7. a, b, c, ε G . a = b : ⊃ : a/c = b/c . c/a = c/b'
8. „ a > b : ⊃ : a/c > b/c . c/b > c/a
9. „ a/c = b/c : ⊃ . a = b
| ⎧ | „ c/a = c/b : ⊃ . a = b | |
| 10. | ⎨ | „ a/c > b/c : ⊃ . a > b |
| ⎩ | „ c/b > c/a : ⊃ . a > b |
11. a, b, c, d, e, f, ε G . a/b = c/d . c/d = e/f: ⊃ . a/b = e/f
12. „ . a/b = c/d = e/f: ⊃ . a/b = (a + c + e)/(b + d + f)
13. „ . a/b = c/d . c/d > e/f : ⊃ . a/b > e/f
14. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ ∴ a > c . ⊃ . b > d : a = c . ⊃ . b = d:
a < c . ⊃ . b < d.
15. a, b ε G . m ε N : ⊃ . (m a)/(mb) = a/b
16. a, b, c, d ε G . a/b = c/d : ⊃ . a/c = b/d.
17. „ „ : ⊃ . (a - b)/b = (c - d)/d.
18. „ „ : ⊃ . (a + b)/b = (c + d)/d.
19. „ „ : ⊃ . (a - c)/(b - d) = a/b.
20. a, b, c, d, e f ε G . a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f.
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
21. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ ∴ a > c . ⊃ . = d > f :
a = c . ⊃ . d = f : a < c . ⊃ . d < f
22. „ a/b = d/e . b/c = e/f: ⊃ . a/c = d/f :
23. „ a/b = e/f . b/c = d/e: ⊃ . a/c = d/f :
24. „ a/b = c/d . e/b = f/d: ⊃ . (a + c)/b = (e + f)/d
25. a, b, c, d ε G . a/b = c/d . a > b . a > c . ⊃ . a + d > b + c.
Dla przykładu pokażemy jeszcze, w jaki sposób Peano wyraża niektóre twierdzenia geometryczne. W Geometryi K oznacza klasę lub kategoryą utworów geometrycznych, 1 wyraża punkt, K1 oznacza klasę punktów albo figurę geometryczną, znak = między dwoma punktami oznacza ich tożsamość. Jeżeli a, b są punktami. to ab oznacza klasę. utworzoną z punktów wewnętrznych odcinka ab. Wzór c ε ab z ab oznacza, że c jest punktem wewnętrznym odcinka ab.
- a, b ε 1 . ⊃ . ab ε K1
- a, b, c, d, ε 1 . a = b . c = d : ⊃ . a c = b d.
- a, b ε 1 . ⊃ . ab ε K1
Ostatni wzór wyraża aksiomat o prostéj.
- a, b, c, d ε 1 . c ε ad . b ε a c : ⊃ . b ε a d.
- a, b, c, d ε 1 . c ε ad . b ε a c : ⊃ . b ε a d.
