Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/105

umkehrbaren Functionen [Mathematische Annalen. XXIX, 1887, str. 299—326]. Interesujące te badania, mające niejaką analogią do odmiennie przeprowadzonych badań Thielego, wkraczają już w części w dziedzinę Tèoryi funkcyj, i dlatego powiemy tylko krótko, że polegają one głównie: 1. na przyjęciu za podstawę działania jednowartościowego i nieprzemiennego a b, które Schröder nazywa mnożeniem “symboliczném„; mnożeniu temu odpowiadają zatém dwa działania odwrotne, t.j. dwa dzielenia “symboliczne„ 2. na ustanowieniu możliwych związków zasadniczych, jakie pomiędzy temi trzema działaniami zachodzić mogą, a więc np. w przypadku dwóch elementów a i b, następujących czterech układów czyli “algorytmów„,

a:b = a b = b/a,

a:b = b a, a:b = a/b;

a:b = b:a, b/a = ba;

b/a = a/b ab = ba;

w których jest razem 9 równań — i badaniu wniosków, jakie stąd wynikają. W przypadku trzech elementów a, b, c, otrzymujemy takich wzorów wogóle 990; z nich zbiór 150 równań, ze wszelkiemi konsekwencyami stanowi to, co Schröder nazywa algorytmem Algebry zwyczajnéj, a któremu podlega nietylko mnożenie i dodawanie liczb rzeczywistych i urojonych, ale i dodawanie geometryczne punktów płaszczyzny oraz dodawanie logiczne pojęć i sądów. W ogóle te badania mają związek z dziedziną Logiki formalnéj; we wspomnianém zaś dziele Schrödera [art. 6.] znajdzie czytelnik najnowsze w tym przedmiocie poszukiwania, które nie wchodzą już w zakres niniejszéj książki.
 ⁵ Helmholtz, Zählen und Messen, l. c. str. 24.
 ⁶ Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen, 1888.
 ⁷ Na teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującém twierdzeniu:
 “Aby dowieść, że łańcuch A₀ jest częścią pewnego układu Σ, który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść:
 α. że З Σ;
 β. że obraz każdego elementu wspólnego układom A₀ i Σ jest takie elementem układu Σ„.
 Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób:
 “Aby dowieść, że wszystkie elementy α łańcucha A₀ posiadają pewną własność η [lub że pewne twierdzenie τ, w ktorém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A₀], wystarcza dowieść: