Encyklopedyja powszechna (1859)/Analiza Diofantesa
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Encyklopedyja powszechna |
| Tom | Tom I |
| Rozdział | Analiza Diofantesa |
| Wydawca | S. Orgelbrand |
| Data wyd. | 1859 |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Źródło | Skany na Commons |
| Indeks stron | |
Analiza Diofantesa, zwana inaczej zagadnieniami lub pytaniami Diofantesa, albo analityką. Matematyk grecki Diofantes z Alexandryi, który miał żyć w IV wieku po narodzeniu Chrystusa, napisał algebrę w trzynastu księgach, których sześć doszło do naszych czasów, a których pierwszy przekład na język łaciński wydał Xylander 1575 r., lecz najdokładniejsze tłómaczenie Diofantesa uskutecznił Bachet de Meziriac i dopełniwszy je komentarzami wielkiej wartości, wydał 1621 r. Fermat także przełożył dzieło Diofantesa 1670 r. i opatrzył własnemi dopełnieniami. W dziele Diofantesa na szczególną uwagę zasługują rozwiązania pytań nieoznaczonych, dotyczących liczb kwadratowych, sześciennych, trójkątów prostokątnych i t. p., które najczęściej prowadzą do rozwiązania równań nieoznaczonych w liczbach wymiernych, często całkowitych, równania zaś dopuszczają dla niewiadomych nieoznaczoną liczbę wypadków niewymiernych. Naprzykład szukając trójkąta prostokątnego, któregoby wszystkie boki były wyrażone liczbami całkowitemi, otrzymalibyśmy zagadnienie, wchodzące do rzędu tak zwanych pytań, czyli analizy Diofantesa. Aby się bliżej poznać z tym przedmiotem, rozwiążemy zagadnienie: Oznaczyć trójkąt prostokątny, któregoby wszystkie boki daty się wyrazić liczbami całkowitemi. Niech będą x i y ramiona kąta prostego, zaś z przeciwprostokątna szukanego trójkąta, podług znanego w geometryi prawa, że kwadrat z przeciwprostokątnej jest równy summie kwadratów z ramion kąta prostego, otrzymamy równanie x² + y² = z², z którego dla x, y i z mamy otrzymać wypadki całkowite i dodatnie. Liczby x i y są pierwszemi miedzy sobą, gdyby albowiem one miały jaki czynnik wspólny a, natenczas byłoby x = a x ′, y = a y ′ i mielibyśmy a ²x ′² + a ²y ′² = z ², czyli a ² (x ′² + y ′²) = z ², co pokazuje że gdyby x i y miały czynnik wspólny, natenczas i z byłoby podzielne przez a, czyli byłoby z = a z ² i pierwotne równanie miałoby kształt a ² (x ′² + y ′²) = a ² z ′², czyli x ′² + y ′² = z ′², gdzie x ′, y ′ i z ′ są liczbami między sobą pierwszemi. W równaniu danem jeżeli x jest parzyste, y parzystém być nie może, w przeciwnym albowiem razie x i y miałyby czynnik wspólny 2, co się nie zgadza z poprzedzającem. Również obie liczby x i y nie mogą być nieparzystemi, gdyby albowiem było x = 2 k + 1, a y = 2 l + 1, natenczas (2 k + 1)² + (2 l + 1)² = 4 (k ² + l ² + k + l ) + 2, to jest summa kwadratów z tych liczb byłaby podzielną tylko przez 2, a zatem nie byłaby zupełnym kwadratem, gdyż kwadrat będący liczbą parzystą, jest zawsze podzielny przez 4. Tak więc jeżeli jedna z liczb x i y jest parzysta, druga musi być nieparzystą. Przypuśćmy że x jest liczbą nieparzystą, zaś y parzystą, i że z = x + pq y, gdzie pq jest ułamkiem uproszczonym, będzie: x ² + y ² = (x + pq y )² = x ² + 2 p x yq + p ² y ²q ² zkąd: q ² x ² + q ² y ² = q ² x ² + 2 p q x y + p ² y ²; czyli: q ² y ² = 2 p q x y + p ² y ², albo q ² y = 2 p q x + p ² y , albo 2 p q x = q ² y −p ² y , a ztąd xy = q ² − p ²2 p q. Ponieważ ułamek pq jest wyrażony w najprostszej postaci, przeto i ułamek q ² − p ²2 p q przez nic nieda się skrócić. Nadto liczby p i q nie mogą być obie nieparzystemi, w razie albowiem gdyby liczby p i q były nieparzystemi, różnice ich kwadratów, to jest: q ² − p ², byłaby podzielną przez 4, a po skróceniu ułamku q ² − p ²2 p q przez 2, w liczniku pozostałby czynnik 2, co miejsca mieć nie może z przyczyny, żeśmy przypuścili iż x jest liczbą nieparzystą; jedna więc z liczb p i q jest parzysta a druga nieparzystą, ztąd licznik q ² − p ² nie jest podzielny przez 2, a zatém i cały ułamek q ² − p ²2 p q nie da sie skrócić. W dwóch ułamkach równych licznik jednego jest równy licznikowi drugiego, i mianownik jednego jest równy mianownikowi drugiego, więc x = q ² − p ², y = 2 p q , że zaś było z = x + pq y, przeto z = q ² − p ² + pq . 2 p q = q ² + p ². Doszliśmy więc do rozwiązania równania x ² + y ² = z ² w liczbach całkowitych, a mianowicie x = q ² − p ², y = 2 p q, z = p ² + q ², pamiętając podług tego, co wyżej powiedziano, że jedna z liczb p i q jest parzysta druga nieparzysta, a nadto że obie są liczbami pierwszemi między sobą. Przypuszczając więc że:
