Nauka i Metoda/Badacz i Nauka/Całość
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Księga Pierwsza: Badacz i Nauka |
| Pochodzenie | Nauka i Metoda |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1911 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Maksymilian Horwitz |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Pobierz jako: EPUB  • PDF  • MOBI 
|
| Indeks stron | |
Tołstoj tłumaczy w jednej ze swoich książek, dlaczego »Nauka dla Nauki« jest jego zdaniem koncepcją niedorzeczną. Nie możemy poznać wszystkich faktów, gdyż ilość ich jest z punktu widzenia praktycznego nieskończoną. Trzeba tedy wybierać; skoro tak, to czy przy wyborze tym mielibyśmy poprostu ulegać kaprysowi naszej ciekawości; czy nie lepiej jest kierować się użytecznością, naszemi potrzebami praktycznemi a zwłaszcza moralnemi; czy nie mamy nic lepszego do roboty, jak rachowanie liczby robaczków, istniejących na naszej planecie?
Jasne jest, że wyraz użyteczność nie ma dla Tołstoja tego samego znaczenia, jakie weń wkładają ludzie interesu i, w ślad za niemi, większość naszych współczesnych. Dba on mało o zastosowania przemysłowe, o cuda elektryczności, lub automobilizmu, które uważa raczej za przeszkody do postępu moralnego; użytecznym jest to tylko, co może człowieka uczynić lepszym.
Co do mnie, to zbytecznym niemal jest stwierdzenie, że nie zadawala mnie żaden z tych dwu ideałów; nie jestem spragniony ani tej plutokracji chciwej i ograniczonej, ani tej demokracji cnotliwej i miernej, gdzie jedyną troską byłoby nadstawianie lewego policzka, i gdzie żyliby mędrcy, wyzuci
z ciekawości, którzy unikając wszelkich nadużyć, nie umarliby z choroby, ale z całą pewnością umarliby z nudy. Ale jestto ostatecznie kwestją smaku, i nie nad tym chcę się zastanawiać.
Samo zagadnienie istnieje wszelako, i musi skupić na sobie naszą uwagę; jeżeli o wyborze naszym może stanowić jedynie kaprys lub bezpośrednia użyteczność, tedy nie może istnieć nauka dla nauki, ani tym samym nauka wogóle. Czyż tak jest? Niema wątpliwości, że trzeba dokonać wyboru; jakkolwiek prędkobyśmy się uwijali, zjawiska postępują po sobie szybciej, i nie potrafilibyśmy za niemi nadążyć; podczas gdy badacz odkrywa fakt, miljardy miljardów faktów powstają w sześciennym milimetrze jego ciała. Chcieć zawrzeć przyrodę w nauce, jestto chcieć wtłoczyć całość w część.
Ale uczeni sądzą, że istnieje hierarchja faktów, i że można dokonać zpośród nich trafnego wyboru; mają oni słuszność, gdyż w przeciwnym razie nie byłoby nauki, a nauka istnieje. Toż bije w oczy, że zdobycze przemysłu, które zbogaciły tylu ludzi praktycznych, nie ujrzałyby nigdy światła, gdyby istnieli jedynie ci ludzie praktyczni, gdyby nie poprzedzili ich bezinteresowni szaleńcy, którzy zmarli w biedzie, nie myśleli nigdy, co jest użyteczne, a przecież kierowali się czymś innym jak kaprysem.
Szaleńcy ci zaoszczędzili, jak powiedział Mach, swym następcom trudu myślenia. Ludzie, którzyby pracowali wyłącznie ze względu na zastosowania bezpośrednie, nie pozostawiliby nic poza sobą, i w obliczu jakiejś nowej potrzeby musianoby rozpoczynać wszystko od początku. Otóż większość ludzi nie lubi myśleć, co jest może dobre, skoro kieruje niemi instynkt, i to często lepiej, niżby kierował rozum czystym umysłem — przynajmniej wówczas, gdy zmierzają oni do celu bezpośredniego i zawsze tego samego; ale instynkt jestto rutyna, i gdyby go nie zapładniała myśl, nie robiłby on u człowieka postępów większych niż u pszczoły lub mrówki. Trzeba tedy myśleć za tych, co myśleć nie lubią, a że jest ich wielu, trzeba, żeby każda z naszych myśli była użyteczną możliwie najczęściej, i dlatego nowoodkryte prawo będzie tym cenniejsze, im będzie ono ogólniejsze.
Wskazuje to, jak powinien być dokonywany nasz wybór; najbardziej interesującemi faktami są fakty, któremi można się posługiwać kilka razy; te, co do których jest najwięcej szans, że się powtórzą. Mieliśmy szczęście narodzić się w świecie, w którym fakty takie istnieją. Przypuśćmy, że zamiast 60 pierwiastków chemicznych mamy ich 60 miljardów, że jedne z nich nie są pospolite a inne rzadkie, lecz że wszystkie są rozłożone jednostajnie. Natenczas, ilekroć podniesiemy z ziemi kamyk, będzie znaczne prawdopodobieństwo, że składa się on z jakiejś nieznanej substancji; nic z tego, co wiemy o innych kamykach, nie stosowałoby się do tego; na każdy nowy przedmiot patrzelibyśmy, jak nowonarodzone dziecię; jak ono, umielibyśmy jedynie słuchać się swoich kaprysów lub potrzeb; w takim świecie nie byłoby nauki; myśl nawet a może i życie byłyby w nim niemożliwe, gdyż ewolucja nie byłaby w stanie rozwinąć instynktów zachowawczych. Dzięki Bogu, jest inaczej; jestto szczęście niedoceniane, jak wszystkie szczęścia, do których się jest przyzwyczajonym. Biolog miałby podobny kłopot, gdyby istniały tylko osobniki, a nie było gatunków, i gdyby dziedziczność nie sprawiała, że synowie są podobni do ojców.
Jakież więc fakty mają szansę, że się powtórzą? Są to przedewszystkim fakty proste. Jasne jest, że w fakcie złożonym mamy tysiąc okoliczności połączonych przypadkiem, i że tylko przypadek o wiele mniej jeszcze prawdopodobny mógłby je znowu połączyć. Ale czyż istnieją fakty proste, a jeśli tak, to jak je rozpoznać? Któż nam zaręczy, że to, co wydaje się nam prostym, nie kryje w sobie splotu nieskończenie złożonego? Nie możemy powiedzieć nic ponadto, że trzeba przekładać fakty, które wydają się prostemi nad fakty, w których nasze niedoskonałe oko rozróżnia elementy odrębne. Wówczas mamy jedno z dwojga: albo prostota ta jest rzeczywista, albo elementy są zmieszane tak ściśle, że niepodobna ich wyodrębnić. W pierwszym wypadku mamy szanse napotkać znowu ten sam fakt prosty czy to w całej jego czystości, czy jako element składowy układu złożonego. W drugim wypadku ścisła ta mieszanina ma również więcej szans powrotu niż niejednorodna zbieranina; przypadek umie mieszać, nie umie natomiast rozwikływać, i wzniesienie z rozlicznych elementów uporządkowanej budowli, w której można cokolwiek rozróżnić, może być zrobione jeno z rozmysłem. Mało więc jest szans, by zbieranina, w której można cokolwiek rozróżnić, kiedykolwiek powróciła. Jest za to szans dużo, byśmy mieszaninę, na pierwszy rzut oka jednorodną, napotkali jeszcze wiele razy. Fakty, które wydają się prostemi, chociażby nawet niemi nie były, łacniej od innych zostaną znowu przywrócone przez przypadek.
W tym tkwi usprawiedliwienie metody, której instynktownie trzymają się badacze; a mocniej być może jeszcze gruntuje tę metodę to, że fakty częste wydają się nam prostemi właśnie dlatego, że jesteśmy do nich przyzwyczajeni.
Ale gdzież szukać faktu prostego? Badacze urządzają nań wyprawy w dwie dziedziny krańcowe, w obszary nieskończenie wielkiego i nieskończenie małego. Astronom znalazł go, bo odległości gwiazd są olbrzymie, tak wielkie, że każda z nich wydaje się tylko punktem; tak wielkie, że różnice jakościowe zacierają się; bo wreszcie punkt jest prostszy niż ciało, posiadające kształt i pewne własności. Fizyk natomiast szukał zjawiska elementarnego, krając fikcyjnie ciała na nieskończenie małe sześciany, a to dlatego, że warunki zagadnienia, zmieniające się w sposób powolny i ciągły przy przejściu od jednego punktu ciała do drugiego, można uważać za stałe wewnątrz każdego z tych małych sześcianów. Podobnież biologowi instynkt kazał uważać komórkę za bardziej interesującą, niż całe zwierzę, i wyniki jego badań przyznały mu słuszność, gdyż komórki, należące do najrozmaitszych organizmów, bardziej są do siebie podobne, jeśli się umie dopatrzeć podobieństw między niemi, niż całe organizmy. Socjolog jest w większym kłopocie; dla niego elementami są ludzie, a ci są zbyt różni, zbyt zmienni, zbyt kapryśni, słowem są sami zbyt złożeni; to też historja się nie powtarza; jakże tedy wybrać fakt interesujący, to znaczy fakt, który się powtarza; metoda to właśnie wybór faktów, trzeba więc dbać przedewszystkim o wymyślenie metody, i wymyślono ich dużo, bo żadna się nie narzucała; każda dysertacja socjologiczna proponuje nową metodę, której stosowania nowy doktor wszelako starannie unika, wobec czego socjologia jest nauką, posiadającą najwięcej metod i najmniej ustalonych za ich pomocą rezultatów.
Rozpocząć tedy należy od faktów regularnych; ale skoro tylko rządząca niemi reguła zostanie ustalona, skoro wzniesie się ona ponad wszelkie wątpliwości, fakty, które w zupełności się do niej stosują, staną się rychło nieciekawe, bo nie uczą niczego nowego. Natenczas wagi nabiera wyjątek. Przestaje się szukać podobieństwa, uważając przedewszystkim na różnice, a zpośród różnic wybiera się nasamprzód najwydatniejsze, nietylko dlatego, że są najbardziej uderzające, ale i dlatego, że będą najbardziej pouczające. Prosty przykład pozwoli lepiej zrozumieć moją myśl; przypuśćmy, że idzie o określenie krzywej przez obserwowanie kilku jej punktów. Praktyk, dbały jedynie o bezpośrednią użyteczność, będzie obserwował tylko te punkty, których potrzebuje dla jakiegoś specjalnego celu; punkty te będą rozłożone na krzywej w sposób nierówny; w jednej okolicy będzie ich dużo, w innej będą one tak rzadkie, że nie będzie można ich połączyć linją ciągłą, i nie będą one mogły służyć do innych zastosowań. Człowiek nauki postępować będzie inaczej; ponieważ chce on zbadać krzywą dla niej samej, rozłoży on punkty dla obserwacji w sposób prawidłowy, i skoro tylko pozna pewną ich ilość, połączy je ciągłą kreską i otrzyma całą krzywą. A robić to będzie tak oto: gdy oznaczy jeden z punktów końcowych krzywej, nie pozostanie w okolicy tego punktu, lecz pobiegnie do drugiego końca; po obu krańcach najciekawszym punktem będzie punkt środkowy, i tak dalej.
Tak więc, skoro pewna reguła zostanie ustanowiona, przedewszystkim trzeba szukać wypadków, w których reguła ta traci stosowalność. Stąd, między innemi, interes, jaki posiadają fakty astronomiczne, przeszłość gieologiczna; posuwając się daleko w przestrzeni lub daleko w czasie, możemy spodziewać się, że zwykłe nasze reguły okażą się zupełnie wywróconemi, a wielkie te przewroty pomogą nam lepiej widzieć lub lepiej rozumieć małe zmiany, jakie się odbywają bliżej nas, w małym kąciku świata, w którym powołani jesteśmy żyć i działać. Podróże po odległych krajach, gdzie napozór niema czego szukać, sprawią, że lepiej poznamy ten blizki nam kącik.
Celem naszym powinno być wszelako nie tyle stwierdzanie podobieństw i różnic, ile raczej odnajdywanie utajonych powinowactw pod pozorami obcości. Poszczególne reguły wydają się zrazu rozbieżnemi, bliższe przecież wniknięcie przekonywa, że są między niemi podobieństwa; różne co do treści, zbliżone są one do siebie pod względem formy, ładu swych części. Rozpatrywane pod tym kątem, rozszerzają się one w oczach, zdążają do ogarnięcia wszystkiego. Stąd wysoka wartość pewnych faktów, które, dołączone do danej grupy faktów, uzupełniają ją w taki sposób, że staje się ona wiernym obrazem innych znanych ugrupowań.
Kilka tych słów — obszerniej się nad tym rozwodzić nie mogę — wystarcza, by dowieść, że badacz nie wybiera na chybi-trafi faktów, które ma obserwować. Nie rachuje on robaczków, jak mówi Tołstoj, gdyż ilość tych zwierzątek, lubo wielce interesująca, ulega kapryśnym wahaniom. Usiłuje on skondensować wiele doświadczenia i wiele myśli w niewielkiej objętości, i dlatego to mała książeczka, traktująca o fizyce, zawiera tak wiele doświadczeń dokonanych i tysiąc razy więcej jeszcze doświadczeń możliwych, których rezultaty znane są z góry.
Ale to, nad czym zastanawialiśmy się dotychczas, jest tylko jedną stroną kwestji. Uczony nie bada przyrody dlatego, że jestto użyteczne; bada ją, bo sprawia mu to przyjemność, a sprawia mu przyjemność, bo przyroda jest piękna. Gdyby nie była piękna, nie wartoby jej było poznawać, życie nie byłoby warte, aby je przeżywać. Nie mówię tu, oczywiście, o pięknie, które postrzegają nasze zmysły, o pięknie materjalnych własności i pozorów; nie żebym nim pogardzał, broń mnie Boże, ale nie ma ono nic wspólnego z nauką; mówię tutaj o owym wewnętrzniejszym pięknie, płynącym z harmonijnego ładu części, uchwytnym dla czystego umysłu. Ono to daje ciało, daje, że tak powiem, szkielet owym mieniącym się pozorom, schlebiającym naszym zmysłom, i bez tej podpory piękno tamtych ulotnych marzeń byłoby niedoskonałe, bo byłoby niezdecydowane i rozpływające się. Natomiast piękno intelektualne wystarcza samo sobie, i dla niego to, więcej, być może, niż dla przyszłego dobra ludzkości, uczony skazuje się na długą i uciążliwą pracę.
Poszukiwanie tego szczególnego piękna, poczucie harmonji świata kieruje więc nami przy wyborze faktów, najbardziej przyczyniających się do tej harmonji, podobnie jak artysta wybiera te z rysów swego modela, które uzupełniają portret i nadają mu charakter i życie. I niema obawy, by ta instynktowna i nieznana troska odwracała uczonego od poszukiwania prawdy. Można wymarzyć sobie świat harmonijny, ale jakże daleko świat rzeczywisty pozostawi go za sobą; najwięksi zpośród artystów, jakich widział świat, Grecy, zbudowali sobie niebo; jakże nędzne jest ono wobec nieba prawdziwego, naszego nieba.
Prostota i wielkość są piękne, i dlatego szukamy faktów prostych i faktów wielkich, dlatego lubujemy się to w śledzeniu olbrzymiego biegu ciał niebieskich, to znów w tropieniu przez mikroskop owej przedziwnej małości, która również jest wielkością, to wreszcie w szukaniu w czasach gieologicznych śladów przeszłości, pociągającej nas, bo odległej.
I troska o piękno prowadzi do tego samego wyboru, co troska o użyteczność. I w ten też sposób owa ekonomja myśli, owa ekonomja wysiłku, która według Macha jest stałym dążeniem nauki, jest zarazem źródłem piękna i praktyczną korzyścią. Te gmachy budzą w nas zachwyt, w których architekt potrafił znaleźć proporcję między środkami a celem, w których kolumny zdają się nosić bez wysiłku i lekko włożony na nie ciężar, jak wdzięczne karjatydy Erechteionu.
Skąd ta zgodność? Czy wypływa ona poprostu z tego, że pięknemi wydają się nam te właśnie rzeczy, które najlepiej się dopasowują do naszej umysłowości, i są przeto narzędziem, którym umysłowość ta najsprawniej umie obracać? Czy też mamy tu grę ewolucji i doboru naturalnego? Czy ludy, których ideał najlepiej odpowiadał ich dobrze zrozumianemu interesowi, wytępiły inne i zajęły ich miejsce? Jedne i drugie dążyły do swego ideału, nie zdając sobie sprawy ze skutków, a dążenie to prowadziło jedne do zguby, dając drugim panowanie. Pokusa bierze mniemać, że tak było istotnie; jeżeli Grecy zwyciężyli barbarzyńców, i jeżeli Europa, dziedziczka myśli Greków, panuje nad światem, to dzieje się to dlatego, że dzicy lubili kolory krzyczące i hałaśliwe dźwięki bębna, zaprzątające wyłącznie ich zmysły, podczas gdy Grecy kochali się w pięknie intelektualnym, ukrytym pod pięknem zmysłowym, które właśnie daje umysłowości pewność i siłę.
Zwycięstwo takie budziłoby zapewne wstręt w Tołstoju, nie chciałby on przyznać mu prawdziwej użyteczności. Lecz to bezinteresowne poszukiwanie prawdy dla jej piękna również jest zdrowe i również zdolne zrobić człowieka lepszym. Zapewne, zdarzają się zawody, myśliciel nie zawsze czerpie z tego poszukiwania ową pogodę, jaką mu ono daćby powinno, a nawet istnieją myśliciele, obdarzeni bardzo złym charakterem.
Czyż mamy stąd wnieść, że trzeba porzucić naukę i studjować jedynie moralność?
A sami moraliści czyż są doprawdy nieposzlakowani, gdy zejdą ze swej kazalnicy?
Metoda, która pozwala przepowiedzieć przyszłość matematyki, polega na zbadaniu jej historji i jej stanu obecnego.
Dla nas, matematyków, metoda ta odpowiada naszemu zawodowemu, że tak powiem, sposobowi myślenia. Jesteśmy przyzwyczajeni do ekstrapolowania, które jest sposobem wyprowadzania przyszłości z przeszłości i teraźniejszości, a że znamy dobrze jego wartość, nie narażamy się na złudzenia co do doniosłości rezultatów, do których ono prowadzi.
Bywali dawniej niefortunni prorocy. Powtarzali oni często, że wszystkie zagadnienia rozwiązalne już zostały rozwiązane, i że pozostaje jedynie zbierać zżęte kłosie. Na szczęście przykład przeszłości uczy nas, co o tym myśleć. Nieraz już zdawało się ludziom, że rozwiązali wszystkie zagadnienia, albo przynajmniej, że sporządzili inwentarz tych, które wogóle dają się rozwiązać. A później znaczenie wyrazu »rozwiązanie« rozszerzyło się, zagadnienia nierozwiązalne stały się najbardziej interesującemi, zjawiły się nadto nowe zagadnienia, o jakich dawniej nie myślano. Dla Greków dobrym rozwiązaniem było takie, które posługuje się jedynie linją i cyrklem; później wymagano, aby doń prowadziło jedynie wyciąganie pierwiastków, później, aby nie zawierało ono innych funkcji prócz algiebraicznych i logarytmicznych. Taki rozwój pojęć wypierał ustawicznie pesymistów, zmuszał ich do cofania się, i dzisiaj, być może, znikli oni zupełnie.
Nie mam tedy zamiaru ich zwalczać, skoro sami wymarli; wiemy, że matematyka będzie się i nadal rozwijała, idzie tylko o to, w jakim kierunku. Odpowiedzą mi, że »we wszystkich kierunkach«, i twierdzenie to będzie częściowo słuszne; ale gdyby było ono całkowicie słuszne, stałoby się prawie przerażającym. Zdobyte skarby stałyby się rychło zawadą na drogach myśli, nagromadzenie ich potworzyłoby zatory, równie nieprzebyte, jak nieprzebytą była nieznana prawda dla tego, co o jej istnieniu nie wiedział.
Historyk, a nawet fizyk musi dokonać wyboru pośród faktów: mózg badacza, będący jedynie kątem wszechświata, nie zdoła nigdy zawrzeć całego wszechświata, toteż z niezliczonych faktów, jakich nam dostarcza przyroda, jedne zostaną pominięte, inne zapamiętane. Stosuje się to a fortiori do matematyki; matematyk również nie może zachować, jak groch z kapustą, wszystkich faktów, jakie napotyka; tym bardziej, że fakty te tworzy — on sam, niemal że nie rzekłem — jego kaprys. On to konstruuje w całości nową kombinację, zbliżając do siebie jej elementy; wyjątkowo tylko otrzymuje on gotową kombinację w darze od przyrody.
Niewątpliwie, zdarza się niekiedy, że matematyk podejmuje pewne zagadnienie, aby uczynić zadość pewnej potrzebie fizyki; że fizyk lub inżynier żądają odeń wyliczenia pewnej liczby ze względu na jej zastosowanie. Czyżby wynikało stąd, że my matematycy mamy się ograniczyć do czekania na obstalunki i, zamiast uprawiania naszej nauki dla swojej przyjemności, nie mieć innych trosk nad przystosowanie się do naszej klijenteli? Jeżeli jedynym przedmiotem matematyki jest niesienie pomocy badaczom przyrody, tedy od nich winnibyśmy oczekiwać haseł i rozkazów. Czy pogląd taki jest uzasadniony? Niewątpliwie nie; gdybyśmy nie byli uprawiali nauk ścisłych dla nich samych, nie bylibyśmy stworzyli owego narzędzia, jakim jest matematyka, i w chwili, kiedyby przyszła komenda fizyka, okazalibyśmy się bezbronnemi.
I fizycy również, kiedy przystępują do badania pewnego zjawiska, nie czekają, by jakaś pilna potrzeba życia praktycznego zmusiła ich do tego, — i mają rację; gdyby uczeni XVIII-go wieku zarzucili byli elektryczność, dlatego, że była dla nich tylko ciekawostką, pozbawioną praktycznego interesu, nie mielibyśmy w wieku XX-tym ani telegrafu, ani elektrochemji, ani elektrotechniki. Zmuszeni wybierać, fizycy nie kierują się więc w swym wyborze jedynie względami na użyteczność. Jakże więc postępują oni, gdy wypada im wybierać zpośród faktów przyrodzonych? Wytłumaczyliśmy to w rozdziale poprzednim; faktami, które ich interesują, są te, które mogą zaprowadzić do odkrycia pewnego prawa; te przeto, które są analogiczne do wielu innych faktów, które nie wydają się odosobnionemi, lecz ściśle powiązanemi w grupy z innemi faktami. Fakt odosobniony uderza wzrok każdego, zarówno pospolitego człowieka jak uczonego badacza. Ale tylko fizyk potrafi dojrzeć łącznik, jednoczący kilka faktów, między któremi zachodzi analogja głęboka lecz ukryta. Anegdota o jabłku Newtona nie jest prawdopodobnie prawdziwa, lecz jest symboliczna; możemy więc ją traktować jak prawdziwą. Otóż przed Newtonem wielu chyba ludzi widziało spadające jabłka: żaden nie potrafił nic z tego wywnioskować. Fakty byłyby jałowe, gdyby nie było umysłów, zdolnych dokonać wśród nich wyboru, wyróżniając te, poza któremi kryje się coś, i poznać, co się za niemi kryje, umysłów, które pod powłoką surowego faktu wyczuwać będą duszę tego faktu.
W matematyce robimy zupełnie to samo; przerozmaite elementy, któremi rozporządzamy, możemy wiązać w miljony różnych kombinacji; ale każda z tych kombinacji jest całkiem bez wartości, dopóki jest odosobniona; często skonstruowanie jej kosztowało nas wiele trudu, lecz niema stąd absolutnie żadnej korzyści, prócz chyba tematu do ćwiczeń dla uczni szkół średnich.
Ale postać rzeczy zmieni się radykalnie z chwilą, gdy kombinacja ta zajmie miejsce w klasie kombinacji analogicznych, i gdy zauważymy tę analogję; będziemy wówczas mieli do czynienia nie z faktem lecz z prawem. I w owej chwili prawdziwym wynalazcą będzie nie pracownik, który cierpliwie zbudował kilka z tych kombinacji, lecz ten, kto ujawni ich powinowactwo. Pierwszy widział jedynie surowy fakt, drugi wyczuł duszę faktu. Często dla stwierdzenia tego powinowactwa wystarczy, że wynajdzie on nowy wyraz, i wyraz ten będzie twórczym; historja nauki dostarczyćby nam po temu mogła mnóstwa przykładów, dobrze znanych wszystkim.
Słynny filozof wiedeński Mach powiedział, że rolą nauki jest ekonomja myśli, jak rolą maszyny ekonomja wysiłku. Jestto bardzo trafne. Człowiek dziki rachuje na palcach lub zapomocą kamyków. Ucząc dzieci tabliczki mnożenia, oszczędzamy im na przyszłość niezliczonych operacji z kamykami. Ktoś kiedyś upewnił się, zapomocą kamyków, czy też inną drogą, że 6 razy 7 daje 42, i przyszło mu na myśl zanotować ten rezultat, i dlatego my nie potrzebujemy zaczynać od początku. Człowiek ów, nawet jeśli rachował jedynie dla swojej przyjemności, nie stracił napróżno czasu, jego rachunek zajął mu wszystkiego dwie minuty, a kosztowałby on łącznie dwa miljardy minut, gdyby miljard ludzi musiał po nim zaczynać od początku.
Miarą doniosłości faktu jest zatym jego wydajność, to znaczy ilość myśli, jaką pozwala nam on zaoszczędzić.
W fizyce faktami o wielkiej wydajności są fakty, podlegające jakiemuś bardzo ogólnemu prawu, gdyż pozwalają one przewidzieć wielką ilość innych faktów; nieinaczej jest w matematyce. Przeprowadziłem skomplikowany rachunek i z mozołem dotarłem do pewnego wyniku; trud, jakiego mnie to kosztowało, opłaci się tylko wówczas, jeśli uczyni on mnie zdolnym przewidywać wyniki innych analogicznych rachunków i przeprowadzać je z całą pewnością, bez posuwania się poomacku, nieuniknionego przy pierwszym rachunku. Tym mniej jeszcze czas mój będzie stracony, jeśli właśnie to macanie drogi dopomogło mi do odkrycia głębokiej analogji, jaka zachodzi między zagadnieniem, nad którym ślęczałem, a o wiele rozleglejszą klasą innych zagadnień; jeśli wskazało mi ono podobieństwa i różnice między temi zagadnieniami, jeśli słowem ujawniło mi perspektywę uogólnienia. Zdobyczą moją będzie natenczas coś więcej niż nowy wynik: będzie nią nowa siła.
Wzór algiebraiczny, który daje rozwiązanie pewnego typu zagadnień liczbowych, gdy zastąpi się w wyniku końcowym litery przez liczby, jest prostym przykładem, który się sam nasuwa. Dzięki niemu jeden jedyny rachunek algiebraiczny oszczędza robotę ustawicznego rozpoczynania od początku nowych rachunków liczbowych. Ale przykład ten oddaje tylko zgruba istotę rzeczy; każdy czuje, że istnieją analogje, nie dające się wyrazić za pomocą wzorów, i te są właśnie najcenniejsze.
Cenę posiada nowy wynik wówczas, jeśli przez powiązanie elementów, znanych oddawna lecz rozproszonych i z pozoru sobie obcych, wprowadza on nagle ład tam, gdzie panował pozór bezładu. Pozwala on wówczas na ogarnięcie jednym rzutem oka każdego z tych elementów oraz miejsca, jakie ono zajmuje w zespole. Nowy ten fakt jest nietylko cenny sam przez się, lecz on tylko nadaje wartość wszystkim dawnym faktom, które ze sobą wiąże. Umysł nasz jest ułomny, jak ułomnemi są nasze zmysły; zgubiłby się on w komplikacji świata, gdyby komplikacja ta nie była harmonijną, widziałby tylko jego szczegóły, jak krótkowidze, i musiałby zapomnieć każdy z tych szczegółów, zanimby zaczął oglądać następny, ponieważ byłby niezdolny wszystkiego ogarnąć. Jedynemi faktami, godnemi naszej uwagi, są te, które wprowadzają ład do tej komplikacji i czynią ją przez to dostępną.
Matematycy przywiązują znaczną wagę do wytworności swych metod i ich wyników; nie jestto jakiś dyletantyzm estetyczny. Cóż bowiem w rozwiązaniu zagadnienia matematycznego lub w dowodzie odczuwamy, jako wytworność? Harmonję poszczególnych części, ich symetrję, fortunne ich ugrupowanie; wszystko, słowem, co nadaje im ład, wprowadza jedność, co przez to pozwala nam orjentować się w nich, rozumieć zarówno całość jak szczegóły. A to samo właśnie nadaje im wielką wydajność; albowiem im jaśniej będziemy mogli widzieć całość, im łacniej ogarnąć ją będziemy mogli jednym rzutem oka, tym lepiej dostrzeżemy jej analogje z innemi, sąsiedniemi przedmiotami, tym przeto więcej będziemy mieli szans zgadnięcia możliwych uogólnień. Wytworność może wypływać z uczucia czegoś nieprzewidzianego naskutek nieoczekiwanego spotkania się rzeczy, których zwykle się do siebie nie zbliża; i w tym razie jest ona płodną, gdyż odsłania nam w ten sposób powinowactwa przedtym nieznane; jest płodną nawet wówczas, gdy jest wynikiem kontrastu między prostotą środków a złożonością postawionego zagadnienia; pobudza nas ona wówczas do rozmyślania nad przyczyną tego kontrastu, i najczęściej okazuje się, że przyczyną tą nie jest przypadek lecz jakieś nieprzeczuwane przez nas prawo. Słowem, uczucie matematycznej wytworności jestto poprostu zadowolenie, wypływające z jakiejś odpowiedniości między dopiero co odkrytym rozwiązaniem a potrzebami naszego umysłu, i dla tej właśnie odpowiedniości rozwiązanie to może się stać narzędziem naszej myśli. Estetyczne to zadowolenie jest tym samym związane z ekonomją myśli. I znowu nasuwa mi się porównanie z Erechteionem, — lecz nie chcę go zbyt często odgrzewać.
Dla tejże samej racji, gdy przydługi rachunek da nam w końcu wynik prosty i uderzający, nie czujemy zadowolenia, dopóki nie wykażemy, że moglibyśmy przewidzieć jeśli nie cały ten wynik, to przynajmniej najbardziej charakterystyczne jego rysy. I czemuż to? Cóż nam przeszkadza zadowolić się rachunkiem, który dał nam, zdałoby się, wszystko, cośmy chcieli wiedzieć? To mianowicie, że w analogicznych wypadkach długi ten rachunek nie dałby się bezpośrednio zastosować, natomiast owo często nawpółintuicyjne rozwiązanie, które mogło było pozwolić przewidzieć wynik, wskaże nam i wówczas drogę do celu. Krótkość tego rozumowania sprawia, że się jednym spojrzeniem ogarnia wszystkie jego części i postrzega odrazu, co w nim należy zmienić, by je dopasować do wszystkich zagadnień tej samej natury, które mogą się wysunąć. A ponieważ pozwala ono przewidzieć, czy rozwiązanie tych zagadnień będzie proste, wskazuje tym samym, czy wogóle warto przystępować do wykonania rachunku.
Uwagi powyższe wystarczają by okazać, jak próżnym byłoby usiłowanie zastąpienia jakimkolwiek działaniem mechanicznym swobodnej inicjatywy matematyka. Dla osiągnięcia wyniku o istotnej wartości nie wystarcza mleć rachunki lub puścić w ruch maszynę, ład zaprowadzającą; nie wszelki bowiem ład lecz ład nieoczekiwany posiada wartość. Maszyna może wgryźć się w fakt surowy, nie chwyci ona nigdy duszy faktu.
Od połowy zeszłego stulecia matematycy coraz więcej dbają o bezwzględną ścisłość; mają oni niewątpliwie słuszność, i tendencja ta będzie się i nadal potęgowała. W matematyce ścisłość nie jest wszystkim, lecz bez niej niema nic; dowód, który nie jest ścisły, nie jest niczym. Nikt, sądzę, nie poda tej prawdy w wątpliwość. Gdyby wszakże wziąć ją zbyt dosłownie, możnaby wywnioskować, że przed rokiem 1820, naprzykład, nie było matematyki; byłoby to jawną przesadą; matematycy ówcześni lubili zakładać domyślnie to, co my tłumaczymy w rozwlekłych dyskursach; nie znaczy to, by zupełnie tego nie widzieli; lecz prześlizgiwali się po tych rzeczach zbyt szybko, a dokładne w nie wejrzenie wymagałoby, by zadali sobie trud wypowiedzenia ich.
Wszelako, czyż zawsze potrzeba je wypowiadać tyle razy? ci, co pierwsi zatroszczyli się przedewszystkim o ścisłość, dali nam rozumowania, które możemy starać się naśladować; ale jeśliby wszystkie przyszłe dowody miały być zbudowane według tego modelu, traktaty matematyczne stałyby się bardzo długie; a długości tej boję się nietylko dlatego, że się lękam przeludnienia bibljotek, lecz dlatego, że się obawiam, iż dowody nasze, wydłużając się, stracą ową postać harmonijną, której użyteczną rolę wytłumaczyłem powyżej.
Mając na celu ekonomję myśli, nie wystarcza dawać modele do naśladowania. Trzeba, aby po nas można się było obyć bez tych modeli, i zamiast powtarzać dokonane już rozumowanie, streścić je w paru wierszach. Kilkakrotnie powiodło się już to zrobić; istniał n. p. pewien typ rozumowań, które były do siebie podobne, i które napotykało się wszędzie; były one doskonale ścisłe, ale były długie. Pewnego dnia wymyślono wyraz: »jednostajność zbieżności« i wyraz ten uczynił je zbytecznemi; nie było już potrzeby ich powtarzać, bo można je było stosować domyślnie. Rozszczepiacze trudności na czworo mogą nam tedy oddać podwójną usługę: nasamprzód mogą nas nauczyć robić w razie potrzeby tak, jak oni, zwłaszcza zaś mogą nam pozwolić możliwie najczęściej robić nie tak jak oni, nie poświęcając nic z ścisłości.
Widzieliśmy przed chwilą na jednym przykładzie, jaka jest doniosłość wyrazów w matematyce, a przykładów takich mógłbym przytoczyć bardzo wiele. Trudno wprost uwierzyć, ile myśli może oszczędzić dobrze obrany wyraz, jak mówi Mach. Nie wiem, czy nie powiedziałem już gdzieś, że matematyka jest sztuką nadawania tej samej nazwy różnym rzeczom. Trzeba, by rzeczy te, różne co do treści, były podobne co do kształtu, żeby mogły, że tak powiem, odlewać się w jedną formę. Gdy język został trafnie obrany, ku ździwieniu naszemu wszystkie dowodzenia, przeprowadzone dla znanego przedmiotu, stosują się bezpośrednio do wielu nowych przedmiotów; nie potrzeba nic w nich zmieniać, nawet wyrazów, bo różnym tym przedmiotom nadaliśmy te same nazwy.
Dobrze obrany wyraz wystarcza najczęściej, by znikły wyjątki od reguł, formułowanych w dawnym języku; w tym to celu wymyślono ilości ujemne, ilości urojone, punkty w nieskończoności, że te tylko wymienię. A wyjątki, pamiętajmy, są zgubne, bo zasłaniają prawa.
Jedną z cech, po których właśnie można poznać fakty o wielkiej wydajności, jest to, że pozwalają one na owe szczęśliwe inowacje językowe. Fakt surowy jest w takich razach często bez znaczniejszego interesu, można było wiele razy go stwierdzić, nie oddając nauce większej usługi; nabiera on wartości dopiero z chwilą, gdy bardziej przenikliwy myśliciel dostrzeże ujawnione przez ten fakt powinowactwo i usymbolizuje je w wyrazie.
I fizycy zresztą postępują zupełnie tak samo; wynaleźli oni wyraz energja, i wyraz ten okazał się na dziw płodnym, bo i on tworzył prawo, rugując wyjątki, bo dawał tę samą nazwę rzeczom różnym w treści a podobnym z formy.
Zpośród wyrazów, które wywarły najszczęśliwszy wpływ, wskażę na wyrazy grupa i niezmiennik. Pozwoliły one dostrzec istotę wielu rozumowań matematycznych; wykazały, w jak wielu wypadkach dawni matematycy rozważali grupy, nie wiedząc o tym, i jakto wówczas, kiedy zdawało im się, że są od siebie bardzo dalecy, nagle znajdowali się w bliskim sąsiedztwie, nie rozumiejąc dlaczego.
Powiedzielibyśmy dzisiaj, że rozważali oni grupy izomorfijne. Wiemy dziś, że w grupie treść obchodzi nas mało, że ważna jest jedynie forma, i że jeśli znamy dobrze pewną grupę, znamy tymsamym wszystkie grupy izomorfijne; i dzięki wyrazom: grupa i izomorfizm, które w kilku sylabach streszczają to subtelne prawidło i spoufalają z nim rychło wszystkie umysły, przejście z jednej dziedziny do drugiej odbywa się bezpośrednio, oszczędzając wszelkiego wysiłku myśli. Pojęcie grupy wiąże się zresztą z pojęciem przekształcenia; czemu przypisuje się taką wartość nowemu przekształceniu? bo pozwala ono z jednego twierdzenia wyprowadzić dziesięć lub dwadzieścia; posiada ono tę samą wartość, co zero dopisane z prawej strony do liczby całkowitej.
Te sprężyny oznaczały dotychczas kierunek ruchu nauki matematycznej, i one też z pewnością oznaczać go będą w przyszłości. W oznaczaniu tego kierunku bierze jednak również udział charakter wysuwających się zagadnień. Nie możemy zapominać, jaki winien być nasz cel; moim zdaniem cel ten jest dwojaki; nauka nasza graniczy z jednej strony z filozofją, z drugiej z fizyką, i dla tych dwu sąsiadek pracujemy; jakoż widzieliśmy zawsze i zawsze będziemy widzieli matematyków, idących w dwu przeciwległych kierunkach.
Z jednej strony nauka matematyczna musi rozmyślać nad samą sobą, i jestto pożyteczne, bo rozmyślać nad samą sobą znaczy dla niej rozmyślać nad umysłem ludzkim, który ją stworzył, tymbardziej, że jestto z wszystkich jego tworów ten, dla którego najmniej czerpał on zzewnątrz. To stanowi o pożyteczności pewnych spekulacji matematycznych jak np. tych, których przedmiotem są postulaty, gieometrje niezwyczajne, funkcje o dziwnym wyglądzie. Im bardziej oddalą się te spekulacje od najpospolitszych pojęć, a przeto od przyrody i od zastosowań, tym lepiej wskażą nam, co może zdziałać umysł ludzki, gdy coraz bardziej uchyla się zpod tyranji świata zewnętrznego, tym lepiej zatym pozwolą nam poznać go samego w sobie.
Ale główną naszą armję winniśmy kierować w stronę przeciwną, w stronę przyrody.
Tam spotkamy fizyka lub inżyniera, który nam powie: »Czy nie moglibyście mi zcałkować tego równania różniczkowego, będę go potrzebował od dziś za tydzień dla takiej a takiej budowy, która ma być ukończona na taki termin«. »Równanie to, odpowiadamy, nie wchodzi do żadnego z typów całkowalnych, wszak wiecie, że niema ich dużo.« »Tak, wiem to, lecz w takim razie, jakiż z was pożytek?« Po większej części wszelako możnaby się porozumieć; inżynierowi właściwie nie jest potrzebna całka w postaci skończonej; potrzebna mu jest znajomość ogólnego wyglądu funkcji całkowej, lub potrzebuje poprostu pewnej cyfry, którąby można było łatwo wyprowadzić z tej całki, gdyby się ją znało. Zwykle nie zna się samej całki, ale możnaby wyrachować cyfrę tę bez niej, gdyby się dobrze wiedziało, jaka to cyfra potrzebna jest inżynierowi i z jakim przybliżeniem.
Kiedyś uważano równanie za rozwiązane jedynie wówczas, gdy wyrażono jego rozwiązanie zapomocą skończonej ilości znanych funkcji; ale jestto możliwe conajwyżej raz na sto razy. Zawsze natomiast możemy, a właściwie powinniśmy się starać rozwiązać zagadnienie, że tak powiem, jakościowo, to znaczy starać się poznać ogólny kształt krzywej, która wyobraża funkcję niewiadomą.
Pozostaje wówczas znalezienie ilościowego rozwiązania zagadnienia; jeżeli niewiadomej nie można oznaczyć zapomocą rachunku skończonego, to można ją zawsze wyrazić w postaci nieskończonego zbieżnego szeregu, który pozwala ją wyrachować. Czy można to uważać za prawdziwe rozwiązanie? Opowiadają, że Newton zakomunikował Leibnizowi anagram mniej więcej taki: aaaaabbbeeeeii itd. Leibniz, oczywista, nie zrozumiał z tego nic; lecz my, którzy znamy klucz, wiemy, że anagram ten w przekładzie na język nowoczesny mówi: »Umiem całkować wszystkie równania różniczkowe«, co mogłoby nam nastręczyć myśl, że Newton miał duże szczęście, albo też, że osobliwie się łudził. W istocie chciał on poprostu powiedzieć, że był w stanie utworzyć (zapomocą metody współczynników nieoznaczonych) szereg potęg, czyniących formalnie zadość danemu równaniu.
Podobne rozwiązanie nie zadowoliłoby nas dzisiaj, i to dla dwu względów: dlatego, że zbieżność jest zbyt powolna, i że wyrazy następują po sobie bez określonego prawa. Przeciwnie, szereg Θ wydaje się nam odpowiadającym wszelkim wymaganiom, naprzód dlatego, że zbiega się bardzo szybko (ważne dla praktyka, który chce otrzymać swoją liczbę możliwie najrychlej), powtóre zaś dlatego, że obejmujemy jednym rzutem prawo wyrazów (dla teoretyka, aby zaspokoić jego potrzeby estetyczne).
Wobec tego niema więcej zagadnień rozwiązanych i zagadnień nierozwiązanych; istnieją tylko zagadnienia bardziej lub mniej rozwiązane stosownie do tego, czy rozwiązanie to stanowi szereg o bardziej lub mniej szybkiej zbieżności, lub czy rządzi nim prawo bardziej lub mniej harmonijne. Zdarza się przecież, że rozwiązanie niedoskonałe toruje drogę do rozwiązania lepszego. Niekiedy zbieżność szeregu jest tak wolna, że rachunek jest praktycznie nie do przeprowadzenia, i że dane rozwiązanie jest jedynie dowodem teoretycznej rozwiązalności samego zagadnienia.
Inżynier uzna rozwiązanie takie za pozbawione wszelkiej wartości, i słusznie, skoro nie pomoże mu ono wykończyć budowy na oznaczony termin. Mało dba on o to, czy będzie to użyteczne dla inżynierów XXII-go stulecia; my oceniamy tę kwestję z innego stanowiska, i więcej nam sprawia niekiedy zadowolenia zaoszczędzenie dnia pracy naszym wnukom, niż godziny naszym współczesnym.
Niekiedy, idąc omackiem, empirycznie poniekąd, osiągamy wzór dostatecznie zbieżny. I czegóż wam więcej potrzeba, powie nam inżynier; a my, pomimo wszystko, nie jesteśmy zadowoleni, wolelibyśmy przewidzieć tę zbieżność. Dlaczego? bo gdybyśmy potrafili przewidzieć ją raz, potrafilibyśmy przewidzieć ją innym razem. Powiodło nam się — jestto dla nas bardzo niewiele, jeżeli nie mamy poważnej nadziei, że powiedzie się znowu.
W miarę rozwoju nauki staje się trudniejszym ogarnięcie jej całej; wówczas usiłuje się pokrajać ją na kawałki, ograniczyć się jednym takim kawałkiem; słowem — specjalizować się. Gdyby proces ten trwał dalej, stałoby się to dotkliwą przeszkodą dla postępów nauki. Jak powiedzieliśmy, postępy jej mogą być wywołane nieoczekiwanemi zbliżeniami rozmaitych jej części. Zbytnia specjalizacja wykluczałaby takie zbliżenia. Miejmy nadzieję, że kongresy takie, jak heidelberski i rzymski, nawiązując komunikację między matematykami, otworzą nam widok na pole sąsiada, zmuszą nas do porównania tego pola do naszego, do wychylenia się poza naszą wioskę; staną się one w ten sposób najlepszym lekarstwem na niebezpieczeństwo powyżej wskazane.
Ale zadużo trawię czasu na uwagi ogólne, pora już wejść w szczegóły.
Dokonajmy przeglądu rozmaitych nauk szczególnych, których zespół stanowi matematykę; zobaczmy, co każda z nich zrobiła, dokąd zmierza, i czego można się od niej spodziewać. Jeżeli powyższe poglądy są słuszne, będziemy musieli stwierdzić, że w przeszłości wielkie postępy zachodziły wówczas, gdy dwie z tych nauk zbliżyły się do siebie, gdy uświadomiono sobie podobieństwo ich form pomimo odmienności ich treści, gdy jedna jęła się modelować na drugiej, tak, iż każda z nich mogła korzystać ze zdobyczy drugiej. Zarazem powinnibyśmy dostrzec w podobnych zarysowujących się zbliżeniach postępy przyszłości.
Postępy arytmetyki były znacznie powolniejsze niż postępy algiebry i analizy, i nietrudno jest zrozumieć, dlaczego tak było. Poczucie ciągłości, ten tak cenny przewodnik w badaniach, nie może służyć arytmetykowi; każda liczba całkowita odosobniona jest od innych, posiada poniekąd własną indywidualność; każda z nich jest pewnego rodzaju wyjątkiem, i dlatego twierdzenia ogólne rzadsze są w teorji liczb, dlatego również twierdzenia istniejące są bardziej ukryte i dłużej wymykają się badaczom.
Skoro arytmetyka jest spóźniona w stosunku do algiebry i analizy, tedy najlepiej zrobi, jeśli będzie się starała modelować na tych naukach, aby skorzystać z ich postępów. Arytmetyk powinien tedy kierować się analogjami z algiebrą. Analogje te są liczne i jeśli w wielu wypadkach nie zbadano ich dość zbliska, by z nich wyciągnąć korzyści, to przeczuwa się je przynajmniej oddawna, i sam język obu tych nauk dowodzi, że je dostrzeżono. Tak np. mówi się o liczbach przestępnych (transcendentnych) i zdaje się sobie sprawę z tego, że przyszła klasyfikacja tych liczb ma już wzór w klasyfikacji funkcji przestępnych, jakkolwiek nie jest jeszcze widocznym, jak będzie można przejść od jednej klasyfikacji do drugiej; bo gdyby to było widocznym, byłoby to już zrobione, i przestałoby być dziełem przyszłości.
Pierwszym przykładem, który mi się nasuwa, jest teorja porównań (kongruencji), wykazująca zupełny paralelizm z teorją równań algiebraicznych. Niewątpliwie powiedzie się dopełnić ten paralelizm niechybną równoległością między teorją krzywych algiebraicznych a porównaniami o dwu zmiennych. Kiedy zaś zagadnienia, dotyczące porównań o kilku zmiennych, będą rozwiązane, będzie to pierwszym krokiem ku rozwiązaniu wielu zadań analizy nieoznaczonej.
Teorja równań algiebraicznych ściągać będzie jeszcze długo uwagę matematyków; przystępować do niej można ze stron licznych i rozmaitych.
Nie należy mniemać, że algiebra jest skończona, ponieważ dostarcza nam prawideł na formowanie wszelkich możliwych kombinacji; pozostaje poszukiwanie kombinacji interesujących, czyniących zadość temu lub innemu warunkowi. W ten sposób ukonstytuuje się pewnego rodzaju analiza nieoznaczona, w której niewiadomemi będą nie liczby całkowite lecz wielomiany. A w tym razie algiebra weźmie za model arytmetykę, kierując się analogją, jaką wykazuje z liczbą całkowitą bądź wielomian całkowity o jakichkolwiek współczynnikach, bądź wielomian całkowity o współczynnikach całkowitych.
Zdawałoby się, że gieometrja nie może zawierać w sobie nic, czegoby nie było już w algiebrze lub w analizie; że fakty gieometryczne nie są niczym innym, jak faktami algiebraicznemi lub analitycznemi, wyrażonemi w innym języku. Możnaby tedy sądzić, że po powyższym przeglądzie arytmetyki i algiebry nie mamy już nic do powiedzenia, coby dotyczyło specjalnie gieometrji. Lecz mniemanie takie równałoby się zapoznaniu wagi dobrze urobionego języka, nierozumieniu tego, co dodaje do samych rzeczy sposób ich wysłowienia a przeto i ich zgrupowania.
Nasamprzód rozważania gieometryczne pobudzają nas do wysuwania nowych zagadnień: są to wprawdzie, jeśli chcecie, zagadnienia analityczne, ale których nie wysunęlibyśmy nigdy ze względu na samą analizę. Analiza wszelako na tym korzysta, podobnie, jak korzysta z zagadnień, które zmuszona jest rozwiązać, aby zaspokoić potrzeby fizyki.
Wielką wyższością gieometrji jest, że w niej zmysły mogą popierać intelekt, pomagają odgadnąć drogę, i wiele umysłów woli sprowadzać zagadnienia analizy do postaci gieometrycznej. Niestety, zmysły nasze nie mogą nas zaprowadzić bardzo daleko i odmawiają nam towarzystwa, skoro tylko zechcemy wylecieć poza trzy klasyczne wymiary. Czy znaczy to, że po wyjściu z tego ograniczonego obszaru, w którym jakgdyby chcą nas one uwięzić, powinniśmy jedynie liczyć na analizę czystą, i że wszelka gieometrja więcej niż trójwymiarowa jest czcza i bezprzedmiotowa? W pokoleniu, które nas poprzedziło, najwięksi mistrze byliby odpowiedzieli »tak«; my dzisiaj tak jesteśmy z tym pojęciem obyci, że możemy o nim mówić nawet w wykładzie uniwersyteckim, nie budząc zbytniego ździwienia.
Ale jakiż jest z niego użytek? Odpowiedź nietrudna: daje ono nam przedewszystkim bardzo wygodny język, który wyraża w terminach bardzo zwięzłych to, co język zwykły wypowiedziałby w wielosłownych zdaniach. Nadto język ten każe nam nazywać jedną i tą samą nazwą to, co jest do siebie podobne, i uwypukla analogje, wrażając je w sposób niezatarty w naszą pamięć. Pozwala nam więc kierować się w owej zbyt wielkiej i niewidzialnej dla nas przestrzeni, przypominając nam ustawicznie przestrzeń widzialną, która jest wprawdzie niedoskonałym tylko tamtej obrazem, ale przecież jest jej obrazem. I tutaj tedy, podobnie jak w poprzednich przykładach, analogja z rzeczami prostemi pozwala nam rozumieć rzeczy złożone.
Ta gieometrja o więcej niż trzech wymiarach nie jest poprostu gieometrją analityczną, nie jest czysto ilościową, jest również jakościową i głównie tym jest interesująca. Istnieje nauka, zwana Analysis Situs, której przedmiotem jest badanie stosunków położenia rozmaitych elementów danej figury, abstrahując od ich wielkości. Gieometrja ta jest czysto jakościową; twierdzenia jej pozostałyby prawdziwe, gdyby figury dokładne zastąpione zostały przez figury zgruba narysowane przez dziecko. Można zbudować Analysis Situs o więcej niż trzech wymiarach. Doniosłość Analysis Situs jest ogromna i nie mogę wprost położyć na nią zbyt wielkiego nacisku; korzyści, jakie z niej wyciągnął Riemann, jeden z jej twórców, starczyłby za dowód. Musi się powieść zbudować ją całkowicie w przestrzeniach wyższych: będziemy wówczas w posiadaniu narzędzia, które pozwoli istotnie widzieć w nadprzestrzeni i dopełnić braki naszych zmysłów.
Zagadnienia Analysis Situs nie byłyby, być może, powstały, gdyby się posługiwano wyłącznie językiem analitycznym; albo raczej — mylę się — powstałyby z pewnością, skoro rozwiązanie ich niezbędne jest dla mnóstwa zagadnień z dziedziny analizy; ale powstałyby jako zagadnienia odosobnione, jedne po drugich, bez ujawnienia łączących je węzłów.
Mówiłem już wyżej o odczuwanej przez nas potrzebie ustawicznego wspinania się znowu do pierwszych zasad naszej nauki, i o korzyści, jaka może stąd płynąć dla badań nad umysłem ludzkim. Ta właśnie potrzeba natchnęła dwie próby, które zajęły znaczne bardzo miejsce w najnowszej historji matematyki. Pierwszą jest cantoryzm, który oddał nauce znane usługi. Cantor wprowadził do nauki nowy sposób rozważania nieskończoności matematycznej, o czym będziemy mieli sposobność mówić w rozdziale VII-ym. Jednym z najcharakterystyczniejszych rysów cantoryzmu jest, że zamiast wznoszenia się ku pojęciom ogólnym przez budowanie konstrukcji coraz bardziej złożonych i definjowania przez konstrukcję, wychodzi on z genus supremum i definjuje, jak powiedzieliby scholastycy, jedynie per genus proximum et differentiam specificam. Stąd odraza, jaką budził on niekiedy w niektórych umysłach, np. u Hermite’a, którego ulubioną ideją było porównywanie nauk matematycznych do nauk przyrodniczych. U większości z nas uprzedzenie to rozproszyło się; zdarzyło się przecież, że potknięto się o pewne paradoksy, o pewne sprzeczności, które napełniłyby radością Zenona z Elei i szkołę megarską. I oto każdy szuka leku. Moim zdaniem — a jestto zdanie i innych — najważniejszym jest, aby nigdy nie wprowadzać innych tworów prócz tych, które można w zupełności zdefinjować zapomocą skończonej ilości wyrazów. Jakikolwiek z leków się zastosuje, możemy przewidzieć radość lekarza, który będzie miał sposobność obserwować piękny wypadek patologiczny.
Z drugiej strony usiłowano wyliczyć pewniki i postulaty mniej lub bardziej ukryte, które stanowią podstawę poszczególnych teorji matematycznych. Hilbert osiągnął w tej dziedzinie świetne wyniki. Zdawałoby się zrazu, że jestto dziedzina wyraźnie ograniczona, i że nie będzie w niej nic do roboty, skoro inwentarz będzie skończony, co musi nastąpić dość rychło. Ale kiedy wszystko będzie wyliczone, będzie dość sposobów rozklasyfikowania wszystkiego; dobry bibljotekarz znajduje zawsze zajęcie, a każda nowa klasyfikacja będzie pouczająca dla filozofa.
Urywam ten przegląd, nie mając żadnych złudzeń co do jego zupełności. Sądzę, że przykłady te wystarczą, by okazać, jaki był mechanizm postępu nauk matematycznych w przeszłości, i w jakim kierunku muszą się one posuwać w przyszłości.
Gieneza twórczości matematycznej stanowi dla psychologa zagadnienie wybitnie interesujące. Stoi on wobec aktu, w którym umysł ludzki zdaje się czerpać najmniej ze świata zewnętrznego, kiedy działa, istotnie lub pozornie, sam przez się i nad samym sobą, — to też, badając proces myśli matematycznej, można spodziewać się dotrzeć do najwewnętrzniejszej istoty umysłowości ludzkiej.
Zrozumiano to oddawna; przed kilku miesiącami czasopismo »l’Enseignement Mathématique«, wydawane przez Laisanta i Fehra, przeprowadziło ankietę o nawyknieniach umysłowych i metodach pracy matematyków. Główne rysy niniejszego artykułu były już nakreślone, kiedy wyniki tej ankiety zjawiły się w druku; nie mogłem przeto z nich skorzystać, ograniczę się też powiedzeniem, że większość zawartych w nich świadectw potwierdza moje wnioski, — większość tylko, boć kiedy poddajemy się orzeczeniu głosowania powszechnego, nie możemy pochlebiać sobie, że osiągniemy jednomyślność.
Pierwszy fakt, który powinien wzbudzić nasze ździwienie, albo raczej powinienby był je wzbudzić, gdybyśmy nie byli doń tak bardzo przyzwyczajeni, polega na tym, że ogromna ilość ludzi nie rozumie matematyki. Skoro matematyka powołuje się jedynie na reguły logiczne, uznane przez wszystkie normalnie funkcjonujące umysły, skoro oczywistość jej jest oparta na zasadach wspólnych wszystkim ludziom, na zasadach, których nikt, o ile nie jest szaleńcem, nie może negować; — tedy czymże się dzieje, że istnieje tyle osób, dla których jest ona zgoła niedostępna?
Że nie każdy posiada zdolność pracy twórczej, niema w tym nic tajemniczego. Że nie wszyscy są w stanie zapamiętać dowodzenie, którego się niegdyś nauczyli, i z tym można się pogodzić. Ale żeby każdy nie mógł pojąć rozumowania matematycznego w chwili, kiedy mu je wykładają, — musi się nam wydać, gdy się nad tym zastanowimy, zgoła dziwnym. A przecież ludzie, którzy z trudem śledzą bieg takiego rozumowania, stanowią większość: nikt nie poda tego w wątpliwość, a i doświadczenie nauczycieli szkół średnich napewno nie zada temu kłamu.
Cowięcej: jakże to jest możliwe, żeby w matematyce popełniano błędy? Zdrowy umysł nie powinien popełniać błędów logiki, a jednak istnieją subtelne głowy, które, choć nie potkną się na krótkim rozumowaniu, jakie się wykonywa w zwykłych sprawach życiowych, przecież nie są zdolne śledzić lub powtórzyć bez błędu dowodzenia matematycznego, dłuższego wprawdzie, ale będącego w końcu jedynie nagromadzeniem drobnych rozumowań zupełnie analogicznych z temi, jakie przeprowadzają z taką łatwością. Czyż trzeba dodać, że i sami matematycy nie są nieomylni?
Jedna tylko, jak mi się zdaje, istnieje na te pytania odpowiedź. Wyobraźmy sobie długi szereg sylogizmów tak ustawionych, że wnioski pierwszych służą za przesłanki następnym: będziemy w stanie zrozumieć każdy z tych sylogizmów, i przechodząc od przesłanek do wniosków, nie narazimy się na zbłądzenie. Lecz między chwilą, kiedy po raz pierwszy napotykamy pewne twierdzenie, jako wniosek z sylogizmu, a chwilą, kiedy znowu je odnajdujemy, jako przesłankę innego sylogizmu, upłynie często dużo czasu, przesunie się wiele ogniw łańcucha; zdarzyć się przeto może, że twierdzenia tego zapomnimy; albo, cogorsza, że zapomnimy, co ono właściwie oznacza. Może się tedy zdarzyć, że zamiast niego weźmiemy inne twierdzenie, nieco różniące się od tamtego, albo że, zachowując dawne brzmienie, nadamy mu treść nieco odmienną, i w ten sposób narazimy się na błąd.
Matematykowi wypada często posługiwać się taką lub inną regułą; oczywiście zanim jej użył po raz pierwszy, dowiódł jej; i w momencie, gdy dowodzenie to tkwiło zupełnie naświeżo w jego pamięci, rozumiał doskonale jego treść i zakres, nie obawiał się, że je wypaczy lub skazi. W następstwie wszakże powierzył je swej pamięci, i stosuje je poprostu w sposób mechaniczny; i wówczas, jeżeli pamięć go zawiedzie, może je zastosować całkiem naopak. Tak np., że wezmę przykład prosty i niemal pospolity, robimy niekiedy błędy rachunkowe dlatego, że zapomnieliśmy tabliczki mnożenia.
Z tego stanowiska szczególne uzdolnienie do matematyki polegałoby na pewności pamięci lub na zdolności do niezwykłego natężania uwagi. Byłaby to zdolność podobna do zdolności gracza w wista, który pamięta, jakie karty już położono; albo, podnosząc się o stopień wyżej, do zdolności gracza w szachy, który potrafi objąć wielką ilość kombinacji i zachować je w pamięci. Każdy dobry matematyk powinienby być zarazem dobrym szachistą i odwrotnie; powinienby on również być dobrym rachmistrzem. Zapewne zdarza się to niekiedy, Gauss np. był jednocześnie gienialnym matematykiem i, za pacholęcych już lat, doskonałym rachmistrzem.
Ale istnieją wyjątki, albo raczej nie są to wyjątki, gdyż są one liczniejsze niż wypadki, odpowiadające regule. Gauss to był właśnie wyjątkiem. Co do mnie, to muszę wyznać, że jestem absolutnie niezdolny zrobić dodawania bez błędu. Byłbym również bardzo złym szachistą; wykalkulowałbym wprawdzie, że robiąc pewien ruch, narażam się na takie a takie niebezpieczeństwo; rozważyłbym kolejno wiele innych posunięć, które odrzuciłbym dla innych racji, i w końcu zrobiłbym posunięcie, nad którym zastanawiałem się już był poprzednio, gdyż tymczasem zapomniałbym o niebezpieczeństwie, które sam przewidziałem.
Słowem, mam pamięć niezłą ale niedostateczną, bym mógł się stać dobrym szachistą. Dlaczegóż nie zawodzi mnie ona wśród rozumowania matematycznego, gdzie zabłądziłaby większość szachistów? Oczywiście dlatego, że wspiera ją poczucie ogólnego biegu rozumowania. Dowodzenie matematyczne nie jest prostym kleceniem sylogizmów, są to sylogizmy, ustawione w pewnym porządku, i porządek, w jakim elementy te są umieszczone, jest daleko ważniejszy niż same te elementy. Jeżeli posiadam czucie, intuicję, że tak powiem, tego porządku, tak, iż obejmuję jednym rzutem oka całość rozumowania, nie mam czego obawiać się, że zapomnę jeden z elementów, każdy sam trafi do przygotowanej dlań ramy, nie wymagając ode mnie żadnego wysiłku pamięci.
Natenczas, kiedy powtarzam rozumowanie, którego się nauczyłem, mam wrażenie, że mógłbym je był sam wynaleźć; jestto często tylko złudzenie; ale nawet w takim razie, nawet jeśli nie jestem dość zdolny, by tworzyć sam, wynajduję je sam ponownie, w miarę tego jak je powtarzam.
Łatwo zrozumieć, że to poczucie, ta intuicja porządku matematycznego, która pozwala nam zgadywać ukryte harmonje i związki, nie może być udziałem każdego. Jedni nie będą posiadali ani tego subtelnego a trudnego do określenia poczucia, ani tej, przewyższającej średnią miarę, siły pamięci i uwagi, a przeto będą zupełnie niezdolni do rozumienia matematyki nieco wyższej; ci są najliczniejsi. Innym poczucie to będzie właściwe w stopniu słabym tylko, ale będą oni obdarzeni niepospolitą pamięcią i wielką zdolnością koncentracji uwagi. Nauczą się na pamięć jednych szczegółów za drugiemi, będą mogli rozumieć matematykę i niekiedy ją stosować, ale nie będą w stanie tworzyć. Inni wreszcie posiadać będą w mniejszym lub większym stopniu wspomnianą specjalną intuicję, i ci nietylko będą mogli rozumieć matematykę, nawet jeżeli nie są obdarzeni nadzwyczajną pamięcią, ale będą mogli stać się twórcami i próbować działalności wynalazczej z powodzeniem mniejszym lub większym, w zależności od stopnia rozwoju ich intuicji.
Czymże bo jest twórczość matematyczna? Nie polega ona na robieniu nowych kombinacji ze znanych już istot matematycznych. To mógłby robić pierwszy lepszy, ale kombinacje, któreby w ten sposób powstały, byłyby nieskończenie liczne, i większość z nich byłaby pozbawiona wszelkiego interesu. Twórczość polega właśnie na tym, by nie konstruować zbytecznych kombinacji, konstruować natomiast istotnie użyteczne, które stanowią nieznaczną mniejszość. Tworzyć — znaczy to rozróżniać, znaczy wybierać.
W tym wyborze za fakty matematyczne godne badania należy uznać te, które przez swe analogje z innemi faktami posiadają moc naprowadzania nas na poznanie praw matematycznych, podobnie jak fakty doświadczalne prowadzą nas do poznania prawa fizycznego. Są to fakty, które objawiają nam nieprzeczuwane z góry powinowactwa między innemi faktami, znanemi oddawna, ale niesłusznie uważanemi za wzajemnie sobie obce.
Pośród kombinacji, na których zatrzyma się nasz wybór, najpłodniejszemi będą często te, które utworzone zostały z elementów, zapożyczonych z dziedzin bardzo od siebie odległych; nie chcę przez to powiedzieć, że, aby tworzyć w matematyce, wystarczy zbliżyć do siebie dwa możliwie różne przedmioty; większość kombinacji, które by w ten sposób uformowano, byłaby całkowicie jałowa; ale niektóre, bardzo nieliczne, zpośród nich są najpłodniejsze ze wszystkich możliwych.
Tworzyć, jakem powiedział, to wybierać; być może jednak, że wyrażenie to nie jest zupełnie trafne, gdy nasuwa ono obraz kupującego, któremu przedstawiają mnóstwo próbek, i który ogląda je kolejno, by dokonać wyboru. Tutaj ilość próbek byłaby tak wielka, że nie starczyłoby całego życia na ich obejrzenie. W rzeczywistości wybór odbywa się inaczej. Jałowe kombinacje nie powstaną nawet w umyśle twórcy. W polu jego świadomości zjawiać się będą zawsze kombinacje istotnie użyteczne, i te nawet, które odrzuci, odznaczać się będą w pewnym stopniu cechami kombinacji użytecznych. Wygląda to tak, jakgdyby wynalazca był egzaminatorem drugiego stopnia, którego zadaniem jest ściślejsze przesłuchiwanie kandydatów, uznanych już po pierwszym egzaminie za dostatecznie uzdolnionych.
Wszystko, com powiedział powyżej, możnaby zaobserwować lub wywnioskować, czytając pisma matematyków, byle czytać je z dostateczną rozwagą.
Aby przeniknąć głębiej, trzeba zobaczyć, co się dzieje w samej duszy matematyka. W tym celu najlepiej zapewne będzie, jeśli wyłożę osobiste swe wspomnienia. Ograniczę się opowiedzeniem, jak napisałem moją pierwszą rozprawę o funkcjach fuchsowskich. Muszę z góry przeprosić za to, że użyję paru wyrażeń technicznych, ale nie powinny one odstraszyć czytelnika, gdyż nie ma on bynajmniej koniecznej potrzeby je rozumieć. Powiem, np., że znalazłem dowodzenie takiego a takiego twierdzenia, w takich a takich okolicznościach, twierdzenie to będzie miało barbarzyńską nazwę, której wielu czytelników nie będzie znało, lecz nie ma to żadnej wagi; interesującym dla psychologa jest nie twierdzenie lecz okoliczności.
Od dwu tygodni usiłowałem dowieść, że nie może istnieć żadna funkcja analogiczna z funkcjami, które później nazwałem fuchsowskiemi; wiedza moja była wówczas wielce ograniczona; co dnia siadałem do biurka, przepędzałem przy nim godzinę lub dwie, próbowałem wielkiej ilości kombinacji i nie dochodziłem do żadnych wyników. Pewnego wieczoru napiłem się, wbrew mym nawyknieniom, czarnej kawy i nie mogłem zasnąć; myśli rodziły się rojami; czułem, że się jak gdyby obijają jedne o drugie, aż dwie zahaczyły się o siebie i utworzyły trwałą kombinację. Rano ustanowiłem istnienie pewnej klasy funkcji fuchsowskich, tych mianowicie, które pochodzą od szeregu hypergieometrycznego; pozostawało mi tylko zredagowanie wyników, co zabrało nie więcej nad kilka godzin czasu.
Chciałem następnie przedstawić te funkcje przez iloraz dwu szeregów; pomysł ten był zupełnie świadomy i celowy; kierowałem się analogią z funkcjami eliptycznemi. Zadałem sobie pytanie, jakie powinnyby były być własności tych szeregów, gdyby one istniały, i doszedłem bez trudności do utworzenia szeregów, które nazwałem tetafuchsowskiemi.
W tym momencie opuściłem Caen, gdzie mieszkałem był wówczas, by wziąć udział w wycieczce gieologicznej, zorganizowanej przez Szkołę Górniczą. Perypetje podróży sprawiły, żem zapomniał o swych pracach matematycznych; po przybyciu do Coutances wsiedliśmy do omnibusu, aby udać się na jakiś spacer; w chwili, kiedy stawiałem nogę na stopniu, przyszło mi do głowy — chociaż nic w moich poprzedzających myślach nie zdawało się być do tego przygotowaniem — że przekształcenia, których użyłem dla definicji funkcji fuchsowskich, są identyczne z przekształceniami gieometrji nie-euklidesowej. Nie sprawdziłem tego; nie miałbym na to czasu, gdyż skoro tylko usiadłem w omnibusie, powróciłem do rozpoczętej poprzednio rozmowy — ale miałem odrazu całkowitą pewność, że tak jest. Po powrocie do Caen, z wypoczętą głową, poddałem ową myśl sprawdzeniu, dla spokoju sumienia.
Zająłem się następnie studjowaniem zagadnień arytmetycznych bez dużego napozór skutku, i nie podejrzewając, by miało to jakikolwiek związek z memi poprzedniemi badaniami. Zniechęcony niepowodzeniem, pojechałem przepędzić parę dni nad brzegiem morza i myślałem o czymś zupełnie innym. Pewnego dnia, gdym się przechadzał po skałach nadbrzeżnych, zjawiła mi się myśl — znowu tak krótka, nagła i nacechowana absolutną pewnością, — że przekształcenia arytmetyczne form kwadratowych trójkowych nieoznaczonych są identyczne z przekształceniami gieometrji nie-euklidesowej.
Powróciwszy do Caen zastanowiłem się nad tym wynikiem, i wyprowadziłem zeń pewne konsekwencje; przykład form kwadratowych wskazywał mi, że istnieją grupy fuchsowskie poza temi, które odpowiadają szeregowi hypergieometrycznemu; przekonałem się, że można do nich zastosować teorję szeregów tetafuchsowskich, i że przeto istnieją funkcje fuchsowskie odmienne od funkcji, wywodzących się z szeregu hypergieometrycznego, jedynych, które znałem przedtym. Oczywiście założyłem sobie znalezienie wszystkich tych funkcji; poddałem je systematycznemu oblężeniu i zdobywałem kolejno najbardziej wysunięte placówki; były przecież takie, które trzymały się jeszcze, i tych właśnie upadek pociągnąłby za sobą poddanie się głównej pozycji. Zrazu wszystkie moje wysiłki nie dały mi nic ponad lepszą znajomość trudności, jakie należało pokonać, co też było już coś warte. Cała ta praca odbywała się zupełnie świadomie.
Następnie pojechałem do Mont-Valérien, gdzie miałem odsłużyć wojskowość; zaprzątnięty więc byłem czymś zupełnie innym, niż poprzednio. Pewnego dnia, gdym przechodził przez bulwar, zjawiło się w moim umyśle rozwiązanie trudności, która mnie zatrzymywała. Nie próbowałem natychmiast głębiej się nad nim zastanowić, i dopiero po skończeniu terminu ćwiczeń wojskowych powróciłem do tej kwestji. Byłem w posiadaniu wszystkich elementów rozwiązania, pozostawało mi jedynie zebrać je i uporządkować. To też zredagowałem ostateczną swą rozprawę jednym tchem i bez trudu.
Ograniczę się tym jednym przykładem, niema bowiem celu je mnożyć; o innych moich badaniach musiałbym dać relacje zupełnie podobne do powyższej; a spostrzeżenia, podane przez innych matematyków w ankiecie miesięcznika »Enseignement Mathématique«, potwierdzają tylko moje uwagi.
Co uderza przede wszystkim, to te napozór nagłe olśnienia, jawne oznaki długiej poprzedzającej nieświadomej pracy; rola, jaką nieświadoma ta praca odgrywa w twórczości matematycznej, wydaje mi się bezsporną, ślady jej można odnaleźć w innych wypadkach, kiedy mniej rzuca się ona w oczy. Często się zdarza, że, kiedy pracujemy nad jakąś trudniejszą kwestją, za pierwszym razem nie dochodzimy do żadnych wyników; następnie urządzamy sobie krótszy lub dłuższy odpoczynek i znowu siadamy do stołu; w ciągu pierwszej pół godziny nie trafia się znowu nic ciekawego, poczym raptem zjawia się w umyśle idea decydująca. Powiedziećby można, że praca świadoma była bardziej owocna, dlatego że ją przerwano i odpoczynek wrócił umysłowi moc i świeżość. Ale prawdopodobniejsze jest, że odpoczynek był zapełniony nieświadomą pracą, i że wynik tej pracy objawił się później matematykowi zupełnie tak, jak to było w wypadkach, które opisałem; różnica polega jedynie na tym, że objawienie nie nastąpiło podczas przechadzki lub podróży, lecz zaszło w czasie świadomej pracy ale niezależnie od tej pracy, która odgrywa tutaj conajwyżej rolę wyładowywacza, jest jakgdyby ostrogą, pobudzającą osiągnięte podczas odpoczynku lecz nieuświadomione jeszcze rezultaty do przybrania postaci świadomej.
Inna jeszcze nasuwa się uwaga, dotycząca warunków tej nieświadomej pracy; oto, aby ona była możliwa, a w każdym razie, aby była płodna, trzeba koniecznie, żeby zarówno przed nią jak po niej istniał okres pracy świadomej. Nigdy — i przytoczone przezemnie przykłady dostatecznie tego dowodzą — nagłe te natchnienia nie występują inaczej jak po kilku dniach celowych wysiłków, które, jak się wydawało, były zupełnie bezpłodne, nie dały nic pozytywnego, biegły po błędnej drodze. Wysiłki te nie były wszakże, jak się później okazało, tak jałowe, wprawiły one w ruch nieświadomą maszynę, która bez nich nie potrafiłaby pracować i niczegoby nie wytworzyła.
Konieczność drugiego okresu pracy świadomej po natchnieniu łatwiej jeszcze jest zrozumiała. Trzeba wyzyskać wyniki jego natchnienia, wyprowadzić z nich bezpośrednie konsekwencje, uporządkować je, zredagować dowodzenia, ale, nadewszystko, trzeba je sprawdzić. Mówiłem o poczuciu bezwzględnej pewności, cechującym natchnienie; w przytoczonych wypadkach poczucie to nie było zwodnym, i tak też bywa najczęściej; nie należy wszakże sądzić, że jestto reguła bez wyjątku; często poczucie to pomimo całej swej żywości zawodzi, a przekonywamy się o tym wówczas, kiedy chcemy nadać dowodzeniu postać uporządkowaną i dostępną dla innych. Fakt ten obserwowałem zwłaszcza w stosunku do pomysłów, na które wpadałem rano lub wieczorem, leżąc w łóżku, w stanie półsennym.
Takie są fakty; a oto uwagi, jakie one rodzą. »Ja« nieświadome, czyli, jak się mówi, »ja« subliminalne, podświadome, odgrywa w twórczości matematycznej rolę kapitalną — wynika to z wszystkiego, cośmy powiedzieli. Ale zazwyczaj »ja« podświadome uważamy za czysto automatyczne. Otóż, jak widzieliśmy, praca automatyczna nie jest prostą pracą mechaniczną, nie można jej powierzyć maszynie, jakkolwiek wysokie byłoby jej udoskonalenie. Nie idzie tu tylko o stosowanie reguł, o fabrykowanie największych ilości możliwych kombinacji według pewnych praw stałych. Kombinacje, jakieby w ten sposób otrzymano, byłyby nadzwyczajnie liczne, bezużyteczne i zawadzające. Prawdziwa praca twórcy polega na dokonaniu zpośród tych kombinacji wyboru, rugującego rzeczy bezużyteczne, albo raczej na niezadawaniu sobie trudu fabrykowania ich. Reguły, które kierują tym wyborem, są niezmiernie subtelne i misterne, niepodobna niemal wyrazić ich w ścisłym wysłowieniu; czuje się je raczej, niż formułuje; jakżeby się wobec tego miało wyobrazić sobie sito, zdolne mechanicznie je stosować?
Nasuwa się tedy pierwsza hypoteza: »ja« podświadome nie jest bynajmniej niższe od »ja« świadomego; nie jest ono czysto automatyczne, zdolne jest rozróżniać, posiada takt i zręczność; umie wybierać, umie zgadywać. Więcej jeszcze: umie lepiej zgadywać niż »ja« świadome, gdyż powodzi mu się tam, gdzie to ostatnie spotkał zawód. Czyż więc »ja« podświadome nie jest wyższe nad »ja« świadome? Jasne jest, jakiej doniosłości jest to pytanie. Boutroux w niedawno wygłoszonym odczycie opowiedział, jak to samo pytanie wysunęło się w zupełnie innych sprawach, oraz jakie konsekwencje pociągnęłaby za sobą odpowiedź twierdząca. (Patrz również książkę tegoż autora p. t. »Nauka a Religja« str. 313 i następne).
Czy wyłożone przeze mnie fakty narzucają tę odpowiedź twierdzącą? Przyznam się, że co do mnie, na taką odpowiedź zgodziłbym się chyba z najżywszą niechęcią. Przyjrzyjmy się przeto raz jeszcze faktom i zastanówmy się, czy nie dałyby się one objąć innym wytłumaczeniem.
Pewne jest, że kombinacje, nasuwające się umysłowi w pewnego rodzaju olśnieniu, po dość długiej pracy nieświadomej, są naogół kombinacjami użytecznemi i płodnemi, zdają się być wytworami pierwotnie dokonanego doboru. Czy z tego wynika, że »ja« podświadome zgadło przez swą subtelną intuicję użyteczność tych kombinacji i utworzyło tylko te, czy też utworzyło wiele innych, pozbawionych interesu, i te pozostały nieuświadomionemi.
Gdyby słuszna była druga hypoteza, wszystkie kombinacje tworzyłyby się automatycznie w podświadomym »ja«, ale do pola świadomości docierałyby jedynie te, które przedstawiają pewien interes. I to przypuszczenie jest jeszcze nacechowane tajemniczością. Jaka to przyczyna sprawia, że wśród tysiąca wytworów naszej nieświadomej działalności umysłowej jedne są powołane do przekroczenia progu, podczas gdy inne pozostają przed nim? Czy nadanie tego przywileju jest sprawą czystego przypadku? Oczywiście, że nie; np. zpośród wszystkich podniet, działających na nasze zmysły, uwagę naszą przyciągną jedynie najsilniejsze, chyba, że inne skierują ją na nie przyczyny. Mówiąc ogólniej, uprzywilejowanemi wśród zjawisk nieświadomych, t. j. zdolnemi dotrzeć do świadomości, są te, które bezpośrednio lub pośrednio najmocniej zahaczają naszą wrażliwość.
Dziwne się może wyda powoływanie się na wrażliwość, gdy mówimy o twierdzeniach matematycznych, które zdawałoby się, wchodzą w zakres jedynie intelektu. Przypomnijmy tedy, że istnieje uczucie piękna matematycznego, harmonji liczb i kształtów, wytworności gieometrycznej. Jest ono prawdziwym uczuciem estetycznym, dobrze znanym wszystkim prawdziwym matematykom. I wkracza niewątpliwie w dziedzinę wrażliwości.
Owóż, jakie to istoty matematyczne posiadają dla nas owe cechy piękna i wytworności, zdolne są wywoływać pewnego rodzaju wzruszenie estetyczne? Te, których elementy rozłożone są harmonijnie, tak, iż umysł bez wysiłku obejmuje ich całość, przenikając zarazem szczegóły. Harmonja ta jest jednocześnie zadowoleniem naszych potrzeb estetycznych i pomocą dla umysłu, który podpiera i który prowadzi. Kładąc przed oczy całość, w której panuje ład, każe nam przeczuwać istnienie prawa matematycznego. A powiedzieliśmy wyżej, że jedynemi faktami matematycznemi, które zasługują na naszą uwagę i mogą się stać użytecznemi, są te, które mogą nam ujawnić jakieś prawo matematyczne. Dochodzimy tedy do następującego wniosku. Kombinacjami użytecznemi są właśnie kombinacje najpiękniejsze, to znaczy te, które zdolne są wywrzeć urok na ową szczególną wrażliwość, znaną wszystkim matematykom, a tak obcą profanom, że często, słysząc o niej, tłumić muszą uśmiech.
Cóż występuje natenczas? Śród bardzo wielkiej ilości kombinacji, które naślepo wytworzyło »ja« podświadome, niemal wszystkie są pozbawione interesu i bezużyteczne; ale tym samym nie działają one na naszą wrażliwość estetyczną; świadomość nigdy ich nie pozna; niektóre tylko są harmonijne a przeto są jednocześnie użyteczne i piękne, są one zdolne wzruszyć ową szczególną wrażliwość matematyka, której podrażnienie ściągnie na nie jego uwagę, i w ten sposób pozwoli im przejść do świadomości.
Jestto tylko hypoteza, wszelako następujące spostrzeżenie zdaje się ją potwierdzać: kiedy nagłe olśnienie opanuje umysł matematyka, najczęściej go ono nie zwodzi; ale zdarza się też niekiedy, że wyniki jego nie wytrzymują próby sprawdzenia, otóż prawie zawsze daje się zauważyć, że i ten chybiony pomysł, gdyby się okazał trafnym, odpowiadałby doskonale naszemu naturalnemu instynktowi wytworności matematycznej.
Tak więc wrażliwość estetyczna odgrywa rolę owego subtelnego sita, i dlatego ten, kto nie jest nią obdarzony, nie będzie nigdy prawdziwym twórcą.
Ale to nie rozstrzyga jeszcze bynajmniej wszystkich trudności; »ja« świadome jest wielce i ostro ograniczone; natomiast granic »ja« podświadomego nie znamy, i dlatego bez wielkiej odrazy skłonni jesteśmy przypuścić, że w ciągu krótkiego czasu może ono utworzyć więcej rozmaitych kombinacji, niż zmieścićby się mogło w całym żywocie świadomego człowieka. Jednakże granice te istnieją; czyż jest prawdopodobne, by było ono w stanie utworzyć wszystkie możliwe kombinacje w ilości takiej, że pomyślenie jej budzi lęk w wyobraźni? a przecież byłoby to niezbędne, albowiem, jeśli utworzy ono tylko małą część tych możliwych kombinacji, i jeśli zrobi to na chybi-trafi, to mało będzie szans, że kombinacja dobra, ta, którą trzeba właśnie wybrać, będzie się wśród nich znajdowała.
Wytłumaczenia trzeba, być może, szukać w owym okresie świadomej pracy wstępnej, poprzedzającej zawsze wszelką owocną pracę nieświadomą. Niechaj będzie mi wolno zrobić zgruba porównanie zmysłowe. Wyobraźmy sobie przyszłe elementy naszych kombinacji w postaci podobnej do haczykowatych atomów Epikura. Podczas zupełnego spoczynku umysłu atomy te są nieruchome, są one, że tak powiem, przyczepione do muru; zupełny spoczynek może trwać nieograniczenie, atomy te nie spotkają się ze sobą i przeto nie będą mogły utworzyć żadnej kombinacji.
Natomiast w ciągu okresu spoczynku pozornego a właściwie nieświadomej pracy, niektóre z nich odczepiają się od muru i zostają wprawione w ruch. Przebiegają przestrzeń — omal nie powiedziałem: pokój, w którym są zawarte — we wszystkich kierunkach, jakgdyby stanowiły rój komarów albo, jeśli kto woli porównanie bardziej uczone, jak molekuły gazowe z teorji kinetycznej gazów. Wzajemne ich zderzenia mogą natenczas tworzyć nowe kombinacje.
Jakaż jest rola wstępnej świadomej pracy? Polega ona oczywiście na uruchomieniu niektórych z tych atomów, na odczepieniu ich od muru i rozkołysaniu. Badaczowi wydaje się, że nie zrobił nic pozytywnego, bo mieszał elementy na tysiąc różnych sposobów, próbując je ułożyć, i nie zdołał znaleźć zadawalającego układu. Aliści po tym poruszeniu, narzuconym im przez naszą wolę, atomy nie powracają do stanu pierwotnego spoczynku. Kontynuują swobodnie swój taniec.
Owóż nasza wola nie wybrała tych atomów na chybi-trafi; kierowała się doskonale określonym celem; uruchomione atomy nie są tedy jakiemikolwiek atomami; są to te, po których można się zasadnie spodziewać, że dadzą poszukiwane rozwiązanie. Uruchomione atomy będą się w swym biegu uderzały wzajem o siebie, oraz o inne, jeszcze nieruchome, o ile o nie zawadzą. Raz jeszcze radbym przeprosić za moje nieokrzesane porównanie; ale nie wiem doprawdy, jakbym potrafił inaczej opowiedzieć myśl moją.
Tak czy owak, jedynemi kombinacjami, które mają szanse utworzenia się, są te, w których conajmniej jeden z elementów jest jednym zpośród atomów, świadomie obranych przez naszą wolę. A jasne jest, że wśród tych właśnie kombinacji znajduje się ta, którą powyżej nazwałem »dobrą kombinacją«. Ta okoliczność łagodzi w znacznej mierze paradoksalność hypotezy pierwotnej.
Inna uwaga. Nie zdarza się nigdy, żeby nieświadoma praca dostarczała nam gotowego rezultatu nieco dłuższego rachunku, który polega jedynie na stosowaniu stałych reguł. Możnaby mniemać, że »ja« podświadome, jako całkiem automatyczne, szczególnie powinnoby być zdolne wykonywać tego rodzaju poniekąd czysto mechaniczną pracę. Zdawałoby się, że, pomyślawszy sobie wieczorem czynniki mnożenia, należy się spodziewać, że, budząc się rano, będziemy mieli gotowy iloczyn, albo też, że można wykonać nieświadomie rachunek algiebraiczny, rachunek sprawdzenia naprzykład. Tymczasem doświadczenie dowodzi, że niema nic podobnego. Natchnienia, owoc owej nieświadomej pracy, nie mogą dać nic ponad punkty wyjścia dla podobnych rachunków; same zaś rachunki muszą być wykonane w ciągu drugiego okresu pracy świadomej, który następuje po natchnieniu, kiedy to sprawdza się wyniki tego natchnienia i wyprowadza z nich konsekwencje. Reguły tych rachunków ścisłe są i zawiłe; wymagają one dyscypliny, uwagi, woli a przeto świadomości. Natomiast w »ja« podświadomym sprawuje rządy wolność, gdyby można było dać tę nazwę prostemu brakowi dyscypliny i bezładowi, zrodzonemu przez przypadek. A ten właśnie bezład pozwala na tworzenie się niespodzianych skojarzeń.
Jedną jeszcze, ostatnią, zrobię uwagę: przytaczając powyżej parę osobistych spostrzeżeń, mówiłem o spędzonej bezsennie nocy, podczas której naskutek podniecenia pracowałem jakgdyby mimowoli; wypadki takie są częste i nie jest konieczne, by anormalna działalność umysłowa była wywołana, jak podówczas u mnie, podniecającym środkiem fizycznym. Otóż wygląda to tak, jakgdybyśmy w takich wypadkach byli świadkami swojej własnej nieświadomej pracy, która stała się częściowo dostrzegalna dla naszej podnieconej świadomości, nie zmieniając wszakże przytym nic ze swej natury. Pozwala to nam zdać sobie jako tako sprawę z różnic zachodzących między obu mechanizmami, lub, jeśli kto woli, między metodami pracy obu »ja«. Jakoż spostrzeżenia psychologiczne, które w ten sposób poczyniłem, potwierdzają jak mi się zdaje, w głównych zarysach sformułowane przeze mnie powyżej poglądy.
A poglądy te, zaiste, potrzebują takich potwierdzeń, gdyż, pomimo wszystko, są one i pozostają bardzo hypotetycznemi: jednakże interes, jaki poruszona kwestja przedstawia, jest tak wielki, że nie żałuję, iż podzieliłem się niemi z czytelnikiem.
»Jakże można odważyć się mówić o prawach przypadku? Czyż przypadek nie jest antytezą wszelkiego prawa?« Od tych słów rozpoczyna Bertrand swój Rachunek prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jest przeciwieństwem pewności; jestto to, czego się nie wie, i czego przeto nie umie się wyrachować. Tkwi w tym sprzeczność conajmniej pozorna, o której też wiele już pisano.
Przedewszystkim: cóż to jest przypadek? Starożytni rozróżniali zjawiska, które zdawały się podlegać prawom harmonijnym, ustanowionym raz na zawsze, oraz zjawiska, które przypisywali przypadkowi; te ostatnie były to zjawiska, których nie można było przewidywać, gdyż były oporne wszelkiemu prawu. Prawa ścisłe nie decydowały o
wszystkim, co się działo w każdej poszczególnej dziedzinie, wykreślały one jedynie granice, między któremi wolno było obracać się przypadkowi. W takim pojmowaniu wyraz przypadek posiadał sens ścisły, objektywny: co było przypadkiem dla jednego człowieka było również przypadkiem dla drugiego i nawet dla bogów.
Lecz takie pojmowanie nie jest już naszym; myśmy się stali bezwzględnemi deterministami, i ci nawet, co chcą zastrzec prawa ludzkiej wolnej woli, pozwalają determinizmowi panować niepodzielnie przynajmniej w świecie nieorganicznym. Każde zjawisko, jakkolwiek drobne, ma przyczynę, i umysł nieskończenie potężny, nieskończenie dobrze powiadomiony o prawach przyrody mógłby był je przewidzieć u samego zarania wieków. Gdyby umysł taki istniał, nie możnaby było grać z nim w żadną grę hazardowną, bo zawszeby się przegrywało.
Albowiem wyraz przypadek nie miałby dlań sensu, albo raczej nie byłoby wcale przypadku. Dla nas przypadek istniałby dzięki naszej słabości i niewiadomości. Nie wychodząc zresztą nawet poza naszą słabą ludzkość, to, co jest przypadkiem dla nieuka, nie jest nim dla uczonego. Przypadek jest jedynie miarą naszej niewiadomości. Zjawiskami przypadkowemi są, mocą definicji, te, których praw nie znamy.
Czy wszelako definicja ta jest zadawalająca? Kiedy pasterze chaldejscy śledzili oczyma ruchy gwiazd, nie znali oni jeszcze praw Astronomji, a czyżby myśleli, że gwiazdy poruszają się na traf szczęścia? Gdy nowoczesny fizyk bada nowe zjawisko i odkrywa rządzące nim prawo we wtorek, to czyżby powiedział on w poniedziałek, że zjawisko to jest przypadkowe? Co więcej; czyż się często nie powołuje przy przewidywaniu pewnego zjawiska na to, co Bertrand nazwał prawami przypadku? W teorji kinetycznej gazów np. odnajdujemy znane prawa Mariotte’a i Gay-Lussaca dzięki hypotezie, że prędkości molekuł gazowych zmieniają się w sposób nieprawidłowy, czyli przypadkowo. Dostrzegalne prawa byłyby o wiele mniej proste, powiedzą wszyscy fizycy, gdyby prędkościami rządziło jakieś proste prawo elementarne, gdyby, jak się mówi, były one zorganizowane, gdyby podlegały jakiejś dyscyplinie. Dzięki przypadkowi właśnie, to jest dzięki naszej niewiadomości czy nieuctwu możemy wyprowadzać wnioski co do tych praw dostrzegalnych: jeżeli tedy wyraz przypadek jest poprostu synonimem niewiadomości, to cóż to wszystko znaczy? Czy należy to rozumieć tak oto:
»Żądacie, bym przepowiedział zjawiska, które nastąpią. Gdybym, na nieszczęście, znał prawa tych zjawisk, przepowiednia ta wymagałaby odemnie rachunków, z których niepodobna wybrnąć, i byłbym zmuszony zrzec się dania wam odpowiedzi; ponieważ jednak na szczęście nie znam ich, odpowiem wam odrazu. I co najosobliwsza, odpowiedź moja będzie trafna«.
Musi więc przypadek być czymś innym niż nazwą, jaką nadajemy naszej niewiadomości między zjawiskami, których przyczyn nie znamy, musimy rozróżniać zjawiska przypadkowe, o których rachunek prawdopodobieństwa da nam prowizoryczne wiadomości, oraz zjawiska, które nie są przypadkowe, i o których nie możemy nic powiedzieć, dopóki nie oznaczymy kierujących niemi praw. Co zaś dotyczy samych zjawisk przypadkowych, to jasnym jest, że wiadomości, jakich nam o nich dostarcza rachunek prawdopodobieństwa, nie przestaną być prawdziwe z chwilą, gdy zjawiska te zostaną lepiej poznane.
Dyrektor towarzystwa ubezpieczeń na życie nie wie, kiedy umrze każdy z ubezpieczonych, ale liczy on na rachunek prawdopodobieństwa i na prawo wielkich liczb, i nie błądzi, skoro rozdaje dywidendy swoim akcjonarjuszom. Dywidendy te nie zniknęłyby, gdyby przenikliwy bardzo i bardzo niedyskretny lekarz przyszedł i po podpisaniu polis powiadomił dyrektora o szansach życia każdego z ubezpieczonych. Lekarz ten rozproszyłby niewiadomość dyrektora, lecz nie miałby żadnego wpływu na dywidendy, które oczywiście nie są wytworem tej niewiadomości.
Aby znaleźć lepszą definicję przypadku, trzeba rozpatrzeć kilka zpośród faktów, które się zgodnie uważa za przypadkowe, i do których rachunek prawdopodobieństwa zdaje się stosować; zbadamy następnie, jakie są ich cechy wspólne.
Jako pierwszy przykład rozpatrzymy równowagę nietrwałą; wiemy o stożku, który opiera się na swym wierzchołku, że upadnie, tylko nie wiemy, w którą stronę; zdaje nam się, że zadecyduje o tym jedynie przypadek. Gdyby nasz stożek był doskonale symetryczny, gdyby oś jego była doskonale pionowa, gdyby nie ulegał żadnej innej sile prócz ciężkości, nie upadłby wcale. Lecz najmniejsza skaza w symetrji przechyli go zlekka w tę lub inną stronę, a skoro tylko przechyli się on choć trochę, tedy upadnie całkowicie w tę stronę. Gdyby nawet symetrja była doskonała, najlżejsze drgnięcie, najsłabszy powiew powietrza, zdoła go przechylić o łuk parosekundowy; wystarczy to, by zdecydować o jego upadku a nawet o kierunku tego upadku, który będzie ten sam, co kierunek początkowego nachylenia.
Drobna, nie podpadająca pod naszą obserwację przyczyna wywołuje znaczny, rzucający się w oczy skutek, i mówimy wówczas, że skutek ten jest dziełem przypadku. Gdybyśmy dokładnie znali prawa przyrody i stan wszechświata w chwili początkowej, moglibyśmy dokładnie przepowiedzieć stan tego samego wszechświata w chwili późniejszej. Ale nawet wówczas, gdyby prawa przyrody nie miały już dla nas tajemnic, nie moglibyśmy znać stanu początkowego inaczej niż w przybliżeniu. Jeśli pozwala nam to przewidzieć stan późniejszy z tym samym przybliżeniem, tedy mamy wszystko, czego nam potrzeba, mówimy, że zjawisko było przewidziane, że kierują nim prawa; lecz nie zawsze tak jest; zdarzyć się może, że małe różnice w warunkach początkowych wywołują duże różnice w zjawiskach końcowych; mały błąd przy ujęciu tamtych dałby wówczas ogromny w ujęciu tych. Przewidywanie staje się niemożliwe, mamy zjawisko przypadkowe.
Drugi nasz przykład będzie bardzo podobny do pierwszego; zaczerpniemy go z meteorologji. Dlaczego meteorologowie mają takie trudności przy przepowiadaniu pogody z jaką taką pewnością? Dlaczego deszcze a nawet burze zdają się nam nawiedzać nas za sprawą przypadku, tak, iż wielu ludzi uważa za całkiem naturalne modlić się o deszcz lub pogodę, kiedy ci sami uznaliby za śmieszne wznosić modły o zaćmienie? Stwierdzamy, że wielkie zakłócenia atmosferyczne zachodzą naogół w okolicach, w których atmosfera znajduje się w stanie równowagi nietrwałej. Meteorologowie widzą wprawdzie, że równowaga jest nietrwała, że gdzieś utworzy się cyklon; ale nie są w stanie orzec, gdzie; różnica jednej dziesiątej stopnia w tę lub tamtą stronę od pewnego punktu sprawia, że cyklon wybucha nie tu lecz tam i sieje spustoszenia w miejscowości, którą byłby w przeciwnym razie pozostawił nietkniętą. Gdybyśmy znali tę dziesiątą część stopnia, moglibyśmy przewidzieć to z góry, lecz doświadczenia nie były ani dość gęste, ani dość dokładne, i dlatego wszystko zdaje się być dziełem przypadku. I tutaj znowu odnajdujemy ten sam kontrast między minimalną różnicą niedostrzegalną dla obserwatora, a skutkami znacznemi, które mogą się stać niekiedy okropnemi klęskami.
Przejdźmy do innego przykładu: do repartycji małych planet na zodjaku. Początkowe ich długości mogły być jakiekolwiek; ale ich średnie ruchy były różne, krążą one od tak dawna, że można rzec, iż obecny ich rozkład wzdłuż zodjaku jest dziełem przypadku. Bardzo małe różnice początkowe między ich odległościami od słońca, albo, co wychodzi na jedno, między ich ruchami średniemi doprowadziłyby w końcu do olbrzymich różnic między ich obecnemi długościami; w samej bowiem rzeczy nadmiar jednej tysiącznej sekundy w średnim ruchu dziennym da po upływie trzech lat jedną sekundę, po dziesięciu tysiącach lat jeden stopień, cały zaś okrąg po trzech czy czterech miljonach lat — a cóż to znaczy w zestawieniu z czasem, jaki upłynął od chwili, gdy małe planety oderwały się od mgławicy Laplace’a? Oto więc raz jeszcze mała przyczyna i wielki skutek; albo raczej małe różnice w przyczynie i wielkie różnice w skutku.
Gra w ruletę nie tak bardzo odbiega, jakby się zdawało, od powyższego przykładu. Niechaj będzie wskazówka, którą można puszczać w ruch obrotowy dookoła osi po tarczy, podzielonej na 100 wycinków naprzemian czerwonych i czarnych. Jeśli zatrzyma się na wycinku czerwonym, partja jest wygrana, w przeciwnym razie jest przegrana. Wszystko zależy oczywiście od początkowego pchnięcia wskazówki. Wskazówka zrobi 10 lub 20 obrotów i zatrzyma się mniej lub bardziej rychło w zależności od tego, czy pchnąłem ją silniej czy słabiej. Ale różnica jednej tysiącznej czy jednej dwutysiącznej w sile pchnięcia wystarczy, by wskazówka zatrzymała się bądź przy wycinku czarnym, bądź przy wycinku sąsiednim t. j. czerwonym. Różnic takich nie postrzega nasz zmysł mięśniowy, nie chwytają ich nawet najsubtelniejsze nasze przyrządy. Nie jestem tedy w stanie przewidzieć, co zrobi wskazówka, którą w ruch puściłem, i dlatego serce me bije, i czekam, co mi przyniesie przypadek. Różnica w przyczynie jest niepostrzegalna, różnica w skutku ma dla mnie ogromną wagę, gdyż decyduje ona o całej mojej stawce.
Niechaj mi będzie wolno przy tej sposobności zrobić uwagę nieco obcą memu przedmiotowi. Pewien filozof powiedział przed kilku laty, że przyszłość jest oznaczona przez przeszłość, lecz przeszłość nie jest oznaczona przez przyszłość; czyli, innemi słowy, że ze znajomości teraźniejszości możemy wyprowadzić znajomość przyszłości, lecz nie znajomość przeszłości; albowiem, twierdził, jedna przyczyna wywołuje jeden określony skutek, podczas gdy jeden i ten sam skutek może być wywołany przez kilka różnych przyczyn. Oczywista, żaden człowiek nauki nie podzieli takiego poglądu; prawa przyrody wiążą poprzednik z następnikiem w sposób taki, że poprzednik jest określony przez następnik równie dobrze jak następnik przez poprzednik. Lecz jakież było źródło błędu owego filozofa? Wiemy, że według zasady Carnota zjawiska fizyczne są nieodwracalne, i że świat zdąża do jednostajności. Kiedy dwa ciała o różnej temperaturze znajdują się obok siebie, cieplejsze oddaje część swego ciepła zimniejszemu; możemy przeto przewidzieć, że się temperatury wyrównają. Skoro przecież temperatury staną się równe, tedy cóż będziemy mogli powiedzieć o stanie dawniejszym układu? Powiemy wprawdzie, że jedno z ciał było ciepłe a drugie zimne, ale nie będziemy w stanie odgadnąć, które z nich było dawniej cieplejsze.
Jednakże w rzeczywistości temperatury nie staną się nigdy doskonale równe. Różnica temperatur zdąża tylko do zera w sposób asymptotyczny. Następuje moment, kiedy nasze termometry nie są już dość czułe, aby różnicę tę ujawniać. Gdybyśmy przecież rozporządzali termometrami tysiąc, sto tysięcy razy czulszemi, przekonalibyśmy się, że istnieje jeszcze mała różnica temperatury, że jedno z ciał pozostało trochę cieplejsze niż drugie: pozwoliłoby nam to twierdzić, że to właśnie ciało było niegdyś o wiele cieplejsze niż tamto.
Bywają tedy, w przeciwieństwie do tego, cośmy widzieli w poprzednich przykładach, zjawiska, w których wielkie różnice w przyczynach dają małe w skutkach. Flammarion wyobraził sobie kiedyś obserwatora, który oddala się od kuli ziemskiej z prędkością większą niż prędkość światła; dla tego człowieka czas zmieniłby swój znak na odwrotny. Historja byłaby wywrócona, Waterloo poprzedzałoby Austerlitz. Otóż dla takiego obserwatora zmienionyby też był na odwrotny porządek skutków i przyczyn; równowaga nietrwała przestałyby być wyjątkiem; wobec powszechnej nieodwracalności wszystko zdawałoby się wyłaniać z jakiegoś chaosu w stanie równowagi nietrwałej; cała przyroda wyglądałaby dlań jakgdyby oddana na pastwę przypadku.
Weźmy teraz inne przykłady, o cechach odmiennych nieco od podpatrzonych powyżej. Nasamprzód teorję kinetyczną gazów. Jak winniśmy sobie wyobrażać rezerwuar napełniony gazem? Niezliczone molekuły, ożywione wielkiemi prędkościami, prują rezerwuar we wszystkich kierunkach; co chwila uderzają one o ścianki lub uderzają się o siebie; a zderzenia te odbywa się w warunkach najrozmaitszych. Co nas w tym przedwszystkim uderza, to nie nieznaczna wielkość przyczyn lecz ich złożoność. A przecież i tutaj znajdujemy znowu tamtą właściwość, i widzimy, że odgrywa ona dużą rolę. Gdyby pewna molekuła odchylona została w prawo lub w lewo od swej drogi o bardzo małą ilość tego samego rzędu wielkości, co promień działania molekuł gazowych, tedy uniknęłaby ona najbliższego zderzenia, albo też odbyłoby się ono w warunkach odmiennych, i mogłoby to zmienić, być może, o 90° lub 180° kierunek jej prędkości po zderzeniu.
Widzimy więc, że wystarczy odchylić molekułę przed zderzeniem o ilość nieskończenie małą, aby wywołać po zderzeniu odchylenie skończone. Jeżeli zatym molekuła ulega dwu kolejnym zderzeniom, odchylenie nieskończenie małe drugiego rzędu przed pierwszym zderzeniem wystarczy, by nadać jej po pierwszym zderzeniu odchylenie nieskończenie małe pierwszego rzędu, a po drugim odchylenie skończone. A w rzeczywistości molekuła ulegnie nie dwu tylko zderzeniom lecz bardzo wielkiej ilości zderzeń na sekundę. Przeto jeśli pierwsze zderzenie pomnoży odchylenie przez bardzo dużą ilość A, po n zderzeniach będzie ono pomnożone przez An; stanie się więc ono bardzo wielkie nietylko dlatego, że A jest bardzo wielkie, to jest dlatego, że małe przyczyny wywołują wielkie skutki, ale i dlatego, że wykładnik n jest bardzo duży, to jest dlatego, że zderzenia są bardzo liczne, i przyczyny bardzo złożone.
Przejdźmy do drugiego przykładu; dlaczego przy ulewie rozkład kropli deszczu wydaje nam się dziełem przypadku? I tutaj dzieje się to za sprawą złożoności przyczyn, decydujących o ich tworzeniu się. W atmosferze rozeszła się pewna ilość jonów, w ciągu długiego czasu ulegały one ustawicznie zmieniającym się prądom powietrznym, porywały je wiry o bardzo małych rozmiarach, i w ten sposób końcowy ich rozkład jest zupełnie inny niż początkowy. Nagle temperatura obniża się, para zgęszcza się, i każdy z tych jonów staje się środkiem kropli deszczu. Aby wiedzieć, jaki będzie rozkład tych kropli, i ile ich spadnie na każdy kamień, byłaby niewystarczającą znajomość położenia początkowego jonów, trzebaby ponadto wciągnąć w rachubę wpływ tysiąca drobniutkich i kapryśnych prądów powietrznych.
To samo ma miejsce, gdy naprószymy w naczynie z wodą pyłki kurzu; naczynie to przebiegają prądy, których prawa nie znamy, o którym wiemy jedynie, że jest bardzo złożone, i po pewnym czasie rozkład pyłków w naczyniu tym będzie miał cechy przypadkowości, to jest będzie jednostajny; będzie to właśnie następstwem złożoności tych prądów. Gdyby ulegały one jakiemu prostemu prawu, gdyby np. naczynie miało kształt obrotowy, i gdyby prądy krążyły dokoła osi, zakreślając koła, nie mielibyśmy już owego jednostajnego rozkładu, bo każdy pyłek zachowałby swą początkową wysokość i początkową odległość od osi.
Do tego samego wyniku przyprowadziłoby nas rozważenie mieszaniny dwu cieczy lub dwu drobnoziarnistych substancji proszkowatych. Podobnież się rzeczy mają — że weźmiemy przykład grubszy — przy mieszaniu talji kart. Przy każdym przełożeniu karty ulegają permutacji (analogicznej do tych, jakie są przedmiotem teorji podstawień). Jakąż permutację otrzymamy w końcu? Prawdopodobieństwo, by była to pewna określona permutacja (np. ta, która sprowadza na miejsce n kartę, która zajmowała miejsce φ (u) przed permutacją,) prawdopodobieństwo to, mówię, zależy od przyzwyczajeń gracza. Ale jeśli gracz ten miesza karty dosyć długo, ilość kolejnych permutacji będzie bardzo duża, i porządek końcowy, jaki stąd wyniknie, będzie już tylko rzeczą przypadku; to znaczy, że wszystkie możliwe porządki będą jednakowo prawdopodobne. Wynik ten będzie dziełem wielkiej ilości kolejnych permutacji tj. złożoności zjawiska.
W końcu słowo o teorji błędów. Tutaj właśnie mamy przyczyny złożone i liczne. Ileż zasadzek czyha na obserwatora, zbrojnego nawet w najlepsze narzędzie! Powinien on zabiegać koło wykrycia najznaczniejszych i unikania ich. Będą to te, z których płyną błędy systematyczne. Lecz skoro je wyruguje — a przypuśćmy, że mu się to powiedzie — pozostanie jeszcze wiele małych, które przez nagromadzenie swych skutków mogą się stać niebezpieczne. Takie jest źródło błędów przypadkowych; przypisujemy je przypadkowi, dlatego, że ich przyczyny są zbyt złożone i zbyt liczne. I tutaj mamy znowu małe przyczyny, lecz każda z nich wywołałaby skutek również mały, jedynie zespół ich i ilość czynią je groźnemi.
Istnieje jeszcze trzeci punkt widzenia, mniej posiadający wagi niż dwa pierwsze, i dlatego mniej się nim będę zajmował. Kiedy idzie o to, aby przewidzieć pewien fakt w celu zbadania jego poprzedników, usiłujemy się poinformować o tym, co się działo dawniej; ponieważ jednak niepodobna tego zrobić dla wszystkich części wszechświata, zadawalamy się wiadomością o tym, co się dzieje w sąsiedztwie punktu, w którym fakt ma zajść, albo co, jak się zdaje, ma jakiś związek z tym faktem. Wiadomości te nie mogą być wyczerpujące, trzeba przeto umieć wybierać. Może się wszakże zdarzyć, że pominiemy okoliczności, które zrazu wydały nam się całkiem obce przewidywanemu faktowi, co do których nie przyszłoby nam na myśl, aby mogły tu mieć jaki wpływ, a które jednakowoż, wbrew wszelkiemu przewidywaniu, odgrywają doniosłą rolę.
Przez ulicę przechodzi człowiek, idący za swojemi interesami; ktoś, znający te interesy, mógłby powiedzieć, z jakiej przyczyny wyszedł on o danej godzinie, i dlaczego przeszedł przez daną ulicę. Na dachu pracuje strycharz; przedsiębiorca, który go wynajął, może w pewnych granicach przewidzieć, co on będzie robił. Lecz człowiek, idący ulicą, nie myśli wcale o strycharzu, ani strycharz o nim: zdałoby się, że należą do dwu zupełnie sobie obcych światów. Aliści strycharz opuszcza dachówkę, która zabija przechodnia — a my orzekamy bez namysłu, że jestto rzecz przypadku.
Słabość naszego umysłu nie pozwala nam objąć całego świata i zmusza do pokrajania go na kawałki. Staramy się robić to możliwie najmniej sztucznie, a przecież zdarza się że dwa z tych kawałków oddziaływają wzajem na siebie. Skutki takiego wzajemnego oddziaływania wydają się nam dziełem przypadku.
Czy stanowi to trzeci sposób pojmowania przypadku? Nie zawsze; bo w większości wypadków sprowadza się on do pierwszego lub drugiego. Ilekroć dwa światy, zazwyczaj sobie obce, zaczynają nagle na siebie oddziaływać, prawa tego oddziaływania muszą być wielce złożone, z drugiej zaś strony bardzo mała zmiana w warunkach początkowych byłaby wystarczyła, aby oddziaływanie to wogóle nie miało miejsca. Jakże mało byłoby potrzeba, by ów człowiek przeszedł o sekundę później, lub strycharz o sekundę wcześniej opuścił dachówkę!
Wszystko, cośmy powiedzieli, nie tłumaczy nam jeszcze, dlaczego przypadek ulega pewnym prawom. Czy to, że przyczyny są małe, lub że są złożone, wystarcza, byśmy mogli przewidywać jeśli nie, jakie będą ich skutki w każdym poszczególnym wypadku, to przynajmniej, jaka będzie średnia tych skutków? Odpowiedzi na to pytanie będziemy szukali, zastanawiając się znowu nad kilku z powyżej przytoczonych przykładów.
Rozpocznę od rulety. Powiedziałem, że punkt, przy którym zatrzyma się wskazówka, zależeć będzie od nadanego mu pchnięcia początkowego. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pchnięcie to ma taką lub inną wartość? Nic o tym nie wiem, ale trudno mi jest nie przypuścić, że prawdopodobieństwo to nie jest wyrażone przez funkcję analityczną ciągłą. Prawdopodobieństwo, że pchnięcie jest zawarte między α i α + ε, będzie natenczas prawie ściśle równe prawdopodobieństwu, że jest ono zawarte między α + ε i α + 2ε, byle ε było dość małe. Jestto własność wspólna wszystkim funkcjom analitycznym. Małe zmiany funkcji są proporcjonalne do małych zmian zmiennej niezależnej.
Ale przypuśćmy, że bardzo mała zmiana pchnięcia wystarczy, by wskazówka zamiast zatrzymać się przy jednym wycinku, zatrzymała się przy wycinku sąsiednim. Od α do α + ε będzie to wycinek czerwony, od α + ε do α + 2ε — czarny; prawdopodobieństwo każdego czerwonego wycinka jest więc takie same, jak prawdopodobieństwo następnego wycinka czarnego, a przeto prawdopodobieństwo całkowite wycinków czerwonych jest równe prawdopodobieństwu całkowitemu czarnych.
Daną zagadnienia jest funkcja analityczna, wyrażająca prawdopodobieństwo danego określonego pchnięcia początkowego. Ale twierdzenie pozostaje prawdziwe niezależnie od tego, jaką jest ta dana, gdyż oparte jest na własności wspólnej wszystkim funkcjom analitycznym. Wynika z tego, że w rezultacie możemy się zupełnie obyć bez owej danej.
Cośmy powiedzieli powyżej o rulecie, stosuje się również do przykładu małych planet. Na zwierzyniec (zodjak) można patrzeć, jak na olbrzymią ruletę, po której Stwórca puścił bardzo dużą ilość kulek, nadając im rozmaite prędkości początkowe, zmieniające się według pewnego, jakiegokolwiek zresztą, prawa. Obecny ich rozkład jest jednostajny i niezależny od tego prawa dla tych samych racji, co w przykładzie poprzednim. Widzimy w ten sposób, dlaczego zjawiska ulegają prawom przypadku, kiedy drobne różnice w przyczynach wystarczają, by wywoływać wielkie różnice w skutkach. Prawdopodobieństwa tych drobnych różnic można wówczas uważać za proporcjonalne do samych tych różnic, właśnie dlatego, że różnice te są małe, i że małe przyrosty funkcji ciągłej są proporcjonalne do przyrostów zmiennej.
Przejdźmy do innego zupełnie przykładu, w którym górujące znaczenie posiada złożoność przyczyn; niechaj ktoś tasuje talję kart. Przy każdym akcie tasowania zmienia on porządek kart, i może go zmienić na różne sposoby. Przypuśćmy dla prostoty wykładu, że mamy tylko 3 karty. Karty, które przed przetasowaniem znajdowały się w porządku 123, mogą po nim zajmować miejsca
Każde z tych 6-ciu przypuszczeń jest możliwe, i odpowiednie ich prawdopodobieństwa będą:
Suma tych sześciu liczb wynosi 1; lecz nie wiemy o nich nic ponadto; te sześć prawdopodobieństw zależy naturalnie od nieznanych nam nawyknień gracza.
Przy drugim przetasowaniu i przy następnych będzie znowu to samo i w tych samych warunkach; to znaczy, że p4 np. wyobraża zawsze prawdopodobieństwo, by trzy karty które po n-ym przetasowaniu i przed n+1-ym leżały w porządku 123, zajęły po n+1-ym przetasowaniu miejsca 321. Jestto prawdziwe niezależnie od wartości liczby n, bo nawyknienia gracza, jego sposób tasowania kart, pozostają te same.
Jeżeli przecież ilość przetasowań jest bardzo duża, karty które przed 1-ym przetasowaniem zajmowały miejsca 123, będą mogły po ostatnim zająć miejsca
i prawdopodobieństwo każdego z tych sześciu wypadków będzie prawie ściśle jednakowe i równe 16; tak będzie niezależnie od wielkości liczb p1....p6, których nie znamy. Wielka ilość przetasowań, to jest złożoność przyczyn, wywołała jednostajność.
Stosowałoby się to bez zmian, gdyby było więcej niż 3 karty, ale dla trzech kart nawet dowód byłby bardzo skomplikowany; ograniczę się przeto tutaj dowodem dla dwu tylko kart. Dwa tylko wówczas możliwe są wypadki
o prawdopodobieństwach p1 i p2 = 1 - p1. Przypuśćmy, że dokonano n przetasowań, i przypuśćmy, że wygrywam 1 franka, jeśli karty znajdują się w końcu w porządku początkowym, i że przegrywam franka, jeśli porządek ten będzie odwrócony. Moja nadzieja matematyczna będzie natenczas równa
Różnica p1 - p2 jest z pewnością mniejsza od 1; jeżeli przeto n jest bardzo wielkie, moja nadzieja będzie równa zeru; nie mamy potrzeby znać p1 i p2, żeby wiedzieć, że gra jest sprawiedliwa.
Jeden wszakże możliwy jest wyjątek, jeśli mianowicie jedna z liczb p1 i p2 równa jest 1 druga zaś zeru. Rozumowanie nasze nie stosuje się do tego wypadku, dlatego, że początkowe nasze założenia są wówczas zbyt proste.
Rozważania powyższe stosują się nietylko do mieszania kart lecz do wszelkich mieszanin zarówno cieczy jak proszków; i nawet do mieszanin cząsteczek gazowych w kinetycznej teorji gazów. Wracając do tej teorji, przypuśćmy na chwilę, że mamy gaz, którego cząsteczki nie mogą się wzajem zderzać, lecz ulegają odchyleniom na skutek uderzeń o ścianki naczynia, w którym gaz jest zawarty. Jeśli kształt naczynia jest dostatecznie złożony, rozmieszczenie cząsteczek oraz prędkości stanie się rychło jednostajnym. Inaczej będzie, jeśli naczynie jest kuliste lub posiada kształt prostokątnego równoległościanu; dlaczego? Ponieważ w pierwszym z tych dwu wypadków odległość środka od jakiejkolwiek drogi, przebieganej przez cząsteczkę, będzie stała; w drugim stałą będzie wartość bezwzględna kąta każdej drogi ze ścianami równoległościanu.
Widzimy stąd, co należy rozumieć przez warunki zbyt proste; są to warunki, zachowujące coś, pozostawiające jakiś niezmiennik. Czy równania różniczkowe zagadnienia są zbyt proste, byśmy mogli zastosować prawa przypadku? Pytanie to wydaje się zrazu pozbawionym ścisłego sensu; teraz wiemy, co ono oznacza. Zbyt prostemi są one wówczas, gdy coś zachowują, gdy istnieje dla nich całka jednostajna; skoro coś z warunków początkowych pozostaje niewzruszone, tedy jasnym jest, że położenie końcowe nie może być niezależne od położenia początkowego.
Przejdźmy wreszcie do teorji błędów. Nie wiemy, jakie jest źródło błędów przypadkowych, i właśnie dlatego, że tego nie wiemy, — wiemy, że ulegają one prawu Gaussa. Oto paradoks. Tłumaczy się on mniej więcej tak samo, jak w wypadkach poprzednich. Jedno tylko mamy potrzebę wiedzieć: że błędy są bardzo liczne, ze są bardzo małe, że każdy z nich może być równie dobrze ujemny jak dodatni. Jaka jest krzywa prawdopodobieństwa każdego z nich? nic o tym nie wiemy, przypuszczamy tylko, że krzywa ta jest symetryczna. Dowodzi się wówczas, że błąd wypadkowy stosować się będzie do prawa Gaussa, i to prawo wypadkowe jest niezależne od praw szczególnych, których nie znamy. I tutaj znowu prostota wyniku jest właśnie skutkiem złożoności danych.
Ale czekają nas jeszcze nowe paradoksy. Mówiłem przed chwilą o fikcji Flammariona, o człowieku, który pędzi szybciej niż światło, i dla którego czas ma znak odwrotny. Powiedziałem, że dla niego wszystkie zjawiska zdawałyby się być dziełem przypadku. Tak jest z pewnego punktu widzenia, a przecież wszystkie te zjawiska w określonej chwili nie byłyby rozmieszczone zgodnie z prawami przypadku, bo rozmieszczenie to byłoby takie same, jak dla nas, którzy widząc je w rozwoju harmonijnym, nie rozpoczynającym się od jakiegoś chaotycznego stanu początkowego, nie uważamy ich za rządzone przez przypadek.
Cóż to znaczy? W oczach Lumena, owego flammarionowego człowieka, małe przyczyny zdają się wywoływać wielkie skutki; dlaczegoż to, co on ogląda, nie odbywa się tak, jak wówczas, gdy my widzimy wielkie skutki, wywołane przez małe przyczyny? Czyżby to samo rozumowanie nie stosowało się do obu wypadków?
Powróćmy do tego rozumowania: kiedy małe różnice w przyczynach wywołują wielkie w skutkach, to dlaczego wówczas skutki są rozmieszczone według praw przypadku? Przypuśćmy, ze różnica jednego milimetra w przyczynie wywołuje różnicę jednego kilometra w skutku. Jeżeli skutek, odpowiadający parzystemu kilometrowi, oznacza dla nas wygraną, tedy prawdopodobieństwo wygranej równa się dla nas 12; dlaczego? Dlatego, że wymaga to, by przyczyna odpowiadała milimetrowi parzystemu. Otóż, wolno mniemać, że prawdopodobieństwo, by przyczyna zmieniała się między pewnemi granicami, będzie proporcjonalne do odstępu między temi granicami, byle odstęp ten był dostatecznie mały. Przyjęcie tego założenia jest niezbędnym warunkiem, aby można było wyrazić prawdopodobieństwo za pomocą funkcji ciągłej.
Niechaj teraz wielkie przyczyny wywołują małe skutki. W wypadku takim my nie przypisalibyśmy zjawisko przypadkowi, Lumen natomiast uznałby je za dzieło przypadku. Różnicy kilometra w przyczynie odpowiadałaby różnica milimetra w skutku. Czy i teraz prawdopodobieństwo, by przyczyna była zawarta między dwu granicami, oddalonemi od siebie o n kilometrów, będzie proporcjonalne do n? Nie mamy żadnego powodu to przypuścić, gdyż ta odległość n.kilometrowa jest duża. Lecz prawdopodobieństwo, by skutek pozostał zawarty między dwu granicami odległemi o n milimetrów będzie właśnie równe tamtemu, nie będzie więc proporcjonalne do n i to pomimo, że ta odległość n-milimetrowa jest mała. Niepodobna zatym wyobrazić prawa prawdopodobieństwa skutków zapomocą krzywej ciągłej; zrozumiejmy się dobrze: krzywa ta może pozostać ciągłą w analitycznym sensie wyrazu, zmianom nieskończenie małym odciętej będą odpowiadały nieskończenie małe zmiany rzędnej. Lecz z punktu widzenia praktyki nie będzie ona ciągła, bo zmianom bardzo małym odciętej nie będą odpowiadały bardzo małe zmiany rzędnej. Będzie niemożliwym nakreślenie tej krzywej zapomocą zwykłego ołówka: oto, co chcę powiedzieć.
Jakiż stąd wniosek? Lumen nie ma prawa powiedzieć, że prawdopodobieństwo przyczyny (prawdopodobieństwo jego przyczyny, która jest naszym skutkiem) musi być koniecznie wyobrażone przez funkcję ciągłą. Ale skoro tak, tedy dlaczego my mamy to prawo? Dlatego, że ów stan równowagi nietrwałej, który powyżej nazywaliśmy początkowym, sam jest wytworem długich poprzedzających go dziejów. W ciągu tych dziejów działały złożone przyczyny i działały długo: przyczyniły się one do zmieszania ze sobą elementów, i miały dążność do ujednostajnienia wszystkiego, przynajmniej na małej przestrzeni; zaokrągliły one węgły, zrównały góry i zapełniły doliny: jakkolwiek kapryśną i nieforemną była pierwotna oddana im krzywa, pracowały one tyle nad jej zregulowaniem, że przekażą nam w końcu krzywą ciągłą. I dlatego to możemy z całym zaufaniem przypuścić ciągłość krzywej.
Lumen nie miałby tych samych powodów, aby dojść do takiego wniosku; dla niego przyczyny złożone nie występowałyby, jako czynniki regulacji i wyrównania, lecz przeciwnie wywołałyby różniczkowanie i nierówność. W jego oczach z jakiegoś pierwotnego chaosu wyłaniałby się stopniowo świat coraz bardziej urozmaicony; obserwowane przezeń zmiany byłyby dlań nieprzewidziane i niedające się przewidzieć; zdawałyby mu się dziełem jakiegoś kaprysu; lecz kaprys ten opierałby się wszelkim prawom, gdy nasz przypadek posiada swoje prawa. Wszystkie te uwagi wymagałyby, aby je obszerniej rozwinąć, co ułatwiłoby, być może, zrozumienie nieodwracalności wszechświata.
Staraliśmy się określić pojęcie przypadku, — naturalnym teraz będzie, że zadamy sobie pytanie: czy przypadek, w ten sposób określony w granicach, w jakich definicja jego jest możliwa, posiada cechy objektywności?
Możnaby mieć co do tego wątpliwości. Mówiłem o przyczynach bardzo małych i bardzo złożonych. Lecz to, co jest bardzo małe dla jednego, czyż nie może być wielkie dla innego, a co się wydaje bardzo złożonym jednemu, czyż innemu nie może się wydać prostym? Odpowiedziałem już częściowo na to pytanie, bo wyraziłem powyżej w sposób ścisły, w jakim wypadku równania różniczkowe stają się zbyt proste, aby prawa przypadku można było stosować. Wypada jednak rozpatrzeć sprawę nieco bliżej, gdyż można zająć w stosunku do niej inne jeszcze stanowiska.
Co znaczy wyrażenie »bardzo mały«? Aby to zrozumieć, wystarczy przypomnieć sobie to, co powiedzieliśmy wyżej. Różnica jest bardzo mała, odstęp jest bardzo mały, jeżeli w granicach tego odstępu prawdopodobieństwo pozostaje prawie ściśle stałe. A dlaczego prawdopodobieństwo to można uważać za stałe wewnątrz małego odstępu? Dlatego, że przypuszczamy, że prawo prawdopodobieństwa jest wyrażone przez krzywą ciągłą: i to ciągłą nietylko w analitycznym znaczeniu tego wyrazu, lecz ciągłą z punktu widzenia praktyki, jakem to powyżej wyłuszczył. Znaczy to, że nietylko nie będzie w niej poprostu dziur, lecz, że nie będzie również posiadała zbyt ostrych ani zbyt wydatnych występów ni wklęśnięć.
Cóż nas upoważnia do tego założenia? Rzekliśmy już wyżej, że pobudza nas do tego fakt, iż od zarania dziejów świata trwa nieustanna działalność skomplikowanych przyczyn, czynnych w jednym i tym samym kierunku, i sprawiających, że świat zdąża ustawicznie ku jednostajności, i nigdy nie może cofać się wstecz. Te właśnie przyczyny zgładziły stopniowo występy i zapełniły wklęśnięcia, i dlatego nasze krzywe prawdopodobieństw przedstawiają jedynie łagodne falistości. Po upływie miljardów, miljardów wieków dokonany będzie jeszcze jeden krok ku jednostajności, i falistości te będą dziesięćkroć łagodniejsze niż obecnie: średni promień krzywizny naszej krzywej stanie się dziesięć razy większy. I wówczas długość, która dziś nie wydaje się nam bardzo małą, bo na naszej krzywej łuk tej długości nie może być uważany za prosto-linijny, będzie musiała uchodzić za bardzo małą, bo krzywizna stanie się dziesięć razy mniejsza, i łuk tej długości będzie mógł być prawie ściśle upodobniony do prostej.
Tak więc wyrażenie »bardzo mały« pozostaje względne; ale nie jest ono względne w zależności od tego lub innego człowieka, jest ono względne w zależności od obecnego stanu świata. Znaczenie jego się zmieni, kiedy świat stanie się jednostajniejszy, kiedy wszelkie rzeczy bardziej jeszcze się ze sobą pomieszają. Lecz wówczas ludzie zapewne nie będą mogli żyć, i będą musieli odstąpić miejsca innym istotom; czy istoty te mam nazwać o wiele mniejszemi lub o wiele większemi? I oto krytetjum nasze, pozostając prawdziwym dla wszystkich ludzi, zachowuje znaczenie objektywne.
Jakież jest, z kolei, znaczenie wyrażenia: »bardzo złożony«? Jedną odpowiedź na to pytanie już dałem, o czym przypomniałem na początku niniejszego paragrafu, ale istnieją jeszcze inne. Przyczyny złożone, jak powiedzieliśmy, dają mieszaninę coraz jednostajniejszą — lecz ileż czasu będzie potrzeba, by mieszanina ta w zupełności nas zadowoliła? Kiedyż nagromadzi się dosyć komplikacji? Kiedy uznamy, że karty tasowano dość długo? Gdy mieszamy dwa proszki, niebieski i biały, w pewnej chwili barwa mieszaniny wydaje się nam jednostajną; jestto skutkiem ułomności naszych zmysłów; będzie ona jednostajną dla dalekowidza, który musi patrzeć z daleka, a nie będzie nią jeszcze dla krótkowidza. A kiedy stanie się jednostajną dla wszelkiego wzroku, będzie można jeszcze cofnąć granicę przez zastosowanie narzędzi optycznych. Niema widoków na to, by człowiek zdołał kiedykolwiek rozróżnić nieskończoną rozmaitość szczegółów, kryjącą się — jeśli kinetyczna teorja jest prawdziwą — pod pozorną jednostajnością gazu. A przecież, jeśli przyjąć poglądy Gouy’ego na ruch brownowski, czy mikroskop nie jest w przededniu pokazania nam czegoś podobnego?
Nowe to kryterjum jest więc, podobnie jak pierwsze, względnym, i jeżeli zachowuje charakter objektywny, to dlatego, że wszyscy ludzie posiadają te same mniej więcej zmysły, że moc ich narzędzi jest ograniczona, i że zresztą posługują się niemi jedynie w razach wyjątkowych.
To samo stosuje się w naukach, dotyczących życia duchowego ludzi [moralnych] a w szczególności w historji. Historyk jest zmuszony dokonać wyboru wśród zdarzeń epoki, którą bada; podaje te tylko, które zdają mu się najważniejszemi. Ograniczył się n. p. opowiedzeniem najznaczniejszych wypadków z XVI-go wieku oraz najgodniejszych uwagi faktów z XVII-go. Jeśli pierwsze wystarczają do wytłumaczenia drugich, mówimy o tych ostatnich, że »odpowiadają prawom historji«. Jeżeli natomiast wielkie zdarzenie z XVII-go wieku ma za przyczynę mały fakt z w. XVI-go, nie podany przez żadną historję, tedy mówi się, że zdarzenie to jest dziełem przypadku, i wyraz ten ma to samo znaczenie, co w naukach fizycznych; wyraża on, że małe przyczyny wywołują duże skutki.
Największym przypadkiem jest urodzenie się wielkiego człowieka. Przypadkiem jedynie spotkały się ze sobą dwie komórki rodne różnej płci, z których każda zawierała właśnie owe tajemnicze pierwiastki, których wzajemne działanie miało wytworzyć gieniusza. Zgodzić się trzeba, że pierwiastki te muszą być rzadkie i że spotkanie ich jest jeszcze rzadsze. Jakże mało byłoby potrzeba, by zawierającą je spermatozoidę odchylić od jej drogi; wystarczyłoby odchylić ją o dziesiątą część milimetra, a Napoleon nie byłby się narodził, i losy całego kontynentu inną poszłyby koleją. Żaden przykład nie jest w stanie lepiej unaocznić istotne cechy przypadku.
Słowo jeszcze o paradoksach, wynikających na tle stosowania rachunku prawdopodobieństwa do nauk, dotyczących działalności człowieka w społeczeństwie [t. zw., moralnych’]. Dowiedziono, że do żadnego parlamentu nie wejdzie nigdy żaden poseł z opozycji, albo przynajmniej, że zdarzenie to jest tak nieprawdopodobne, iż można bez obawy trzymać zakład przeciw, i to trzymać miljon przeciw jednemu. Condorcet usiłował obliczyć, ile potrzebaby przysięgłych, aby omyłka sądowa była praktycznie niemożliwą. Gdyby kto zechciał oprzeć się w rzeczywistości na rezultatach tych rachunków naraziłby się z pewnością na taki sam zarzut jak ów, coby się zakładał, ufny w rachunek, że opozycja nie zdobędzie nigdy ani jednego przedstawiciela.
Prawa przypadku nie mają zastosowania do takich kwestji.
Jeżeli orzeczenia sądowe nie zawsze są oparte na przesłankach słusznych, to wszakże są one mniej, niż się zdaje, rzeczą przypadku; być może iż należy tego żałować, bo gdyby tak nie było, sposób Condorceta byłby nas ochronił od wszelkich omyłek sądowych.
Czegóż nas to uczy? Skłonni jesteśmy przypisać przypadkowi fakty tego typu, dlatego, że przyczyny ich są dla nas przesłonione; nie jestto jednak prawdziwy przypadek. Wprawdzie przyczyn danego faktu nie znamy, wprawdzie są one skomplikowane; ale nie są dostatecznie skomplikowane, skoro zachowują pewne elementy, a widzieliśmy, że jestto cechą charakterystyczną przyczyn »zbyt prostych«. Kiedy ludzie są w gromadzie, decyzje ich nie są rzeczą przypadku, nie są wzajem od siebie niezależne; oddziaływają oni na siebie. Wchodzą w grę liczne przyczyny, wywołują w ludziach zakłócenia, porywają ich na prawo i na lewo, — jednego przecież nie są w stanie zniszczyć: ich przyzwyczajenia do owczego pędu. I to właśnie się zachowuje.
Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa do nauk ścisłych pociąga za sobą równie wiele trudności. Dlaczego cyfry dziesiętne w tablicy logarytmicznej, dlaczego cyfry dziesiętne liczby π są rozmieszczone według praw przypadku? Gdzieindziej już zastanawiałem się nad tym pytaniem, gdy szło o logarytmy,[1] i w tym razie jest ono łatwe; jasne jest, że mała różnica w argumencie da małą różnicę w logarytmie, ale dużą różnicę w szóstej dziesiętnej logarytmu. Odnajdujemy ciągle to samo kryterjum.
Natomiast w odniesieniu do liczby π pytanie to nastręcza o wiele znaczniejsze trudności, i na razie nie mam w tej kwestji nic do powiedzenia.
Nastręczyłoby się wiele innych kwestji, gdybym chciał się niemi zająć, zanim rozwiązałem tę, nad którą zamierzyłem szczególniej się zastanowić. Gdy stwierdzamy pewien prosty rezultat, n. p. gdy znajdujemy jakąś okrągłą liczbę, mówimy, że rezultat ten nie może być rzeczą przypadku, i dla wytłumaczenia go szukamy przyczyny nie przypadkowej. Albowiem małe tylko zachodzi prawdopodobieństwo, by z pośród 10.000 liczb przypadek dał liczbę okrągłą n. p. liczbę 10.000; na 10.000 szans jedna tylko jest pomyślna. Ale też jedna tylko szansa na 10.000 sprzyja zdarzeniu się którejkolwiek innej liczby; a przecież żadna inna liczba nie ździwi nas, nie zawahamy się uważać jej zdarzenie się za rzecz przypadku; a to poprostu dlatego, że będzie się ona mniej rzucała w oczy.
Czy jestto wszystko prostym złudzeniem, czy też w pewnych wypadkach pogląd taki jest słuszny? Chyba tak, gdyż w przeciwnym razie wszelka nauka byłaby niemożliwa. Jakże postępujemy, gdy chcemy poddać próbie pewną hypotezę? Nie możemy sprawdzić wszystkich jej konsekwencji, bo ilość ich jest nieskończona; ograniczamy się sprawdzeniem niektórych tylko, i jeśli wypada ono pomyślnie, uznajemy hypotezę za potwierdzoną, ponieważ takiego powodzenia nie umielibyśmy położyć na karb przypadku. I to samo rozumowanie powtarza się w gruncie rzeczy zawsze.
Nie mogę tutaj całkowicie go uzasadnić dla krótkości czasu; to wszakże przynajmniej mogę powiedzieć: mamy do wyboru dwa przypuszczenia, albo przyczyny prostej albo owego zespołu przyczyn skomplikowanych, który nazywaliśmy przypadkiem. Uważamy za naturalne przyjąć, że pierwsza wywołuje wynik prosty, i natenczas, skoro stwierdzamy taki prosty wynik, np. liczbę okrągłą, wydaje nam się prawdopodobniejsze przypisać go przyczynie prostej, która musiałaby go dać prawie z pewnością, niż przypadkowi, który mógłby go dać jedynie raz na 10.000. Inaczej, gdy stwierdzamy wynik, który nie jest prosty; wprawdzie przypadek również da go nie częściej, niż raz na 10.000; ale i przyczyna prosta nie ma więcej za sobą, by dać ten wynik.
