Ta strona została przepisana.
δέ επί ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν„]. Wyrazy λεῖψις i ὕπαρξις przełożono tu umyślnie za pomocą wyrazów “liczba, mająca być odjętą„, “liczba, mająca być dodaną„, dla zaznaczenia, że liczby te nie występują, jako samoistne liczby ujemne. Jako przykład starannego omijania liczb ujemnych samoistnych przez naszego autora niechaj posłuży np. zadanie 5-e księgi I-ej: “Liczbę daną podzielić na dwie inne liczby w ten sposób, aby pewna przepisana część pierwszéj, dodana do pewnéj, również przepisanéj części drugiéj liczby, dała sumę daną„, do którego Diofant dodaje warunek następujący: “Suma dana musi być zawartą pomiędzy dwiema liczbami, które powstają, gdy weźmiemy przepisane części obu liczb danych„
Rozwiążemy zadanie to ogólnie. Liczbę a rozłożyć na dwie liczby, aby m-a część pierwszéj, powiększona o n-ą część drugiéj, równała się b. Niewiadomą liczbę pierwszą x znajdujemy z równania
xm + a - xn = b,
z którego otrzymujemy
x = mn - m (bn - a),
a - x = nn - m (a - bm).
Aby liczby x i a - x były dodatnie, trzeba aby było jednocześnie
b n >< a. b m >< a,
skąd oczywiście wynika, że b musi być zawarte pomiędzy liczbami a/m i b/n. Przy spełnieniu się tego warunku, zagadnienie nie będzie miało rozwiązań ujemnych.
2 Euler. Vollständige Anleitung zur Algebra, 1770. Wydanie nowe Reclama, str. 18.
3 D’Alembert, w Opuscules mathématiques, I. [Porówn. Duhamel Des méthodes etc. II. str. 165.] dla okazania fałszywości poglądu Eulera, przytacza proporcyą
1 : - 1 = - 1 : 1.
w któréj, zgodnie z zasadniczą własnością proporcyj, iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów średnich i stosunek 1- 1 = - 1 jest równy stosunkowi - 11 = - 1. Tymczasem, jeżeli będziemy uważali liczby ujemne za mniejsze od zera, będzie w pierwszym stosunku 1 > - 1, w drugim zaś - 1 < 1, co nie zgadza się znowu z równością stosunków. „“Prawda, mówi daléj D'Alembert, że, według poglądu Leibniza, liczba - 1 nie jest średnią proporcyonalną pomiędzy