Mnogość, powstałą z połączenia mnogości M i N, — na porządek połączenia nie zwracamy tu uwagi — oznaczamy przez M + N. Jeżeli mamy dwie inne mnogości M′ i N′ tak, że M ~ M′, N ~ N′, to
Na tém twierdzeniu opiera się określenie sumy dwóch lub więcéj liczb kardynalnych. Jeżeli a = M, b = N, to przez a + b rozumiemy taką liczbę kardynalną, która odpowiada mnogości M + N, to jest
Prawo przemienności a + b = b + a i prawo łączności a + (b + c) = (a + b) + c wynikają tu wprost z uwagi, że liczby kardynalne już ze względu na sam akt abstrakcyi, przez który powstają, są od porządku elementów niezależne.
Jeżeli M i N są dwie mnogości, to przez M.N rozumiemy trzecią mnogość, powstającą z mnogości N w ten sposób, że na miejsce każdego pojedyńczego jéj elementu kładziemy mnogość równoważną mnogości M — porządek elementów tu nie ma wpływu. — Wszystkie mnogości M i N, otrzymane według tego sposobu, są równoważne, a liczba, im odpowiadająca, jest
Z tego określenia wynikają z łatwością: prawo przemienności ab = ba, prawo łączności a.(b.c) = (ab)c oraz prawo rozdzielności a(b + c) = ab + ac.
Wszystko, co wyżéj powiedziano, odnosi się zarówno do mnogości i liczb skończonych, jako też do liczb i mnogości nieskończonych.
Dla mnogości skończonych można dowieść, że gdy z trzech liczb kardynalnych a, b, c jedna jest równa sumie dwóch drugich np, a + b = c, to liczba c nie może być równa żadnemu ze składników. Jeżeli wszakże pominiemy warunek skończoności, to twierdzenie to przestaje być prawdziwém, i w tém tkwi, jak twierdzi Cantor, głęboka i istotna różnica pomiędzy liczbami skończonemi i nadskończonemi. Dla liczb nadskończonych stosują się twierdzenia
gdzie ν jest liczbą skończoną, a zaś liczbą nadskończoną.
