Pojęcia i metody matematyki/Rozdział II/Teorya Dedekinda

<<< Dane tekstu >>>
Autor	Samuel Dickstein
Tytuł	Teorya Dedekinda
Pochodzenie	Pojęcia i metody matematyki / Rozdział II
Wydawca	Wydawnictwo Redakcyi „Prac matematyczno-fizycznych“
Data wyd.	1891
Druk	Drukarnia J. Sikorskiego
Miejsce wyd.	Warszawa
Źródło	Skany na Commons
Inne	Rozdział II całość
Indeks stron

›››

[91]

12. TEORYA DEDEKINDA.

 W przedstawionéj w poprzednim artykule teoryi działań, myśl podstawową stanowiło łączenie form, należących do pewnéj dziedziny, według praw, utworzonych na podobieństwo prawideł, jakim podlegają działania na liczbach całkowitych. Dedekind wystąpił niedawno^[1] z nową teoryą, któréj podstawę stanowi zasada odwzorowania, stosowana już przez nas wart. 9. do szeregu liczb całkowitych. Według poglądu Dedekinda, liczby są swobodnemi tworami ducha ludzkiego, są środkiem łatwego i ścisłego przedstawiania rozmaitości rzeczy; cała umiejętność liczb polega na zdolności umysłu do wzajemnego przyporządkowania rzeczy, do ustanawiania pomiędzy niemi odpowiedniości.
 Odwzorowaniem φ układu elementów nazywa Dedekind prawo, według którego do każdego elementu układu S należy przedmiot oznaczony s, nazwany obrazem elementu s, a który przedstawić można pod postacią φ(s). Mówimy, że φ(s) odpowiada elementowi s, że φ(s) przez odwzorowanie φ powstaje z s, lub wreszcie, że s za pomocą odwzorowania φ przechodzi w φ(s). Przykładem takiego odwzorowania jest już samo nadawanie nazw oznaczonych lub znaków elementom układu; najprostrzém zaś odwzorowaniem jest to, przez które elementy układu przechodzą same w siebie. Takie odwzorowanie nazywamy tożsamościowém.
 Odwzorowanie nazywa się podobném [wyraźném], jeżeli różnym elementom a i b układu S odpowiadają zawsze obrazy różne a′ = φ(a) i b′ = φ(b). Ponieważ w tym przypadku z równości s′ = t′ wynika odwrotnie równość s = t, zatém każdy z elementów układu S′ = φ(S) jest obrazem s′ pewnego zupełnie oznaczonego elementu układu S. Odwzorowanie tedy, za pomocą którego od układu S′ przechodzimy do układu S, jest również podobném. Oznaczmy je przez φ, będzie tedy φ(S′) = S. Odwzorowanie, złożone z odwzorowań φ i φ, a które oznaczmy przez φφ, prowadzi do układu pierwotnego, jest więc odwzorowaniem tożsamościowém.
 Dwa układy R i S nazywają się podobnemi, jeżeli istnieje takie odwzorowanie podobne φ, że φ(S) = R lub φ(R) = S.
 Z tych określeń wynika, że każdy układ jest podobny do siebie [92]samego; że jeżeli dwa układy R i S są podobne, to każdy układ, podobny do układu R, jest podobny do układu S.
 Na téj zasadzie można wszystkie układy podzielić na klasy. Do jednéj klasy należą wszystkie — i tylko te wszystkie — układy Q, R, S,... które są podobne do jednego z nich R; ten układ R można uważać za przedstawiciela klasy. Jeżeli R i S są układy, należące do jednéj klasy, to każda część układu R jest podobna do pewnéj części układu R. [Częścią układu R nazywa się układ R′, którego każdy element jest elementem układu R; częścią właściwą nazywa się układ R′, jeżeli przytém nie jest identyczny z układem R, to jest jeżeli w R jest przynajmniéj jeden element, którego w R′ niema].
 Jeżeli stosując odwzorowanie [podobne lub niepodobne] φ do układu S, otrzymujemy układ φ(S), który jest częścią pewnego układu Z, to φ(S) nazywamy “odwzorowaniem układu S w układzie Z„. Odwzorowanie to możemy wyrazić w ten sposób

φ(S) З S

gdzie znak З oznacza, że układ pierwszy jest częścią drugiego.
 Każdy układ, którego obraz jest częścią samego układu, nazywa Dedekind łańcuchem [Kette]. Zwracamy uwagę na to, że nazwa łańcucha stosuje się do układu lub do części układu ze względu na odwzorowanie oznaczone φ; przy inném odwzorowaniu układ może nie być łańcuchem.
 Łatwo dowieść, że obraz łańcucha jest także łańcuchem, i, jeżeli pewien układ A jest częścią łańcucha, to i obraz jego jest częścią tegoż łańcucha.
 Niechaj układ A będzie częścią układu S; wyobraźmy sobie wewnątrz S wszystkie łańcuchy, których A jest częścią. Układ A₀, którego elementami są wszystkie elementy wspólne tym łańcuchom, jest oczywiście sam łańcuchem; Dedekind nazywa go łańcuchem układu A ^[2].
 Układy bywają skończone i nieskończone. Układ nazywa się nieskończonym, gdy jest podobny do części właściwéj samego siebie; w przeciwnym razie jest skończonym. Wynika stąd, że każdy układ, składający się z pojedyńczego elementu, jest skończony, bo nie posiada wcale części właściwéj [inaczéj mówiąc, część właściwa tego układu nie zawiera wcale elementów].
[93] Dedekind dowodzi istnienia układów nieskończonych w następujący sposób:
 Świat moich myśli albo ogół S wszystkich rzeczy, które mogą być przedmiotem mojego myślenia, jest nieskończony. Gdy bowiem s jest elementem układu S, to myśl s′, że s jest przedmiotem mojéj myśli, jest także elementem układu S. Jeżeli s′ będziemy uważali za obraz elementu s, t. j. za φ(s), to odwzorowanie φ(S), jakie tym sposobem otrzymujemy, ma tę własność, że obraz S′ jest częścią układu S i mianowicie częścią właściwą, bo w S zachodzą elementy [n. p. moje własne ja], które sę różne od każdéj takiéj myśli s′, a więc nie są w S′ zawarte. Daléj widoczna, że jeżeli a i b są różnemi elementami układu S, to i ich obrazy a′ i b′ są różne, odwzorowanie φ jest podobne, układ S-nieskończony^[3].
 Z poprzedzającego wynika: że jeżeli R i S są układy podobne, to R jest układem skończonym lub nieskończonym, stosownie do tego, czy układ S jest skończony lub nieskończony; że każdy układ, podobny do części układu skończonego, jest sam skończony.
 Układ N nazywa się pojedyńczo-nieskończonym, jeżeli istnieje takie odwzorowanie φ, w skutek którego układ N jest łańcuchem elementu, nie zawartego w obrazie φ(N). Ten element nazywamy elementem zasadniczym, oznaczamy go przez 1, i mówimy, że układ pojedyńczo-nieskończony jest przez odwzorowanie φ uporządkowanym. Warunki, którym czyni zadość układ pojedyńczo-nieskończony, można w skróceniu przedstawić w sposób następujący:

 α. N′ З N,
 β. N = 1₀,
 γ. Element 1 nie zawiera się w N′,
 δ. Odwzorowanie φ jest podobne.

W każdym układzie nieskończonym S zawiera się jako część układ pojedyńczo-nieskończony. W saméj rzeczy, według określenia układu nieskończonego, istnieje takie odwzorowanie φ, że φ(S) albo S′ jest częścią właściwą S, istnieje przeto taki element 1 w S, który nie zawiera się w S′. Łańcuch N = 1₀, odpowiadający temu odwzorowaniu układu S w samym sobie, jest układem pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym przez odwzorowanie φ.
 Jeżeli w układzie pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym [94]przez odwzorowanie φ, odwrócimy uwagę od natury elementów i uwzględnimy tylko związki, wynikające z odwzorowania φ, to elementy nazywamy wtedy liczbami naturalnemi lub wprost liczbami, a element 1 — podstawą szeregu liczbowego N. Związki albo prawa, wynikające z powyższych warunków α, β, γ, δ stanowią najbliższy przedmiot nauki o liczbach czyli Arytmetyki.
 Wychodząc z tych określeń wyprowadza Dedekind własności, dotyczące następstwa liczb szeregu N [kaida liczba, następująca bezpośrednio po liczbie n, jest jej obrazem n′], znaczenie liczb większych i mniejszych, liczb niewiększych i niemniejszych od danéj, własności układu Z_n liczb niewiększych od liczby n i t. d., a następnie przechodzi do teoryi działań, która w streszczeniu daje się przedstawić w sposób następujący.
 Niechaj będzie układ Ω zupełnie dowolny, którego elementy nie koniecznie mają być zawarte w N. Niechaj χ oznacza odwzorowanie tego układu w samym sobie, ω — zaś element oznaczony układu. Dedekind dowodzi za pomocą indukcyi zupełnéj, że każdej liczbie n układu N odpowiada jedno i tylko jedno odwzorowanie ψ_n układu Z_n [t. j. układu liczb niewiększych od liczby n], czyniące zadość warunkom:

I.	ψn(Zn) З Ω,
II.	ψsub>n(1) = ω,
III.	ψsub>n(t′) = χψsub>n(t), gdzie t < n.

 [χψsub>n jest odwzorowaniem, złożeném z kolejnych odwzorowań ψsub>n i χ].
 W podobny sposób okazać można, że istnieje odwzorowanie φ układu N, czyniące zadość warunkom:

I.	ψ(N) З Ω,
II.	ψ(1) = ω,
III.	ψ(n′) = χψ(n).

gdzie n jest liczbą dowolną.
 Dodawanie. Stosując te twierdzenia do przypadku, w którym Ω jest układem nieskończonym N, χ(n) = φ(n) = n′, a więc

I. ψ(N) З N,

możemy dla zupełnego oznaczenia ψ przyjąć ω = 1; wtedy ψ [95]oznaczać będzie oczywiście odwzorowanie tożsamościowe, gdyż warunkom

ψ(1) = 1, ψ(n′) = χψ(n) = φψ(n) = [ψ(n)]′

staje się zadość, jeżeli przyjmiemy φ(n) = n.
 Jeżeli chcemy mieć inne odwzorowanie układu N, przyjmujemy za ω liczbę różną od 1, np. liczbę m′ zawartą w N′. Oznaczmy obraz φ(n) liczby n przez m + n i nazwijmy go sumą liczb m i n. Otrzymamy tedy według twierdzeń powyższych:

II.	m + 1 = m′
III.	m + n′ = (m + n)′

Z równań tych wynikaj następujące własności dodawania:

m′ + n	=	m + n′,
m′ + n	=	(m + n)′
1 + n	=	n′
1 + n	=	n + 1,
m + n	=	n + m
(l + m) + n	=	l + (m + n)
m + n	>	m.

 Mnożenie. Załóżmy Ω = N, χ(n) = m + n = n + m; będzie tedy

I. ψ(N) З N.

Wybierzmy ω = m, obraz ψ(n) oznaczmy przez mn i nazwijmy go iloczynem. Według twierdzeń powyższych będzie

II.	m . 1 = m
III.	m n′ = m n + m,

skąd wynikają następujące własności mnożenia:

m′	=	m n + n
1 . n	=	n
m . n	=	nm
m n + m	=	n m + m [96]
l(m + n)	=	l m + l n
(m + n)l	=	ml + nl
(lm) n′	=	l(mn + m) = l m n′.

 Potęgowanie. Ω = N, χ(n) = an = na, a więc

I. ψ(N) З N.

Odpowiednie odwzorowanie ψ(n) oznaczmy przez aⁿ i nazwijmy tę liczbę potęgą liczby a, n — wykładnikiem potęgi. Działanie nasze czyni zadość warunkom:

I.	a1 = a
II.	an′ = a . an = an . a,

skąd wynikają następujące własności:

am′ + n	=	am an
am + n . a	=	(am . an)a
(am)n	=	amn
(ab)n	=	an bn.

W końcu podamy jeszcze twierdzenia Dedekinda, w których uzasadnia pojęcie liczby' [kardynalnéj] elementów danego układu.
 1. Jeżeli układ Σ jest nieskończony, to każdy z układów Z_n daje się odwzorować w układzie Σ za pomocą obwzorowaniaodwzorowania podobnego.
 2. Układ Σ jest skończony lub nieskończony, stosownie do tego, czy istnieje lub nie istnieje układ do niego podobny Z_n.
 3. Jeżeli Σ jest układem skończonym, to istnieje jedna i tylko jedna liczba n, której odpowiada w układzie Σ układ Z_n; ta liczba stanowi liczbę [kardynalną] elementów układu. Wszystkie układy, podobne do danego skończonego układu, mają jednę i tężsamę liczbę kardynalną n.
 4. Jeżeli układ A składa się z m elementów, układ B z n elementów, przyczém A i B nie mają elementów wspólnych, to układ M(A, B), którego każdy element jest elementem albo układu A albo układu B, zawiera m + n elementów.
 5. Każdy układ, złożony z n układów skończonych, jest sam skończony.
[97] Teorya, którą przedstawiliśmy w streszczeniu, nasuwa następujące uwagi: Odwzorowanie stanowi bezwątpienia działanie zasadnicze, będące podstawą tak liczenia jak i działań arytmetycznych; twierdzenia Dedekinda, oznaczone wyżéj przez I, II, III, ukazują wspólne źródło tych działali w postaci ścisłéj i wyraźnéj. Określenie szeregu liczb naturalnych, jako łańcucha elementu 1, charakteryzuje ten szereg wśród innych szeregów nieskończonych i określa zarazem jego znaczenie zasadnicze. Wreszcie twierdzenia o liczbie elementów układu wskazują wyraźnie, że liczenie jakiegokolwiek układu Σ jest oparte na odwzorowywaniu wzajemném tego układu i układu Z_n. Teorya Dedekinda jest odmienném rozwinięciem téj samej myśli, która kierowała badaniami G. Cantotra, która ujawnia się w rozważaniach Kroneckera. Układy podobne pierwszego z nich — to układy o równéj mocy drugiego lub układy równoważne trzeciego [porówn. niżéj str. 96.]. Ukazując nam liczby całkowite, jako formy szczególne, wynikające z pewnego rodzaju odwzorowania, teorya Dedekinda zadawalnia w wysokim stopniu upodobanie do ogólności w badaniach matematycznych. Uderzającém w teoryi téj jest to, że układy nieskończone zajmują w niéj niejako pierwsze miejsce, są w niéj pierwotnemi, bo po określeniu ich następuje dopiero określenie układów skończonych. Dowód wszakże istnienia układów nieskończonych niezupełnie nas zadawalnia. Punktem głównym tego dowodu jest to, że układ S′ jest częścią układu S, ponieważ w S isthieją elementy jak np. moje własne ja, które są różne od każdéj myśli zawartéj w S′. Ale zapytać można, dlaczego by własnemu ja w układzie S nie miała odpowiadać myśl o własnem ja w układzie S′. Naszém zdaniem, “istnienie„ układów nieskończonych, jak to już powiedziano w art. 10., nie może wyrażać nic innego nad możność odwzorowywania kolejnego, bez żadnych przeszkód, albo możność liczenia tak daleko, jak chcemy. Ta to możność w formie matematycznéj przedstawia się jako nieskończoność i jest źródłem wszelkich innych form, jakie za pomocą odpowiednich konstrukcyj tworzyć możemy i tworzymy w Matematyce.

1. Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen, 1888.
2. Na teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującém twierdzeniu:
    “Aby dowieść, że łańcuch A₀ jest częścią pewnego układu Σ, który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść:
    α. że З Σ;
    β. że obraz każdego elementu wspólnego układom A₀ i Σ jest takie elementem układu Σ„.
    Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób:
    “Aby dowieść, że wszystkie elementy α łańcucha A₀ posiadają pewną własność η [lub że pewne twierdzenie τ, w ktorém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A₀], wystarcza dowieść:
    α. że wszystkie elementy α układu A mają własność η [lub że twierdzenie τ stosuje się do wszystkich elementów α].
    β. że obraz n′ każdego elementu n łańcucha A₀ ma też samą własność η. [lub że twierdzenie τ, jeżeli stosuje się do elementu n łańcucha A₀ jest prawdziwém także i dla obrazu n′ tegoż elementu.]
3. Dowód “istnienia„ układów nieskończonych, podany przez Dedekinda, jest właściwie inną postacią dowodu, jaki znajdujemy u Bolzano, [Paradoxien des Unendlichen, str. 14] który twierdzi, że mnogość twierdzeń i prawd samych w sobie [Wahrheiten an sich] jest nieskończoną. Jeżeli bowiem uważamy jaką prawdę A, np twierdzenie, że prawdy istnieją, to twierdzenie: “A jest prawdą„ jest czémś różném od A, bo podmiotem jego jest samo twierdzenie A. Według tego samego prawa, za pomocą którego z twierdzenia A wyprowadzamy różne od niego twierdzenie B, można znów z B wyprowadzić twierdzenie C i tak daléj bez końca. Ogół tych wszystkich twierdzeń obejmuje mnogość części, [twierdzeń], która jest większą od każdéj mnogości skończonéj.
    Keferstein, Ueber den Begriff der Zahl, [Festschrift, herausqeqeben von der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 1890, str. 119—124], uważa dowód Dedekinda za nieudany, gdyż przy określeniu układów podobnych, pojęcie równości jest przyjęte jedynie w tém znaczeniu, że a = b tylko wtedy, gdy a i b są znakami jednéj i téj saméj rzeczy, a równość taka nie może oczywiście zachodzić pomiędzy układem i jego częścią właściwą.
   

Tekst jest własnością publiczną (public domain). Szczegóły licencji na stronie autora: Samuel Dickstein.