większe od zera, jakkolwiek ciągle się do niego zbliżają. Widzimy wreszcie, że gdy mianowniki zmniejszające zbliżają się do zera, to wartości tych ułamków, t. j. ilorazy dzieleń, ciągle się powiększają tak, że im mianowniki te bliższe są zera, tym ilorazy bliższe są ilości tak wielkich, że wymierzone z pomocą matematyki odległości pomiędzy gwiazdami naszego systemu słonecznego, nikną w porównaniu z niemi; ilości tak wielkich, że ich nawet myślą naszą objąć nie możemy. Wielkości takie oznacza matematyka znakiem ∞, co nie przedstawia jednak wartości téj wielkości jak 2, 3, i t. d., ale jest tylko symbolem powiększania się bez granic; tak, że algebra przedstawia przez symbole 10 = ∞ i 20 = ∞ granice, do których, przy ciągłém dopisywaniu powyższych zer, dążą dwa powołane ułamki.
Oprócz tego uczy nas matematyka, że przedziału pomiędzy pierwotnemi mianownikami, t. j. jednością i dwójką z jednéj strony, a granicą, do któréj oba dążą przy dopisywaniu powyższych zer, t. j. pomiędzy zerem, nie można równie zapełnić nieskończenie małemi ilościami, jak i przedziału pomiędzy jednościami w pierwotnych ilorazach a ilościami nieskończenie wielkiemi, nie można zapełnić ilościami skończonemi.
Sprobójmy teraz porównać wielkość jednego ziarnka piasku, mającego 1 milimetr średnicy, z bryłą téj wielkości, co kula ziemska t. j. z kulą mającą 13,000 kilometrów średnicy. Dojdziemy do tego prędko i łatwo — i tak:
| na długości | można owych ziarnek piasku ułożyć |
1 metra. . . . . . . . . . . . . . . 1000
1 kilometra. . . . . . . . . . . . 1000×1000 = milion
średnicy kuli ziemskiéj. . . . . . . 13000×milion = 13 miliardów, t. j. ilość wyrażającą się w 11 cyfrach. Że zaś objętości brył kulistych mają się do siebie jak sześciany z ich średnic, przeto: objętość kuli ziemskiéj tak się ma do objętości ziarnka piasku jak sześcian z 13 miliardów = 2197 z 27 zerami — do jedności.
Odwrotnie więc: jeśli owo ziarnko piasku weźmiemy za jednostkę miary, to kula ziemska zawierać ich będzie 2197 z 27 zerami i wyrazi się liczbą, złożoną z 31 cyfr.
Odniósłszy to do powyższéj tablicy cyfr, widzimy, że przez dopisanie w mianownikach przed 1 i 2 po 29 zer, otrzymamy w obu ilorazach jedność z 30 zerami, to jest liczbę z 31 cyfr złożoną i mogącą wyrazić ilość ziarnek piasku mieszczących się w całéj kuli ziemskiéj. Napisawszy tu i tam podwójną ilość zer, otrzymamy z jednéj strony w mianownikach: bryłki tak małe, że dla nich ziarnko piasku jest naszym globem; — a z drugiéj strony w ilorazach: otrzymamy bryły tak wielkie, że dla nich nasz glob jest jedném ziarnkiem piasku.
Są to już wielkości, o których trudno zdać sobie sprawę; — wymykają się już bowiem wszelkiemu porównaniu. Pisząc więc owe zera chociażby 1 godzinę dojdziemy już do liczb, których wielkość w po-
