Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/047

słowienie twierdzeń. Równie zwięźle przedstawić można twierdzenia matematyczne, jak to pokazują następujące przykłady, które czytelnik łatwo odczyta. W nich klasą N są liczby całkowite dodatnie, inne znaki są zwykłe arytmetyczne.

a b ε N . ⊃ . a + (b + 1) = a (b + 1);

a b c ε N . ⊃ . a + (b + c) = a + b + c;

a ε N . ⊃ . 1 + a = a + 1;

a b ε N . ⊃ : a < b . = . b — a — = Λ;

a ε N . ⊃ × 1 = a;

a b ε N . ⊃ . a b ε N;

a b c ε N . ⊃ . a = b : ⊃ : a c = b c .:

a b c ε N . ⊃ ∴ a < b . = . a c < b c : a = b . = . a c = b c :

 a > b . = . a c > b c .;

a b c ε N . ⊃ . a(bc) = a b c;

a b ε N . ⊃ : b/a = N[xε] (x a = b).

Ostatnie twierdzenie wyraża: jeżeli a i b są liczbami całkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest liczbą całkowitą, jeżeli istnieje takie x, dla którego xa = b. W następujących przykładach q niechaj oznacza klasę liczb rzeczywistych; możemy napisać następujące twierdzenia:

a, b ε q . ⊃ . ab = ba

[jeżeli liczby a i b są rzeczywiste, to iloczyn ab równa się iloczynowi ba]

a, b ε q . a² + b² = 0 : ⊃ : a = 0 . b = 0
a, b ε q . ab = 0 : ⊃ : a = 0 . ∪ . b = 0

Wzór ostatni oznacza, że jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi być zerem.

a, b, x, y ε q . ⊃ ∴ x + y = a . x — y = b : = : 2x = a + b . 2y = a — b.
a b ε q . ⊃ ∷ x ε q . x² + a x + b = 0 : — =_x Λ ∴ = . a² — 4 b ≥ O.

Wzór drugi wyraża twierdzenie: “Jeżeli a i b są liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek równania x² + a x + b = O był liczbą rzeczywistą, jest: a² - 4 b ≥ 0„.
 Twierdzenia piątej księgi Euklidesa przedstawiają się pod postacią wzorów następujących, w których G oznacza klasę wielkości, N zaś, jak wyżéj, klasę liczb całkowitych dodatnich:
  1. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma + m b = m (a + b)
  2. a ε G, m, n ε N : ⊃ . m a + na = (m + n) a
  3. „  : ⊃ . n(ma) = (nm) a
  4.  a, b, c, d, ε G, m, n ε N . a/b = c/d: ⊃ . (ma)/(nb) = (mc)/(n/d)
  5. a, b ε G . m ε N : ⊃ . ma — mb = m(a — b)