Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/109

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Ta strona została przepisana.

sności formalne, jakie mają odpowiednie działania nad liczbami całkowitemi.
Można łatwo dowieść, że wszystkie powyższe wzory utrzymują się w zupełności i wtedy, gdy w nich a, b, c, d ... są już nietylko liczbami całkowitemi, ale dowolnemi liczbami ułamkowemi. Tym sposobem przez wprowadzenie liczb ułamkowych działania arytmetyczne, otrzymują znaczenie ogólniejsze od tego, jakie miały w przypadku liczb całkowitych.
Ponieważ mnożenie przez ułamek 1/b daje ten sam wynik, co dzielenie przez liczbę b, mnożenie przez ułamek a/b zastępuje działanie, złożone z mnożenia przez a i dzielenia przez b, można przeto liczby ułamkowe, uważać jako znaki działań i na tém oprzeć teoryą działań nad ułamkami. Myśl ta, nienowa zresztą, stanowi podstawę nowéj teoryi elementarnéj Ch. Méray’a[1].
Teorya Weierstrassa[2] opiera się na wprowadzeniu nowych jednostek εn, określonych równaniem

εn . n = 1.

Za pomocą takich jednostek dają się przedstawić liczby całkowite. np. liczba całkowita a = a . 1 będzie miała postać nn, lub też naεn, jeżeli przyjmiemy prawo przemienności. Ogólnie liczba całkowita lub ułamkowa daje się przedstawić pod postacią

a0 + a1εn1 + a2εn2 + . . . + amεnm

gdzie a0, a1, a2 . . . an są liczbami całkowitemi, εn1, εn2, . . . εnm — jednostkami, określonemi jak wyżéj.
Ponieważ na zasadzie tegoż określenia jest

m . n . εm n = 1,

gdzie m i n są liczbami całkowitemi, wnosimy więc stąd, że

(m εm n) n = 1,  a więc  m εm n = εn
(n εm n) m = 1, n εm n = εm

Na téj zasadzie można każdą liczbę

a = a0 + a1εn1 + . . . + amεnm

przekształcić w ten sposób, aby zawierała tylko jednostki εn jednego gatunku. W saméj rzeczy, jeżeli n jest najmniejszą wspólną

  1. Ch. Méray. Les fractions et les quantités imaginaires, nouvelle théorie élémentaire. 1890, w ten sposób wprowadza pojęcie ułamka:
    Wynik działania, polegającego na pomnożeniu danéj całkowitéj E przez liczbę całkowitą m i następnie na podzieleniu iloczynu przez trzecią liczbę całkowitą n [nie równą zeru], przy założeniu, że to dzielenie jest możliwe, może być także otrzymany jednym z dwóch sposobów: 1. Jeżeli E jest podzielne przez n, dzielimy E przez n i iloraz mnożymy przez m. 2. Jeżeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a następnie E mnożymy przez otrzymany iloraz. Aby zachować korzyści, wynikające z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez n, umawiamy się, by wynik działania, o ktorém mowa, przedstawić w tym przypadku przez
    E . m/n [lub m/n × E]

    i nazwać go iloczynem liczby E przez czynnik “fikcyjny„ [facteur fictif] m/n. Te czynniki “fikcyjne„ są liczbami ułamkowemi lub ułamkami.
    Łatwo już widzieć, jak na téj podstawie buduje się dalsza teorya, Jeżeli przy pomnożeniu jednéj i téj saméj liczby całkowitéj E, nie równéj zeru, przez dwa ułamki m′/n′, i m″/n″ zachodzi jeden z trzech związków

    E m/n >/< E m/n,

    to związek ten pozostanie niezmienny dla każdéj innéj liczby całkowitéj E [zakładamy, rozumie się, że mnożenie przez czynniki “fikcyjne„ są wykonalne]. Ten związek stały wyrażamy pisząc:

    m/n >/< m/n

    i mówimy, że wartość pierwszego ułamka jest większa, równa lub mniejsza od wartości drugiego.
    Aby zachodził jeden z tych trzech przypadków, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest

    mn>/< mn

    Z warunku tego wynika bezpośrednio, że mnożąc licznik i mianownik ułamka przez jednę i tę samę liczbę całkowitą lub dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, otrzymujemy ułamek równy danemu.
    Na téj własności polega sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.

    Jeżeli działania, oznaczone przez

    E m/n, E m/n, E m/n. . . .

    są możliwe, to połączenie ich wyników za pomocą dodawania i odejmowania

    E m/n ± E m/n ± E m/n ±....

    daje liczbę, którą możemy otrzymać, mnożąc E przez pewną liczbę ułamkową. Ta liczba ułamkowa nazywa się sumą ułamków, m′/n′, m″/n″, m/n″″ i nie zmienia się, jeżeli za punkt wyjścia przyjmiemy inną liczbę całkowitą, od E różną.
    Jeżeli działania

    E m/n, (E m/n) × m/n

    są możliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiście równy

    E mm/nn,

    można otrzymać, mnożąc E przez ułamek mm″/nn″, który nazywamy iloczynem ułamków m′/n″, m″/n′ .
    Jeżeli mamy dwa ułamki

      M/N, m/n, [m jest nie zerem]

    to ułamek

    x/y = Mn/Nm

    ma tę własność, że iloczyn jego przez ułamek m/n daje wynik równy ułamkowi M/N. Ten ułamek x/y nazywa się ilorazem ułamków M/N i m/n.
    Lerch [Základove ryzé arithmetické theorie veliczin, Athenaeum, 1886] podaje teoryą ułamków, polegającą na wprowadzeniu form liczbowych postaci (a/b). Równoważność dwóch takich form

    (a/b) ~ (c/d)

    określamy za pomocą równania

    a d = b c.

    Z tego określenia wynika bezpośrednio

    (0/a) ~ (0/b).

    Forma (a + a/b) nazywa się sumą form (a/b) i (a/b).
    Na zasadzie tych określeń dowieść można, że

    (a/b) + (c/d) ~ (ad + bc/bd)

    Iloczyn form

    (a/b), (c/d)

    określamy za pomocą równania

    (a/b) . (c/d) = (a c/b d);

    skąd wynika, że jeżeli

    (a/b) ~ (a/b) . (c/d) ~ (c/d),

    to będzie także

    (a/b) . (c/d) ~ a/b) . (c/d).

    Z określenia iloczynu wynika pojęcie ilorazu.
    Jeżeli przez a/b oznaczymy wyrażenie, przedstawiające każdą z form równoważnych formie (a/b), to na zasadzie poprzedzających wzorów można już będzie wyprowadzić wszystkie własności działań nad liczbami ułamkowemi.

  2. Porówn. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche [Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz Biermann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9.