeń, lecz również na początku rozdziału drugiego i trzeciego, to jest logiki klas i zależności, wprowadził on nowe wyrazy, które uznał za niedające się zdefinjować.
Ponadto wprowadza on również zasady, które uznaje za niedające się dowieść. Ale te niedające się dowieść zasady to są odwołania się do intuicji, to sądy syntetyczne a priori. Uważaliśmy je za intuicyjne, kiedyśmy je napotykali mniej lub bardziej jawnie sformułowane w wykładach matematyki; czyż zmieniła się ich natura przez rozszerzenie się znaczenia wyrazu logika i dlatego, że znajdujemy je teraz w książce, zatytułowanej: »Traktat logiki«? Charakter ich się nie zmienił; zmieniło się jedynie ich miejsce.

III.

Czy zasady te możnaby uważać za przebrane definicje? W tym celu trzebaby móc dowieść, że nie zawierają one w sobie sprzeczności. Trzebaby dowieść, że jakkolwiek daleko przedłużyłoby się szereg dedukcji, nie naraziłoby się nigdy na sprzeczność.
Możnaby spróbować rozumować, jak następuje: Możemy sprawdzić, że działania nowej logiki, zastosowane do przesłanek wolnych od sprzeczności muszą dać wyniki również wolne od sprzeczności. Jeżeli przeto po n działaniach nie napotkamy sprzeczności, nie napotkamy jej również i po n+1. Niemożliwe jest przeto, żeby była chwila, kiedy sprzeczność się zaczyna, co dowodzi, że jej nie napotkamy nigdy. Czy mamy prawo tak rozumować? Nie — bo opieralibyśmy się na indukcji zupełnej; a zasady indukcji zupełnej — nie zapominajmy o tym — jeszcze nie znamy.
Nie mamy zatym prawa uważać te pewniki za przebrane definicje, i pozostaje nam jedno tylko wyjście: dla każdego z nich musimy przyjąć nowy akt intuicji. Taka też jest, jak sądzę, myśl Russella i Couturat.
Tak więc każde z dziewięciu niedających się zdefinjować pojęć, i z dwudziestu niedających się dowieść twierdzeń (myślę, że gdybym to ja je liczył, dorachowałbym się kilku więcej), które stanowią podstawę nowej logiki, logiki w znaczeniu szerokim, wymaga nowego i niezależnego aktu naszej intuicji i, czemu tego nie powiedzieć, prawdziwego sądu syntetycznego a priori. Co do tego punktu wszyscy zdają się być w zgodzie, ale Russell utrzymuje — i to wydaje mi się wątpliwym, że po tych odwołaniach się do intuicji rola jej się kończy; nie będzie już nigdy potrzeby ponownego odwoływania się do niej, i można będzie ukonstytuować całą matematykę, nie wprowadzając żadnego nowego elementu.

IV.

Couturat powtarza często, że ta nowa logika jest zupełnie niezależna od pojęcia liczby. Nie będę się bawił liczeniem, ile jego wykład zawiera przymiotników liczbowych zarówno kardynalnych jak porządkowych lub przymiotników nieoznaczonych, jak »kilka«. Przytoczmy przecież parę przykładów:
»Iloczyn logiczny dwu lub kilku twierdzeń jest...«;
»Wszystkie twierdzenia mogą posiadać jedynie dwie wartości, mogą być prawdziwe lub fałszywe«;
»Iloczyn względny dwu zależności jest zależnością«;
»Zależność zachodzi między dwu wyrazami«; itd. itd.
Niekiedy nie byłoby niemożliwym ominięcie tej niedogodności, ale też niekiedy stanowi ona istotę rzeczy. Zależność nie da się rozumieć bez dwu wyrazów; niepodobna mieć intuicję zależności bez jednoczesnej intuicji obu jej wyrazów i bez stwierdzenia, że jest ich dwa, albowiem warunkiem właśnie, żeby zależność można było pojąć, jest, aby wyrazów było dwa i tylko dwa.


V.
Arytmetyka.

Dochodzimy do tak nazwanej przez Couturat teorji porządkowej, która jest podstawą właściwej arytmetyki. Couturat zaczyna od sformułowania pięciu pewników Peana, które są niezależne, jak tego dowiedli Peano i Padoa.
1. Zero jest liczbą całkowitą.
2. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby całkowitej.
3. Następnikiem liczby całkowitej jest liczba całkowita, do czego należałoby dodać:
każda liczba całkowita posiada następnik.
4. Dwie liczby całkowite są równe, jeżeli ich następniki są równe.
5-tym pewnikiem jest zasada indukcji zupełnej.
Couturat uważa te pewniki za przebrane definicje; stanowią one definicję przez postulaty: zera, »następnika« i liczby całkowitej.
Lecz widzieliśmy, że definicja przez postulaty wówczas tylko się nadaje, jeśli można dowieść, że nie zawiera ona w sobie sprzeczności.
Czy tak się rzeczy tutaj mają? Bynajmniej.
Dowodu nie można przeprowadzić przez przykład. Niemożna wybrać części liczb całkowitych np. trzy pierwsze, i okazać, że czynią one zadość definicji.
Jeżeli wezmę serję O, 1, 2 widzę wprawdzie, że czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5; ale żeby czyniła zadość pewnikowi 3, trzeba jeszcze, żeby 3 było liczbą całkowitą a więc, żeby serja 0, 1, 2, 3 czyniła zadość pewnikom; jakoż czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5, lecz pewnik 3 wymaga nadto, żeby 4 było liczbą całkowitą, i żeby serja 0, 1, 2, 3, 4 czyniła zadość pewnikom, i tak dalej.
Jest tedy niemożliwym przeprowadzenie dowodu pewników dla kilku liczb całkowitych bez przeprowadzenia tego dowodu dla wszystkich; trzeba się zrzec dowodu przez przykład.
Trzeba zatym wziąć wszystkie konsekwencje naszych pewników i zobaczyć, czy niema w nich sprzeczności. Gdyby ilość tych konsekwencji była skończona, byłoby to łatwe; ale jest ich nieskończoność; jestto cała matematyka albo przynajmniej cała arytmetyka.
Cóż tedy robić? Ostatecznie możnaby, być może, powtórzyć rozumowanie z Nr. III.
Ale, jak powiedzieliśmy, rozumowanie to jest indukcją zupełną, a idzie właśnie o sprawdzenie zasady indukcji zupełnej.

VI.
Logika Hilberta.

Przystąpmy z kolei do kapitalnej pracy Hilberta, którą przedstawił kongresowi matematyków w Heidelbergu, i której przekład francuski, dokonany przez Piotra Boutroux pojawił się w Enseignement mathematique jednocześnie z przekładem angielskim Halsteda w The Monist. W pracy tej, zawierającej myśli wielkiej głębokości, autor kładzie sobie cel podobny do celu Russella, lecz odchyla się w wielu punktach od swego poprzednika.
»Jednakże, mówi on, jeśli patrzeć zbliska, to okaże się, że w zasadach logicznych w postaci, jaką się im zwykle nadaje, tkwią już pewne pojęcia arytmetyczne, np. pojęcie Zespołu i, w pewnej mierze, pojęcie Liczby. W ten sposób wpadamy w błędne koło, i dlatego to, aby usunąć możliwość jakiegokolwiek paradoksu, zdawało mi się koniecznym rozwinąć jednocześnie zasady Logiki i zasady Arytmetyki«.
Widzieliśmy wyżej, że to, co mówi Hilbert o zasadach Logiki w postaci, jaką się im zwykle nadaje, stosuje się również do logiki Russella. Tak tedy dla Russella Logika poprzedza Arytmetykę; dla Hilberta są one »jednoczesne«. Znajdziemy później inne, bardziej jeszcze głębokie różnice. Wskażemy na nie w miarę ich ujawniania się, tymczasem wolę śledzić krok za krokiem rozwój myśli Hilberta, przytaczając dosłownie najważniejsze ustępy.
»Rozważmy przedewszystkiem przedmiot 1«. Stwierdźmy, że postępując w ten sposób, nie przypuszczamy zgoła pojęcie liczby, gdyż 1 jest dla nas poprostu symbolem, którego znaczenie nic nas nie obchodzi. »Grupy utworzone zapomocą tego przedmiotu przez powtórzenie go dwa, trzy, kilka razy...« Otóż tym razem jest już inaczej: skoro wprowadzamy wyrazy dwa, trzy i zwłaszcza kilka, wprowadzamy pojęcie liczby; i definicja liczby całkowitej skończonej, którą znajdziemy za chwilę, będzie nieco spóźniona. Autor był o wiele za przenikliwy, żeby nie dostrzec tego petitio principii. Toteż pod koniec swej pracy usiłuje on naprawić to zapomocą istnego gipsowania.
Hilbert wprowadza następnie dwa proste przedmioty 1 i = i rozpatruje wszystkie kombinacje tych dwu przedmiotów, wszystkie kombinacje ich kombinacji itd. Rozumie się samo przez się, że trzeba zapomnieć zwykłe znaczenie tych dwu znaków i nie przypisywać im żadnego. Dzieli on następnie te kombinacje na dwie klasy, na klasę istot i na klasę nie-istot, i aż do dalszych założeń podział ten jest całkowicie dowolny; wszelkie twierdzenie twierdzące mówi nam, że dana kombinacja należy do klasy istot; wszelkie twierdzenie przeczące mówi, że pewna kombinacja należy do klasy nie-istot.

VII.

Zaznaczmy teraz różnicę najwyższej doniosłości. Dla Russella przedmiot jakikolwiek, który oznacza on przez x, jestto przedmiot zupełnie nieoznaczony, co do którego nie przypuszcza on nic; dla Hilberta jestto jedna z kombinacji, utworzonych z symbolów 1 i =; nie pojmuje on wprowadzania czegokolwiek innego prócz kombinacji przedmiotów już zdefinjowanych. Hilbert formułuje zresztą swą myśl w sposób najwyraźniejszy, i uważam za konieczne przytoczyć in extenso odnośny ustęp. »Wyrazy nieoznaczone, figurujące w pewnikach (zamiast wyrazów »jakikolwiek« lub »wszystkie« logiki zwykłej) wyobrażają wyłącznie ogół przedmiotów i kombinacji, któreśmy już posiedli w obecnym stanie teorji, lub które właśnie wprowadzamy. Kiedy przeto wyprowadzać się będzie twierdzenia z danych pewników, na miejsce tych nieoznaczonych będzie się miało prawo wstawiać jedynie te przedmioty i ich kombinacje. Nie trzeba będzie również zapominać, że, kiedy zwiększamy ilość przedmiotów podstawowych, pewniki zostają tym samym rozszerzone, i dlatego powinny być znowu poddane próbie i ewentualnie ulec modyfikacjom«.
Pogląd ten stanowi zupełny kontrast w stosunku do zapatrywań Russella. Dla tego filozofa można zastąpić x nietylko przez przedmioty znane, lecz przez cokolwiek. Russell jest wierny swemu stanowisku, które jest stanowiskiem zrozumiałości [de la compréhension]. Wychodzi on z ogólnej idei istnienia i bogaci ją coraz więcej, zarazem ją zwężając, dodając jej nowe własności. Hilbert natomiast uznaje za istoty możliwe jedynie kombinacje przedmiotów już znanych; dlatego (uwzględniając jedną ze stron jego myśli) możnaby powiedzieć, że staje on na stanowisku rozciągłości [de l’extension].

VIII.

Ciągnijmy dalej wykład idej Hilberta. Wprowadza on dwa pewniki, które wyraża w swoim języku symbolicznym, a które w języku takich profanów, jak my, oznaczają, że wszelka ilość jest równa samej sobie, i że wszelkie działanie, dokonane na dwu tożsamych ilościach, daje wyniki tożsame. W takim sformułowaniu pewniki te są oczywiste, lecz przedstawienie ich w takiej postaci jest zdradą w stosunku do myśli Hilberta: według niego zadaniem matematyki jest jedynie kombinowanie czystych symbolów, i prawdziwy matematyk powinien operować niemi, nie troszcząc się o ich znaczenie. To też jego pewniki nie są dla niego tym, czym są dla zwykłego człowieka.
Uważa je on jako definicję przez postulaty symbolu =, dotychczas pozbawionego wszelkiego znaczenia. Lecz aby uprawnić tę definicję, trzeba okazać, że owe dwa pewniki nie prowadzą do żadnej sprzeczności.
W tym celu Hilbert posługuje się rozumowaniem z § III, nie zdając sobie, jak się zdaje, sprawy z tego, że stosuje indukcję zupełną.

IX.

Koniec rozprawy Hilberta jest całkiem enigmatyczny — nie będziemy się też nad nim obszerniej zastanawiali. Roi się tu od sprzeczności; czuje się, że autor posiada niejasną świadomość petitio principii, jakie popełnił, i że usiłuje on napróżno zagipsować pęknięcia swego rozumowania.
Cóż to mówi? W chwili, kiedy ma dowieść, że definicja liczby całkowitej zapomocą pewnika indukcji zupełnej nie zawiera w sobie sprzeczności, Hilbert wymyka się, jak wymknęli się Russell i Couturat, bo trudności tej niemoże podołać.

X.
Gieometrja.

Gieometrja, mówi Couturat, jest obszerną zamkniętą w sobie nauką, w której nie napotyka się wcale zasady indukcji zupełnej. Jestto słuszne w pewnej tylko mierze, nie można powiedzieć, że się jej nie napotyka wcale, lecz, że się ją napotyka mało. Jeżeli odniesiemy się do Rational Geometry Halsteda (New-York, John Wiley and Sons, 1904), ułożonej według zasad Hilberta, napotkamy zasadę indukcji zupełnej po raz pierwszy na str. 114 (o ile nie szukałem źle, co jest bardzo możliwe).
Tak więc gieometrja, która przed paru zaledwie laty zdawała się dziedziną, w której panowanie intuicji było bezsporne, jest dziś obszarem, na którym zdają się trjumfować logistycy. Fakt ten jest najlepszą miarą doniosłości prac gieometrycznych Hilberta i głębokiej pieczęci, jaką prace te pozostawiły na naszych pojęciach.
Nie poddawajmy się przecież złudnemu wrażeniu. Jakież jest w gruncie rzeczy twierdzenie podstawowe Gieometrji? Że pewniki Gieometrji nie zawierają w sobie sprzeczności, a tego nie można dowieść bez zasady indukcji.
Jak Hilbert dowodzi tego podstawowego punktu? Opierając się na Analizie, a przez nią na Arytmetyce, a przez nią na zasadzie indukcji.
I jeśli kiedykolwiek zostanie wynaleziony inny dowód, trzeba będzie znowu oprzeć się na tej zasadzie, boć ilość możliwych konsekwencji pewników, które mają nie być ze sobą w sprzeczności, jest nieskończona.

XI.
Konkluzja.

Konkluzją naszą jest przedewszystkim, że zasady indukcji zupełnej nie można uważać za przebraną definicję liczby całkowitej.
Oto trzy prawdy:
Zasada indukcji zupełnej;
Postulat Euklidesa;
Prawo fizyczne, według którego fosfor topnieje przy 44° (przytoczona przez Le Roy).
Mówią: są to trzy przebrane definicje, pierwsza jest definicją liczby całkowitej, druga linji prostej, trzecia fosforu.
Przyznaję to w wypadku drugiej, nie przyznaję pierwszej ani trzeciej, i wytłumaczę racje tej pozornej niekonsekwencji.
Przedewszystkim widzieliśmy, że definicja nadaje się o tyle tylko, o ile jest dowiedzione, że nie zawiera ona sprzeczności. Wykazaliśmy również, że dla pierwszej definicji dowód ten jest niemożliwy; co do drugiej, to przypomnieliśmy właśnie przed chwilą, że Hilbert przeprowadził w zupełności ten dowód.
Co do trzeciej, to jasne jest, że nie tkwi w niej sprzeczność: ale czy znaczy to, że ta definicja gwarantuje należycie istnienie zdefinjowanego przedmiotu? Jesteśmy tu już nie w naukach matematycznych, lecz w naukach fizycznych, i wyraz istnienie posiada tu znaczenie odmienne, nie oznacza on braku sprzeczności, lecz istnienie objektywne.
Jestto pierwsza racja, dlaczego robię różnicę między owemi trzema wypadkami; istnieje nadto racja druga. Czy w procesie stosowania tych trzech pojęć występują one, jako zdefinijowane przez te trzy postulaty?
Zastosowania możliwe zasady indukcji zupełnej są niezliczone; weźmy np. jedno z wyłożonych wyżej, to, w którym usiłuje się ustanowić, że dany zbiór pewników nie może doprowadzić do sprzeczności. W tym celu rozważa się jeden z szeregów sylogizmów, które można snuć, wychodząc z tych pewników, jako z przesłanek.
Kiedy dokończyło się n-go sylogizmu, widzi się, że można zbudować jeszcze jeden, będzie to n+1-y; tak więc liczba n służy do liczenia szeregu kolejnych działań, jestto liczba, którą można otrzymać drogą kolejnych dodawań. Jestto zatym liczba, od której można wznieść się do jedności drogą kolejnych odejmowań. Byłoby to oczywiście niemożliwe, gdyby zachodziła równość n = n - 1, gdyż w takim razie otrzymywalibyśmy przez odejmowanie ciągle tę samą liczbę. Tak więc sposób, w jaki zostaliśmy naprowadzeni na rozważanie tej liczby n, przypuszcza definicję liczby całkowitej skończonej, mianowicie definicji następującej: liczbą całkowitą skończoną jest liczba, którą można otrzymać przez kolejne dodawania, liczba taka, że n nie jest równe n-1.
Poczym, co robimy? Okazujemy, że jeżeli nie było sprzeczności przy n-ym sylogizmie, nie będzie jej również przy n+1-ym, i wnosimy, że jej nie będzie nigdy. Mówicie: mam prawo tak wnioskować, ponieważ liczby całkowite są mocą definicji takiemi, dla których podobne rozumowanie jest uprawnione; ale to przypuszcza inną definicję liczby całkowitej, mianowicie następującą: liczbą całkowitą jest liczba, do której można stosować rozumowanie przez rekurencję; w danym razie jestto liczba, o której można powiedzieć, że, jeżeli brak sprzeczności w chwili sylogizmu, którego numer jest liczbą całkowitą, pociąga za sobą brak sprzeczności w chwili sylogizmu, którego numer jest następną liczbą całkowitą, to nie będzie sprzeczności w żadnym sylogizmie, którego numer jest liczbą całkowitą.
Dwie te definicje nie są tożsame; zapewne, są one równoważne, lecz są takiemi mocą sądu syntetycznego a priori; nie można przejść od jednej do drugiej drogą czysto-logiczną. Dlatego nie mamy prawa przyjąć drugiej definicji, wprowadziwszy liczbę całkowitą drogą, która przypuszcza pierwszą.
Jakże natomiast rzeczy się mają w wypadku linji prostej? Tłumaczyłem to już tyle razy, że waham się powtórzyć się raz jeszcze; ograniczę się zwięzłym streszczeniem mojej myśli.
Nie mamy tu, jak w wypadku poprzednim, dwu równoważnych definicji, niedających się logicznie do siebie sprowadzić. Mamy tylko jedną, dającą się wyrazić słowami. Czyżbyśmy mieli drugą, którą czujemy, nie będąc w stanie jej sformułować, przez to, że posiadamy intuicję linji prostej, albo, że wyobrażamy sobie linję prostą? Przedewszystkim nie możemy jej sobie wyobrazić w przestrzeni gieometrycznej, lecz jedynie w przestrzeni wyobrażeniowej, nadto zaś możemy sobie wyobrazić równie dobrze przedmioty, posiadające inne własności linji prostej prócz czynienia zadość postulatowi Euklidesa. Przedmiotami temi są »proste nie-eukildesowe«, które z pewnego stanowiska nie są istnościami bez konkretnej treści, lecz kołami (prawdziwemi kołami prawdziwej przestrzeni) ortogonalnemi do pewnej kuli. Jeżeli z pośród tych przedmiotów, jednakowo dostępnych dla wyobraźni, prostemi nazwiemy pierwsze (proste euklidesowe), nie zaś drugie (proste nie-euklidesowe), to dzieje się to poprostu mocą definicji.
A w sprawie trzeciego przykładu, definicji fosforu, to jasne jest, że prawdziwa definicja brzmiałaby tak oto: Fosfor jestto ów kawałek materji, który widzę w tamtej flaszeczce.

XII.

Skoro już mówię o tym przedmiocie, jeszcze jedno słowo. O przykładzie fosforu powiedziałem: »Twierdzenie to jest prawdziwym sprawdzalnym prawem fizycznym, gdyż znaczy ono: wszystkie ciała, posiadające wszystkie inne własności fosforu prócz jego punktu topliwości, topnieją jak on, przy 44°«. Na co mi odpowiedziano: »Nie, prawo to nie jest sprawdzalne, albowiem, gdyby sprawdzono, że dwa ciała podobne do fosforu topnieją jedno przy 44° drugie przy 50°, możnaby zawsze powiedzieć, że prócz punktu topliwości istnieje jeszcze jakaś inna nieznana własność, która je od siebie odróżnia«.
Otóż chciałem powiedzieć niezupełnie to, — powinien byłem napisać: Wszystkie ciała, które posiadają takie a takie własności w ilości skończonej (mianowicie własności fosforu, wyliczone w wykładach chemji, z wyłączeniem punktu topliwości), topnieją przy 44°.
Dla tym lepszego unaocznienia różnicy między wypadkiem prostej a wypadkiem fosforu, zróbmy jedną jeszcze uwagę. Prosta posiada w przyrodzie kilka wizerunków mniej lub bardziej niedoskonałych, z których najważniejszemi są promienie świetlne i oś obrotu ciała stałego. Przypuśćmy, że stwierdzono, że promień świetlny nie czyni zadość postulatowi Euklidesa (np. przez okazanie, że pewna gwiazda posiada paralaksę ujemną) — cóż zrobimy wówczas? Czy wywnioskujemy, że prosta, która jest mocą definicji drogą światła, nie czyni zadość postulatowi, czy też, przeciwnie, że ponieważ prosta czyni mocą definicji zadość postulatowi, promień nie jest prostolinijny?
Zapewne, wolno nam przyjąć tę lub tamtą definicję, a przeto i ten lub tamten wniosek; lecz przyjęcie pierwszej byłoby głupie, bo promień świetlny czyni prawdopodobnie zadość w sposób niedoskonały nietylko postulatowi Euklidesa lecz i innym własnościom linji prostej; że, jeśli odchyla się on od prostej euklidesowej, to w nie mniejszej mierze odchyla się od osi obrotu ciał stałych, która jest innym niedoskonałym wizerunkiem linji prostej, wreszcie podlega on zapewne zmianom, tak iż linja, która była prostą wczoraj, przestanie nią być jutro, jeśli się zmieni ta lub inna okoliczność fizyczna.
Przypuśćmy teraz, że zostanie zrobione odkrycie, iż fosfor nie topnieje przy 44°, lecz przy 43-9°. Czy wywnioskujemy stąd, że, skoro fosfor jest mocą definicji ciałem, topniejącym przy 44°, ciało obecne nie jest prawdziwym fosforem, albo też, przeciwnie, że fosfor topnieje istotnie przy 43-9°?
I tutaj wolno nam jest przyjąć tę lub inną definicję, a więc i ten lub inny wniosek; ale przyjąć pierwszą definicję byłoby postępkiem głupim, ponieważ nie można zmieniać za każdym razem nazwy ciała, ilekroć oznaczy się nowy znak dziesiętny jego punktu topliwości.

XIII.

W rezultacie próby Russella i Hilberta są owocem dużego nakładu siły; każdy z nich napisał książkę, pełną poglądów oryginalnych, głębokich i często bardzo trafnych. Książki te dadzą nam dużo materjału do rozmyślań i dużo możemy się z nich nauczyć. Pośród wyników, do których doszli, pewna ilość, duża nawet ilość, jest ugruntowana i zachowa trwałą wartość.
Ale mniemanie, że rozstrzygnęli oni ostatecznie spór między Kantem a Leibnitzem i obalili kantowską teorję matematyki, jest oczywiście niesłusznym. Nie wiem, czy istotnie takie było ich przeświadczenie, lecz jeśli tak było, tedy byli oni w błędzie.


Rozdział V.
Ostatnie wysiłki Logistyków.
I.

Logistycy chcieli odpowiedzieć na poprzedzające rozważania. W tym celu zmuszeni byli przekształcić Logistykę, zwłaszcza Russell zmodyfikował w pewnych punktach pierwotne swe poglądy. Nie wkraczając w szczegóły tej dyskusji, chciałbym powrócić do dwu najważniejszych w moim rozumieniu pytań: czy reguły Logistyki dały dowód swej płodności i nieomylności? Czy prawdą jest, że pozwalają one dowieść zasady indukcji zupełnej bez żadnego odwoływania się do intuicji?

II.
Nieomylność Logistyki.

Co do płodności Logistyki, to zdaje się, że Couturat żywi naiwne złudzenia. Logistyka, mówi on, obdarza wynalazczość »szczudłami i skrzydłami«, i na stronicy następnej: »Dziesięć lat upływa, jak Peano ogłosił pierwsze wydanie swego Formularza«.
Jakżeto, już dziesięć lat macie skrzydła, i jeszczeście nie latali!
Mam najwyższy szacunek dla Peano, który zrobił bardzo ładne rzeczy (że przypomnę jego krzywą, zapełniającą całe pole); ale ostatecznie nie posunął się on ani dalej, ani wyżej, ani szybcej, niż większość matematyków bezskrzydłych, i mógłby był zrobić to równie dobrze za pomocą swych nóg.
Przeciwnie, widzę w logistyce jedynie pęta dla twórcy; bynajmniej nie pozwala nam ona zyskać na zwięzłości, i jeśli potrzeba 27 równań, by okazać, że 1 jest liczbą, to ileż ich będzie potrzeba, by dowieść prawdziwego twierdzenia? Jeżeli z Whiteheadem odróżniać będziemy indywiduum x, klasę, której jedynym członkiem jest x, i która nazywać się będzie x, dalej klasę, której jedynym członkiem jest klasa, której jedynym członkiem jest x, i która nazywać się będzie iix, to czyż te rozróżnienia, przy całej swej użyteczności, zaprawdę ulżą naszemu lotowi?
Logistyka zmusza nas do wypowiedzenia wszystkiego, co się zwykle przypuszcza domyślnie; zmusza nas ona do posuwania się krok za krokiem; jestto, być może, pewniejsze, lecz nie jest szybsze.
Nie skrzydła dajecie nam — prowadzicie nas raczej na pasku. Przeto mamy prawo żądać, żeby pasek ten chronił nas od upadku. Za tę tylko cenę możemy się nań zgodzić. Jeżeli papier wartościowy nie przynosi wielkich procentów, to musi on przynajmniej być tak pewny, jak pierwsza hypoteka.
Czy trzeba stosować się ślepo do waszych reguł? Zapewne, gdyż inaczej musielibyśmy kierować się intuicją przy ocenie ich wartości; skoro tak, tedy muszą one być nieomylne; ślepe zaufanie można żywić jedynie do nieomylnego autorytetu. Jestto zatym dla was nieodpartą koniecznością. Będziecie nieomylni — albo was nie będzie.
Nie macie prawa nam powiedzieć: »Mylimy się, przyznajemy to ale i wy się mylicie«. Dla nas mylić się jest nieszczęściem, bardzo wielkim nieszczęściem, — dla was jest to śmiercią.
Nie mówcie też: czyż nieomylność arytmetyki wyklucza błędy w dodawaniu? reguły rachunku są nieomylne, — mylą się ci, co nie stosują tych reguł; sprawdzenie ich rachunków wskaże odrazu, w jakiej chwili odchylili się od tych reguł. Tutaj jest zupełnie inaczej; logistycy zastosowali swoje reguły — i popadli w sprzeczności; i jestto w takim stopniu słuszne, że zabierają się oni do zmienienia swych reguł i »porzucenia pojęcia klasy«. I czemuż je zmieniać, jeśli są nieomylne?
»Nie jesteśmy zobowiązani, mówicie, do rozwiązywania hic et nunc wszelkich możliwych zagadnień«. Och, nie wymagamy od was aż tyle! jeśli nie dacie żadnego rozwiązania danego zagadnienia, nie zrobimy wam z tego najmniejszego zarzutu; lecz wy, przeciwnie, dajecie nam dwa rozwiązania i to ze sobą sprzeczne, tak iż jedno przynajmniej z nich jest fałszywe, i to właśnie jest bankructwem.
Russell usiłuje pogodzić te rzeczy sprzeczne, co, jego zdaniem, jest możliwe jedynie za cenę »zwężenia lub nawet porzucenia pojęcia klasy«. A Couturat, dyskontując powodzenie tej próby, dodaje: »Jeżeli logistycy podołają temu, co było ponad siły innych, Poincare raczy przypomnieć sobie to zdanie, i zasługę rozwiązania przypisać Logistyce«.
Ależ nie: Logistyka istnieje, posiada ona swój kodeks, który wyszedł już w czterech wydaniach; albo raczej kodeks ten jest samą Logistyką. Czy Russell zamierza wykazać, że jedno przynajmniej z dwu sprzecznych rozumowań przekroczyło nakazy tego kodeksu? Bynajmniej — chce on zmienić te prawa, znieść pewną ich ilość. Jeśli mu się to powiedzie, przypiszę tego zasługę intuicji Russella, nie Logistyce peańskiej, którą on tym samym obali.

III.
Prawo do sprzeczności.

Definicji liczby całkowitej, przyjętej przez Logistyków, postawiłem dwa główne zarzuty. Cóż odpowiada Couturat na pierwszy z tych zarzutów?
Co znaczy w matematyce wyraz istnieć? znaczy on, powiedziałem, być wolnym od sprzeczności. Couturat jest innego zdania: »Istnienie logiczne, mówi, jest czymś zupełnie innym, niż brakiem sprzeczności. Polega ono na fakcie, że pewna klasa nie jest próżna: powiedzieć: istnieją a — znaczy to, mocą definicji, twierdzić, że klasa a nie jest zerem«. Zapewne też twierdzić, że klasa a nie jest zerem, jestto, mocą definicji, twierdzić, że istnieją a. Lecz jedno z tych twierdzeń jest równie pozbawione sensu jak drugie, o ile obydwa nie znaczą, albo że można widzieć i dotykać a, co jest sensem, jaki im nadają fizycy i przyrodnicy, albo, że można operować pojęciem a, nie popadając w sprzeczności, co jest sensem, jaki im nadają logicy i matematycy.
Dla Couturat nie brak sprzeczności dowodzi istnienia lecz istnienie dowodzi braku sprzeczności. Ażeby ustanowić istnienie pewnej klasy, trzeba przeto ustanowić przez przykład, że istnieje indywiduum, należące do tej klasy. »Ale, powie kto, jakże się dowodzi istnienia tego indywiduum? Czy istnienie to nie musi być ustanowione, aby można zeń było wyprowadzić istnienie klasy, do której ono należy? Otóż nie; jakkolwiek się to może wydawać paradoksalnym, nie dowodzi się nigdy istnienia indywiduum. Indywidua, przez to samo, że są indywiduami, są zawsze uważane za istniejące. Nigdy nie zachodzi potrzeba wyrażenia, że indywiduum istnieje w znaczeniu absolutnym, lecz jedynie, że istnieje ono w pewnej klasie«. Couturat uważa swe własne powiedzenie za paradoksalne, nie będzie on z pewnością sam jeden tylko tego zdania. Musi ono przecie mieć jakiś sens; chce on zapewne powiedzieć, że istnienie indywiduum, które byłoby samo jedne na świecie, i o którym nie twierdzi się nic, nie może doprowadzić do sprzeczności; dopóki będzie ono samo, nie będzie ono oczywiście nikomu zawadzało. Niechajże będzie: przypuścimy istnienie indywiduum »w znaczeniu absolutnym«, ale nie będziemy mogli nic z nim począć; wypadnie wam ponadto dowieść istnienia indywiduum »w pewnej klasie«, i w tym celu będziecie zawsze musieli okazać, że twierdzenie: to indywiduum należy do tej klasy — nie jest sprzeczne ani samo w sobie, ani w stosunku do innych przyjętych postulatów.
»Jestto tedy wymaganiem dowolnym i nieprawnym, ciągnie dalej Couturat, gdy się twierdzi, że definicja posiada wartość o tyle tylko, o ile się uprzednio dowiedzie, że nie zawiera ona sprzeczności«. Couturat głosi tu w wyrazach, nad które nie masz energiczniejszych i dumniejszych — prawo do sprzeczności. »W każdym razie onus probandi przypada tym, którzy sądzą, że zasady te są sprzeczne«. O postulatach mniemać należy, że są zgodne ze sobą, dopóki ktoś nie dowiedzie, że tak nie jest, podobnie jak o oskarżonym, że jest niewinny.
Niepotrzeba chyba dodawać, że nie godzę się na ten pogląd. Ależ, odpowiedzą nam, dowód, którego od nas wymagacie jest niemożliwy, nie możecie nas wzywać do »chwytania księżyca zębami«. Za pozwoleniem, niemożliwym jest on dla was — nie dla nas, którzy przyjmujemy zasadę indukcji, jako sąd syntetyczny a priori. A będzie to koniecznym zarówno dla was, jak dla nas.
Żeby dowieść, że w pewnym układzie postulatów nie tkwi sprzeczność, trzeba stosować zasadę indukcji zupełnej; ten tryb rozumowania nietylko niema w sobie nic »dziwacznego«, ale jestto jedyny poprawny. Nie jest »nieprawdopodobne«, aby go kiedykolwiek używano; nietrudno jest znaleść na to »przykłady i precedensy«. Przytoczyłem dwa takie przykłady w moim artykule, wzięte z broszury Hilberta. Nie jest on jedynym, który go używał, a ci, co tego nie robili, nie mieli słuszności. Zarzuciłem Hilbertowi nie to, że się uciekł do tego rozumowania (matematyk tak rasowy, jak on, nie mógł nie widzieć, że potrzeba było dowodu, i że ten dowód był jedynym możliwym), lecz, że się doń uciekł i zarazem nie poznał w nim rozumowania przez rekurencję.

IV.
Zarzut drugi.

Wskazałem na drugi błąd logistyków w artykule Hilberta; dziś Hilbert jest wyklęty, i Couturat nie uważa go już za logistyka; zapyta mnie on tedy, czy znalazłem ten sam błąd u logistyków prawowiernych. Nie, nie widziałem go na kartach, które przeczytałem; nie wiem, czy go znajdę na trzystu stronicach, które napisali, a których nie mam ochoty czytać.
Ale będą musieli popełnić ten błąd w chwili, w której zechcą wyciągnąć z nauki matematycznej jakiekolwiek zastosowanie. Nie jest zadaniem tej nauki wpatrywać się wiecznie w swój własny pępek; przylega ona do przyrody i tej czy innej chwili zetknie się z nią; i owej chwili trzeba będzie otrząsnąć się z definicji czysto werbalnych i przestać zadawalać się słowami.
Powróćmy do przykładu Hilberta; idzie wciąż o rozumowanie przez rekurencję, i o kwestję, czy dany układ postulatów nie zawiera sprzeczności. Couturat powie mi, bez wątpienia, że w takim razie go to nie dotyka, — lecz nie będzie to, być może, bez interesu dla tych, którzy nie dopominają się, jego wzorem, prawa do sprzeczności.
Chcemy, jak powyżej dowieść, że nie napotkamy sprzeczności po jakiejkolwiek, dowolnie wielkiej, ilości rozumowań byle ilość ta była skończona. W tym celu trzeba zastosować zasadę indukcji. Czy należy tu rozumieć przez liczbę całkowitą każdą liczbę, do której się, mocą definicji, stosuje zasada indukcji? Oczywiście nie, bo w przeciwnym razie doprowadziłoby nas to do wielce nie dogodnych konsekwencji.
Żeby mieć prawo założyć pewien układ postulatów, musimy być upewnieni, że nie tkwi w nich sprzeczność. Jestto prawda, przyjęta przez większość uczonych, powiedziałbym przez wszystkich, gdybym nie przeczytał ostatniego artykułu Couturat. Ale cóż ona mówi? Czy znaczy ona tyle: musimy być pewni, że nie napotkamy sprzeczności po skończonej ilości twierdzeń, przy czym liczbą skończoną jest mocą definicji liczba, która posiada wszystkie własności o charakterze rekurencji, tak iż, gdyby jednej z tych własności było brak, gdybyśmy np. trafili na sprzeczność, tedy umówimy się uważać taką liczbę za nieskończoną?
Innemi słowy, czy chcemy powiedzieć: musimy być pewni, że nie napotkamy sprzeczności, z warunkiem, że umówimy się, że się zatrzymamy właśnie na chwilę przed jej napotkaniem? Wystarczy wypowiedzieć taki pogląd, aby go potępić.
Tak więc rozumowanie Hilberta nietylko zakłada zasadę indukcji, lecz zakłada, że zasada ta jest nam dana nie jako prosta definicja lecz jako sąd syntetyczny a priori.
Streszczając:
Dowód jest niezbędny.
Jedynym dowodem możliwym jest dowód przez rekurencję.
Jest on uprawniony o tyle tylko, o ile przyjmie się zasadę indukcji, i zasadę tę uważa się nie za definicję lecz za sąd syntetyczny.

V.
Antynomje cantorowskie.

Przejdę teraz do rozpatrzenia nowej rozprawy Russella. Rozprawa ta została napisana w celu pokonania trudności, wywołanych przez owe antynomje cantorowskie, do których wielekroć już robiliśmy aluzje. Cantor sądził, że może zbudować Naukę Nieskończoności; inni również poszli po drodze, przezeń otworzonej, lecz rychło potknęli się o dziwne sprzeczności. Z pośród tych licznych już sprzeczności najsławniejszemi są:
1-o Antynomja Burali-Fortiego;
2-o Antynomja Zermelo-Königa;
3-o Antynomja Richarda.
Cantor dowiódł, że liczby porządkowe (idzie tu o liczby porządkowe nadskończone, pojęcie nowe przezeń wprowadzone) mogą być uszykowane w szereg linjowy, to znaczy, że z dwu liczb porządkowych nierównych, jedna jest zawsze mniejsza od drugiej. Burali-Forti dowodzi, że jest przeciwnie; jakoż, brzmi w streszczeniu jego rozumowanie, jeżeliby można było uszykować wszystkie liczby porządkowe w szereg linjowy, szereg ten definjowałby liczbę porządkową większą od wszystkich innych; możnaby do niej dodać jeszcze 1, co dałoby liczbę porządkową jeszcze większą, co jest sprzeczne z powyższym.

Powrócimy później do antynomji Zermelo-Königa o charakterze nieco odmiennym; a oto na czym polega antynomja Richarda (Revue générale des Sciences, 30 czerwca 1905). Rozważmy wszystkie liczby dziesiętne, które można zdefinjować zapomocą skończonej ilości słów; dziesiętne te liczby stanowią zespół E; i łatwo jest stwierdzić, że zespół ten jest odliczalny, to znaczy, że można ponumerować poszczególne liczby dziesiętne tego zespołu od 1 do nieskończoności. Przypuśćmy, że to ponumerowanie zostało dokonane, i zdefinjujmy liczbę N w następujący sposób, Jeżeli n-y znak dziesiętny n-ej liczby zespołu E jest
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
tedy n-ym znakiem dziesiętnym liczby N będzie
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1.

Jak stąd widać, N nie jest równe n-ej liczbie E, a ponieważ n jest jakiekolwiek, przeto N nie należy do E, a przecież N powinnoby należeć do tego zespołu, boć zdefinjowaliśmy je zapomocą skończonej ilości słów.
Zobaczymy później, że sam Richard dał wielce przenikliwe wytłumaczenie tego paradoksu, i że wytłumaczenie to daje się rozciągnąć mutatis mutandis na inne analogiczne paradoksy. Russell przytacza nadto jeszcze jedną dość zabawną antynomję.
Jaka jest najmniejsza zpośród wszystkich liczb, których nie można zdefinjować za pomocą zdania utworzonego z mniej niż stu polskich wyrazów?
Liczba ta istnieje; albowiem ilość liczb, które można zdefinjować zapomocą takiego zdania, jest skończona, gdyż ilość wyrazów w języku polskim jest skończona; zatym wśród nich będzie jedna liczba mniejsza od wszystkich innych.
A jednak — z drugiej strony — liczba ta nie istnieje, gdyż w definicji jej tkwi sprzeczność. Liczba ta jest bowiem zdefinjowana przez zdanie wydrukowane kursywą, które jest utworzone z mniej niż stu polskich wyrazów; a mocą definicji liczba ta nie powinna móc być zdefinjowana zapomocą takiego zdania.


VI.
Zigzag-theory i No-classes-theory.

Jakaż jest postawa Russella wobec tych sprzeczności? Zanalizowawszy te, o których mówiliśmy przed chwilą, i przytoczywszy inne jeszcze, nadawszy im postać, która przypomina Epimenidesa, nie waha się on wywnioskować:
»A propositional function of one variable does not always determine a class«. Funkcja propozycyjna (to znaczy definicja) nie zawsze określa pewną klasę. »Propositional function« lub »norm« może nie być »predykatywną« (orzekającą). I nie znaczy to, że te niepredykatywne twierdzenia określają klasę próżną, klasę zero; nie znaczy, że niema żadnej wartości x, odpowiadającej definicji i mogącej być jednym z elementów klasy. Elementy istnieją, lecz nie mają prawa zrzeszyć się, by utworzyć klasę.
Ale jestto dopiero początek i trzeba umieć poznać, czy dana definicja jest lub nie jest predykatywną; aby rozwiązać to zadanie, Russell waha się między trzema teorjami, które nazywa
A. The zigzag-theory;
B. The theory of limitation of size;
C. The no classes theory.
Według zigzag-theory: »definicje (funkcje propozycyjne), określają klasę, kiedy są bardzo proste, przestają zaś ją określać jedynie wówczas, gdy są skomplikowane i niejasne«.
Któż zdecyduje, czy definicję można uważać za dostatecznie prostą? Na pytanie to niema odpowiedzi, raczej lojalne przyznanie się do bezsilności: »reguły, które pozwolilłyby poznać, czy definicje te są predykatywne, byłyby niezmiernie skomplikowane, i nie przemawiają za niemi żadne przekonywujące racje. Brakowi temu mogłaby zaradzić dowcipniejsza pomysłowość lub oparcie się o rozróżnienia jeszcze nie zaznaczone. Ale dotychczas przy poszukiwaniu tych reguł nie powiodło się znaleźć innej zasady kierowniczej, jak brak sprzeczności«.
Teorja ta pozostaje tedy dosyć ciemna; jeden tylko ognik rozświetla mroki: jestto wyraz zigzag. To, co Russell nazywa »zigzag-giness« jestto zapewne owa cecha osobliwa, charakteryzująca argument Epimenidesa.
Według theory of limitation of size, klasa traciłaby prawo istnienia skoroby się stawała zbyt rozległa. Wolnoby jej było, być może, być nieskończoną, byle nie była nią zbytnio.
I stajemy znowu wobec tej samej trudności: w jakiej to chwili zacznie ona być zbyt nieskończoną? Rozumie się, że trudności tej nie pokonano, i Russell przechodzi do teorji trzeciej.
W no classes theory zabronione jest wymawianie wyrazu klasa, i wyraz ten należy zastępować urozmaiconemi omówieniami. Co za zmiana dla logistyków, którzy mówią ciągle o klasach i klasach klas! Wypadnie przerobić odnowa całą Logistykę. Wyobraźcie sobie stronicę Logistyki po usunięciu wszystkich twierdzeń, w których jest mowa o klasach. Pozostanie jedynie kilka przeżytków, rozsypanych na białej stronicy. Apparent rari nantes in gurgite vasto.
Jakkolwiekbądź, takie są wahania Russella, modyfikacje, którym podda zasady podstawowe, przyjęte przezeń po dziśdzień. Potrzeba będzie kryterjów dla zdecydowania, czy definicja jest zbyt skomplikowana lub zbyt rozległa, i kryterjów tych niepodobna będzie usprawiedliwić inaczej, jak przez odwołanie się do intuicji.
Ostatecznie Russell przechyla się ku no classes theory.
Jakkolwiek bądź, Logistyka ma być przebudowana odnowa, i trudno powiedzieć, co z niej uda się uratować. Zbyteczna dodawać, że zagrożone są jedynie Cantoryzm i Logistyka; prawdziwa matematyka, ta, która do czegoś służy, będzie mogła nadal się rozwijać według swych zasad własnych, nie troszcząc się o burze, szalejące poza nią, i sięgać krok za krokiem po zwykłe swe zdobycze, które są ostatecznemi i których nie wypada im nigdy porzucać.


VII.
Prawdziwe rozwiązanie.

Jaki mamy zrobić wybór z pośród tych różnych teorji? Sądzę, że rozwiązanie jest zawarte w liście Richarda, o którym mówiłem wyżej, i który można znaleźć w Revue Générale des Sciences z 30 czerwca 1905 r. Wyłożywszy antynomję, którą nazwaliśmy antynomją Richarda, daje on jej wytłumaczenie.
Przypomnijmy sobie, cośmy powiedzieli o tej antynomji w § V; E jest zespołem wszystkich liczb, które można zdefinjować zapomocą skończonej ilości słów, nie wprowadzając pojęcia samego zespołu E. W przeciwnym razie definicja E zawierałaby błędne koło; nie można definjować E przez sam zespół E. Otóż zdefinjowaliśmy N wprawdzie zapomocą skończonej ilości słów, lecz opierając się na zespole E. I dlatego N nie stanowi części E.
W przykładzie, wybranym przez Richarda, wniosek nasuwa się z całą oczywistością, i oczywistość ta wyda się jeszcze większą, kiedy odniesiemy się do samego tekstu jego listu. I to samo wytłumaczenie stosuje się do innych antynomji, jak łatwo jest sprawdzić.
Tak więc definicjami, które należy uważać za niepredykatywne, są te, które zawierają błędne koło. Przykłady, rozpatrzone powyżej, dostatecznie wykazują, co przez to rozumiem. Czy to właśnie Russell nazywa »zigzag-giness«? Pytanie to zadaję, nie rozwiązując go.

VIII.
Dowody zasady indukcji.

Rozpatrzmy teraz domniemane dowody zasady indukcji, w szczególności dowody Whiteheada i Burali-Fortiego.
Rozpocznijmy od dowodu Whiteheada i skorzystajmy z kilku nowych terminów, szczęśliwie wprowadzonych przez Russella w jego świeżej rozprawie.
Nazwijmy klasą rekurentną, wszelką klasę liczb, zawierającą zero, oraz zawierającą n + 1 o ile zawiera n.
Nazwijmy liczbą induktywną wszelką liczbę, wchodzącą do wszystkich klas rekurentnych.
Pod jakim warunkiem ta ostatnia definicja, odgrywająca istotną rolę w dowodzie Whiteheada, będzie »predykatywną«, a przeto się nada?
Według tego, co poprzedza, przez wszystkie klasy rekurentne należy rozumieć wszystkie te, do których definicji nie wchodzi pojęcie liczby induktywnej.
W przeciwnym razie wpadamy znowu w błędne koło, które zrodziło antynomje.
Otóż Whitehead nie zachował tej ostrożności.
Rozumowanie Whiteheada jest tedy wadliwe; jestto to samo rozumowanie, które doprowadziło do antynomji; było ono nieprawnym, kiedy dawało rezultaty błędne; pozostaje nieprawnym, kiedy wypadkiem prowadzi do rezultatu prawdziwego.
Definicja, zawierająca błędne koło, nie definjuje nic. Nic nie pomoże powiedzenie, że jesteśmy pewni, jakiekolwiek znaczenie nadamy naszej definicji, że przynajmniej zero należy do klasy liczb induktywnych; nie o to idzie, czy klasa ta jest próżna, lecz o to, czy można ją ściśle odgraniczyć. Klasa »niepredykatywna« to nie jest klasa próżna, lecz klasa, której granice są niewyraźne.
Zbyteczna zaznaczyć, że szczególny ten zarzut pozostawia nietkniętemi zarzuty ogólne, stosujące się do wszystkich dowodów.

IX.

Burali-Forti dał inny dowód w swym artykule Le Classi finite (»Atti di Torino«, t. XXXII). Lecz musi on przyjąć dwa postulaty:

Pierwszy, że istnieje zawsze przynajmniej jedna klasa nieskończona.
Drugi brzmi, jak następuje:
u ε K (K — ɩ Λ).. u < υ′u

Pierwszy postulat nie jest bardziej oczywisty, niż zasada, o której dowód idzie; drugi nietylko nie jest oczywisty lecz jest nieprawdziwy; jak to okazał Whitehead, jak zresztą zauważyłby odrazu każdy kret, jeśliby ten pewnik został wyrażony w języku zrozumiałym, gdyż znaczy on tyle: ilość kombinacji, które można utworzyć z kilku przedmiotów, jest mniejsza niż ilość tych przedmiotów.

X.
Pewnik Zermelo.

W słynnym swym dowodzie Zermelo opiera się na następującym pewniku:
W jakimkolwiek zespole (lub nawet w każdym zespole zespołu zespołów) można zawsze wybrać na chybi trafi element (nawet jeśliby ten zespół zespołów zawierał nieskończoność zespołów). Pewnik ten stosowano tysiące razy, nie formułując go, ale skoro tylko go sformułowano, wywołał on wątpliwości. Niektórzy matematycy, jak Borel, stanowczo go odrzucili; w innych budzi on podziw. Zobaczmy, co o nim myśli Russell według jego ostatniego artykułu.
Nie wypowiada się on za ani przeciw, ale rozważania, którym się oddaje, są wysoce suggiestywne.
Przedewszystkim malowniczy przykład: przypuśćmy, że posiadamy tyle par butów, ile istnieje liczb całkowitych, tak iż moglibyśmy ponumerować pary od 1 do nieskończoności — ile będziemy mieli butów? Czy ilość butów będzie równa ilości par? Tak, jeśli w każdej parze but prawy różni się od buta lewego; istotnie, wystarczy wówczas nadać numer 2n - 1 butowi prawemu n-ej pary, i numer 2n butowi lewemu n-ej pary. Nie, — jeśli but lewy jest taki sam jak prawy, gdyż podobna operacja stanie się niemożliwa. Chyba, że się przyjmie pewnik Zermelo, ponieważ wówczas można będzie wybrać w każdej parze na chybi trafi but, który się będzie uważało za prawy.

XI.
Wnioski.

Dowód, istotnie oparty na Analitycznej Logice, składać się będzie z szeregu twierdzeń; jedne, które służyć będą jako przesłanki, będą tożsamościami lub definicjami; inne wyprowadzać się będą z tamtych krok za krokiem; a chociaż łącznia między każdym twierdzeniem a twierdzeniem następnym będzie bezpośrednio widoczna, nie będzie widać od pierwszego rzutu oka, jak można było przejść od pierwszego twierdzenia do ostatniego, które będzie się mogło wydawać nową prawdą. Skoro przecież zastąpi się kolejno każde figurujące w nich wyrażenie przez jego definicję, i posunie tę operację możliwie daleko, w końcu pozostaną jedynie tożsamości, i wszystko sprowadzi się do jednej olbrzymiej tautologji. Logika pozostanie tedy jałową, o ile nie zostanie zapłodniona przez intuicję.
Oto co napisałem niegdyś; logicy wyznają pogląd przeciwny i sądzą, że pogląd ten uzasadnili, dając istotne dowody nowych prawd. Jakiż jest mechanizm tych dowodów?
Dlaczego przez zastosowanie do ich rozumowań opisanego powyżej postępowania, to znaczy przez zastąpienie zdefinjowanych wyrażeń przez ich definicje, nie doprowadzamy ich do roztopienia się w tożsamości podobnie jak zwykłe rozumowania? Dlatego, że postępowanie to nie daje się do nich zastosować. I czemu to? bo definicje ich nie są predykatywne, zawierają one owe ukryte błędne koła, na które wyżej zwróciłem uwagę; definicje niepredykatywne nie mogą być wstawione na miejsce zdefinjowanego wyrażenia. Wobec tego Logistyka przestaje być jałową, rodzi ona antynomję.
Definicje niepredykatywne zostały zrodzone przez wiarę w istnienie nieskończoności aktualnej (spełnionej). Albowiem w definicjach tych figuruje wyraz wszystkie, jak to widać z przytoczonych przez nas przykładów. Wyraz wszystkie posiada znaczenie całkiem jasne, kiedy idzie o skończoną ilość przedmiotów; żeby przy nieskończonej ilości przedmiotów można było wziąć jeszcze jeden przedmiot, musi istnieć nieskończoność aktualna. W przeciwnym razie niepodobna będzie pojmować wszystkich tych przedmiotów, jako założonych przed ich definicją, i wówczas, jeśli definicja pojęcia N zależy od wszystkich przedmiotów A, może być ona obciążona błędnym kołem, jeżeli śród przedmiotów A znajdują się takie, których nie można zdefinjować, nie posiłkując się samym pojęciem N.
Reguły logiki formalnej wyrażają poprostu własności wszystkich możliwych klasyfikacji. Warunkiem wszelako ich stosowalności jest, żeby klasyfikacje te były niewzruszone, żeby nie trzeba ich było modyfikować w trakcie rozumowania. Jeżeli idzie jedynie o klasyfikację skończonej ilości przedmiotów, łatwo jest zachować klasyfikacje bez zmiany. Jeżeli ilość przedmiotów jest nieoznaczona, to znaczy, jeżeli się jest ustawicznie narażonym na pojawianie się przedmiotów nowych i nieprzewidzianych, zdarzyć się może, że zjawienie się nowego przedmiotu zmusi do zmodyfikowania klasyfikacji, i w ten sposób jest się narażonym na antynomje.
Niema nieskończoności aktualnej; cantorowcy o tym zapomnieli i popadli w sprzeczności. Cantoryzm oddał wprawdzie usługi, ale wówczas tylko, kiedy go stosowano do prawdziwego zagadnienia, którego wyrazy były jasno określone, i wtedy można było posuwać się naprzód bez obawy.
Logistycy, podobnie jak cantorowcy, zapomnieli o tym, i oparli się o te same trudności. Ale idzie o to, czy weszli oni na tę drogę dzięki przypadkowi, czy też było to dla nich koniecznością.
Dla mnie jestto kwestja niewątpliwa; wiara w nieskończoność aktualną jest nieodłączna od logistyki russellowskiej. To właśnie odróżnia ją od logistyki hilbertowskiej. Hilbert staje na punkcie widzenia rozciągłości [extension] właśnie po to, by uniknąć antynomji cantorowskiej; Russell staje na punkcie widzenia zrozumiałości [compréhension]. Przeto rodzaj poprzedza dlań gatunek, a summum genus poprzedza wszystko. Nie nastręczałoby to niedogodności, gdyby summum genus był skończony; ale jeśli jest on nieskończony, trzeba założyć nieskończoność przed skończonością, to jest uważać nieskończoność za aktualną.
I nietylko z nieskończonemi klasami mamy do czynienia; kiedy przechodzimy od rodzaju do gatunku, zwężając pojęcie przez wprowadzenie nowych warunków, ilość tych warunków jest znowu nieskończona. Albowiem wyrażają one zazwyczaj, że rozważany przedmiot związany jest taką lub inną zależnością z wszystkiemi przedmiotami nieskończonej klasy.
Ale to wszystko — należy już do historji. Russell zauważył niebezpieczeństwo i zaradzi mu. Zmieni wszystko; i niechaj nie będzie nieporozumienia: gotuje się on nietylko do wprowadzenia nowych zasad, które pozwolą na działania dawniej zakazane; gotuje się również do zabronienia działań, które dawniej uważał za uprawnione. Nie zadawala się czczeniem tego, co palił; co ważniejsza: spali to, co czcił. Nie dodaje nowego skrzydła do budowli, podkopuje jej fundamenty.
Dawna Logistyka umarła, i to w takim stopniu, że zigzag-theory i no classes-theory wiodą już ze sobą spór o puściznę po niej. Ażeby osądzić nową, poczekamy, aż będzie istniała.

Przypisy

  1. Patrz niżej Rozdz. XI.
  2. Nauka i Hypoteza, Wyd. pol., str. 61 i nast., Wartość Nauki, wyd. pol. str. 39.
  3. »Nauka i Hypoteza«, str. 85 i nast. przekładu polskiego. (Przyp. tłum.).


Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronach autora: Henri Poincaré i tłumacza: Maksymilian Horwitz.