Przejdź do zawartości

Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/078

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Ta strona została przepisana.

Łącząc obie strony z formą c przy pomocy działania ∇, otrzymujemy na podstawie pierwszéj dowiedzionej już własności

∆[x″, ∇(b, c)] = a;

wreszcie łącząc obie strony z formą ∇(b, c) za pomocą działania ∇, otrzymujemy

x″ = ∇[a, ∇(b, c)]

czyli

 
∇[∆(a, c),b]  =  ∇[a, ∇(b, c)]
c. b. d. o.

Z jednowartościowości działań ∆ i ∇ wyprowadziliśmy własność, że gdy w każdém z tych działań druga forma zostaje stałą, pierwszą zaś zmieniamy, to i wynik połączenia zmienia się. Teraz przyjmujemy, że działanie ∆(a, b) jest zupełnie jednowartościowém, t. j. że wynik jego zmienia się także, gdy pierwsza forma pozostaje stałą, druga zaś ulega zmianie. Przy takiém założeniu, z równania ∆(a, b′) = ∆(a, b) wnieść należy, że b′ = b. Z zupełnéj jednowartościowości działania ∆ wynika, jak o tém łatwo przekonać się można, zupełna jednowartościowość działania ∇.
Określmy formę m, któréj połączenie za pomocą. działania prostego ∆ z formą jakąkolwiek a, niechaj daje wynik równy formie a. Formę, mającą tę własność, nazywać będziemy modułem działania ∆. [Grassmann nazywa ją “formą obojętną„]. Określenie modułu zawiera się w równaniu

5. ∆(a, m) = a.

Ponieważ na zasadzie prawa łączności:

∆[a, ∆(m, b)] = ∆[∆(a, m), b].

przeto na podstawie 5. będzie

∆[a, ∆(m, b)] = ∆(a, b),

a że działanie ∆ jest jednowartościowém, otrzymujemy zatém

6. ∆(m, b) = b.

Równania 5. i 6. wykazują, że porządek, w jakim przy pomocy działania prostego łączymy formę z modułem, nie ma wpływu na wynik działania.