Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/076

    Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
    Ta strona została przepisana.

    Dla rozszerzenia naszych działań na większą liczbę form, załóżmy, że do działania ∆ stosuje się prawo łączności. Jeżeli marny trzy formy, to prawo to wyraża, że otrzymamy jeden i ten sam wynik, łącząc pierwszą formę z wynikiem połączenia drugiéj i trzeciéj: czy też łącząc wynik połączenia pierwszéj i drugiéj formy z formą trzecią. Działania ∆, posiadające podobną własność — i tylko takie działania — nazywać będziemy prostemi. Działania ∇, związane z takiemi działaniami ∆ na podstawie równań 1. lub 2., nazywać będziemy odwrotnemi. Własność łączności przedstawić możemy za pomocą wzoru

    3. ∆[a, ∆(b, c)] = ∆[∆(a, b), c].

    Przez ∆(a, b, c) rozumieć będziemy którekolwiek z tych dwóch równych sobie wyrażeń 3.
    Przy takiém założeniu, można już dowieść, że prawo łączności stosuje się do działania prostego nad czterema i więcéj formami. W saméj rzeczy, na zasadzie równania 3. mamy

    ∆[a,∆(b,c,d)] = ∆{a,∆[∆(b,c),d]} = ∆{∆[a,∆('b,c)],d} = ∆[a,∆(b,c),d]

    i także

    ∆[a,∆(b,c,d)] = ∆{a,∆[b,∆(c,d)]} = ∆[∆(a,b),∆(c,d)].

    Każde z tych sześciu równych wyrażeń nazwiemy połączeniem ∆(a, b, c, d). W podobny sposób określić można połączenie jakiéjkolwiek [skończonéj] liczby form. Do wszystkich tych połączeń stosować się musi prawo łączności, jeżeli założymy, że ono stosuje się do trzech form, i jeżeli połączeniem n form nazwiemy połączenie jednéj formy z wynikiem połączenia n - 1 pozostałych.
    Określiwszy działania proste łącznościowe, podamy wynikające z określeń tych twierdzenia, wyrażające własności naszych działań. Własności te wyrazić się dają następującemi trzema wzorami:

    4. ∆[a, ∇(b, c)] = ∇[∆(a, b), c]
    ∇[a, ∆(c, b)] = ∇[∇(a, b), c]
    ∇[∆(a, c), b] = ∇[a, ∇(b, c)]

    Pierwsza tych własności dowodzi się w sposób następujący. Niechaj będzie

    x = ∆[a, ∇(b, c)]