Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/126

ułamkowych. Wprowadza on formy czyli pary liczb (a | b), w których a i b są liczbami całkowitemi. Dwie takie formy (a | b) i (c | d) nazywają się równoważnemi, jeżeli czynią zadość równości a+d=b+c. Określenie to stosuje się zarówno do przypadku, w którym a≥b, c≥d, jako téż do przypadku, w którym a<b, c<d.

 Z dwóch równoważności

(a | a′) ∼ (b | b′)

(c | c′) ∼ (b | b′)

wyniku, na zasadzie powyższego określenia, równoważność

(a | a′) ∼ (c | c′)

Wyrażenie, przedstawiające ogół form wzajem równoważnych, nazywa Lerch “differentą„. Tak np. differenta (1 | 4) obejmuje formy (2 | 5), (3 | 6), (4 | 7)...
 Differerenta (x | x) = (0 | 0) nazywa się differentą zerową.
 Sumą form (a | a′) i (b | b′) nazywamy formę (a + b | a′ + b′). Z tego określenia wynika, że jeżeli

(a | a′) ∼ (c | c′), (b | b′) ∼ (d | d′),

to	(a | a′) + (b | b′) ∼ (c | c′) + (d | d′)
	(a+b | a′+b′) ∼ (c+d | c′+d′)

Jednowartościowość i przemienność dodawania stwierdzamy na zasadzie powyższego, bez trudności:
 Sumę m form (a | b) oznaczamy przez m(a | b); jeżeli A jest znakiem formy (a | b), to sumę tę oznaczyć możemy przez mA lub Am, przyczém

mA = (ma | mb).

 Każda differenta jest postaci mE, gdzie E jest diff. (1 | 0) lub postaci m′E′ gdzie E′=diff. (0 | 1). E nazywa się jednostką dodatnią, E′ jednostką ujemną. Ogólnie jest

mE + nE′ = diff (m | n).

Iloczyn form (a | b), (c | d) określamy za pomocą równania

(a | b) . (c | c) = (ac + bd | ad+bc),

z którego wynika jednowartościowość i przemienność mnożenia.
 Jeżeli A i B są dwie “differenty dowolne„ (a | a′), (b | b′) dwie odpowiadające im formy, to differenta C iloczynu (a | a′), (b | b′) nazywa się iloczynem different A i B, co oznaczamy w ten sposób C = AB = BA. Na podstawie tego określenia można łatwo dowieść, że

mE . nE = mnE, mE . nE′ = mnE′, mE′ . nE′ = mnE,

co wyraża. znane prawidło znaków w mnożeniu.