I. Wielkości matematyczne linearne są albo równe albo nierówne. Równemi są wtedy, gdy ich objawy zmysłowe sprawiają zawsze to samo wrażenie przy tych samych warunkach. Jedna wielkość jest większa od drugiéj, gdy obraz zmysłowy jednéj może być zmieniony za pomocą “wyczerpania„ [t. j. przez kolejne zmniejszanie] w taki sposób, że zawrze w sobie całkowicie obraz drugiéj; ale nie odwrotnie.
II. Żadna szczególna z wielkości linearnych danego gatunku [t.j. żaden odcinek z pomiędzy możliwych odcinków], nie posiada sam przez się pierwszeństwa przed innemi, i dlatego nie posiadamy wyobrażenia kresu [granicy], koniecznego tak dla małości jak i wielkości [Grossheit] któréjkolwiek z nich.
III. Dwie lub więcéj wielkości tego samego gatunku, dodane do siebie, dają wielkość tego samego gatunku, większą od każdéj z części składowych. Każda wielkość może być dzielona na dowolną liczbę części, z których każda jest mniejsza od wielkości danéj.
IV. Jeżeli jedna wielkość jest większa od drugiéj, to istnieje zawsze trzecia wielkość tego samego gatunku, która, dodana do drugiej, daje pierwszą.
V. Wielkości równe lub nierówne, z których najmniejsza nie ma być mniejszą od wielkości dowolnie małéj, można zawsze w dostatecznéj liczbie połączyć tak, aby otrzymać wielkość, nie mniejszą od jakiejkolwiek wielkości dowolnéj tego samego gatunku.
VI. Wielkości dają się niezliczonemi sposobami dzielić na mniejsze; między temi sposobami wyróżnia się ten, w którym wielkość rozpada się na dwie, trzy i więcéj części równych. Dzielenie wielkości daje się prowadzić tak długo, dopóki wszystkie części nie staną się mniejszemi od wielkości dowolnie małéj. Lecz jakkolwiek daleko prowadzić będziemy w myśli ten podział, części otrzymywane będą zawsze tego samego gatunku, co dana wielkość.
Wyłożona w tych twierdzeniach teorya jest urobiona na podstawie doświadczenia i stosuje się przedewszystkiém do wielkości geometrycznych. Gdy idzie o formy matematyczne, ogólnie uważane, pojęcie ich równości lub nierówności nie może oczywiście opierać się na porównywaniu wrażeń zmysłowych, jak chce Dubois-Reymond, lecz musi być dane za pomocą określenia formalnego, takiego np., jakie znajdujemy u H. Grassmanna[1]. Pojęciem wielkościowem, według Grassmanna, nazywamy takie pojęcie, że dwa
- ↑ H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik, 1861, str. 1.
