Pojęcia i metody matematyki/Rozdział II/Całość

	<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Rozdział II
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Cały tekst
	Indeks stron

›››

[73]

ROZDZIAŁ II.

TEORYA DZIAŁAŃ FORMALNYCH.

11. TEORYA GRASSMANNA I HANKELA.

Twórcą teoryi działań formalnych jest właściwie H. Grassmann^[1], rozwinął zaś i uprzystępnił ją szerszym kołom Hankel. Jest ona urobiona na podstawie działań z liczbami całkowitemi, o których mówiliśmy w rozdziale poprzedzającym. Lecz teorya działań, przywiązanych do dziedziny specyalnéj, nie uwidocznia należycie związków ogólnych, jakie pomiędzy działaniami, niezależnie od istoty form im poddawanych, istnieją; nie pozwala przeto oddzielić wyraźnie tego, co charakteryzuje daną dziedzinę. Zadanie to spełnia teorya działań formalnych, którą stosować można do rozmaitych układów form.
O tém, jak rozumieć należy równość form, mówiliśmy już we wstępie [str. 10.]; co się zaś tyczy działań czyli połączeń, to uważać je należy za pewien proces myśli, za pomocą którego od dwóch lub więcej form danych przechodzimy do formy nowéj, zwanéj wynikiem połączenia. W jaki sposób połączenia się odbywają, tego zgóry nie rozstrzygamy, badamy tylko prawa połączeń. W przedstawieniu tej rzeczy pójdziemy przeważnie za Hankelem, zmieniając nieco znakowanie i uzupełniając niektóre punkty teoryi^[2].
Niechaj a, b, c . . . przedstawiają formy, które zamierzamy poddać rozmaitego rodzaju połączeniom czyli działaniom. Działania te [74]mają posiadać pewne własności formalne, stanowiące określenie każdego z nich i wyróżniające jedne od drugich.
Połączenie dwóch form oznaczać będziemy najczęściéj za pomocą symbolu ∆(a, b) lub też ∇(a, b). W przypadku, gdy działań różnych będzie więcej, pisać będziemy

∆₁(a, b), ∆₂(a, b) . . . ∇₁(a, b), ∇₂(a, b)....;

∆(a, b, c) oznaczać będzie połączenie trzech form, ∇(a, b, c, d) — połączenie czterech form i t. d. Znaczenie połączeń trzech i większéj [skończonéj] liczby form będzie dopiero ustanowione i wyjaśnione po ustanowieniu prawideł dla połączeń dwóch form.
Równanie

∆(a, b) = c

oznaczać ma, że wynik połączenia form a i b jest pewną formą c. Podobnież równanie

∇(a, b) = d;;

oznacza, że wynik innego połączenia tych samych form jest pewną formą d, równą formie c lub różną od niéj.
Niechaj będą, dwa działania ∆ i ∇. Zastosujemy pierwsze do dwóch form m i n, drugie do form a i b, i niechaj będzie

∆(m, n) = p

∇(a, b) = c.

Między temi dwoma działaniami ustanowimy związek następujący: jeżeli w pierwszém z równań zastąpimy m przez c, n przez b, to p równać się będzie a. Założenie to daje się wyrazić w ten sposób:

1.	1=∆[∇(a, b), b] = a

i określa związek, zachodzący między formalnemi działaniami ∆ i ∇, lub określa działanie ∇, gdy dane jest działanie ∆.
Obok tego związku przyjmijmy jeszcze, że działania ∆ i ∇ są jednowartościowe, co ma oznaczać, że jeżeli działanie np. ∆(a, b) doprowadza raz do wyniku c, drugi raz do wyniku c′, to formy c i c′ są tożsamościowo równe. Toż samo rozumie się o działaniu ∇(a, b).
Z tych dwóch założeń daje się wyprowadzić nowa własność naszych działań, wyrażająca się następującém twierdzeniem:
[75] “Jeżeli w działaniu ∆(a, b) lub ∇(a, b) pierwszą formę zmienimy, drugą zaś pozostawimy bez zmiany, to wynik działania zmienić się musi„.
W saméj rzeczy, niechaj będzie

∇(a, b) = c, ∇(a′, b′) = c′

gdzie a′ różne od a; twierdzimy, że c′ musi być różne od c. Gdyby bowiem c′ równało się c, mielibyśmy

∇(a′, b) = ∇(a, b),

a łącząc obie strony z formą b za pomocą działania ∆:

∆[∇(a′, b), b] = ∆[∇(a, b), b];

Stosując wreszcie do obu stron wzór zasadniczy 1., otrzymalibyśmy

a′ = a,

co się sprzeciwia założeniu.
Wynika stąd, że równanie

∇(x, b) = c

może mieć tylko jedno rozwiązanie, które możemy znaleźć, łącząc obie strony z formą b za pomocą działania ∆. Otrzymujemy wtedy na zasadzie wzoru 1.

x = ∆(c, b),

a wstawiając znalezioną wartość do poprzedniego równania, związek

2.	∇[∆(c, b), b] = c,

analogiczny ze związkiem 1. i określający działanie ∆, gdy daném jest działanie ∇. Na podstawie związku 2. możemy dowieść, że gdy a jest różne od a′, to i ∆(a, b) jest różne od ∆(a′, b′).
Za określenie działali ∆ i ∇ przyjęliśmy związek 1. i jednowartościowość obu tych działań; stąd wynikło powyższe twierdzenie i związek 2. Oczywista, że gdybyśmy zamiast równania 1. przyjęli za podstawę równania 2., to przyszlibyśmy do równania 1., jako do wyniku tego przyjęcia oraz jednowartościowości obu działań. Można zresztą uczynić i inne założenia, np. przyjąć za określenie działań związek 1. i założyć, że jedno z działań ∆ i ∇ jest jednowartościcciowém i posiada własność, wyrażoną powyższém twierdzeniom; wyniknie stąd związek 2. oraz podobna własność drugiego z działań.
[76] Dla rozszerzenia naszych działań na większą liczbę form, załóżmy, że do działania ∆ stosuje się prawo łączności. Jeżeli marny trzy formy, to prawo to wyraża, że otrzymamy jeden i ten sam wynik, łącząc pierwszą formę z wynikiem połączenia drugiéj i trzeciéj: czy też łącząc wynik połączenia pierwszéj i drugiéj formy z formą trzecią. Działania ∆, posiadające podobną własność — i tylko takie działania — nazywać będziemy prostemi. Działania ∇, związane z takiemi działaniami ∆ na podstawie równań 1. lub 2., nazywać będziemy odwrotnemi. Własność łączności przedstawić możemy za pomocą wzoru

3.	∆[a, ∆(b, c)] = ∆[∆(a, b), c].

Przez ∆(a, b, c) rozumieć będziemy którekolwiek z tych dwóch równych sobie wyrażeń 3.
Przy takiém założeniu, można już dowieść, że prawo łączności stosuje się do działania prostego nad czterema i więcéj formami. W saméj rzeczy, na zasadzie równania 3. mamy

∆[a,∆(b,c,d)] = ∆{a,∆[∆(b,c),d]} = ∆{∆[a,∆('b,c)],d} = ∆[a,∆(b,c),d]

i także

∆[a,∆(b,c,d)] = ∆{a,∆[b,∆(c,d)]} = ∆[∆(a,b),∆(c,d)].

Każde z tych sześciu równych wyrażeń nazwiemy połączeniem ∆(a, b, c, d). W podobny sposób określić można połączenie jakiéjkolwiek [skończonéj] liczby form. Do wszystkich tych połączeń stosować się musi prawo łączności, jeżeli założymy, że ono stosuje się do trzech form, i jeżeli połączeniem n form nazwiemy połączenie jednéj formy z wynikiem połączenia n - 1 pozostałych.
Określiwszy działania proste łącznościowe, podamy wynikające z określeń tych twierdzenia, wyrażające własności naszych działań. Własności te wyrazić się dają następującemi trzema wzorami:

4.	∆[a, ∇(b, c)] = ∇[∆(a, b), c] ∇[a, ∆(c, b)] = ∇[∇(a, b), c] ∇[∆(a, c), b] = ∇[a, ∇(b, c)]

Pierwsza tych własności dowodzi się w sposób następujący. Niechaj będzie

x = ∆[a, ∇(b, c)]

Połączywszy obie strony z formą c zapomocą działania ∆, otrzymamy

∆(x, c)	=	∆{∆[a, ∇(b, c)],c,}
	=	∆{a, ∆[∆(b, c), c]}
	=	∆(a, b);

stąd

∇[∆(x, c), c]	=	∇[∆(a, b),c],
x	=	∇[∆(a, b),c],

czyli

∆[a, ∇(b, c)]

=

∇[∆(a, b),c]

c. b. d. o.

Drugą własność okażemy, zakładając

x′ = ∇[∇(a, b) c].

Polączenie obu stron z formą c za pomocą działania ∆ daje

∆(x′, c) = ∆{∇[∇(a, b) c], c}
= ∇(a, b),

skąd

∆[∆(x′, c), b] = ∆[∇(a, b) b] = a,

a więc także

∆[x′, ∆(c, b)] = a,

Połączywszy obie strony z formą ∆(c, b) za pomocą działania ∇ otrzymamy

x′ = ∇[a, ∆(c, b)]

czyli

∇[∇(a, b),c]

=

∇[a, ∆(c, b)]

c. b. d. o.

Dla okazania trzeciej własności połóżmy

x″ = ∇[∆(a, c) b]

i połączmy obie strony z formą b za pomocą działania ∆:

∆(x″, c)	=	∆{∇[∆(a, c)],b], b}
	=	∆(a, c).

Łącząc obie strony z formą c przy pomocy działania ∇, otrzymujemy na podstawie pierwszéj dowiedzionej już własności

∆[x″, ∇(b, c)] = a;

wreszcie łącząc obie strony z formą ∇(b, c) za pomocą działania ∇, otrzymujemy

x″ = ∇[a, ∇(b, c)]

czyli

∇[∆(a, c),b]

=

∇[a, ∇(b, c)]

c. b. d. o.

Z jednowartościowości działań ∆ i ∇ wyprowadziliśmy własność, że gdy w każdém z tych działań druga forma zostaje stałą, pierwszą zaś zmieniamy, to i wynik połączenia zmienia się. Teraz przyjmujemy, że działanie ∆(a, b) jest zupełnie jednowartościowém, t. j. że wynik jego zmienia się także, gdy pierwsza forma pozostaje stałą, druga zaś ulega zmianie. Przy takiém założeniu, z równania ∆(a, b′) = ∆(a, b) wnieść należy, że b′ = b. Z zupełnéj jednowartościowości działania ∆ wynika, jak o tém łatwo przekonać się można, zupełna jednowartościowość działania ∇.
Określmy formę m, któréj połączenie za pomocą. działania prostego ∆ z formą jakąkolwiek a, niechaj daje wynik równy formie a. Formę, mającą tę własność, nazywać będziemy modułem działania ∆. [Grassmann nazywa ją “formą obojętną„]. Określenie modułu zawiera się w równaniu

5.	∆(a, m) = a.

Ponieważ na zasadzie prawa łączności:

∆[a, ∆(m, b)] = ∆[∆(a, m), b].

przeto na podstawie 5. będzie

∆[a, ∆(m, b)] = ∆(a, b),

a że działanie ∆ jest jednowartościowém, otrzymujemy zatém

6.	∆(m, b) = b.

Równania 5. i 6. wykazują, że porządek, w jakim przy pomocy działania prostego łączymy formę z modułem, nie ma wpływu na wynik działania.
[79] Zbadajmy teraz wynik działania od wrotnego ∇(a, m); w tym celu połóżmy

x = ∇(a,m)

i połączmy obie strony z modułem m za pomocą odpowiedniego działania prostego ∆; będzie tedy

∆(x, m) = ∆[∇(a,m), m].

Stosując do strony pierwszej równanie 5., do drugiéj zaś równanie 1., otrzymujemy

7.	x = ∆(a, m) = a.

Wzór ten wyraża, że łącząc jakąkolwiek formę z modułem, jako formą drugą, za pomocą działania odwrotnego, dochodzimy do wyniku równego formie danéj.
Z równania znów 2., gdy w niém formę c zastąpimy modułem m, otrzymujemy

∇[∆(m,b), b] = m,

a więc na zasadzie wzoru 7.

8.	∇(b, b) = m.

Wzór ten wyraża, że moduł działania ∆ uważać można za wynik działania odwrotnego ∇, wykonanego na dwóch jakichkolwiek formach równych.
Formę, określoną, za pomocą działania ∇(m, b), nazywać będziemy formą odwrotną względem formy ∆(m,b), równej b; oznaczamy ją dla krótkości przez b_m, tak że

9.	∇(m, b) = b_m.

jest określeniem formy odwrotnéj.
Z tego określenia wynika, że formą odwrotną względem formy b_m jest forma b. W saméj rzeczy,

(b_m)_m	=	∆(m, b_m) = [m, ∇(m, b)]
	=	∇[∆(m, b), m]
	=	∇(b, m) = b.

Wprowadzenie form odwrotnych daje nam możność zamiany działania prostego na odwrotne i odwrotnego na proste. Istotnie, pierwsze i trzecie z równań 4., gdy w nich położymy b = m, dają [80]

10.	∆(a, c_m) = ∇(a, c); ∆(a, c) = ∇(a, c_m).

Dotąd badaliśmy własności działań, oparte na prawie łączności; teraz zbadajmy wnioski, jakie wynikną z założenia, że działania proste ulegają prawu przemienności, które wyraża się wzorem

11.	∆(a, b) = ∆(b, a).

Przy takiém założeniu, wzory 1. 2. 4. przechodzą w następujące.

1′.	1=∆[b, ∇(a, b),] = a.

2′.	1=∇[∆(b, c), b.] = c.

4′.	∆[∇(b, c), a] = ∇[∆(b, a), c] ∇[a, ∆(b, c)] = ∇[∇(a, b), c] ∇[∆(c, a), b] = ∇[a, ∇(b, c)].

Do téj pory uważaliśmy jedno działanie proste ∆ i odpowiadające mu działanie ∇. Przejdźmy teraz do ustanowienia związków między dwoma różnemi działaniami prostemi.
Niechaj będą dwa działania proste i łączne ∆₁ i ∆₂, połączone ze sobą, następującemi równaniami:

12.	∆₂[∆₁(a, b), c] = ∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(b, c)], ∆₂[a, ∆₁(c, d)] = ∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(a, d)],

wyrażającemi prawo rozdzielności. Dowiedziemy, że jedno z tych działań, a mianowicie działanie ∆₁, jest przemienne.
W tym celu, w pierwszém z równań 11.12. zastąpmy c przez ∆₁(c, d), w drugiém a przez ∆₁(a, b), otrzymamy wtedy

∆₂[∆₂(a, b), ∆₁(c, d)] = ∆₁{∆₂[a, ∆₁(c, d)], ∆₂[b, ∆₁(c, d)]}

∆₂[∆₁(a, b), ∆₁(c, d)] = ∆₁{∆₂[∆₁(a, b), c], ∆₂[∆₁(a, b), d]}

Z równości pierwszych stron tych wzorów wynika równość stron drugich:

∆₁{∆₂[a, ∆₁(c, d)], ∆₂[b, ∆₁(c, d)]} = ∆₁{∆₂[∆₁(a, b), c], ∆₂[∆₁(a, b), d]}

Przekształcając stronę pierwszą. tego równania przy pomocy pierwszego z równań 11.12., drugą zaś przy pomocy drugiego z tych równań, otrzymamy

∆₁{∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(a, d)], ∆₁[∆₂(b, c), ∆₂(b, d)]}
= ∆₁{∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(b, c)], ∆₁[∆₂(a, d), ∆₂(b, d)]}.

Ponieważ działanie ∆₁ jest łączne, przeto równanie to napisać można pod postacią

∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(a, d), ∆₂(b, c), ∆₂(b, d)] = ∆₁[∆₂(a, c), ∆₂(b, c), ∆₂(a, d), ∆₂(b, d)]

Obie strony różnią się tu tylko porządkiem wyrazów; kładąc więc dla skrócenia

∆₂(a, c) = p, ∆₂(a, d) = q, ∆₂(b, c) = r, ∆₂(b, d) = s

i stosując do równania

∆₁(p, q, r, s) = ∆₁(p, q, r, s)

prawo łączności, możemy napisać

∆₁[∆₁(p, q, r), s] = ∆₁[∆₁(p, r, q), s],

skąd, z przyczyny jednowartościowości działania ∆₁, otrzymujemy

∆₁(p, q, r) = ∆₁(p, r, q)

co można napisać pod postacią

∆₁[p, ∆₁(q, r)] = ∆₁[p, ∆₁(r, q)].

Stąd też, z powodu jednowartościowości działania ∆₁, otrzymujemy

∆₁(q, r) = ∆₁(r, q)

co dowodzi przemienności działania ∆₁. Ważne to twierdzenie w teoryi działań formalnych możemy wyrazić w sposób następujący:
“Jeżeli dwa różne działania jednowartościowe i łączne są związane z sobą prawem rozdzielności, to wtedy jedno z nich musi być przemienne„.
W podobny sposób możnaby dowieść, że działanie ∆₂ jest przemienne, jeżeli czyni zadość następującym dwóm związkom

∆₂[∆₂(a, b), c] = ∆₂[∆₁(a, c), ∆₁(b, c)],

∆₁[a, ∆₂(c, d)] = ∆₂[∆₁(a, c), ∆₁(a, d)].

Związek, wyrażony ogólnie równaniem 12., obejmuje w sobie związek, zachodzący między dodawaniem i mnożeniem liczb; wynika z niego, że prawo rozdzielności, wiążące mnożenie i dodawanie, pociąga za sobą przemienność dodawania, jeżeli założymy, że oba działania są jednowartościowe i łączne. Przemienność zaś mnożenia nie jest koniecznym wynikiem tego założenia; istotnie, [82]mnożęnie, jak to przekonamy się na przykładach w rozmaitych dziedzinach, może nie być przemienném ^[3].
Własności formalne działań ∆₁ i ∆₂ oraz związek 12. pomiędzy niemi nie wystarczają wszakże do zupełnego określenia dodawania i mnożenia w każdej specyalnéj dziedzinie, wymagającéj jeszcze odpowiedniego ustanowienia w niej znaczenia dodawania.
Możemy wyprowadzić wzór analogiczny do wzoru 12., a wyrażający związek między działaniem ∆₂ i działaniem odwrotnem ∇₁.
W saméj rzeczy, według określenia tego działania, mamy

∆₁[∇₁(a, b), b] = a;

łącząc obie strony z formą c za pomocą działania ∆₂, otrzymujemy

∆₂{∆₁[∇₁(a, b), b] c₁} = ∆₂(a, c).

Do strony pierwszéj możemy zastosować pierwszy z wzorów 12., zastępując w nim a przez ∇₁(a, b), otrzymamy wtedy

∆₁{∆₂[∇₁(a, b), c], ∇₂(b, c)} = ∆₂(a, c)

Łącząc obie strony z formą ∆₂(b, c) za pomocą działania odwrotnego ∇₁, mieć będziemy po redukcyi

12׳.

∆₂[∇₁(a, b),c]

=

∇₁[∆₂(a, c), ∆₂(b, c)]

c. b. d. o.

Dziedzina form a, b, c,... nad któremi wykonywamy działania proste, zawiera według naszego założenia, wszystkie wyniki działań prostych ∆(a, b), ∆(a, b, c)... Wykonywając w niéj i inne działania proste ∆₂(a, b), ∆₃(a, b)..., przyjmowaliśmy, że wyniki tych działań do naszéj dziedziny należą, a równania takie jak 12., określają związki, zachodzące pomiędzy działaniami prostemi ∆₁ i ∆₂. Związek pomiędzy trzema działaniami prostemi jednowartościowemi ∆₂, ∆₂, ∆₃, może mieć np. postać następującą

∆₂[∆₃(a, b), ∆₃(a, c)] = ∆₃[a, ∆₁(b, c)],

przy założeniu.że wyniki działania ∆₃ prowadzą do form, należących do dziedziny pierwotnéj; już z tego związku wnieść można, że działanie ∆₃ względem form b i c jest przemienném, jeżeli działania ∆₁ i ∆₂ są przemiennemi. Rozmaitości podobnych związków nie podobna z góry wyczerpać: każde badanie specyalne nasuwa je umysłowi. Najprostszym byłby taki system form, w którym wszelkie wyniki [83]działań prostych i ich kombinacyj dają się przedstawić, jako wyniki jednego działania prostego ∆, stosowanego do form pierwotnych. Taki system stanowią dodawanie, mnożenie i potęgowanie w układzie liczb całkowitych.
Co się tyczy działań odwrotnych, to związek ich z odpowiedniemi działaniami prostemi określamy za pomocą wzorów 1. i 2. Jeżeli wyniki tych działań należą wprost do form badanych, to wykonywanie działań prostych nad niemi podlega prawom, wyżéj przedstawionym; jeżeli zaś te wyniki nie znajdują się w dziedzinie pierwotnéj, to równania powyższe określają nowe formy, które do téj dziedżiny wcielamy. Powstaje tedy pytanie, w jaki sposób wykonywać należy połączenia form dawnych z nowemi i nowych pomiędzy sobą. Zasada zachowania uczy nas, jak należy postąpić; według jéj wymagań, winniśmy połączenia nowych form z dawnemi i nowych pomiędzy sobą określić w ten sposób, aby one czyniły zadość tym samym własnościom formalnym, jakim czynią zadość działania na formach pierwotnych.
Niechaj ∇(a, b), ∇(c, d) oznaczają formy dawne; na podstawie równań 4. otrzymamy z łatwością wzór

13.	∆[∇(a, b), ∇(c, d)] = ∇[∆(c, a), ∆(d, b)],

który przyjmujemy za określenie działania prostego i w przypadku ogólnym, t. j. i wtedy, gdy jedna lub obie formy ∇(a, b), ∇(c, d) nie znajdują się w dziedzinie pierwotnéj.
Ze związku 13. wnieść można, że działanie proste nad nowemi formami: 1-o jest przemienne, 2-o jest łączne. Zbadajmy jeszcze działanie odwrotne, wykonane na dwóch formach nowych ∇(a, b) i ∇(c, d); w tym celu połóżmy

∆[∇(a, b), ∇(c, d)] = x,

gdzie x niechaj będzie wynikiem działania. ∇(y, z), w którem y i z są formami dziedziny pierwotnéj.
Łącząc obie strony z formą, ∇(c, d) za pomocą działania ∆, otrzymujemy na zasadzie wzoru 13.

∇(a, b) = ∇[(∆y, c), ∆(z, d)].

Aby z tego równania wyprowadzić związek między formami szukanemi y i z a danemi, zauważmy, że z równania

∇[∆(a, u), ∆(b, u)] = ∆[∇(a, b), ∇(u, u)],

w założeniu, że równania, określające moduł działania, odnoszą się do form jakichkolwiek, nowych czy dawnych, otrzymujemy

∇[∆(a, u), ∆(b, u)] = ∇(a, b).

Temu równaniu uczyni się zadość, gdy założymy

a = ∆(a, u), b = ∆(b, u).

Wogóle staje się zadość równaniu

∇(e, f) = ∇(g, h),

gdy przyjmiemy

g = ∆(e, u), h = ∆(f, u).

Stosując to do równania

∇(a, b) = ∇[∆(y, c), ∆(z, d)],

otrzymujemy

∆(y, c) = ∆(a, u), ∆(z, d) = ∆(b, u),

skąd dochodzimy do rozwiązań

y = ∇[∆(a, u), c], z = ∇[∆(b, u), d],

które można przedstawić pod postacią

y = ∆[a ∇(u, c)], z = ∆[b ∇(u, d)],

gdzie u jest formą dowolną. Jeżeli w szczególności weźmiemy taką formę u, aby było ∇(u, c) = d, t. j.

u = ∆[∇(u, c), c] = ∆(d, c),

to otrzymamy

y = ∆(a, d), z = ∆(b, c)

co wskazuje, że formy y i z, przy powyższém założeniu o własności modułu; zawsze znaleźć można, że przeto forma

x = ∇(y, z) = ∇[∆(a, d) ∆(b, c)]

zawsze znajdzie się w dziedzinie uzupełnionej form dawnych i nowych.
Wykazaliśmy tym sposobem, ze uzupełniona dziedzina jest wystarczająca i po włączeniu w zakres badania działań odwrotnych [85]pomiędzy formami nowemi; czyli innemi słowy, że dziedzina form dawnych i nowych mieści w sobie wszystkie możliwe wyniki działań, jakie otrzymujemy przy łączeniu jéj form za pomocą działań ∆ i ∇. Toż samo powiedzieć można o każdéj innej parze działań.
Przy stosowaniu teoryi formalnéj do poszczególnych rozmaitości, trzeba przedewszystkiém określić, co w tych rozmaitościach przyjmujemy za dziedzinę form pierwotnych czyli elementów. Określenie to wyrażamy, wskazując proces, za pomocą którego przechodzimy od elementu do elementu w danéj dziedzinie, a następnie badamy, czy istnieje dla tych form działanie proste, mające cechy zasadnicze dodawania. Po znalezieniu dodawania, badamy, czy istnieje inne działanie proste, związane z poprzedniém za pomocą równań 12. Niekiedy przyjęcie podobnego równania dla przypadków szczególnych pozwala już na uogólnienie, gdy się uwzględni istotę badanéj dziedziny. Po określeniu własności działań prostych, przechodzimy do działań odwrotnych, które za pomocą znanych równań określamy i których wyniki sposobem wyżéj opisanym badamy.
Teorya powyższa stosuje się do działań elementarnych i do ich kombinacyj, przy założeniu, że tak liczba elementów jak i działań, kolejno stosowanych jest skończoną. Kolejne stosowanie działań do elementów danych prowadzi do pewnych form liczbowych, i dla tego teorya działań stanowi istotną, podstawę rachunku elementarnego takich form liczbowych, jest podstawą Arytmetyki i Algebry. Przypadki, w których liczba elementów i liczba kolejnych działań, lub jedna i druga s nieskończone, należą w ogóle do dziedziny Analizy wyższéj. Wreszcie teorya działań może być rozwiniętą i w innym kierunku, wypływającym ze spostrzeżenia, że pojęcie dodawania i mnożenia można objąć w jedném pojęciu działania prostego, któremu, jeżeli z góry nie zakładamy przemienności, odpowiadają dwa działania odwrotne. Tą drogą poszedł Schröder, któremu zawdzięczamy pierwsze w tym kierunku badania ^[4].
Przedstawimy tu zastosowanie powyższéj teoryi do dziedziny liczb całkowitych, to jest do szeregu

1, 2, 3, 4 . . .,

którego wyrazy otrzymujemy kolejno w następujący sposób

2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . .

tak że w ogólności liczba, bezpośrednio następująca po liczbie n, jest równa n + 1.

Proces ten, za pomocą, którego przechodzimy od elementu do elementu, jest szczególnym przypadkiem działania zasadniczego dla naszego szeregu. Działanie to, dodawanie, określamy za pomocą równań

a + (b + 1)	=	(a + b) + 1
a + 1	=	1 + a

[porówn. art. 8.], które nazwijmy pewnikami dodawania [Helmholtz nazywa pierwsze z nich pewnikiem Grassmanna]^[5]. Działanie odwrotne, odejmowanie, określamy za pomocą równania, odpowiadającego równaniu 1.

1a.	(a - b) + b = a

Dodawanie jest jednowartościowém, bo jeżeli a + b doprowadza raz do sumy c, drugi raz do sumy c′, to według pierwszego pewnika tego działania musi być

a + (b + 1) = c + 1 = c′ + 1,

stąd oczywiście wynika c = c′. Stąd na zasadzie wyłożonéj teoryi wynika, że jeżeli w działaniu a + b lub w działaniu a - b zmienimy pierwszą liczbę a, to wynik działania zmienić się musi, a więc i równanie x - b = c może mieć jedno tylko rozwiązanie.
Związkowi 2. odpowiada w naszym przypadku związek

2a.	(a + b) - b = a.

Równaniu 3. odpowiada równanie

3a.	a + (b + c) = (a + b) + c,

wyrażające prawo łączności. Wynika ono z pierwszego równania, określającego dodawanie. W saméj rzeczy, zakładając, że wzór 3a sprawdza się dla danéj liczby c, możemy stwierdzić, że sprawdza się i dla liczby c + 1, gdyż na zasadzie pierwszego pewnika mamy

a + [(b + c) + 1] = [a + (b + c)] + 1;

kładąc po stronie drugiéj w miejsce pierwszego wyrazu jego wartość z równania 3a, a następnie stosując znowu pierwszy pewnik dodawania, otrzymujemy:

a + [b + (c + 1)] = (a + b) + (c + 1),

a ponieważ równanie 3a jest oczywiście prawdziwém dla c = 1, więc jest prawdziwém dla c = 2, 3 ..., t. j. ogólność jego jest stwierdzona.

Równaniom 4. odpowiadają następujące:

4a.	a + (b - c) = (a + b) - c a - (c + b) = (a - b) - c (a + c) - b = a - (b - c)

Modułem dodawania, określonym za pomocą równania 5., jest zero, czyniące zadość równaniu

5a.	a + 0 = a,

skąd wynika:

6a.
7a.
8a.

0 + b = b,
a - 0 = a,
b - b = 0.

Zero, równe b - b lub 1 - 1, wprowadźmy jako nową liczbę do naszego szeregu, który tym sposobem będzie:

0, 1, 2, 3, 4. . . . . .

Formy odwrotne określamy za pomocą równania, odpowiadającego równaniu 9., mianowicie za pomocą równania

9a.	0 - b = b_m.

Formy te nazywaminazywamy liczbami ujemnemi i oznaczamy przez -b; szereg liczb ujemnych będzie:

-1, -2, -3, -4, . . .

Równaniom 10. odpowiadają wzory

10a.	a + (- c) = a - c, a + c = a - (- c).

[Liczbami ujemnemi zajmiemy się w rozdziale IV.].
Równaniu 11., wyrażającemu prawo przemienności, odpowiada równanie

11a.	a + b = b + a,

które w naszéj dziedzinie pierwotnéj wynika bezpośrednio z [88]pewników dodawania. Z powodu przemienności dodawania, równania 1′, 2′ i 4′ przyjmują obecnie postać:

1′a.	b + (a - b) = a.

2′a.	b + a - b = a

4′a.	(b - c) + a = (b + a) - c, a - (b + c) = (a - b) - c, (c + a) - b = a - (b - c).

Mnożenie jest drugiém działaniem prostém ∆₂, które możemy określić za pomocą związku jego z dodawaniem, wyrażonego równaniami 12. Jeżeli za znak działania ∆₂ przyjmiemy kropkę, to równaniom 12. odpowiadać będą związki

(a + b) . c = a . c + b . c

a . (c + d) = a . c + a . d.

Wystarczy wszakże do określenia mnożenia w naszym układzie przyjąć prawo rozdzielności dla przypadku mniej ogólnego

a . (c + 1) = a . c + a

i następujące założenie, dotyczące modułu mnożenia, którym jest liczba 1., a mianowicie

a . 1 = a.

Z tych założeń wynikają już wszystkie własności mnożenia.
Określiwszy jeszcze działanie odwrotne za pomocą wzoru,

1b.	a/b . b = a,

możemy z łatwością napisać następujące wzory, odpowiadające wzorom, stosującym się do dodawania i odejmowania:

2b.	a . b/b = a

3b.	a . (b . c) = (a . b) . c

4b.	a . b/c = a . b/c a/a . b = (a/b)/c a . c/b = a/(b/c)

5b.	odpowiada	założeniu	a . 1 = a
6b.	„	„	1 . a = a

7b.

a1 = a

8b.

bb = 1

9b.	1/b = b_m

Wzór ten jest określeniem liczby odwrotnéj, zwanéj tu ułamkową. Szereg liczb ułamkowych [prostych] jest następujący:

12, 13, 14, . . . . .

Równaniom 10. odpowiadają następujące:

10b.	a . 1/c = a/c, a . c = a/1/c.

[Liczbami ułamkowemi zajmiemy się w rozdziale III].
Wzory 5b. i 6b. wyrażają w przypadku szczególnym prawo przemienności, które łatwo uogólnić. Przemienność w przypadku dwóch czynników przedstawia wzór:

11b.	a . b = b . a.

a stąd wynikają następujące własności:

1′b.	b . a/b = a

2′b.	b . a/b = a

4′b.	b/c . a = b . a/c a/b . c = (a/b)/c c . a/b = a/(b/c)

Równaniu 12′. odpowiada wzór

12′b.

(a - b) . c = a . c - b . c,

który dopełniamy, przyjmując

0 . c = 0,

a gdy zachowamy i dla tego przypadku prawo przemienności,

c . 0 = 0.

Ostatnia dwa równania wyrażają, że jeżeli jeden z czynników jest zerem, to iloczyn jest zerem.
Naodwrót, iloczyn dwóch liczb może być zerem tylko wtedy, jeżeli przynajmniej jeden z czynników jest zerem.
Z powyższych równań wynika

0c = 0.

We wszystkich poprzednich wzorach dzielniki należy uważać za liczby różne od zera [dzielenie przez 0 na teraz z dziedziny działań wyłączamy].
Opierając się na powyższych wzorach, możemy jeszcze dowieść równości następujących:

14.	a/d ± b/d = a ± b/d a/b . c/d = a . c/b . d a/b . c/d = a . d/b . c

Pierwsze dwa wzory można rozszerzyć do trzech i więcéj składników lub czynników.

12. TEORYA DEDEKINDA.

W przedstawionéj w poprzednim artykule teoryi działań, myśl podstawową stanowiło łączenie form, należących do pewnéj dziedziny, według praw, utworzonych na podobieństwo prawideł, jakim podlegają działania na liczbach całkowitych. Dedekind wystąpił niedawno^[6] z nową teoryą, któréj podstawę stanowi zasada odwzorowania, stosowana już przez nas wart. 9. do szeregu liczb całkowitych. Według poglądu Dedekinda, liczby są swobodnemi tworami ducha ludzkiego, są środkiem łatwego i ścisłego przedstawiania rozmaitości rzeczy; cała umiejętność liczb polega na zdolności umysłu do wzajemnego przyporządkowania rzeczy, do ustanawiania pomiędzy niemi odpowiedniości.
Odwzorowaniem φ układu elementów nazywa Dedekind prawo, według którego do każdego elementu układu S należy przedmiot oznaczony s, nazwany obrazem elementu s, a który przedstawić można pod postacią φ(s). Mówimy, że φ(s) odpowiada elementowi s, że φ(s) przez odwzorowanie φ powstaje z s, lub wreszcie, że s za pomocą odwzorowania φ przechodzi w φ(s). Przykładem takiego odwzorowania jest już samo nadawanie nazw oznaczonych lub znaków elementom układu; najprostrzém zaś odwzorowaniem jest to, przez które elementy układu przechodzą same w siebie. Takie odwzorowanie nazywamy tożsamościowém.
Odwzorowanie nazywa się podobném [wyraźném], jeżeli różnym elementom a i b układu S odpowiadają zawsze obrazy różne a′ = φ(a) i b′ = φ(b). Ponieważ w tym przypadku z równości s′ = t′ wynika odwrotnie równość s = t, zatém każdy z elementów układu S′ = φ(S) jest obrazem s′ pewnego zupełnie oznaczonego elementu układu S. Odwzorowanie tedy, za pomocą którego od układu S′ przechodzimy do układu S, jest również podobném. Oznaczmy je przez φ, będzie tedy φ(S′) = S. Odwzorowanie, złożone z odwzorowań φ i φ, a które oznaczmy przez φφ, prowadzi do układu pierwotnego, jest więc odwzorowaniem tożsamościowém.
Dwa układy R i S nazywają się podobnemi, jeżeli istnieje takie odwzorowanie podobne φ, że φ(S) = R lub φ(R) = S.
Z tych określeń wynika, że każdy układ jest podobny do siebie [92]samego; że jeżeli dwa układy R i S są podobne, to każdy układ, podobny do układu R, jest podobny do układu S.
Na téj zasadzie można wszystkie układy podzielić na klasy. Do jednéj klasy należą wszystkie — i tylko te wszystkie — układy Q, R, S,... które są podobne do jednego z nich R; ten układ R można uważać za przedstawiciela klasy. Jeżeli R i S są układy, należące do jednéj klasy, to każda część układu R jest podobna do pewnéj części układu R. [Częścią układu R nazywa się układ R′, którego każdy element jest elementem układu R; częścią właściwą nazywa się układ R′, jeżeli przytém nie jest identyczny z układem R, to jest jeżeli w R jest przynajmniéj jeden element, którego w R′ niema].
Jeżeli stosując odwzorowanie [podobne lub niepodobne] φ do układu S, otrzymujemy układ φ(S), który jest częścią pewnego układu Z, to φ(S) nazywamy “odwzorowaniem układu S w układzie Z„. Odwzorowanie to możemy wyrazić w ten sposób

φ(S) З S

gdzie znak З oznacza, że układ pierwszy jest częścią drugiego.
Każdy układ, którego obraz jest częścią samego układu, nazywa Dedekind łańcuchem [Kette]. Zwracamy uwagę na to, że nazwa łańcucha stosuje się do układu lub do części układu ze względu na odwzorowanie oznaczone φ; przy inném odwzorowaniu układ może nie być łańcuchem.
Łatwo dowieść, że obraz łańcucha jest także łańcuchem, i, jeżeli pewien układ A jest częścią łańcucha, to i obraz jego jest częścią tegoż łańcucha.
Niechaj układ A będzie częścią układu S; wyobraźmy sobie wewnątrz S wszystkie łańcuchy, których A jest częścią. Układ A₀, którego elementami są wszystkie elementy wspólne tym łańcuchom, jest oczywiście sam łańcuchem; Dedekind nazywa go łańcuchem układu A ^[7].
Układy bywają skończone i nieskończone. Układ nazywa się nieskończonym, gdy jest podobny do części właściwéj samego siebie; w przeciwnym razie jest skończonym. Wynika stąd, że każdy układ, składający się z pojedyńczego elementu, jest skończony, bo nie posiada wcale części właściwéj [inaczéj mówiąc, część właściwa tego układu nie zawiera wcale elementów].
[93] Dedekind dowodzi istnienia układów nieskończonych w następujący sposób:
Świat moich myśli albo ogół S wszystkich rzeczy, które mogą być przedmiotem mojego myślenia, jest nieskończony. Gdy bowiem s jest elementem układu S, to myśl s′, że s jest przedmiotem mojéj myśli, jest także elementem układu S. Jeżeli s′ będziemy uważali za obraz elementu s, t. j. za φ(s), to odwzorowanie φ(S), jakie tym sposobem otrzymujemy, ma tę własność, że obraz S′ jest częścią układu S i mianowicie częścią właściwą, bo w S zachodzą elementy [n. p. moje własne ja], które sę różne od każdéj takiéj myśli s′, a więc nie są w S′ zawarte. Daléj widoczna, że jeżeli a i b są różnemi elementami układu S, to i ich obrazy a′ i b′ są różne, odwzorowanie φ jest podobne, układ S-nieskończony^[8].
Z poprzedzającego wynika: że jeżeli R i S są układy podobne, to R jest układem skończonym lub nieskończonym, stosownie do tego, czy układ S jest skończony lub nieskończony; że każdy układ, podobny do części układu skończonego, jest sam skończony.
Układ N nazywa się pojedyńczo-nieskończonym, jeżeli istnieje takie odwzorowanie φ, w skutek którego układ N jest łańcuchem elementu, nie zawartego w obrazie φ(N). Ten element nazywamy elementem zasadniczym, oznaczamy go przez 1, i mówimy, że układ pojedyńczo-nieskończony jest przez odwzorowanie φ uporządkowanym. Warunki, którym czyni zadość układ pojedyńczo-nieskończony, można w skróceniu przedstawić w sposób następujący:

α. N′ З N,
β. N = 1₀,
γ. Element 1 nie zawiera się w N′,
δ. Odwzorowanie φ jest podobne.

W każdym układzie nieskończonym S zawiera się jako część układ pojedyńczo-nieskończony. W saméj rzeczy, według określenia układu nieskończonego, istnieje takie odwzorowanie φ, że φ(S) albo S′ jest częścią właściwą S, istnieje przeto taki element 1 w S, który nie zawiera się w S′. Łańcuch N = 1₀, odpowiadający temu odwzorowaniu układu S w samym sobie, jest układem pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym przez odwzorowanie φ.
Jeżeli w układzie pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym [94]przez odwzorowanie φ, odwrócimy uwagę od natury elementów i uwzględnimy tylko związki, wynikające z odwzorowania φ, to elementy nazywamy wtedy liczbami naturalnemi lub wprost liczbami, a element 1 — podstawą szeregu liczbowego N. Związki albo prawa, wynikające z powyższych warunków α, β, γ, δ stanowią najbliższy przedmiot nauki o liczbach czyli Arytmetyki.
Wychodząc z tych określeń wyprowadza Dedekind własności, dotyczące następstwa liczb szeregu N [kaida liczba, następująca bezpośrednio po liczbie n, jest jej obrazem n′], znaczenie liczb większych i mniejszych, liczb niewiększych i niemniejszych od danéj, własności układu Z_n liczb niewiększych od liczby n i t. d., a następnie przechodzi do teoryi działań, która w streszczeniu daje się przedstawić w sposób następujący.
Niechaj będzie układ Ω zupełnie dowolny, którego elementy nie koniecznie mają być zawarte w N. Niechaj χ oznacza odwzorowanie tego układu w samym sobie, ω — zaś element oznaczony układu. Dedekind dowodzi za pomocą indukcyi zupełnéj, że każdej liczbie n układu N odpowiada jedno i tylko jedno odwzorowanie ψ_n układu Z_n [t. j. układu liczb niewiększych od liczby n], czyniące zadość warunkom:

I.	ψ_n(Z_n) З Ω,
II.	ψsub>n(1) = ω,
III.	ψsub>n(t′) = χψsub>n(t), gdzie t < n.

[χψsub>n jest odwzorowaniem, złożeném z kolejnych odwzorowań ψsub>n i χ].
W podobny sposób okazać można, że istnieje odwzorowanie φ układu N, czyniące zadość warunkom:

I.	ψ(N) З Ω,
II.	ψ(1) = ω,
III.	ψ(n′) = χψ(n).

gdzie n jest liczbą dowolną.
Dodawanie. Stosując te twierdzenia do przypadku, w którym Ω jest układem nieskończonym N, χ(n) = φ(n) = n′, a więc

I. ψ(N) З N,

możemy dla zupełnego oznaczenia ψ przyjąć ω = 1; wtedy ψ [95]oznaczać będzie oczywiście odwzorowanie tożsamościowe, gdyż warunkom

ψ(1) = 1, ψ(n′) = χψ(n) = φψ(n) = [ψ(n)]′

staje się zadość, jeżeli przyjmiemy φ(n) = n.
Jeżeli chcemy mieć inne odwzorowanie układu N, przyjmujemy za ω liczbę różną od 1, np. liczbę m′ zawartą w N′. Oznaczmy obraz φ(n) liczby n przez m + n i nazwijmy go sumą liczb m i n. Otrzymamy tedy według twierdzeń powyższych:

II.	m + 1 = m′
III.	m + n′ = (m + n)′

Z równań tych wynikaj następujące własności dodawania:

m′ + n	=	m + n′,
m′ + n	=	(m + n)′
1 + n	=	n′
1 + n	=	n + 1,
m + n	=	n + m
(l + m) + n	=	l + (m + n)
m + n	>	m.

Mnożenie. Załóżmy Ω = N, χ(n) = m + n = n + m; będzie tedy

I. ψ(N) З N.

Wybierzmy ω = m, obraz ψ(n) oznaczmy przez mn i nazwijmy go iloczynem. Według twierdzeń powyższych będzie

II.	m . 1 = m
III.	m n′ = m n + m,

skąd wynikają następujące własności mnożenia:

m′	=	m n + n
1 . n	=	n
m . n	=	nm
m n + m	=	n m + m [96]
l(m + n)	=	l m + l n
(m + n)l	=	ml + nl
(lm) n′	=	l(mn + m) = l m n′.

Potęgowanie. Ω = N, χ(n) = an = na, a więc

I. ψ(N) З N.

Odpowiednie odwzorowanie ψ(n) oznaczmy przez aⁿ i nazwijmy tę liczbę potęgą liczby a, n — wykładnikiem potęgi. Działanie nasze czyni zadość warunkom:

I.	a¹ = a
II.	a^n′ = a . aⁿ = aⁿ . a,

skąd wynikają następujące własności:

a^{m′ + n}	=	a^m aⁿ
a^{m + n} . a	=	(a^m . aⁿ)a
(a^m)ⁿ	=	a^mn
(ab)ⁿ	=	aⁿ bⁿ.

W końcu podamy jeszcze twierdzenia Dedekinda, w których uzasadnia pojęcie liczby' [kardynalnéj] elementów danego układu.
1. Jeżeli układ Σ jest nieskończony, to każdy z układów Z_n daje się odwzorować w układzie Σ za pomocą obwzorowaniaodwzorowania podobnego.
2. Układ Σ jest skończony lub nieskończony, stosownie do tego, czy istnieje lub nie istnieje układ do niego podobny Z_n.
3. Jeżeli Σ jest układem skończonym, to istnieje jedna i tylko jedna liczba n, której odpowiada w układzie Σ układ Z_n; ta liczba stanowi liczbę [kardynalną] elementów układu. Wszystkie układy, podobne do danego skończonego układu, mają jednę i tężsamę liczbę kardynalną n.
4. Jeżeli układ A składa się z m elementów, układ B z n elementów, przyczém A i B nie mają elementów wspólnych, to układ M(A, B), którego każdy element jest elementem albo układu A albo układu B, zawiera m + n elementów.
5. Każdy układ, złożony z n układów skończonych, jest sam skończony.
[97] Teorya, którą przedstawiliśmy w streszczeniu, nasuwa następujące uwagi: Odwzorowanie stanowi bezwątpienia działanie zasadnicze, będące podstawą tak liczenia jak i działań arytmetycznych; twierdzenia Dedekinda, oznaczone wyżéj przez I, II, III, ukazują wspólne źródło tych działali w postaci ścisłéj i wyraźnéj. Określenie szeregu liczb naturalnych, jako łańcucha elementu 1, charakteryzuje ten szereg wśród innych szeregów nieskończonych i określa zarazem jego znaczenie zasadnicze. Wreszcie twierdzenia o liczbie elementów układu wskazują wyraźnie, że liczenie jakiegokolwiek układu Σ jest oparte na odwzorowywaniu wzajemném tego układu i układu Z_n. Teorya Dedekinda jest odmienném rozwinięciem téj samej myśli, która kierowała badaniami G. Cantotra, która ujawnia się w rozważaniach Kroneckera. Układy podobne pierwszego z nich — to układy o równéj mocy drugiego lub układy równoważne trzeciego [porówn. niżéj str. 96.]. Ukazując nam liczby całkowite, jako formy szczególne, wynikające z pewnego rodzaju odwzorowania, teorya Dedekinda zadawalnia w wysokim stopniu upodobanie do ogólności w badaniach matematycznych. Uderzającém w teoryi téj jest to, że układy nieskończone zajmują w niéj niejako pierwsze miejsce, są w niéj pierwotnemi, bo po określeniu ich następuje dopiero określenie układów skończonych. Dowód wszakże istnienia układów nieskończonych niezupełnie nas zadawalnia. Punktem głównym tego dowodu jest to, że układ S′ jest częścią układu S, ponieważ w S isthieją elementy jak np. moje własne ja, które są różne od każdéj myśli zawartéj w S′. Ale zapytać można, dlaczego by własnemu ja w układzie S nie miała odpowiadać myśl o własnem ja w układzie S′. Naszém zdaniem, “istnienie„ układów nieskończonych, jak to już powiedziano w art. 10., nie może wyrażać nic innego nad możność odwzorowywania kolejnego, bez żadnych przeszkód, albo możność liczenia tak daleko, jak chcemy. Ta to możność w formie matematycznéj przedstawia się jako nieskończoność i jest źródłem wszelkich innych form, jakie za pomocą odpowiednich konstrukcyj tworzyć możemy i tworzymy w Matematyce.

↑ Grassmann. Ausdehnungslehre... str. 1—14.
↑ Hankel, Ueber complexe Zahlensysteme str. 18—34.
↑ N. Thiele w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Principer [TidskriftTidsskrift for Mathematik, 1880], której treść znamy tylko ze sprawozdania [Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46—48], poddał ogólnemu badaniu związek, zachodzący pomiędzy dodawaniem i mnożeniem, oparty na wzorach
a + b = c, ab = c, a′ + c = b, (a + b)c = a + (b + c),
a + b = b + a, (a + b)c = ac + bc,

wyrażających jednowartościowość dodawania i mnożenia, odwracalność, łączność i przemienność dodawania oraz rozdzielność mnożenia. Najogólniejsze działania, czyniące zadość tym związkom, nazywa on “pseudodowaniem„ i “pseudomnożeniem„ i oznacza pierwsze przez x # y = z, drugie przez x ○ y = z. Z badania, przeprowadzonego przez Thielego, wynika, że obie funkcye suma i iloczyn zawarte są w funkcyi

z = exy + fx + gy + h/axy + bx + cy + d

lub też, że pomiędzy x, y, z muszą zachodzić równania postaci

f(z) = g(x)h(y), F(z) = G(x) H(y),

Z wzorów, wyrażających własności działań, tylko wzór, określający zasadę rozdzielności, stanowi jedyną różnicę pomiędzy mnożeniem a dodawaniem; do zupełnego wszakże określenia mnożenia wzory powyższe nie wystarczają i potrzebném jest jeszcze twierdzenie

a. a + a + a + . . . (n razy) = n . a

które dla “pseudodziałań„, może być przedstawione pod postacią ogólniejszą

a # a # a . . . (n razy) = e_n ○ a

gdzie

nω(e - o) + o(ω - e)/n(e - o) + (ω - e) = n ÷ 0n - ∞ ○ 1 - ∞1 ÷ ∞.

Tu ÷ i oznaczają “pseudoodejmowanie„ i “pseudodzielenie,..„. Dla o = 0, e = 1, ω = ∞ jest e_n = n, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwykłéj.
Bez uwagi na twierdzenie dodatkowe, “pseudodziałanla„ czynią zadość warunkom

F(x # y) = F(x) + F(y)

F(x ○ y) = F(x) . F(y)

gdzie F(x) = x - o/x - ω e - ω/e - o.

Wzorów, wyrażających związki pomiędzy działaniami, nie uważa Thiele za pewniki, lecz pragnie dojść do twierdzeń jeszcze prostszych, opier-ającopierając się na oryginalnym poglądzie na istotę liczb. Według tego poglądu liczba niemianowana nie jest abstrakcyą, lecz opisaniem liczby mianowawanéjmianowanéj [realnéj] za pomocą innéj takiéj liczby, liczby zaś mianowane są znowu opisaniem “objektów matematycznych„, jakiemi są np. punkty czasowe, przestrzenne i t. d. [porówn. str. 33]. Według téj teoryi liczba niemianowana może być określona jako stosunek anharmoniczny, wyznaczający dokładnie dany przedmiot przy pomocy związku α, przez trzy inne dowolne tego samego gatunku, po ustaleniu punktów 0, 1, ∞.
W rozprawie Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestimmelser, 1886, Thiele rozwija w dalszym ciągu pogląd swój na istotę liczb i działali nad niemi. Punktem wyjścia są dla niego tak nazwane “numerale„ [Numeraler], t. j. “bezwarunkowe, pojedyńcze, względne i zupełne jednowartościowe oznaczenia„, których najprostszy przykład stanowią “punkty rzeczowe„ “wyrazy„, i t. d. Jeżeli B jest numeralem, to pojęcie B określa się za pomocą pojęcia A w ten sposób:

B = B ∗ A.

“Numeral tożsamościowy„ O określa tożsamość

A = O ∗ A, t. j. A = A.

Nad numeralami wykonywać można dwa działania: “przeciwstawienie„ [Modsaetning] i “przydawanie„ [Tilfjolse]. Pierwsze z nich oznacza, że z równości

B = N ∗ A

wynika równość

A = (÷ N) ∗ B,

gdzie numeral (÷ N) jest przeciwstawieniem numeralu N. Drugie wyraża, że z równań

B = A ∗ A,

C = B ∗ B

wynika równanie

C = C ∗ A,

Działanie to, jak łatwo się przekonać, czyni zadość prawu łączności.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenia

A ∗ A = 2∗ A,

A ∗ A ∗ A = 3∗ A,

. . . . . . . . . . . = . . .

A ∗ (A ∗ (A . . . ∗ (A)) = n∗ A.,

to stąd wypływają równości

(n∗ A) ∗ (m∗ A) = (m∗ A) ∗ (n∗ A).

n∗ (÷ A) = ÷ (n∗ A)

i t. d.
Znak n∗ jest “numeralem numeralu„ czyli liczbą. Powyższe własności numeralów prowadzą do własności liczb i działań nad liczbami. Do liczb dochodzi się tu zatém od wielkości.
Na téj drodze, jakkolwiek w sposób odmienny, stara się uzasadnić teoryą działań A. Fick we wspomnianém wyżej dziełku [Das Grössengebiet i t. d.].
Każda jednostka J i każda wielkość A jest, według Ficka, miarą pewnej wzajemności [związku, stosunku, Beziehung] pomiędzy dwoma przedmiotami. J eden z przedmiotów, do którego odnosimy wszystkie przedmioty badane, jest przedmiotem zerowym; jego wartość względna [Beziehungswerth] jest zerem. Wielkości, których przedmioty zerowe są różne [t. j. wielkości różnorodne], nie mogą wchodzić z sobą w połączenia.
Dodawanie określa Fick w sposób następujący: suma A + B wyraża wzajemność względem przedmiotu zerowego takiego przedmiotu, którego wzajemność względem jednego ze składników [A lub B] jest równa wzajemności drugiego ze składników [B lub A] względem tegoż przedmiotu zerowego. Z tego określenia wynika bezpośrednio własność A + B = B + A i zarazem twierdzenie, że każda suma, o ile ma być wielkością uważanéj dziedziny, może być przedstawioną jako wielokrotność pewnéj jednostki lub jéj części. Ta jednostka nie będzie wogóle tą samą jednostką, któréj wielokrotnością jest B. Jeżeli więc założymy, że A = mJ_φ, B = nJ_ψ, to otrzymamy A + B = pJ_χ, gdzie J_φ, J_ψ, J_χ są różnemi jednostkami.
Ogólna wykonalność odejmowania poddaje dziedzinę wielkości warunkowi, aby każdéj wzajemności odpowiadała wzajemność przeciwna [odwrotna], tak że do każdéj wielkości A można znaleźć drugą, która, dodana do niéj, daje na wynik zero. Warunek ten spełnia się, jeżeli do każdéj jednostki J_φ pomyślimy sobie inną φJ taką, aby było J_φ + φJ = 0; wtedy odejmowanie dwóch wielkości A - B = mJ_φ - nJ_ψ sprowadza się do dodawania mJ_φ + nψJ i jest zawsze wykonalne.
Mnożenie wielkości opiera Fick na pojęciu stosunku, które uważa jako niezależne od pojęcia dzielenia i dające się określić za pomocą pewnych warunków. Tu, jak i wszędzie, najważniejszą rzeczą jest określenie równości; równość stosunków przedstawia Fick za pomocą wzoru

A : : B = C : : D,

który ma wyrażać, że wielkość D powstaje z wielkości C przy pomocy tych samych prawideł, przy pomocy których B powstaje z A. Prawidła te mają czynić zadość następującym warunkom:
I. Prawidło musi być odwracalne, to jest, z prawidła, według którego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidło, według którego A powstaje z B: z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya B :: A = D :: C.
II. Z proporcyi A :: B = C : : D wynikają proporcye A :: C = B :: D i D :: B = C :: A.
III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jeżeli do jego wyrazów dodajemy wielkości, będące w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya A + C :: B + D = C :: D.
Do definicyi mnożenia potrzebny jest jeszcze wybór jednostki pierwotnéj [Ureinheit] pomiędzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostkę tę oznaczmy przez 1.
Definicya mnożenia jest następująca: “Pomnożyć wielkość A przez wielkość B, t. j. utworzyć iloczyn AB, jest to znaleźć wielkość, będącą w takim stosunku do wielkości A, w jakim wielkość B jest do jednostki pierwotnéj„.
Ponieważ według warunku II, z proporcyi 1 :: B = A :: A B wynika proporcya 1 :: A = B :: AB, ostatni zaś wyraz drugiéj proporcji, według określenia, winien być BA, jest przeto AB = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielności (A + B)(A + B)C = AC + BC oraz (A - B)C = AC - BC.
Dzielenie w téj teoryi polega na znalezieniu ilorazu A/B lub A : B, który ma się tak do wielkości A, jak jednostka pierwotna do wielkości B. Na téj podstawie łatwo okazać można twierdzenia

A + B/C = A/C + B/C, A . B/C = A/C . B

i t. d.
Potęgowanie i wyciąganie pierwiastka określaj się sposobem zwykłym.
Dalsze rozwinięcie swojéj teoryi opiera Fick już na pojęciu ciągłości.
Próba Ficka zbudowania teoryi działań niezależnie od nauki o liczbach nie wydaje nam się dostatecznie ogólną, z tego względu, że autor odrazu przyjmuje wielkości, jako złożone z jednostek; że nie poddaje ogólnemu badaniu związków pomiędzy działaniami, lecz działania te odrazu specyalizuje; że wreszcie określenie mnożenia na podstawie pojęcia stosunku zbyt jest skornplikowaném.
Droga, wskazana w teoryi działań formalnych przez Grassmanna i Hankela, zdaje się być dotąd jedyną drogą, na któréj można zbudować teoryą wielkości. Najnowsze w tym względzie badania Kroneckera w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888., str. 379-396, 615—648], które wiążą się z przedstawioną wyżéj teorya Helmholtza [art 2.] w gruncie rzeczy nie różnią się pod względem zasad od teoryi formalnéj.
Kronecker uważa układ elementów [wielkości, wartości, liczb]

z₁, z₂, z₃, . . . z_n...,

który dla krótkości oznacza przez (z). Wyobraźmy sobie proces, za pomocą którego układ (z) przechodzi w inny równoważny układ (z′), przy zachowaniu warunku, że z równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z″)

wynika równoważność

(z) ~ (z″).

Jeżeli w szczególności układ (z″) jest identyczny z układem (z′), to stąd wyniknie, że każdy układ jest równoważny samemu sobie; jeżeli zaś układ (z″) jest identyczny z układem (z), to otrzymujemy

(z′) ~ (z)

jako wynik dwóch równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z)

Niechaj (z), (z′), (z″) . . . będą układy różne i niechaj

1. φ((z), (z′)) ~ z″.

wyraża, że układ z″ za pomocą pewnego procesu powstaje z układów (z) i (z′). Załóżmy przytem, że zachodzi warunek

2. φ[(z), φ((z′), (z″))] ~ φ[(z′), φ((z), (z″))

t. j. że dochodzimy do tego samego wyniku, łącząc układ (z) z wynikiem połączenia układów (z′) i (z″), czy też łącząc układ (z′) z wynikiem połączenia układów (z) i (z″).
Niechaj będą dwa układy (z⁰) i (z′), dla których

φ((z⁰), (z′)) ~ (z′).

Jeżeli więc zachodzi związek

φ((z″), (z′)) ~ (z),

to zachodzi także związek

φ[(z″), φ((z⁰), (z′))] ~ (z).

Uwzględniając tu warunek 2., otrzymamy

φ((z⁰), (z)) ~ (z).

Dodając teraz nowy warunek

3. φ((z), (z′)) ~ φ((z′), (z)),

z łatwością dochodzimy do wniosku, że wynik połączenia ilukolwiek układów nie zależy wcale od porządku, w jakim je łączymy.

Jeżeli mamy układ (z⁽¹⁾) i oznaczymy wyniki połączeń: φ((z¹), (z¹)) przez (z⁽²⁾), φ((z⁽¹⁾), (z⁽²⁾)) przez (z⁽³⁾) . . . i ogólnie
φ((z⁽¹⁾), (z^(m))) przez (z^(m+1)),

to oczywiście dla jakichkolwiek liczb całkowitych m i n będzie

φ((z^(m)), (z⁽ⁿ⁾)) przez (z^(m+n))

t.j. skaźnik układu, powstającego z połączenia układów (z^(m)) i (z⁽ⁿ⁾) równa się sumie ich skaźników. Twierdzenie to utrzymuje się, jeżeli wprowadzimy układy $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ ze skaźnikami ułamkowemi; $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ oznaczać ma taki układ, że połączenie φ równoważnych mu n układów daje wynik równy układowi (z⁽ⁿ⁾).
Jeżeli dane układy nie dają się wyczerpać za pomocą układów oznaczonych przez $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ i jeżeli (z) jest nowym jakimś układem, to można oznaczyć szereg układów nowych za pomocą $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {{\overline {z}}\;\;\;\;\;}}$ i każdy z układów, utworzonych z połączenia układów

$\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}\ \textstyle {{\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)} \choose {{\overline {z}}\ \ \ \ \ }}$

scharakteryzować za pomocą układu skaźników $\textstyle {\left({\frac {m}{n}},\ {\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ . Postępując w ten sposób daléj, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych układów za pomocą układów skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

którego elementy ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . . są liczbami wymiernemi. W ten sposób połączenie układów, którym odpowiadają układy skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .; ζ₁′, ζ₂′, ζ₃′ . . .;

charakteryzuje układ

ζ₁ + ζ₁′, ζ₂ + ζ₂′, ζ₃ + ζ₃′ . .

Jeżeli np. układ (z) jest układem liczb całkowitych mniejszych od M, a połączenie φ mnożeniem, to każda liczba układu daje się przedstawić pod postacią

n = p_1^ζ₁ p_2^ζ₂ p_3^ζ₃ . . .

gdzie p, p₁, p₂ są liczbami pierwszemi, ζ₁, ζ₂, ζ₃ . : . przyjmują wartości 0, 1, 2 . . . Układ skaźników będzie zatém

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

W zastosowaniu do wielkości teorya ta przedstawia. się w ten sposób:
Układom (z), (z′), (z″) . . . odpowiadają wielkości fizyczne O, O′, O″, które wchodzą w połączenia, podlegające warunkom 2. i 3., zastępującym warunki łączności i przemienności w teoryi Helmholtza. Jeżeli wyjdziemy z pewnéj wielkości O(1), to można wszystkie inne scharakteryzować [w przypadku wymierności] za pomocą skaźników całkowitych lub ułamkowych. Wielkość O otrzymuje skaźnik $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ , jeżeli połączenie n wielkości równoważnych wielkości O daje wynik, równoważny połączeniu m wielkości równoważnych wielkości O(1).
Jeżeli uporządkujemy wielkości według skaźników w ten sposób, aby wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ poprzedzała wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ , gdy mn′ < m′n, to, jeżeli skaźniki odpowiadają np. masom lub ciężarom, skaźnik mniejszy należeć będzie do wielkości mniejszéj. Porównanie rozmaitych wielkości fizycznych daje się przeto sprowadzić teoretycznie do porównania ich skaźników, praktyczna wszakże strona tego oznaczenia wymaga metod, pozwalających na rozstrzygnięcie pytania, która z dwóch wielkości jest większa lub mniejsza.
Pięknie skreślony wykład teoryi wielkości znaleźć można w świeżo ogłoszonej rozprawie Bettazzi’ego, Teoria della grandezze, uwieńczonej przez Akademią dei Lincei, 1890. Opierając się na podstawach, danych przez Grassmanna, Hankela, Cantora i Dellekinda, autor przedstawia związek pojęcia wielkości [formy] matematycznéj z działaniem zasadniczém, za pomocą którego wytwarzamy “klasy„ wielkości i przedstawia następnie teoryą działań na liczbach.
↑ W dziele E. Schrödera, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 1873, zwłaszcza w rozdziale IV-ym (str. 174—294) o związkach wzajemnych pomiędzy działaniami, znaleźć można obszerny wykład teoryi formalnéj działań z drobiazgowém rozwinięciem wszelkich konsekwencyj, jakie z określeń ich wynikają. Badania te proponuje autor objąć nazwą Algebry formalnéj, do której zadań należy przeto: 1. zbadanie wszystkich założeń, koniecznych do scharakteryzowania każdego działania rachunkowego w danéj dziedzinie liczb; 2. wyczerpanie wszelkich wniosków z każdéj przesłanki lub kombinacyj przesłanek; 3. znalezienie zamkniętych układów liczbowych, podległych prawom połączeń i dających się zbudować za pomocą znalezionych działań; wreszcie 4. zbadanie, jakie podścieliska realne można dać tym liczbom i działaniom, t. j. jakie nadać im znaczenie geometryczne, fizykalne i. t. d. Dwa ostatnie zadania stanowią już, zdaniem Schrödera, przejście od Algebry formalnéj do bezwzględnéj [absolute Algebra].
Pomysły swoje rozwinął autor w następnych pracach: Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra. 1873, Uber v. Staud's Rechnung mit Würfen und verwandte Processe [Mathematische Annalen, X, 1876. str. 289—317]. Ueber eine eigenthümliche Bestimmung einer Function durch formale Anforderungen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, XC, 1881, str. 189—220], Ueber Algorithmen und Calculn [Archiv der Mathematik und Physik, 1887, ctr. 225—278] i Tafeln der eindentig umkehrbaren Functionen [Mathematische Annalen. XXIX, 1887, str. 299—326]. Interesujące te badania, mające niejaką analogią do odmiennie przeprowadzonych badań Thielego, wkraczają już w części w dziedzinę Tèoryi funkcyj, i dlatego powiemy tylko krótko, że polegają one głównie: 1. na przyjęciu za podstawę działania jednowartościowego i nieprzemiennego a b, które Schröder nazywa mnożeniem “symboliczném„; mnożeniu temu odpowiadają zatém dwa działania odwrotne, t.j. dwa dzielenia “symboliczne„ 2. na ustanowieniu możliwych związków zasadniczych, jakie pomiędzy temi trzema działaniami zachodzić mogą, a więc np. w przypadku dwóch elementów a i b, następujących czterech układów czyli “algorytmów„,
a:b = a b = b/a,

a:b = b a, a:b = a/b;

a:b = b:a, b/a = ba;

b/a = a/b ab = ba;

w których jest razem 9 równań — i badaniu wniosków, jakie stąd wynikają. W przypadku trzech elementów a, b, c, otrzymujemy takich wzorów wogóle 990; z nich zbiór 150 równań, ze wszelkiemi konsekwencyami stanowi to, co Schröder nazywa algorytmem Algebry zwyczajnéj, a któremu podlega nietylko mnożenie i dodawanie liczb rzeczywistych i urojonych, ale i dodawanie geometryczne punktów płaszczyzny oraz dodawanie logiczne pojęć i sądów. W ogóle te badania mają związek z dziedziną Logiki formalnéj; we wspomnianém zaś dziele Schrödera [art. 6.] znajdzie czytelnik najnowsze w tym przedmiocie poszukiwania, które nie wchodzą już w zakres niniejszéj książki.
↑ Helmholtz, Zählen und Messen, l. c. str. 24.
↑ Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen, 1888.
↑ Na teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującém twierdzeniu:
“Aby dowieść, że łańcuch A₀ jest częścią pewnego układu Σ, który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść:
α. że З Σ;
β. że obraz każdego elementu wspólnego układom A₀ i Σ jest takie elementem układu Σ„.
Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób:
“Aby dowieść, że wszystkie elementy α łańcucha A₀ posiadają pewną własność η [lub że pewne twierdzenie τ, w ktorém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A₀], wystarcza dowieść:
α. że wszystkie elementy α układu A mają własność η [lub że twierdzenie τ stosuje się do wszystkich elementów α].
β. że obraz n′ każdego elementu n łańcucha A₀ ma też samą własność η. [lub że twierdzenie τ, jeżeli stosuje się do elementu n łańcucha A₀ jest prawdziwém także i dla obrazu n′ tegoż elementu.]
↑ Dowód “istnienia„ układów nieskończonych, podany przez Dedekinda, jest właściwie inną postacią dowodu, jaki znajdujemy u Bolzano, [Paradoxien des Unendlichen, str. 14] który twierdzi, że mnogość twierdzeń i prawd samych w sobie [Wahrheiten an sich] jest nieskończoną. Jeżeli bowiem uważamy jaką prawdę A, np twierdzenie, że prawdy istnieją, to twierdzenie: “A jest prawdą„ jest czémś różném od A, bo podmiotem jego jest samo twierdzenie A. Według tego samego prawa, za pomocą którego z twierdzenia A wyprowadzamy różne od niego twierdzenie B, można znów z B wyprowadzić twierdzenie C i tak daléj bez końca. Ogół tych wszystkich twierdzeń obejmuje mnogość części, [twierdzeń], która jest większą od każdéj mnogości skończonéj.
Keferstein, Ueber den Begriff der Zahl, [Festschrift, herausqeqeben von der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 1890, str. 119—124], uważa dowód Dedekinda za nieudany, gdyż przy określeniu układów podobnych, pojęcie równości jest przyjęte jedynie w tém znaczeniu, że a = b tylko wtedy, gdy a i b są znakami jednéj i téj saméj rzeczy, a równość taka nie może oczywiście zachodzić pomiędzy układem i jego częścią właściwą.

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.

[1] Grassmann. Ausdehnungslehre... str. 1—14.

[2] Hankel, Ueber complexe Zahlensysteme str. 18—34.

[3] N. Thiele w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Principer [TidskriftTidsskrift for Mathematik, 1880], której treść znamy tylko ze sprawozdania [Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46—48], poddał ogólnemu badaniu związek, zachodzący pomiędzy dodawaniem i mnożeniem, oparty na wzorach
a + b = c, ab = c, a′ + c = b, (a + b)c = a + (b + c),
a + b = b + a, (a + b)c = ac + bc,

wyrażających jednowartościowość dodawania i mnożenia, odwracalność, łączność i przemienność dodawania oraz rozdzielność mnożenia. Najogólniejsze działania, czyniące zadość tym związkom, nazywa on “pseudodowaniem„ i “pseudomnożeniem„ i oznacza pierwsze przez x # y = z, drugie przez x ○ y = z. Z badania, przeprowadzonego przez Thielego, wynika, że obie funkcye suma i iloczyn zawarte są w funkcyi

z = exy + fx + gy + h/axy + bx + cy + d

lub też, że pomiędzy x, y, z muszą zachodzić równania postaci

f(z) = g(x)h(y), F(z) = G(x) H(y),

Z wzorów, wyrażających własności działań, tylko wzór, określający zasadę rozdzielności, stanowi jedyną różnicę pomiędzy mnożeniem a dodawaniem; do zupełnego wszakże określenia mnożenia wzory powyższe nie wystarczają i potrzebném jest jeszcze twierdzenie

a. a + a + a + . . . (n razy) = n . a

które dla “pseudodziałań„, może być przedstawione pod postacią ogólniejszą

a # a # a . . . (n razy) = e_n ○ a

gdzie

nω(e - o) + o(ω - e)/n(e - o) + (ω - e) = n ÷ 0n - ∞ ○ 1 - ∞1 ÷ ∞.

Tu ÷ i oznaczają “pseudoodejmowanie„ i “pseudodzielenie,..„. Dla o = 0, e = 1, ω = ∞ jest e_n = n, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwykłéj.
Bez uwagi na twierdzenie dodatkowe, “pseudodziałanla„ czynią zadość warunkom

F(x # y) = F(x) + F(y)

F(x ○ y) = F(x) . F(y)

gdzie F(x) = x - o/x - ω e - ω/e - o.

Wzorów, wyrażających związki pomiędzy działaniami, nie uważa Thiele za pewniki, lecz pragnie dojść do twierdzeń jeszcze prostszych, opier-ającopierając się na oryginalnym poglądzie na istotę liczb. Według tego poglądu liczba niemianowana nie jest abstrakcyą, lecz opisaniem liczby mianowawanéjmianowanéj [realnéj] za pomocą innéj takiéj liczby, liczby zaś mianowane są znowu opisaniem “objektów matematycznych„, jakiemi są np. punkty czasowe, przestrzenne i t. d. [porówn. str. 33]. Według téj teoryi liczba niemianowana może być określona jako stosunek anharmoniczny, wyznaczający dokładnie dany przedmiot przy pomocy związku α, przez trzy inne dowolne tego samego gatunku, po ustaleniu punktów 0, 1, ∞.
W rozprawie Om Definitionerne for Tallet, Talarterne og de tallignende Bestimmelser, 1886, Thiele rozwija w dalszym ciągu pogląd swój na istotę liczb i działali nad niemi. Punktem wyjścia są dla niego tak nazwane “numerale„ [Numeraler], t. j. “bezwarunkowe, pojedyńcze, względne i zupełne jednowartościowe oznaczenia„, których najprostszy przykład stanowią “punkty rzeczowe„ “wyrazy„, i t. d. Jeżeli B jest numeralem, to pojęcie B określa się za pomocą pojęcia A w ten sposób:

B = B ∗ A.

“Numeral tożsamościowy„ O określa tożsamość

A = O ∗ A, t. j. A = A.

Nad numeralami wykonywać można dwa działania: “przeciwstawienie„ [Modsaetning] i “przydawanie„ [Tilfjolse]. Pierwsze z nich oznacza, że z równości

B = N ∗ A

wynika równość

A = (÷ N) ∗ B,

gdzie numeral (÷ N) jest przeciwstawieniem numeralu N. Drugie wyraża, że z równań

B = A ∗ A,

C = B ∗ B

wynika równanie

C = C ∗ A,

Działanie to, jak łatwo się przekonać, czyni zadość prawu łączności.
Jeżeli wprowadzimy oznaczenia

A ∗ A = 2∗ A,

A ∗ A ∗ A = 3∗ A,

. . . . . . . . . . . = . . .

A ∗ (A ∗ (A . . . ∗ (A)) = n∗ A.,

to stąd wypływają równości

(n∗ A) ∗ (m∗ A) = (m∗ A) ∗ (n∗ A).

n∗ (÷ A) = ÷ (n∗ A)

i t. d.
Znak n∗ jest “numeralem numeralu„ czyli liczbą. Powyższe własności numeralów prowadzą do własności liczb i działań nad liczbami. Do liczb dochodzi się tu zatém od wielkości.
Na téj drodze, jakkolwiek w sposób odmienny, stara się uzasadnić teoryą działań A. Fick we wspomnianém wyżej dziełku [Das Grössengebiet i t. d.].
Każda jednostka J i każda wielkość A jest, według Ficka, miarą pewnej wzajemności [związku, stosunku, Beziehung] pomiędzy dwoma przedmiotami. J eden z przedmiotów, do którego odnosimy wszystkie przedmioty badane, jest przedmiotem zerowym; jego wartość względna [Beziehungswerth] jest zerem. Wielkości, których przedmioty zerowe są różne [t. j. wielkości różnorodne], nie mogą wchodzić z sobą w połączenia.
Dodawanie określa Fick w sposób następujący: suma A + B wyraża wzajemność względem przedmiotu zerowego takiego przedmiotu, którego wzajemność względem jednego ze składników [A lub B] jest równa wzajemności drugiego ze składników [B lub A] względem tegoż przedmiotu zerowego. Z tego określenia wynika bezpośrednio własność A + B = B + A i zarazem twierdzenie, że każda suma, o ile ma być wielkością uważanéj dziedziny, może być przedstawioną jako wielokrotność pewnéj jednostki lub jéj części. Ta jednostka nie będzie wogóle tą samą jednostką, któréj wielokrotnością jest B. Jeżeli więc założymy, że A = mJ_φ, B = nJ_ψ, to otrzymamy A + B = pJ_χ, gdzie J_φ, J_ψ, J_χ są różnemi jednostkami.
Ogólna wykonalność odejmowania poddaje dziedzinę wielkości warunkowi, aby każdéj wzajemności odpowiadała wzajemność przeciwna [odwrotna], tak że do każdéj wielkości A można znaleźć drugą, która, dodana do niéj, daje na wynik zero. Warunek ten spełnia się, jeżeli do każdéj jednostki J_φ pomyślimy sobie inną φJ taką, aby było J_φ + φJ = 0; wtedy odejmowanie dwóch wielkości A - B = mJ_φ - nJ_ψ sprowadza się do dodawania mJ_φ + nψJ i jest zawsze wykonalne.
Mnożenie wielkości opiera Fick na pojęciu stosunku, które uważa jako niezależne od pojęcia dzielenia i dające się określić za pomocą pewnych warunków. Tu, jak i wszędzie, najważniejszą rzeczą jest określenie równości; równość stosunków przedstawia Fick za pomocą wzoru

A : : B = C : : D,

który ma wyrażać, że wielkość D powstaje z wielkości C przy pomocy tych samych prawideł, przy pomocy których B powstaje z A. Prawidła te mają czynić zadość następującym warunkom:
I. Prawidło musi być odwracalne, to jest, z prawidła, według którego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidło, według którego A powstaje z B: z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya B :: A = D :: C.
II. Z proporcyi A :: B = C : : D wynikają proporcye A :: C = B :: D i D :: B = C :: A.
III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jeżeli do jego wyrazów dodajemy wielkości, będące w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya A + C :: B + D = C :: D.
Do definicyi mnożenia potrzebny jest jeszcze wybór jednostki pierwotnéj [Ureinheit] pomiędzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostkę tę oznaczmy przez 1.
Definicya mnożenia jest następująca: “Pomnożyć wielkość A przez wielkość B, t. j. utworzyć iloczyn AB, jest to znaleźć wielkość, będącą w takim stosunku do wielkości A, w jakim wielkość B jest do jednostki pierwotnéj„.
Ponieważ według warunku II, z proporcyi 1 :: B = A :: A B wynika proporcya 1 :: A = B :: AB, ostatni zaś wyraz drugiéj proporcji, według określenia, winien być BA, jest przeto AB = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielności (A + B)(A + B)C = AC + BC oraz (A - B)C = AC - BC.
Dzielenie w téj teoryi polega na znalezieniu ilorazu A/B lub A : B, który ma się tak do wielkości A, jak jednostka pierwotna do wielkości B. Na téj podstawie łatwo okazać można twierdzenia

A + B/C = A/C + B/C, A . B/C = A/C . B

i t. d.
Potęgowanie i wyciąganie pierwiastka określaj się sposobem zwykłym.
Dalsze rozwinięcie swojéj teoryi opiera Fick już na pojęciu ciągłości.
Próba Ficka zbudowania teoryi działań niezależnie od nauki o liczbach nie wydaje nam się dostatecznie ogólną, z tego względu, że autor odrazu przyjmuje wielkości, jako złożone z jednostek; że nie poddaje ogólnemu badaniu związków pomiędzy działaniami, lecz działania te odrazu specyalizuje; że wreszcie określenie mnożenia na podstawie pojęcia stosunku zbyt jest skornplikowaném.
Droga, wskazana w teoryi działań formalnych przez Grassmanna i Hankela, zdaje się być dotąd jedyną drogą, na któréj można zbudować teoryą wielkości. Najnowsze w tym względzie badania Kroneckera w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888., str. 379-396, 615—648], które wiążą się z przedstawioną wyżéj teorya Helmholtza [art 2.] w gruncie rzeczy nie różnią się pod względem zasad od teoryi formalnéj.
Kronecker uważa układ elementów [wielkości, wartości, liczb]

z₁, z₂, z₃, . . . z_n...,

który dla krótkości oznacza przez (z). Wyobraźmy sobie proces, za pomocą którego układ (z) przechodzi w inny równoważny układ (z′), przy zachowaniu warunku, że z równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z″)

wynika równoważność

(z) ~ (z″).

Jeżeli w szczególności układ (z″) jest identyczny z układem (z′), to stąd wyniknie, że każdy układ jest równoważny samemu sobie; jeżeli zaś układ (z″) jest identyczny z układem (z), to otrzymujemy

(z′) ~ (z)

jako wynik dwóch równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z)

Niechaj (z), (z′), (z″) . . . będą układy różne i niechaj

1. φ((z), (z′)) ~ z″.

wyraża, że układ z″ za pomocą pewnego procesu powstaje z układów (z) i (z′). Załóżmy przytem, że zachodzi warunek

2. φ[(z), φ((z′), (z″))] ~ φ[(z′), φ((z), (z″))

t. j. że dochodzimy do tego samego wyniku, łącząc układ (z) z wynikiem połączenia układów (z′) i (z″), czy też łącząc układ (z′) z wynikiem połączenia układów (z) i (z″).
Niechaj będą dwa układy (z⁰) i (z′), dla których

φ((z⁰), (z′)) ~ (z′).

Jeżeli więc zachodzi związek

φ((z″), (z′)) ~ (z),

to zachodzi także związek

φ[(z″), φ((z⁰), (z′))] ~ (z).

Uwzględniając tu warunek 2., otrzymamy

φ((z⁰), (z)) ~ (z).

Dodając teraz nowy warunek

3. φ((z), (z′)) ~ φ((z′), (z)),

z łatwością dochodzimy do wniosku, że wynik połączenia ilukolwiek układów nie zależy wcale od porządku, w jakim je łączymy.

Jeżeli mamy układ (z⁽¹⁾) i oznaczymy wyniki połączeń: φ((z¹), (z¹)) przez (z⁽²⁾), φ((z⁽¹⁾), (z⁽²⁾)) przez (z⁽³⁾) . . . i ogólnie
φ((z⁽¹⁾), (z^(m))) przez (z^(m+1)),

to oczywiście dla jakichkolwiek liczb całkowitych m i n będzie

φ((z^(m)), (z⁽ⁿ⁾)) przez (z^(m+n))

t.j. skaźnik układu, powstającego z połączenia układów (z^(m)) i (z⁽ⁿ⁾) równa się sumie ich skaźników. Twierdzenie to utrzymuje się, jeżeli wprowadzimy układy $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ ze skaźnikami ułamkowemi; $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ oznaczać ma taki układ, że połączenie φ równoważnych mu n układów daje wynik równy układowi (z⁽ⁿ⁾).
Jeżeli dane układy nie dają się wyczerpać za pomocą układów oznaczonych przez $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ i jeżeli (z) jest nowym jakimś układem, to można oznaczyć szereg układów nowych za pomocą $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {{\overline {z}}\;\;\;\;\;}}$ i każdy z układów, utworzonych z połączenia układów

$\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}\ \textstyle {{\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)} \choose {{\overline {z}}\ \ \ \ \ }}$

scharakteryzować za pomocą układu skaźników $\textstyle {\left({\frac {m}{n}},\ {\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ . Postępując w ten sposób daléj, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych układów za pomocą układów skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

którego elementy ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . . są liczbami wymiernemi. W ten sposób połączenie układów, którym odpowiadają układy skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .; ζ₁′, ζ₂′, ζ₃′ . . .;

charakteryzuje układ

ζ₁ + ζ₁′, ζ₂ + ζ₂′, ζ₃ + ζ₃′ . .

Jeżeli np. układ (z) jest układem liczb całkowitych mniejszych od M, a połączenie φ mnożeniem, to każda liczba układu daje się przedstawić pod postacią

n = p_1^ζ₁ p_2^ζ₂ p_3^ζ₃ . . .

gdzie p, p₁, p₂ są liczbami pierwszemi, ζ₁, ζ₂, ζ₃ . : . przyjmują wartości 0, 1, 2 . . . Układ skaźników będzie zatém

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

W zastosowaniu do wielkości teorya ta przedstawia. się w ten sposób:
Układom (z), (z′), (z″) . . . odpowiadają wielkości fizyczne O, O′, O″, które wchodzą w połączenia, podlegające warunkom 2. i 3., zastępującym warunki łączności i przemienności w teoryi Helmholtza. Jeżeli wyjdziemy z pewnéj wielkości O(1), to można wszystkie inne scharakteryzować [w przypadku wymierności] za pomocą skaźników całkowitych lub ułamkowych. Wielkość O otrzymuje skaźnik $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ , jeżeli połączenie n wielkości równoważnych wielkości O daje wynik, równoważny połączeniu m wielkości równoważnych wielkości O(1).
Jeżeli uporządkujemy wielkości według skaźników w ten sposób, aby wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {m}{n}}\right)}$ poprzedzała wielkość ze skaźnikiem $\textstyle {\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$ , gdy mn′ < m′n, to, jeżeli skaźniki odpowiadają np. masom lub ciężarom, skaźnik mniejszy należeć będzie do wielkości mniejszéj. Porównanie rozmaitych wielkości fizycznych daje się przeto sprowadzić teoretycznie do porównania ich skaźników, praktyczna wszakże strona tego oznaczenia wymaga metod, pozwalających na rozstrzygnięcie pytania, która z dwóch wielkości jest większa lub mniejsza.
Pięknie skreślony wykład teoryi wielkości znaleźć można w świeżo ogłoszonej rozprawie Bettazzi’ego, Teoria della grandezze, uwieńczonej przez Akademią dei Lincei, 1890. Opierając się na podstawach, danych przez Grassmanna, Hankela, Cantora i Dellekinda, autor przedstawia związek pojęcia wielkości [formy] matematycznéj z działaniem zasadniczém, za pomocą którego wytwarzamy “klasy„ wielkości i przedstawia następnie teoryą działań na liczbach.

[4] W dziele E. Schrödera, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 1873, zwłaszcza w rozdziale IV-ym (str. 174—294) o związkach wzajemnych pomiędzy działaniami, znaleźć można obszerny wykład teoryi formalnéj działań z drobiazgowém rozwinięciem wszelkich konsekwencyj, jakie z określeń ich wynikają. Badania te proponuje autor objąć nazwą Algebry formalnéj, do której zadań należy przeto: 1. zbadanie wszystkich założeń, koniecznych do scharakteryzowania każdego działania rachunkowego w danéj dziedzinie liczb; 2. wyczerpanie wszelkich wniosków z każdéj przesłanki lub kombinacyj przesłanek; 3. znalezienie zamkniętych układów liczbowych, podległych prawom połączeń i dających się zbudować za pomocą znalezionych działań; wreszcie 4. zbadanie, jakie podścieliska realne można dać tym liczbom i działaniom, t. j. jakie nadać im znaczenie geometryczne, fizykalne i. t. d. Dwa ostatnie zadania stanowią już, zdaniem Schrödera, przejście od Algebry formalnéj do bezwzględnéj [absolute Algebra].
Pomysły swoje rozwinął autor w następnych pracach: Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra. 1873, Uber v. Staud's Rechnung mit Würfen und verwandte Processe [Mathematische Annalen, X, 1876. str. 289—317]. Ueber eine eigenthümliche Bestimmung einer Function durch formale Anforderungen [Journal für die reine und angewandte Mathematik, XC, 1881, str. 189—220], Ueber Algorithmen und Calculn [Archiv der Mathematik und Physik, 1887, ctr. 225—278] i Tafeln der eindentig umkehrbaren Functionen [Mathematische Annalen. XXIX, 1887, str. 299—326]. Interesujące te badania, mające niejaką analogią do odmiennie przeprowadzonych badań Thielego, wkraczają już w części w dziedzinę Tèoryi funkcyj, i dlatego powiemy tylko krótko, że polegają one głównie: 1. na przyjęciu za podstawę działania jednowartościowego i nieprzemiennego a b, które Schröder nazywa mnożeniem “symboliczném„; mnożeniu temu odpowiadają zatém dwa działania odwrotne, t.j. dwa dzielenia “symboliczne„ 2. na ustanowieniu możliwych związków zasadniczych, jakie pomiędzy temi trzema działaniami zachodzić mogą, a więc np. w przypadku dwóch elementów a i b, następujących czterech układów czyli “algorytmów„,
a:b = a b = b/a,

a:b = b a, a:b = a/b;

a:b = b:a, b/a = ba;

b/a = a/b ab = ba;

w których jest razem 9 równań — i badaniu wniosków, jakie stąd wynikają. W przypadku trzech elementów a, b, c, otrzymujemy takich wzorów wogóle 990; z nich zbiór 150 równań, ze wszelkiemi konsekwencyami stanowi to, co Schröder nazywa algorytmem Algebry zwyczajnéj, a któremu podlega nietylko mnożenie i dodawanie liczb rzeczywistych i urojonych, ale i dodawanie geometryczne punktów płaszczyzny oraz dodawanie logiczne pojęć i sądów. W ogóle te badania mają związek z dziedziną Logiki formalnéj; we wspomnianém zaś dziele Schrödera [art. 6.] znajdzie czytelnik najnowsze w tym przedmiocie poszukiwania, które nie wchodzą już w zakres niniejszéj książki.

[5] Helmholtz, Zählen und Messen, l. c. str. 24.

[6] Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen, 1888.

[7] Na teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującém twierdzeniu:
“Aby dowieść, że łańcuch A₀ jest częścią pewnego układu Σ, który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść:
α. że З Σ;
β. że obraz każdego elementu wspólnego układom A₀ i Σ jest takie elementem układu Σ„.
Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób:
“Aby dowieść, że wszystkie elementy α łańcucha A₀ posiadają pewną własność η [lub że pewne twierdzenie τ, w ktorém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A₀], wystarcza dowieść:
α. że wszystkie elementy α układu A mają własność η [lub że twierdzenie τ stosuje się do wszystkich elementów α].
β. że obraz n′ każdego elementu n łańcucha A₀ ma też samą własność η. [lub że twierdzenie τ, jeżeli stosuje się do elementu n łańcucha A₀ jest prawdziwém także i dla obrazu n′ tegoż elementu.]

[8] Dowód “istnienia„ układów nieskończonych, podany przez Dedekinda, jest właściwie inną postacią dowodu, jaki znajdujemy u Bolzano, [Paradoxien des Unendlichen, str. 14] który twierdzi, że mnogość twierdzeń i prawd samych w sobie [Wahrheiten an sich] jest nieskończoną. Jeżeli bowiem uważamy jaką prawdę A, np twierdzenie, że prawdy istnieją, to twierdzenie: “A jest prawdą„ jest czémś różném od A, bo podmiotem jego jest samo twierdzenie A. Według tego samego prawa, za pomocą którego z twierdzenia A wyprowadzamy różne od niego twierdzenie B, można znów z B wyprowadzić twierdzenie C i tak daléj bez końca. Ogół tych wszystkich twierdzeń obejmuje mnogość części, [twierdzeń], która jest większą od każdéj mnogości skończonéj.
Keferstein, Ueber den Begriff der Zahl, [Festschrift, herausqeqeben von der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 1890, str. 119—124], uważa dowód Dedekinda za nieudany, gdyż przy określeniu układów podobnych, pojęcie równości jest przyjęte jedynie w tém znaczeniu, że a = b tylko wtedy, gdy a i b są znakami jednéj i téj saméj rzeczy, a równość taka nie może oczywiście zachodzić pomiędzy układem i jego częścią właściwą.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]