Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/063

rozmaitości liczb, w taki sam sposób, w jaki liczba 1 stanowi początek szeregu liczb całkowitych skończonych. Następujące po ω liczby nadskończone będą

ω + 1, ω + 2, ω + 3, ω + 4, . . .

Jeżeli do tego szeregu zastosujemy ten sam proces myśli, jaki stosowaliśmy do szeregu 1., dojdziemy do liczby 2ω, po któréj następują

2ω + 1, 2ω + 2, 2ω + 3, 2ω + 4 . . .

Proces, prowadzący od liczby, zawartéj w którymkolwiek z powyższych szeregów, do liczb innych w tymże szeregu, nazywa Cantor pierwszą zasadą tworzenia liczb; proces zaś, prowadzący od liczby ω do 2ω, nazywa drugą zasadą. Skombinowane zastosowanie obu zasad tworzenia prowadzi do kolejnych szeregów

3ω, 3ω + 1, 3ω + 2, 3ω + 3, . . .

. . . . . . . . . . . .

μω, μω + 1, μω + 2, μω + 3, . . .

po których znów dalszy proces daje nam liczby

λω² + μω + ν

i ogólniéj liczby postaci

ν₀ω^μ + ν₁ω^μ-1 + . . . + ν_{μ - 1}ω + ν_μ.

Lecz i tu proces tworzenia liczb nie kończy się, bo prowadzi do liczb nadskończonych

ω^ω

i t. p.
 Tworzeniu liczb nadskończonych w dalszym ciągu nic nie staje na przeszkodzie; zdaje się, wszakże, że proces ten gubi się w głębiach nieskończoności, nie prowadząc do ściśle określonych dziedzin badania. Tak jednak nie jest, jeżeli przy tworzeniu nowych liczb uwzględnimy warunek, nazwany przez Cantora trzecią zasadą, zasadą regulującą [Hemmungs oder Beschränkungsprincip], którą zaraz przedstawimy. Uczynimy tu uwagę, że teorya Cantora podlega ogólnéj zasadzie zachowania, którą: przedstawiliśmy we wstępie [str. 27-32]. Zasadę regulującą stanowi właśnie zastosowanie poję-