Encyklopedyja powszechna (1859)/Analiza w matematyce
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Encyklopedyja powszechna |
| Tom | Tom I |
| Rozdział | Analiza w matematyce |
| Wydawca | S. Orgelbrand |
| Data wyd. | 1859 |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Indeks stron | |
Analiza w matematyce. Do poznania prawd matematycznych dochodzić możemy dwojako: albo zapomocą analizy czyli sposobem analitycznym, albo rozbiorowym, kiedy przypuszczamy, iż pewna wielkość odpowiada na pytanie w podaniu wymienione, a potem dopiero badamy warunki, którym ona czyni w takim razie zadosyć, i z nich wyprowadzamy sposób jej wynajdywania; albo też zapomocą syntezy czyli sposobem syntetycznym albo zbiorowym, kiedy wprost podajemy sposób rozwiązania danego pytania, a następnie zapomocą odpowiedniego rozumowania przekonywamy, że sposób podany zgodny jest z prawdą i odpowiada na pytanie. Aby rzecz tę dokładniej wyjaśnić, weźmy pytanie: W dane koło wpisać sześciokąt foremny. Przypuśćmy że bokiem szukanego sześciokąta jest pewna linija, która tém samém jest cięciwą łuku, będącego szóstą częścią okręgu koła: połączywszy końce tego boku z środkiem koła, otrzymamy trójkąt, którego kąt w środku, jako mający za miarę szóstą część okręgu koła, jest szóstą częścią czterech kątów prostych, czyli jest trzecią częścią dwóch kątów prostych; że zaś summa wszystkich kątów w trójkącie jest równa dwóm kątom prostym, więc pozostałe dwa kąty trójkąta, na boku sześciokąta leżące, ważą cztery trzecie części kąta prostego. Lecz te dwa kąty są równe sobie, jako leżące naprzeciwko boków równych, które są promieniami koła, każdy więc z kątów na boku sześciokąta leżących jest półową summy obu, a zatem jest równy dwom trzecim częściom kąta prostego. Tak więc wszystkie trzy kąty w trójkącie są sobie równe, a więc i boki są równe, a zatem bok sześciokąta foremnego jest równy promieniowi koła. Aby więc w dane koło wpisać sześciokąt foremny, rozwartością cyrkla równą promieniowi tegoż koła, dzielę okrąg na sześć części równych, a punkta podziałów połączywszy linijami prostemi, otrzymam sześciokąt szukany. Taki sposób postępowania nazywa się analitycznym; postępując zaś syntetycznie takbyśmy rzecz tę wyłożyli. Rozwartością cyrkla równą promieniowi, podzieliwszy okrąg koła na części równe, powiadam że okrąg podzieli się tym sposobem na sześć części równych, to jest każda część odcięta będzie szóstą częścią okręgu. W rzeczy samej, połączywszy punkta podziałów między sobą linijami prostemi, tudzież połączywszy końce któregokolwiek boku, tym sposobem otrzymanego ze środkiem koła, otrzymamy trójkąt widocznie równoboczny, a zatem równokątny. Że zaś w trójkącie summa kątów jest równa dwóm kątom prostym, więc w trójkącie otrzymanym jako równokątnym, każdy kąt jest trzecią częścią dwóch kątów prostych; że zaś miarą kąta mającego wierzchołek w środku koła, jest łuk zawarty między jego ramionami, a którego cięciwa jest równa promieniowi koła, przeto łuk ten jest trzecią częścią miary dwóch kątów prostych, to jest półowy okręgu koła, a zatem jest szóstą częścią całego okręgu koła. Promieniem więc okrąg koła podzieli się na sześć części równych, a zatém bok sześciokąta foremnego wpisanego w koło, jest równy promieniowi tegoż koła. Oba sposoby mają swoje zalety i jeżeli ostatni w nauczaniu ma niezaprzeczone przed pierwszym korzyści, bo prowadzi do celu drogą krótką i prostą; to znowu pierwszy podaje dzielny sposób badania i dochodzenia: godzi się nawet przypuścić, że tylko analiza może nas naprowadzić na nowe myśli i zapomocą niej jedynie dokonać można nowych wynalazków, które zapewne nie inną drogą dotychczas były dokonywane. Tak pojmowali analizę starożytni; Platonowi powszechnie przypisują wprowadzenie sposobu analitycznego do geometryi. Archimedes używał niekiedy metody analitycznej w swoich dochodzeniach; Pappus zaś z Alexandryi prawie ciągle jej się trzyma, dla tego chcący bliżej poznać analizę starożytnych, winni się uciec do dzieł jego: Collectiones mathematicae, albo też do dzieła Apolloniusza: De sectione rationis, wydanego przez Halley'a, lub też do dzieła tegoż autora De inclinationibus, wydanego przez Horsley’a. Analiza matematyczna jako nauka, jest częścią najobszerniejszą matematyki, której odkrycie usiłowaniom najnowszych czasów, przypisać należy. Analiza matematyczna ma za przedmiot wielkości wszelkiego rodzaju, uważane w postaci najogólniejszej. Skoro Viete i jego współcześni wprowadzili litery i odpowiednie znaki na oznaczenie wielkości i związków między niemi zachodzących, została otwarta droga do wszelkich poszukiwań, których szczęśliwe wypadki wkrótce po sobie następowały. W tém wiec znaczeniu analiza obejmuje algebrę i przeciwnie wyraz algebra może być uważany za jedno z analizą. Pomimo to obecnie oddzielają algebrę jako odrębną naukę, stanowiącą wstęp do analizy, a mającą za przedmiot podanie sposobów odbywania zasadniczych działań na ilościach, tudzież sposobów rozwiązania równań i pytań z tym przedmiotem w związku zostających. Przedmiot zaś analizy w dzisiejszym jej znaczeniu poznamy z następującego rozumowania. Wielkości mogą się powiększać lub zmniejszać; przykład na to znajdujemy w obliczaniu procentów. Przypuściwszy że kapitał oddany na procent składany jest a, procent od jedności kapitału r, summę na którą się on zamieni oznaczywszy przez y, a liczbę lat do tego potrzebną przez x, otrzymamy y = a (1 + r)x; w wyrażeniu tém, przypuszczając rozmaitą liczbę lat, czyli podstawiając rozmaite wartości za x, otrzymamy rozmaite im odpowiednie wartości na y; w tém więc wyrażeniu a i r są wielkościami stałemi, zaś x i y są zmiennemi, a ponieważ wartość jednej zależy od szczególnej wartości drugiej, dla tego też jedne z nich nazywamy zmienną niezależną, drugą zaś zależną. Wykrycie praw według których wartość zmiennej zależnej zostaje w związku ze szczególnemi wartościami zmiennej zależnej, jest przedmiotem analizy niższej, czyli nauki o funkcyjach (ob.). W naturze wielkości przechodząc ze stanu jednego do drugiego, czyli zmieniając wartość swoją, przechodzę przez wszystkie stopnie pośrednie. Naprzykład cięciwa luku 0°. jest równa 0, cięciwa luku koła 60°, jest równa promieniowi, a przyjąwszy promień za jedność, jest równa I: cięciwa czwartej części okręgu koła czyli łuku 90°, jest równa ; łuk począwszy od 0°, do 60° i do 90°, przechodzi przez wszystkie stopnie pośrednie, czyli nieprzerwanie się powiększa, toż samo widocznie dziać się musi i z cięciwą; nie możemy dowiedzieć się o ile powiększa się cięciwa przy danem powiększeniu łuku, albo jaka wielkość cięciwy odpowiada łukowi danej wielkości, ani zapomocą algebry, ani też zapomocą nauki o funkcyjach; pytania takiego rodzaju rozwiązuje nauka zwana analizą wyższą, czyli analizą wielkości nieskończonych. Tak więc oznaczenie praw, według których otrzymuje się wielkość zmiennej zależnej, przy szczególnych wartościach zmiennej niezależnej, stanowią przedmiot nauki o funkcyjach; przedmiotem zaś analizy wyższej jest wynalezienie związku pomiędzy powiększeniami lub zmniejszeniami ilości zmiennych, kiedy jest wiadomy związek pomiędzy temi ostatniemi. Że zaś wielkości powiększać się lub zmniejszać mogą o ilości skończone lub nieskończenie małe, albo inaczej oznaczone lub nieoznaczone, przeto analiza wyższa rozpada się na dwie części: na rachunek różnic (ob.), podający związki pomiędzy zmianami skończonemi wielkości zmiennych, z wiadomych związków między temi ostatniemi, i na rachunek różniczkowy (ob.), który podaje związki pomiędzy zmianami nieskończenie małemi, czyli nieoznaczonemi wielkości zmiennych, kiedy związek między temiż wielkościami wiadomy. Nadto przybywa tutaj jeszcze rachunek przeciwny temu ostatniemu, zapomocą którego z wiadomych związków, pomiędzy zmianami skończonemi lub nieskończonemi wielkości zmiennych, wykrywamy związki zachodzące pomiędzy samemi wielkościami zmiennemi, i to jest przedmiotem rachunku integralnego, czyli całkowego (ob.). Analiza zajmuje się jeszcze wielkościami wszelkiego rodzaju, tak zmysłowemi jako i umysłowemi, i w takim razie nazywa się stosowaną; i tak zastanawiamy się w niej nad rozciągłością, czyli nad ciałami matematycznemi, w tym razie przybiera nazwę geometryi analitycznéj (ob.). Biorąc za przedmiot przestrzeń, czyli rozciągłość, czas i materyję nieprzenikliwą, podległą siłom zewnątrz na nią działającym, wchodzimy w zakres mechaniki analitycznej, czyli mechaniki. Analiza zastanawia się nad ciałami istniejącemi w naturze i nad zjawiskami, które w nich dostrzegamy, a posiłkując się temi tylko danemi wyprowadzonemi z doświadczenia, które do oznaczenia tychże ciał posłużyć mogą, wyprowadza dalsze wnioski, do których doświadczeniem dojśćby najczęściej było niemożna a które następnie spostrzeżenia sprawdzają. Takie zastosowanie analiza czyli rachunek znajduje: w mechanice niebieskiej, teoryi ciepła, światła, głosu, elektryczności, magnetyzmu i t. d. Teoryje dopiero przytoczone oparte są albo na prawach zasadniczych przez doświadczenie odkrytych, albo też na przypuszczeniach mniej lub bardziej podobnych do prawdy; jednak analiza matematyczna bada nie tylko te zjawiska, których przyczyny są wiadome albo za wiadome przyjęte, lecz nadto zastanawia się i nad lakierni, których przyczyny są zupełnie nieznane, i dla których niepodobna zrobić żadnego przypuszczenia, lecz które są zależnemi wyłącznie od przypadkowości. Takie zastosowanie analizy jest najwyższym szczeblem odkryć naszych czasów i stanowi rachunek prawdopodobieństwa (ob.). J. P-z.
