Tak więc liczba kardynalna czyli moc mnogości M jest jednocześnie liczbą kardynalną jéj typu porządkowego M i powstaje z tego ostatniego, jeżeli oderwiemy uwagę od położenia jego jedności. Jeżeli α jest znakiem dla typu porządkowego M, to α jest znakiem dla liczby kardynalnéj M.
Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogości jest skończoną lub nadskończoną, i samą mnogość oraz jej typ porządkowy nazywamy skończonym lub nadskończonym.
Typ n-krotny α składa się z pewnych jedności e, e′, e″ . . . , mających oznaczone położenie w n kierunkach. Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko pewną część tych jedności, to określi ona pewien typ γ, który można uważać za część “przygotowaną„ [możliwą, virtuell] typu α. Każdy typ α składa się z takich typów przygotowanych γ, γ′, γ″ . . . , które w części znajdują się jeden zewnątrz drugiego, w części zachodzą wzajem na siebie.
Rozpatrzmy działania elementarne, wykonalne na dwóch takich typach α i β.
Wyobraźmy sobie dwie mnogości M i N o typach M = α i N = β i utwórzmy z nich nową uporządkowaną mnogość M + N pod następującemi warunkami. Elementy M niechaj mają wewnątrz M + N to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w M, podobnież elementy mnogości N niechaj mają w M + N względem siebie to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w N, wreszcie niechaj w M + N wszystkie elementy mnogości N mają w każdym z n kierunków położenie wyższe od wszystkich elementów mnogości N. Wszystkie mnogości M + N, czyniące zadość tym warunkom, są oczywiście mnogościami n-krotnie uporządkowanemi i podobnemi, i określają ten typ, który nazywamy α + β. Mamy więc
gdzie α nazwijmy dla odróżnienia składnikiem pierwszym [augendus], β składnikiem drugim [addendus].
Stąd wynika łatwo stosowalność prawa łączności
Prawo przemienności w ogólności się nie stosuje, gdyż α + β i β + α są różnemi typami.
Zauważmy jeszcze, że liczba kardynalna sumy α + β równa się sumie liczb kardynalnych odpowiadających typom α i β,
Dla otrzymania iloczynu α . β, wyobraźmy sobie mnogość n o typie β, tak że N = β, i oznaczmy elementy, z których składa się N, przez F1, F2, . . . Fλ . . .
