Pojęcia i metody matematyki/Rozdział III/Teorye działań nad ułamkami

<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Teorye działań nad ułamkami
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki / Rozdział III
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Rozdział III całość
Indeks stron

›››

[107]

13. TEORYE DZIAŁAŃ NAD UŁAMKAMI.

 Rachunek na ułamkach sięga czasów najstarożytniejszych. Przed czterdziestu wiekami rachmistrze egipscy znali już sposoby oznaczania ułamków i umieli rozkładać je na ułamki prostsze; babilończycy hindusowie, grecy i rzymianie posługiwali się ułamkami, lecz dopiero po wprowadzeniu Arytmetyki cyfrowéj ustanowiono ogólne prawidła rachunku tak z ułamkami zwyczajnemi jak i dziesiętnemi^[1]. Tu, jak wszędzie, praktyka poprzedziła teoryą. Działania nad wielkościami wykazały potrzebę i ważność ułamków, wszakże dopiero teorya działań wyjaśniła właściwą istotę tych nowych form liczbowych i działań nad niemi.
 Według teoryi, wyłożonéj w art 9. i 10., ułamkiem nazywamy liczbę, zadość czyniącą równaniu

x b = a

gdy co do a i b nie czynimy żadnych zastrzeżeń [z wyjątkiem warunku, by b nie było równe zeru]; pojęcie zatém liczby ułamkowéj obejmuje w sobie i pojęcie liczby całkowitéj, mianowicie dla przypadku, gdy a = b lub a jest wielokrotnością liczby b.
 Zasada zachowania przepisuje nam stosowanie do działań nad nowemi liczbami tych samych praw, które mają miejsce dla dziedziny pierwotnéj liczb całkowitych.
[108] Z równań 10b. w art. 11. otrzymujemy

a . 1/b = a/b,

co oznacza, że każdy ułamek a/b przedstawić można jako iloczyn liczby całkowitéj a przez ułamek 1/b o liczniku równym jedności.
 Jeżeli założymy przemienność mnożenia, to możemy napisać

a . 1/b = 1/ba = 1/b + 1/b + ... + 1/b,

to jest ułamek a/b rozłożyć na sumę a składników, z których każdy równa się 1/b.
 Ponieważ z równania x b = a, wynika x . m b = m a, a więc na zasadzie określenia dzielenia i liczb ułamkowych będzie

a/b = m a/m b,

skąd wynika, że każdemu ułamkowi można nadać nieskończoną liczbę postaci.
 Z równań 1′b., 2′b., 13 w art. 9., otrzymujemy

b . a/b	=	a
b/c . a	=	b . a/c
a/b : c	=	a/bc
a : b/c	=	ac/b
a/d ± b/d	=	a ± b/d
a/b . c/d	=	a c/b d
a/b : c/d	=	a d/b c

Są to wzory, określające działania zasadnicze nad ułamkami i stwierdzające zarazem, że działania te posiadają też same [109]własności formalne, jakie mają odpowiednie działania nad liczbami całkowitemi.
 Można łatwo dowieść, że wszystkie powyższe wzory utrzymują się w zupełności i wtedy, gdy w nich a, b, c, d ... są już nietylko liczbami całkowitemi, ale dowolnemi liczbami ułamkowemi. Tym sposobem przez wprowadzenie liczb ułamkowych działania arytmetyczne, otrzymują znaczenie ogólniejsze od tego, jakie miały w przypadku liczb całkowitych.
 Ponieważ mnożenie przez ułamek 1/b daje ten sam wynik, co dzielenie przez liczbę b, mnożenie przez ułamek a/b zastępuje działanie, złożone z mnożenia przez a i dzielenia przez b, można przeto liczby ułamkowe, uważać jako znaki działań i na tém oprzeć teoryą działań nad ułamkami. Myśl ta, nienowa zresztą, stanowi podstawę nowéj teoryi elementarnéj Ch. Méray’a^[2].
 Teorya Weierstrassa^[3] opiera się na wprowadzeniu nowych jednostek ε_n, określonych równaniem

ε_n . n = 1.

Za pomocą takich jednostek dają się przedstawić liczby całkowite. np. liczba całkowita a = a . 1 będzie miała postać aε_nn, lub też naε_n, jeżeli przyjmiemy prawo przemienności. Ogólnie liczba całkowita lub ułamkowa daje się przedstawić pod postacią

a₀ + a₁ε_n1 + a₂ε_n2 + . . . + a_mε_nm

gdzie a₀, a₁, a₂ . . . a_n są liczbami całkowitemi, ε_n1, ε_n2, . . . ε_nm — jednostkami, określonemi jak wyżéj.
 Ponieważ na zasadzie tegoż określenia jest

m . n . ε_{m n} = 1,

gdzie m i n są liczbami całkowitemi, wnosimy więc stąd, że

(m εm n) n = 1,	a więc	m εm n = εn
(n εm n) m = 1,	„	n εm n = εm

Na téj zasadzie można każdą liczbę

a = a₀ + a₁ε_n1 + . . . + a_mε_nm

przekształcić w ten sposób, aby zawierała tylko jednostki ε_n jednego gatunku. W saméj rzeczy, jeżeli n jest najmniejszą wspólną [110]wielokrotną liczb n₁, n₂ .... n_m, to można napisać

n₁ ν₁ = n₂ ν₂ = . . . . = n_m ν_m = n

gdzie ν₁, ν₂, . . ., ν_m są liczbami całkowitemi; będzie zatém

ε_nμ = ν_μ.ε_nμνμ = ν_μ ε_n, (μ = 1, 2,..., m),

skutkiem czego a przyjmuje postać

a = (a₀ n + a₁ ν₁ + . . . + a_m ν_m) ε_n.

Na téj podstawie wykonywamy dodawanie i odejmowanie liczb ułamkowych o dowolnych mianownikach.
 Mnożenie liczb ułamkowych winno czynić zadość prawidłom mnożenia liczb całkowitych i dla tego będzie

(ε_m + ε_m + . . . m razy) (ε_n + ε_n + . . . + n razy) = m n (ε_m ε_n);

ponieważ zaś

m ε_m = 1, n ε_n = 1, m n (ε_m ε_n) = 1,

przeto:

m n (εm εn)	=	(m εm) . (n εn) = m n εm m,
εm εn	=	εm m,
p εm . q εn	=	p q εm n.

Wzory te wystarczają do znalezienia iloczynu jakichkolwiek liczb ułamkowych.
 Iloraz dwóch liczb ułamkowych otrzymujemy za pomocą prawidła

p ε_m/q ε_n = p n . ε_m q,

które stwierdzić możemy, mnożąc obie strony przez q ε_n, przez co otrzymujemy po jednéj i drugiéj stronie iloczyn p ε_m.
 Jeżeli ε_n zastąpimy przez 1/n, m ε_n przez m/n, otrzymamy wszystkie wzory działań nad ułamkami w postaci zwykłéj.

 Kronecker^[4] dla ominięcia pojęcia liczb ułamkowych, zastępuje czynnik 1/m formą nieoznaczoną x_m a równość — kongruencyą. [O kongruencyach mówimy w części II]. Prawidła działań nad ułamkami, a mianowicie prawidło dodawania i odejmowania [111]

a/m ± b/n = a n ± b m/m n,

mnożenia

a/m . b/n = a b/m n

i dzielenia

a/m : b/n = a n/b m

zastępuje on trzema następującemi kongruencyami:

a xm	+	b xn	≡	(a n + b m) xm n (modd.mxm - 1, n xn - 1, m n xm n - 1),
a xm	.	b xn	≡	a b xm n (modd.mxm-1, n xn - 1, m n xm n - 1),
a xm	.	xbxn	≡	anxb m (modd.mxn-1, n xn - 1, bmxb m - 1, bxnxn - 1),

które wypływają odpowiednio z następujących trzech tożsamości:

a xm	+	b xn	=	(a n + b m) xm n + a n xm n (m xm - 1) + b m xm n (n xn - 1) - (a xm + b xn) (m n xm n - 1),
a xm	.	b xn	=	a b xm n + a b n xn xm n (m xm - 1) + a b xm n (n xn - 1) - a b xm xn (m n xm n - 1),
a xm	.	xbxn	=	a n xb m + a n xb n (m xm - 1) - a b m xm xb m xb xn (n xn - 1) - a xm xbxn (b m xb m - 1) + a m n xm xbm (bxn xbxn - 1).

1. Szczegóły historyczne o ułamkach u starożytnych znaleźć można w dziele M. Cantora, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, I. Band. 1880; o rachunku z ułamkami w wiekach średnich i nowożytnych u Günthera, Geschichte des mathematischen Unterrichts im dentachen Mittelalter bis zum Jahre 1525, 1887 i u Ungera. Die Methoden der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart, 1888.
2. Ch. Méray. Les fractions et les quantités imaginaires, nouvelle théorie élémentaire. 1890, w ten sposób wprowadza pojęcie ułamka:
    Wynik działania, polegającego na pomnożeniu danéj całkowitéj E przez liczbę całkowitą m i następnie na podzieleniu iloczynu przez trzecią liczbę całkowitą n [nie równą zeru], przy założeniu, że to dzielenie jest możliwe, może być także otrzymany jednym z dwóch sposobów: 1. Jeżeli E jest podzielne przez n, dzielimy E przez n i iloraz mnożymy przez m. 2. Jeżeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a następnie E mnożymy przez otrzymany iloraz. Aby zachować korzyści, wynikające z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez n, umawiamy się, by wynik działania, o ktorém mowa, przedstawić w tym przypadku przez
   E . m/n [lub m/n × E]

   i nazwać go iloczynem liczby E przez czynnik “fikcyjny„ [facteur fictif] m/n. Te czynniki “fikcyjne„ są liczbami ułamkowemi lub ułamkami.
    Łatwo już widzieć, jak na téj podstawie buduje się dalsza teorya, Jeżeli przy pomnożeniu jednéj i téj saméj liczby całkowitéj E, nie równéj zeru, przez dwa ułamki m′/n′, i m″/n″ zachodzi jeden z trzech związków

   E m′/n′ >/< E m″/n″,

   to związek ten pozostanie niezmienny dla każdéj innéj liczby całkowitéj E [zakładamy, rozumie się, że mnożenie przez czynniki “fikcyjne„ są wykonalne]. Ten związek stały wyrażamy pisząc:

   m′/n′ >/< m″/n″

   i mówimy, że wartość pierwszego ułamka jest większa, równa lub mniejsza od wartości drugiego.
    Aby zachodził jeden z tych trzech przypadków, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest

   m′ n′ >/< m″ n″

   Z warunku tego wynika bezpośrednio, że mnożąc licznik i mianownik ułamka przez jednę i tę samę liczbę całkowitą lub dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, otrzymujemy ułamek równy danemu.
    Na téj własności polega sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
   

    Jeżeli działania, oznaczone przez

   E m′/n′, E m″/n″, E m‴/n‴. . . .

   są możliwe, to połączenie ich wyników za pomocą dodawania i odejmowania

   E m′/n′ ± E m″/n″ ± E m‴/n″n‴ ±....

   daje liczbę, którą możemy otrzymać, mnożąc E przez pewną liczbę ułamkową. Ta liczba ułamkowa nazywa się sumą ułamków, m′/n′, m″/n″, m″m‴/n″″n‴ i nie zmienia się, jeżeli za punkt wyjścia przyjmiemy inną liczbę całkowitą, od E różną.
    Jeżeli działania

   E m′/n′, (E m′/n′) × m″/n″

   są możliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiście równy

   E m′ m″/n′ n″,

   można otrzymać, mnożąc E przez ułamek m′ m″/n′ n″, który nazywamy iloczynem ułamków m′/n″, m″/n′ .
    Jeżeli mamy dwa ułamki

   M/N, m/n,

   [m jest nie zerem]

   to ułamek

   x/y = Mn/Nm

   ma tę własność, że iloczyn jego przez ułamek m/n daje wynik równy ułamkowi M/N. Ten ułamek x/y nazywa się ilorazem ułamków M/N i m/n.
    Lerch [Základove ryzé arithmetické theorie veliczin, Athenaeum, 1886] podaje teoryą ułamków, polegającą na wprowadzeniu form liczbowych postaci (a/b). Równoważność dwóch takich form

   (a/b) ~ (c/d)

   określamy za pomocą równania

   a d = b c.

   Z tego określenia wynika bezpośrednio

   (0/a) ~ (0/b).

   Forma (a + a′/b) nazywa się sumą form (a/b) i (a′/b).
    Na zasadzie tych określeń dowieść można, że

   (a/b) + (c/d) ~ (ad + bc/bd)

   Iloczyn form

   (a/b), (c/d)

   określamy za pomocą równania

   (a/b) . (c/d) = (a c/b d);

   skąd wynika, że jeżeli

   (a/b) ~ (a′/b′) . (c/d) ~ (c′/d′),

   to będzie także

   (a/b) . (c/d) ~ a′/b′) . (c′/d′).

   Z określenia iloczynu wynika pojęcie ilorazu.
    Jeżeli przez a/b oznaczymy wyrażenie, przedstawiające każdą z form równoważnych formie (a/b), to na zasadzie poprzedzających wzorów można już będzie wyprowadzić wszystkie własności działań nad liczbami ułamkowemi.

3. Porówn. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche [Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz Biermann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9.
4. Kronecker, Ueber den Zahlbegriff, [l. c. str. 346].

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.