Strona:A. Baranowski - O wzorach.pdf/7

Ta strona została uwierzytelniona.

Potem napisałem teoryę luk, których Dr. Hossfeld nie podjął się sprawdzić.
Nareszcie usunąwszy wszystkie liczby podzielne przez $2,$ $3$ i $5$ , jako łatwe do poznania, zanalizowałem zakres numeracyi $0,$ $1,$ $2,$ $3,\ldots$ $150\,060$ , czyli liczby wszystkie pierwsze w tym zakresie, oraz podzielne przez $7,$ $11,$ $13,$ $17,\ldots ,$ t. j. przez $p_{4},$ $p_{5},$ $p_{6},$ $p_{7},\ldots$ Spisałem na ogół liczb $40\,008$ , oznaczając je właściwemi czynnikami n. p. $49=7^{2},$ $77=7.11;$ $91=7.13,$ $1001=7.11.13$ i t. d.
Później z tego kajetu wypisałem osobno same tylko liczby pierwsze, to jest:

p_{1}=2

,

p_{2}=3

,

p_{3}=5

,

p_{4}=7

....

p_{13852}=150\,053

.

Gustaw Wertheim w dziele „Elemente der Zahlentheorie“ (Leipzig 1887) rozwija i przykładem objaśnia następujący wzór Meissel’a do obliczenia w danym zakresie numeracyi liczb pierwszych str. 24.

\operatorname {\psi } (n)=\operatorname {\varphi } (n,m)+m(\mu +1)+{{\mu (\mu -1)} \over 2}-1-\sum _{s=1}^{s=\mu }\operatorname {\psi } {\biggl (}{n \over {p_{m+s}}}{\biggr )}

$\operatorname {\psi } (n)$ oznacza tutaj, ile się zawiera liczb bezwzględnie pierwszych w zakresie numeracyi od $0,$ $1,$ $2,$ $3,\ldots$ $n.$
$m$ oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w sześciennym pierwiastku zakresu $n$ , czyli $m=\operatorname {\varphi } {\Bigl (}{\sqrt[{3}]{n}}{\Bigr )}$ .
$\mu$ oznacza, ile liczb pierwszych znajduje się w pierwiastku kwadratowym ${\sqrt {2}}$ , po odjęciu liczby tychże liczb, będących w pierwiastku sześciennym, czyli $\mu =\psi {\sqrt {n}}-m$ .

m+\mu =\psi {\Bigl (}{\sqrt {n}}{\Bigr )}

.

Wzór ten, dobry przy obliczaniu niewielkich zakresów numeracyi, kiedy $n$ nie przewyższa setek, tysięcy; znośny jeszcze i przy obliczaniu dziesiątek tysięcy; w wielkich zaś zakresach numeracyi, wymaga wiele miejsca, czasu i pracy. Można się o tem przekonać, obliczając choćby tylko

n=100\,000

;

{\sqrt[{3}]{n}}=46

;

\operatorname {\psi } (46)=14

;

{\sqrt {n}}=316

;

\operatorname {\psi } (316)=65

;

ponieważ zaś $m=\operatorname {\psi } ({\sqrt[{3}]{n}})=\operatorname {\psi } (46)=14,$