Strona:H. Poincaré-Nauka i Metoda.djvu/129

V.

Arytmetyka.

 Dochodzimy do tak nazwanej przez Couturat teorji porządkowej, która jest podstawą właściwej arytmetyki. Couturat zaczyna od sformułowania pięciu pewników Peana, które są niezależne, jak tego dowiedli Peano i Padoa.
 1. Zero jest liczbą całkowitą.
 2. Zero nie jest następnikiem żadnej liczby całkowitej.
 3. Następnikiem liczby całkowitej jest liczba całkowita, do czego należałoby dodać:
 każda liczba całkowita posiada następnik.
 4. Dwie liczby całkowite są równe, jeżeli ich następniki są równe.
 5-tym pewnikiem jest zasada indukcji zupełnej.
 Couturat uważa te pewniki za przebrane definicje; stanowią one definicję przez postulaty: zera, »następnika« i liczby całkowitej.
 Lecz widzieliśmy, że definicja przez postulaty wówczas tylko się nadaje, jeśli można dowieść, że nie zawiera ona w sobie sprzeczności.
 Czy tak się rzeczy tutaj mają? Bynajmniej.
 Dowodu nie można przeprowadzić przez przykład. Niemożna wybrać części liczb całkowitych np. trzy pierwsze, i okazać, że czynią one zadość definicji.
 Jeżeli wezmę serję O, 1, 2 widzę wprawdzie, że czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5; ale żeby czyniła zadość pewnikowi 3, trzeba jeszcze, żeby 3 było liczbą całkowitą a więc, żeby serja 0, 1, 2, 3 czyniła zadość pewnikom; jakoż czyni ona zadość pewnikom 1, 2, 4 i 5, lecz pewnik 3 wymaga nadto, żeby 4 było liczbą całkowitą, i żeby serja 0, 1, 2, 3, 4 czyniła zadość pewnikom, i tak dalej.
 Jest tedy niemożliwym przeprowadzenie dowodu pewników dla kilku liczb całkowitych bez przeprowadzenia tego dowodu dla wszystkich; trzeba się zrzec dowodu przez przykład.