Odwzorujmy wzajemnie te mnogości, tak że
| E1,1, E1,2 . . . E1,μ . . . . . | będą | elementami | mnogości | M1, | ||||||||||||||||||||||
| E2,1, E2,2 . . . E2,μ . . . . . | „ | „ | „ | M2, | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
| Eλ,1, Eλ,2 . . . Eλ,μ . . . . . | „ | „ | „ | Mλ, | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||
| E1,μ, E2,μ . . . Eλ,μ [μ = 1, 2 . . .] są odpowiadejącemi sobie elementami mnogości M1, M2, . . . Mλ . . . | ||||||||||||||||||||||||||
Utwórzmy nową mnogość MN z mnogości N w ten sposób, że w miejsce elementów F1, F2 . . . Fλ . . . podstawiamy odpowiednio M1, M2 . . . Mλ . . ., przyczem wzajemność położenia podlegać ma następującym warunkom: Wszystkie elementy Eλμ, Eλμ′ jednéj i téj saméj mnogości Mλ mają wewnątrz MN zachować względem siebie to samo położenie, jakie miały w Mλ; dla dwóch elementów Eχ,μ, Eλ,μ′ należących do różnych mnogości Mχ i Mλ należy przyjąć następujące rozróżnienie: 1.) Jeżeli Fχ i Fλ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie różne, to wzajemne położenie elementów Eχ,μ, Eλ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być to samo, jakiém jest położenie elementów Fχ i Fλ w rozmaitości N w kierunku ν-ym; 2.) Jeżeli Fχ i Fλ mają wewnątrz N w kierunku ν-ym położenie jednakowe, to położenie Eχ,μ względem Eχ,μ′ wewnątrz MN w kierunku ν-ym ma być takie, jak położenie Eχ,μ względem Eχ′,μ′ wewnątrz Mχ, albo, co na jedno wychodzi, jakiém jest położenie Eχμ względem Eλ,μ′ wewnątrz Mλ w kierunku ν-ym.
Wszystkie mnogości MN, utworzone według tego przepisu, są podobne, iloczyn zaś, im odpowiadający, αβ określa się w ten sposób:
gdzie α nazywamy czynnikiem pierwszym [mnożną], β - czynnikiem drugim [mnożnikiem].
Stosuje się tu prawo łączności
gdy tymczasem α . β jest w ogóle różne od β . α.
Prawo rozdzielności
ma tu miejsce.
Liczba kardynalna iloczynu dwóch typów równa się iloczynowi liczb kardynalnych czynników, t. j.
Z danym typem n-krotnym α związane są ściśle inne typy, które nazywamy sprzężonemi.
