przez odwzorowanie φ, odwrócimy uwagę od natury elementów i uwzględnimy tylko związki, wynikające z odwzorowania φ, to elementy nazywamy wtedy liczbami naturalnemi lub wprost liczbami, a element 1 — podstawą szeregu liczbowego N. Związki albo prawa, wynikające z powyższych warunków α, β, γ, δ stanowią najbliższy przedmiot nauki o liczbach czyli Arytmetyki.
Wychodząc z tych określeń wyprowadza Dedekind własności, dotyczące następstwa liczb szeregu N [kaida liczba, następująca bezpośrednio po liczbie n, jest jej obrazem n′], znaczenie liczb większych i mniejszych, liczb niewiększych i niemniejszych od danéj, własności układu Zn liczb niewiększych od liczby n i t. d., a następnie przechodzi do teoryi działań, która w streszczeniu daje się przedstawić w sposób następujący.
Niechaj będzie układ Ω zupełnie dowolny, którego elementy nie koniecznie mają być zawarte w N. Niechaj χ oznacza odwzorowanie tego układu w samym sobie, ω — zaś element oznaczony układu. Dedekind dowodzi za pomocą indukcyi zupełnéj, że każdej liczbie n układu N odpowiada jedno i tylko jedno odwzorowanie ψn układu Zn [t. j. układu liczb niewiększych od liczby n], czyniące zadość warunkom:
| I. | ψn(Zn) З Ω, |
| II. | ψsub>n(1) = ω, |
| III. | ψsub>n(t′) = χψsub>n(t), gdzie t < n. |
[χψsub>n jest odwzorowaniem, złożeném z kolejnych odwzorowań ψsub>n i χ].
W podobny sposób okazać można, że istnieje odwzorowanie φ układu N, czyniące zadość warunkom:
| I. | ψ(N) З Ω, |
| II. | ψ(1) = ω, |
| III. | ψ(n′) = χψ(n). |
gdzie n jest liczbą dowolną.
Dodawanie. Stosując te twierdzenia do przypadku, w którym Ω jest układem nieskończonym N, χ(n) = φ(n) = n′, a więc
możemy dla zupełnego oznaczenia ψ przyjąć ω = 1; wtedy ψ ozna-
