Strona:PL Samuel Dickstein - Pojęcia i metody matematyki.djvu/035

dostatecznie], który wszakże pozostanie bez wartości, jeżeli w tworzeniu systemu nie zwracaliśmy wcale uwagi na znaczenie działań. Aby więc nasze formalne działania miały istotne znaczenie dla nauki, trzeba, aby prawidła ich obejmowały w sobie prawidła działań nad formami znanemi, aby z jednéj dziedziny można było działania te przenieść do innéj, gdzie mają już znaczenie ustalone. Albo, objaśniając rzecz na przykładzie: jeżeli tworzymy nowe liczby np. urojone, trzeba działania nad temi liczbami poddać takim prawidłom, któreby jako szczególny przypadek zawierały w sobie działania nad liczbami rzeczywistemi; jeżeli wprowadzamy potęgi z wykładnikami ułamkowemi, trzeba, aby działania nad nowemi formami dawały nam wyniki pewne i ustalone, jeżeli ułamki staną się równe liczbom całkowitym.
 Zasadę zachowania w zastosowaniu do liczb Hankel wypowiada w ten sposób: “Jeżeli dwie formy, wyrażone w ogólnych znakach algebraicznych, są sobie równe, to mają takiemi pozostać, jeżeli znaki te nie oznaczają liczb rzeczywistych, gdy przeto działania nad niemi otrzymują nowe znaczenie„.
 Dodaje przy tém Hankel, że nie należy zasady téj stosować wszędzie bez żadnych zastrzeżeń; że ma ona służyć przedewszystkiém do określenia prawideł koniecznych i dostatecznych, o ile te są od siebie niezależne, ale wymaga zarazem, by stosowanie zasady pozwalało na rozwinięcie należytéj ogólności w tworzeniu form.
 Zasadę zachowania możemy wypowiedzieć w postaci ogólniejszéj, a mianowicie:
 “Jeżeli formy pewné, określonéj dziedziny poddajemy określonym konstrukcyom i działaniom, które doprowadzają do pewnych związków między formami téj dziedziny, to związki te uważamy, za zachodzące i wtedy, gdy konstrukcye i działania prowadzą do wyników, których nie można uważać za formy, bezpośrednio do naszéj dziedziny należące„.
Utrzymanie właśnie związków tych samych dla jednych i drugich form pozwala objąć te formy jedną dziedziną rozszerzoną.
 Jeżeli teraz z góry pomyślimy sobie dwie dziedziny czyli rozmaitości takie, że każdéj formie czyli każdemu elementowi jednéj rozmaitości odpowiada pewna forma lub element drugiéj; jeżeli to przejście od jednéj rozmaitości do drugiéj, stanowiące pewien proces myślowy, mający swój wyraz w pewnéj konstrukcyi lub działaniu, na-