Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/111

a/m ± b/n = a n ± b m/m n,

mnożenia

a/m . b/n = a b/m n

i dzielenia

a/m : b/n = a n/b m

zastępuje on trzema następującemi kongruencyami:

a xm	+	b xn	≡	(a n + b m) xm n (modd.mxm - 1, n xn - 1, m n xm n - 1),
a xm	.	b xn	≡	a b xm n (modd.mxm-1, n xn - 1, m n xm n - 1),
a xm	.	xbxn	≡	anxb m (modd.mxn-1, n xn - 1, bmxb m - 1, bxnxn - 1),

które wypływają odpowiednio z następujących trzech tożsamości:

a xm	+	b xn	=	(a n + b m) xm n + a n xm n (m xm - 1) + b m xm n (n xn - 1) - (a xm + b xn) (m n xm n - 1),
a xm	.	b xn	=	a b xm n + a b n xn xm n (m xm - 1) + a b xm n (n xn - 1) - a b xm xn (m n xm n - 1),
a xm	.	xbxn	=	a n xb m + a n xb n (m xm - 1) - a b m xm xb m xb xn (n xn - 1) - a xm xbxn (b m xb m - 1) + a m n xm xbm (bxn xbxn - 1).

14. WIELKOŚĆ UŁAMKA. MNOGOŚĆ LICZB UŁAMKOWYCH.

 W powyższym wykładzie teoryi ułamków nie mówiliśmy o tém, w jaki sposób rozumieć należy, co jest ułamek większy lub mniejszy od drugiego. Jeżeli pojęcie ułamka opieramy na pojęciu podziału jedności na części, to oczywiście z dwóch ułamków o równym liczniku ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy; z dwóch ułamków o równym mianowniku — ten, którego licznik jest większy; gdy zaś dwa ułamki mają różne liczniki i mianowniki, to sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika pokaże z łatwością, który jest większy lub mniejszy. Jeżeli ułamkami danemi są a/m i b/n, to wniesiemy stąd, że a/m >< b/n,stosownie do tego czy a n >< b m.