Strona:H. Poincaré-Nauka i Metoda.djvu/112

 Cantor przedsięwziął wprowadzenie do matematyki nieskończoności aktualnej, to znaczy ilości, która nietylko jest zdolna przekroczyć wszelkie granice, lecz którą uważa się za taką, która je istotnie przekroczyła. Nasuwają się pytania w rodzaju następujących: Czy punktów w przestrzeni jest więcej niż liczb całkowitych? Czy w przestrzeni jest więcej punktów niż na płaszczyźnie? Itp.
 Ilość liczb całkowitych, ilość punktów w przestrzeni itd. jest dla Cantora liczbą kardynalną nadskończoną, to znaczy liczbą kardynalną większą niż wszystkie zwykłe liczby kardynalne. Zajął się on następnie porównaniem tych liczb kardynalnych nadskończonych; przez ułożenie w odpowiednim porządku elementów zespołu, który zawiera ich nieskończoność, wymyślił on również liczby porządkowe nadskończone, nad któremi się nie będę tutaj rozwodził.
 Liczni matematycy puścili się w jego ślady i postawili sobie szereg podobnych pytań. W takim stopniu spoufalili się z liczbami nadskończonemi, że w końcu doszli do uzależnienia teorji liczb skończonych od teorji liczb kardynalnych Cantora. Ich zdaniem prawdziwie logiczny wykład matematyki powinien rozpocząć od ustanowienia własności ogólnych liczb kardynalnych nadskończonych, i następnie wyodrębnić z pośród nich pewną malutką klasę — zwykłych liczb całkowitych. Dzięki tej okólnej drodze możnaby było dowieść wszystkich twierdzeń, dotyczących tej małej klasy (to znaczy całej naszej arytmetyki i algiebry), nie opierając się na żadnej zasadzie, nieobjętej logiką.
 Metoda ta jest oczywiście przeciwna wszelkiej zdrowej psychologji; nie tak z pewnością postępował umysł ludzki, gdy budował matematykę; to też autorzy jej nie zamierzają, jak mniemam, wprowadzić ją do nauczania średniego. Ale czy jest ona przynajmniej logiczna, albo, mówiąc trafniej, czy jest poprawna? Wolno jest o tym wątpić.
 Jednakże matematycy, którzy się nią posługiwali, są bardzo liczni. Nagromadzili wzory i wyzwolili się w swym mniemaniu od wszystkiego, co nie jest czystą logiką, przez