| l(m + n) | = | l m + l n |
| (m + n)l | = | ml + nl |
| (lm) n′ | = | l(mn + m) = l m n′. |
Potęgowanie. Ω = N, χ(n) = an = na, a więc
Odpowiednie odwzorowanie ψ(n) oznaczmy przez an i nazwijmy tę liczbę potęgą liczby a, n — wykładnikiem potęgi. Działanie nasze czyni zadość warunkom:
| I. | a1 = a |
| II. | an′ = a . an = an . a, |
skąd wynikają następujące własności:
| am′ + n | = | am an |
| am + n . a | = | (am . an)a |
| (am)n | = | amn |
| (ab)n | = | an bn. |
W końcu podamy jeszcze twierdzenia Dedekinda, w których uzasadnia pojęcie liczby' [kardynalnéj] elementów danego układu.
1. Jeżeli układ Σ jest nieskończony, to każdy z układów Zn daje się odwzorować w układzie Σ za pomocą obwzorowania podobnego.
2. Układ Σ jest skończony lub nieskończony, stosownie do tego, czy istnieje lub nie istnieje układ do niego podobny Zn.
3. Jeżeli Σ jest układem skończonym, to istnieje jedna i tylko jedna liczba n, której odpowiada w układzie Σ układ Zn; ta liczba stanowi liczbę [kardynalną] elementów układu. Wszystkie układy, podobne do danego skończonego układu, mają jednę i tężsamę liczbę kardynalną n.
4. Jeżeli układ A składa się z m elementów, układ B z n elementów, przyczém A i B nie mają elementów wspólnych, to układ M(A, B), którego każdy element jest elementem albo układu A albo układu B, zawiera m + n elementów.
5. Każdy układ, złożony z n układów skończonych, jest sam skończony.
