Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/098

 ¹ Grassmann. Ausdehnungslehre... str. 1—14.

 ² Hankel, Ueber complexe Zahlensysteme str. 18—34.
 ³ N. Thiele w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Principer [Tidskrift for Mathematik, 1880], której treść znamy tylko ze sprawozdania [Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46—48], poddał ogólnemu badaniu związek, zachodzący pomiędzy dodawaniem i mnożeniem, oparty na wzorach

a + b = c, ab = c, a′ + c = b, (a + b)c = a + (b + c),
a + b = b + a, (a + b)c = ac + bc,

wyrażających jednowartościowość dodawania i mnożenia, odwracalność, łączność i przemienność dodawania oraz rozdzielność mnożenia. Najogólniejsze działania, czyniące zadość tym związkom, nazywa on “pseudodowaniem„ i “pseudomnożeniem„ i oznacza pierwsze przez x # y = z, drugie przez x ○ y = z. Z badania, przeprowadzonego przez Thielego, wynika, że obie funkcye suma i iloczyn zawarte są w funkcyi

z = exy + fx + gy + h/axy + bx + cy + d

lub też, że pomiędzy x, y, z muszą zachodzić równania postaci

f(z) = g(x)h(y), F(z) = G(x) H(y),

Z wzorów, wyrażających własności działań, tylko wzór, określający zasadę rozdzielności, stanowi jedyną różnicę pomiędzy mnożeniem a dodawaniem; do zupełnego wszakże określenia mnożenia wzory powyższe nie wystarczają i potrzebném jest jeszcze twierdzenie

a.	a + a + a + . . . (n razy) = n . a

które dla “pseudodziałań„, może być przedstawione pod postacią ogólniejszą

a # a # a . . . (n razy) = e_n ○ a

gdzie

nω(e - o) + o(ω - e)/n(e - o) + (ω - e) = n ÷ 0n - ∞ ○ 1 - ∞1 ÷ ∞.

Tu ÷ i oznaczają “pseudoodejmowanie„ i “pseudodzielenie,.. Dla o = 0, e = 1, ω = ∞ jest e_n = n, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwykłéj.
 Bez uwagi na twierdzenie dodatkowe, “pseudodziałanla„ czynią zadość warunkom