Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/074

    Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
    Ta strona została przepisana.

    mają posiadać pewne własności formalne, stanowiące określenie każdego z nich i wyróżniające jedne od drugich.
    Połączenie dwóch form oznaczać będziemy najczęściéj za pomocą symbolu ∆(a, b) lub też ∇(a, b). W przypadku, gdy działań różnych będzie więcej, pisać będziemy

    1(a, b), ∆2(a, b) . . . ∇1(a, b), ∇2(a, b)....;

    ∆(a, b, c) oznaczać będzie połączenie trzech form, ∇(a, b, c, d) — połączenie czterech form i t. d. Znaczenie połączeń trzech i większéj [skończonéj] liczby form będzie dopiero ustanowione i wyjaśnione po ustanowieniu prawideł dla połączeń dwóch form.
    Równanie

    ∆(a, b) = c

    oznaczać ma, że wynik połączenia form a i b jest pewną formą c. Podobnież równanie

    ∇(a, b) = d;;

    oznacza, że wynik innego połączenia tych samych form jest pewną formą d, równą formie c lub różną od niéj.
    Niechaj będą, dwa działania ∆ i ∇. Zastosujemy pierwsze do dwóch form m i n, drugie do form a i b, i niechaj będzie

    ∆(m, n) = p
    ∇(a, b) = c.

    Między temi dwoma działaniami ustanowimy związek następujący: jeżeli w pierwszém z równań zastąpimy m przez c, n przez b, to p równać się będzie a. Założenie to daje się wyrazić w ten sposób:

    1. 1=∆[∇(a, b), b] = a

    i określa związek, zachodzący między formalnemi działaniami ∆ i ∇, lub określa działanie ∇, gdy dane jest działanie ∆.
    Obok tego związku przyjmijmy jeszcze, że działania ∆ i ∇ są jednowartościowe, co ma oznaczać, że jeżeli działanie np. ∆(a, b) doprowadza raz do wyniku c, drugi raz do wyniku c′, to formy c i c′ są tożsamościowo równe. Toż samo rozumie się o działaniu ∇(a, b).
    Z tych dwóch założeń daje się wyprowadzić nowa własność naszych działań, wyrażająca się następującém twierdzeniem: