Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/103

φ((z⁽¹⁾), (z^(m))) przez (z^(m+1)),

to oczywiście dla jakichkolwiek liczb całkowitych m i n będzie

φ((z^(m)), (z⁽ⁿ⁾)) przez (z^(m+n))

t.j. skaźnik układu, powstającego z połączenia układów (z^(m)) i (z⁽ⁿ⁾) równa się sumie ich skaźników. Twierdzenie to utrzymuje się, jeżeli wprowadzimy układy $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ ze skaźnikami ułamkowemi; $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ oznaczać ma taki układ, że połączenie φ równoważnych mu n układów daje wynik równy układowi (z⁽ⁿ⁾).
  Jeżeli dane układy nie dają się wyczerpać za pomocą układów oznaczonych przez $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}$ i jeżeli (z) jest nowym jakimś układem, to można oznaczyć szereg układów nowych za pomocą $\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {{\overline {z}}\;\;\;\;\;}}$ i każdy z układów, utworzonych z połączenia układów

$\textstyle {{\left({\frac {m}{n}}\right)} \choose {z\;\;\;\;\;}}\ \textstyle {{\left({\frac {{m}'}{{n}'}}\right)} \choose {{\overline {z}}\ \ \ \ \ }}$

scharakteryzować za pomocą układu skaźników $\textstyle {\left({\frac {m}{n}},\ {\frac {{m}'}{{n}'}}\right)}$. Postępując w ten sposób daléj, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych układów za pomocą układów skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

którego elementy ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . . są liczbami wymiernemi. W ten sposób połączenie układów, którym odpowiadają układy skaźników

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .; ζ₁′, ζ₂′, ζ₃′ . . .;

charakteryzuje układ

ζ₁ + ζ₁′, ζ₂ + ζ₂′, ζ₃ + ζ₃′ . .

Jeżeli np. układ (z) jest układem liczb całkowitych mniejszych od M, a połączenie φ mnożeniem, to każda liczba układu daje się przedstawić pod postacią

n = p_1^ζ1 p_2^ζ2 p_3^ζ3 . . .

gdzie p, p₁, p₂ są liczbami pierwszemi, ζ₁, ζ₂, ζ₃ . : . przyjmują wartości 0, 1, 2 . . . Układ skaźników będzie zatém

ζ₁, ζ₂, ζ₃ . . .

W zastosowaniu do wielkości teorya ta przedstawia. się w ten sposób:

 Układom (z), (z′), (z″) . . . odpowiadają wielkości fizyczne O, O′, O″, które wchodzą w połączenia, podlegające warunkom 2. i 3., zastępują-