8 Duhamel, Des méthodes etc. II. str. 169.
9 Znaki, powiada Dühring [Neue Grundmittel und Erfindungen, 1884, str. 8. i dalsze] mogą oznaczać tylko działania lub związki, z działań wynikające; znak - nigdy nie oznacza nic innego niż odejmowanie. Jeżeli w wyrażeniu postaci a - x, a jest wielkością oznaczoną, x wielkością zmienną np. rosnącą, to z chwilą, gdy x staje się równém a, poczyna się niemożność wykonania działania. Jeżeli napiszemy a - x = -y, to równanie to nie wyraża nic innego nad tę niemożność. Taka jest, według Dühringa, geneza i znaczenie liczby ujemnéj odosobnionéj. Znaczenie zaś rozwiązań ujemnych wyjaśnia on w sposób następujący:
Jeżeli mamy równanie x + y = a, gdzie x' i y są liczby zmienne, a zaś jest liczba stałą, to równanie y = a - x w przypadku, gdy x jest większe od a, przedstawia niemożność. Kładąc x - a = z, mamy y = -z jako wskazówkę, że y nie może być wielkością bezwzględną. Zastępując y przez z, otrzymujemy równanie x - z = a, gdzie wszystkie liczby [wielkości] są już bezwzględne, a zmieniając tu literę z na literę y — oznaczenie jest tu obojętne — otrzymujemy zamiast równania pierwotnego x + y = a równanie x - y = a nowego typu. Rozwiązanie ujemne daje przeto poznać, że w warunkach zadania mieści się niemożność, i jak tę niemożność usunąć przez zmianę znaku. Dühring stoi tu, jak widzimy na stanowisku Carnota.
Przyjmując rozwiązania ujemne, obejmujemy dwa typy równań x + y = a x - y = a jednym typem np. x + y = a; wprowadzenie liczb ujemnych oznacza tedy to samo, co zastąpienie jedném równaniem dwóch równań różnych. Ten sam fakt powtórzy się, jak to zobaczymy, w teoryi liczb urojonych.
Rachunek liczb ujemnych jest, według Dühringa, rachunkiem niemożliwości. “Mit dem Unmöglichen, powiada on, wenn man es eben als unmöglich setzt und behandelt, muss es in Schlüssen und Rechnungen hantirt werden, sonst bleibt jeder Gedankengang in der Kindheit „ — więc i według jego teoryi ten rachunek “niemożliwości„ ma swoje pewne prawidła, które nie mogą się różnić i nie różnią się od prawideł działań nad liczbami dodatniemi [bezwzględnemi]. Mimo zasadniczej różnicy poglądu,
całe następne rozwinięcie rachunku liczb ujemnych będzie zupełnie takie same, jak gdyby liczby te wprowadzone zostały, jako formy nowe, za pomocą określeń formalnych.
10 Kronecker. Ueber den Zahlbegriff [l. c. str. 345].
Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/125
Ta strona została przepisana.
pomiędzy B i C i t. d. Tu do pojęcia przeciwieństwa należy tylko przestawienie [Umtausch] wzajemności, tak, że jeżeli wzajemność albo przejście od A do B uważamy za +1, to wzajemność albo przejście od B do A oznaczamy przez -1. Jeżeli więc taki szereg po obu stronach jest nieograniczony, to każda liczba rzeczywista całkowita wyraża wzajemność pewnego dowolnego wyrazu, przyjętego za pierwszy, do pewnego oznaczonego wyrazu szeregu.
