I. Prawidło musi być odwracalne, to jest, z prawidła, według którego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidło, według którego A powstaje z B: z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya B :: A = D :: C.
II. Z proporcyi A :: B = C : : D wynikają proporcye A :: C = B :: D i D :: B = C :: A.
III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jeżeli do jego wyrazów dodajemy wielkości, będące w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A :: B = C :: D wynika proporcya A + C :: B + D = C :: D.
Do definicyi mnożenia potrzebny jest jeszcze wybór jednostki pierwotnéj [Ureinheit] pomiędzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostkę tę oznaczmy przez 1.
Definicya mnożenia jest następująca: “Pomnożyć wielkość A przez wielkość B, t. j. utworzyć iloczyn AB, jest to znaleźć wielkość, będącą w takim stosunku do wielkości A, w jakim wielkość B jest do jednostki pierwotnéj„.
Ponieważ według warunku II, z proporcyi 1 :: B = A :: A B wynika proporcya 1 :: A = B :: AB, ostatni zaś wyraz drugiéj proporcji, według określenia, winien być BA, jest przeto AB = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielności (A + B) = AC + BC oraz (A - B)C = AC - BC.
Dzielenie w téj teoryi polega na znalezieniu ilorazu A/B lub A : B, który ma się tak do wielkości A, jak jednostka pierwotna do wielkości B. Na téj podstawie łatwo okazać można twierdzenia
i t. d.
Potęgowanie i wyciąganie pierwiastka określaj się sposobem zwykłym.
Dalsze rozwinięcie swojéj teoryi opiera Fick już na pojęciu ciągłości.
Próba Ficka zbudowania teoryi działań niezależnie od nauki o liczbach nie wydaje nam się dostatecznie ogólną, z tego względu, że autor odrazu przyjmuje wielkości, jako złożone z jednostek; że nie poddaje ogólnemu badaniu związków pomiędzy działaniami, lecz działania te odrazu specyalizuje; że wreszcie określenie mnożenia na podstawie pojęcia stosunku zbyt jest skornplikowaném.
Droga, wskazana w teoryi działań formalnych przez Grassmanna i Hankela, zdaje się być dotąd jedyną drogą, na któréj można zbudować teoryą wielkości. Najnowsze w tym względzie badania Kroneckera w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie, 1888., str. 379-396, 615—648], które wiążą się z przedstawioną wyżéj teorya Helmholtza [art 2.] w gruncie rzeczy nie różnią się pod względem zasad od teoryi formalnéj.
