Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/069

rządkowaną ze względu na następstwo tonów w czasie, ich trwanie, wysokość i natężenie, i t. d.

 Jeżeli w takiej oznaczonej n-krotnie uporządkowanéj mnogości M odwrócimy uwagę od istoty elementów, przy zachowaniu związków ich położenia w n różnych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektualny, pojęcie ogólne, które Cantor nazywa typem porządkowym [Ordnungstypus] albo też liczbą idealną, odnoszącą się do danéj mnogości [tych liczb idealnych nie należy mieszać z liczbami idealnemi Kummera, o których mówić będziemy w części drugiéj niniejszego tomu] i oznacza ją przez M.
 Pojedyńczym elementom E, E′, E″ mnogości M odpowiadają w jéj typie porządkowym M same jedności e = 1, e′ = 1, e″ = 1 . . ., które różnią się tylko wzajemném położeniem w M; ich związki są takie same, jak związki pomiędzy elementami mnogości M.
 Tym sposobem n-krotny typ porządkowy jest niejako liczbą całkowitą n-wymiarową, jest organiczném skupieniem jedności, uporządkowanych w n różnych kierunkach.
 Typ porządkowy nazywa Cantor czystym, jeżeli każde dwie jedności tego typu e i e′ mają przynajmniéj w jednym z n kierunków położenie różne; w przeciwnym razie typ nazywa mieszanym. W typie mieszanym jedności łączą się w oznaczone grupy, tak, że jedności, należące do jednéj i téj samej grupy, mają we wszystkich kierunkach położenie jednakowe i zlewają się w jednę liczbę kardynalną, gdy jedności, należące do grup różnych, przynajmniej w jednym z n-kierunków mają położenie różne. Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, jeżeli w tym ostatnim zamiast jedności podstawimy pewne liczby kardynalne.
 Dwie mnogości M i N, n-krotne uporządkowane, nazywają się podobnemi, jeżeli można je wzajemnie przyporządkować w ten sposób, aby, gdy E i E′ są dwoma elementami pierwszej mnogości, F i F′ — odpowiedniemi elementami drugiéj, to dla ν = 1, 2, 3 . . . n położenie elementu E względem E′ w kierunku ν-ym jest w rozmaitości M takie same, jak położenie F względem F′ wewnątrz rozmaitości N. Podobieństwo takich dwóch mnogości oznaczać będziemy przez

M ≅ N.

Dwie n-krotnie uporządkowane mnogości mają wtedy i tylko wtedy jeden typ porządkowy, jeżeli są podobne, i odwrotnie. Jest tedy

M = V, jeżeli M ≅ N

i odwrotnie

M ≅ N, jeżeli M = V.

Typem porządkowym danéj mnogości n-krotnej M jest więc to pojęcie ogólne, pod które podpadają mnogość M i wszystkie jéj podobne.

 Z podobieństwa mnogości M i N wynika ich równoważność; odwrotnie wszakże, z równoważności dwóch mnogości nie można wogóle wnosić o ich podobieństwie. Możemy przeto wypowiedzieć twierdzenie. Jeżeli