Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/068

 Mnogością dobrze uporządkowaną nazywamy każdą określoną mnogość któréj elementy są związane z sobą pewném z góry określoném prawem następstwa, według którego pewien element mnogości jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] następuje określony drugi, i wogóle po każdej skończonej lub nieskończonej mnogości elementów następuje element rozmaitości zupełnie określony. O takich rozmaitościach czyli mnogościach mówić można, że są odliczalnemi [abzählbar] jedna na drugiéj. Takiemi rozmaitościami są np.

(a, a′, a″) i (b, b′, b″)

(a, a′, a″) . . . a^(ν) . . .) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . .)

(a, a′, a″ . . . a^(ν) . . c, c′, c″) i (b, b′, b″ . . . b^(ν) . . . d, d′, d″)

Pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj daje się uogólnić w sposób następujący:
 Wyobrażamy sobie, że mnogość dobrze uporządkowana składa się z elementów E, E′, E″ . . ., które są uporządkowane w n różnych niezależnych kierunkach [bierzemy tu pojęcie kierunku w znaczeniu ogólniejszém od geometrycznego]. Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim,... ν-ym,... a samą mnogość nazwijmy n-krotnie uporządkowaną.
 Wprowadźmy następujące oznaczenia: Jeżeli E i E′ są jakiekolwiek dwa elementy mnogości M, to pomiędzy niemi w każdym z n kierunków istnieje określony stosunek położenia [ein bestimmtes Rangverhältniss], do oznaczenia którego użyjmy znaków <, =, >, Jeżeli ν jest jedna z liczb 1, 2, 3, . . . n, to w kierunku ν-ym zachodzi jeden z trzech przypadków

E < E′, E = E′, E > E′.

Dla rozmaitych kierunków stosunek ten może być taki sam, jak dla kierunku ν, lub różny.
 Jeżeli E, E′, E″ są jakiekolwiek trzy elementy rozmaitości M i jeżeli w kierunku ν-ym zachodzą związki

E ≤ E′ i E ≤ E″.

to w tym samym ν-ym kierunku musi być

E ≦ E″,

przyczém równość zachodzi w ostatnim związku tylko wtedy, jeżeli zachodzi jednocześnie w obu związkach poprzednich.
 Przy takiém założeniu, dana n-krotna rozmaitość albo mnogość nazywa się uporządkowaną w n kierunkach porządkowych 1, 2, 3, . n-ym.

 Jako przykłady podobnych rozmaitości służyć mogą: trójkrotnie uporządkowana mnogość punktów w przestrzeni odnośnie do układu trzech osi prostokątnych; dwukrotnie uporządkowana mnogość punktów płaszczyzny odnośnie do układu dwóch osi prostokątnych; utwór muzyczny [melodya, symfonia i t. p.], będący mnogością tonów czterokrotnie upo-