| 10. | ∆(a, cm) = ∇(a, c); ∆(a, c) = ∇(a, cm). |
Dotąd badaliśmy własności działań, oparte na prawie łączności; teraz zbadajmy wnioski, jakie wynikną z założenia, że działania proste ulegają prawu przemienności, które wyraża się wzorem
| 11. | ∆(a, b) = ∆(b, a). |
Przy takiém założeniu, wzory 1. 2. 4. przechodzą w następujące.
| 1′. | 1=∆[b, ∇(a, b),] = a. |
| 2′. | 1=∇[∆(b, c), b.] = c. |
| 4′. | ∆[∇(b, c), a] = ∇[∆(b, a), c] ∇[a, ∆(b, c)] = ∇[∇(a, b), c] ∇[∆(c, a), b] = ∇[a, ∇(b, c)]. |
Do téj pory uważaliśmy jedno działanie proste ∆ i odpowiadające mu działanie ∇. Przejdźmy teraz do ustanowienia związków między dwoma różnemi działaniami prostemi.
Niechaj będą dwa działania proste i łączne ∆1 i ∆2, połączone ze sobą, następującemi równaniami:
| 12. | ∆2[∆1(a, b), c] = ∆1[∆2(a, c), ∆2(b, c)], ∆2[a, ∆1(c, d)] = ∆1[∆2(a, c), ∆2(a, d)], |
wyrażającemi prawo rozdzielności. Dowiedziemy, że jedno z tych działań, a mianowicie działanie ∆1, jest przemienne.
W tym celu, w pierwszém z równań 11. zastąpmy c przez ∆1(c, d), w drugiém a przez ∆1(a, b), otrzymamy wtedy
Z równości pierwszych stron tych wzorów wynika równość stron drugich:
Przekształcając stronę pierwszą. tego równania przy pomocy pierwszego z równań 11., drugą zaś przy pomocy drugiego z tych równań, otrzymamy
= ∆1{∆1[∆2(a, c), ∆2(b, c)], ∆1[∆2(a, d), ∆2(b, d)]}.
