Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/102

 Kronecker uważa układ elementów [wielkości, wartości, liczb]

z₁, z₂, z₃, . . . z_n...,

który dla krótkości oznacza przez (z). Wyobraźmy sobie proces, za pomocą którego układ (z) przechodzi w inny równoważny układ (z′), przy zachowaniu warunku, że z równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z″)

wynika równoważność

(z) ~ (z″).

Jeżeli w szczególności układ (z″) jest identyczny z układem (z′), to stąd wyniknie, że każdy układ jest równoważny samemu sobie; jeżeli zaś układ (z″) jest identyczny z układem (z), to otrzymujemy

(z′) ~ (z)

jako wynik dwóch równoważności

(z) ~ (z′), (z′) ~ (z)

Niechaj (z), (z′), (z″) . . . będą układy różne i niechaj

1.	φ((z), (z′)) ~ z″.

wyraża, że układ z″ za pomocą pewnego procesu powstaje z układów (z) i (z′). Załóżmy przytem, że zachodzi warunek

2.	φ[(z), φ((z′), (z″))] ~ φ[(z′), φ((z), (z″))

t. j. że dochodzimy do tego samego wyniku, łącząc układ (z) z wynikiem połączenia układów (z′) i (z″), czy też łącząc układ (z′) z wynikiem połączenia układów (z) i (z″).
 Niechaj będą dwa układy (z⁰) i (z′), dla których

φ((z⁰), (z′)) ~ (z′).

Jeżeli więc zachodzi związek

φ((z″), (z′)) ~ (z),

to zachodzi także związek

φ[(z″), φ((z⁰), (z′))] ~ (z).

Uwzględniając tu warunek 2., otrzymamy

φ((z⁰), (z)) ~ (z).

Dodając teraz nowy warunek

3.	φ((z), (z′)) ~ φ((z′), (z)),

z łatwością dochodzimy do wniosku, że wynik połączenia ilukolwiek układów nie zależy wcale od porządku, w jakim je łączymy.
 Jeżeli mamy układ (z⁽¹⁾) i oznaczymy wyniki połączeń: φ((z¹), (z¹)) przez (z⁽²⁾), φ((z⁽¹⁾), (z⁽²⁾)) przez (z⁽³⁾) . . . i ogólnie