dochodzimy do wypadków, które się nazywają wzorami czyli formułami, a które dają sposób rozwiązania wszystkich zagadnień tego samego rodzaju. Przykład: summa dwóch liczb jest równa a, ich różnica jest b, jakie są liczby? Niech będzie x liczba mniejsza, większa wyrazi się przez x + b, a zatém: x + x + b = a, 2x + b = a, 2x = a − b, skąd x = a2, zaś x + b = a2 − b2 + 2b2, więc x + b = a2 + b2. Więc wartość liczby szukanej mniejszej wyraża się: x = a2 − b2, większej zaś x + b = a2 + b2. Dwa wyrażenia wyżej otrzymane a2 − b2 i a2 + b2 są wzorami czyli formułami, które dają sposób rozwiązania zagadnień tego rodzaju bez poprzedniego powtarzania działań tutaj przytoczonych. Pierwszy wzór da się wyrazić: liczbę mniejszą znajdziemy, odejmując od połowy summy połowę różnicy liczb danych: drugi zaś: liczbę większą otrzymamy, dodając do połowy summy półowę różnicy. Jeżeli summa liczb danych czyli a, jest 25, a różnica czyli b jest 15, liczba mniejsza jest równa: 252 − 152 = 25 − 152 = 102 = 5, liczba zaś większa jest: 252 + 152 = 25 + 152 = 402 = 20. Które to wypadki są dobre, gdyż 20 + 5 = 25, 20 − 5 = 15. Wzory wiec otrzymane dają wypadki w każdym szczególnym przypadku, i dla ich otrzymania nie potrzeba wykonywać tych działań i powtarzać rozumowań, które doprowadziły do ich otrzymania. Mając więc zbiór wzorów, służących do oznaczenia rachunków, których wymaga każdy rodzaj pytań liczebnych, tenby wystarczył do otrzymania na nie odpowiedzi, sposobem mechanicznym, przez podstawienie wartości szczególnych. Odróżniają algebrę liczebną i algebrę właściwą czyli głoskową. W pierwszej tylko niewiadome oznacza się głoskami, wiadome zaś liczbami, to jest algebra starożytnych. W drugiej nie tylko niewiadoma, lecz i wiadome oznaczone są głoskami, taka tylko właściwie zasługuje na nazwę algebry. Długo zastanawiano się nad pytaniami: w jakim czasie i okolicy wynaleziono algebrę, jacy są o niej najdawniejsi pisarze, i nakoniec kiedy i jakim sposobem ta nauka upowszechniła się w Europie. W XVII wieku powszechnie mniemano, źe greccy matematycy znali analizę podobną do dzisiejszej algebry, która doprowadziła ich do odkrycia twierdzeń i rozwiązania zagadnień, podziwianych po-dziś dzień w ich dziełach; lecz bliższe zbadanie przedmiotu przekonało, że starożytni matematycy posiadali analizę, lecz że ta była czysto geometryczną, a zatem zupełnie różną od teraźniejszej algebry. W XVI mianowicie wieku, w biblijotece Watykańskiej, w Rzymie, znaleziono dzieło Diofantesa (ob.) o algebrze, które najprzód wytłómaczył w r. 1575 Xylander na język łaciński (Arithmeticorum libri), a następnie 1621 Bachet de Meziriac, jeden z najdawniejszych członków akademii francuzkiej, ogłosił przekład na język łaciński, opatrzony licznémi komentarzami: nakoniec Fermat przełożył je w r. 1670. Dzieło Diofantesa doszło do owego czasu w 6 księgach, chociaż było napisane w 13, i odkrycie jego
