Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/22

ciekawa, w treści zaś swej przedstawia się w sposób następujący:
 Jeden z pewników geometryi euklidesowej, znany powszechnie pod nazwą XI-go aksiomatu, stanowiący podstawę nauki o liniach równoległych w tej geometryi, brzmi tak: „Dwie proste na płaszczyźnie, przecięte trzecią, a tworzące kąty wewnętrzne, których suma jest nierówna dwóm kątom prostym, muszą się przecinać po przedłużeniu w tę stronę, po której ta suma jest od dwóch kątów prostych mniejsza“. Pewnik ten jest równoważny jednemu z twierdzeń następujących:

 przez punkt dany zewnątrz prostej można do niej poprowadzić tylko jednę równoległą;

 suma kątów wewnętrznych trójkąta równa się dwóm kątom prostym.

 Otóż którekolwiek z tych twierdzeń możemy przyjąć za twierdzenie zasadnicze, a wtedy XI aksiomat będzie jego konsekwencyą. Możnaby przeto powiedzieć, że geometryą euklidesową charakteryzuje twierdzenie zasadnicze planimetryi: „suma kątów trójkąta równa się dwóm kątom prostym“.
 Geometrów oddawna trapił pewnik, o którym mowa, i nieraz nasuwała się im myśl, czy nie jest on wynikiem innych pewników, czy nie jest twierdzeniem, dającem się dowieść? Podejmowali w tym kierunku usiłowania i podawali często misterne bardzo dowodzenia, które jednak w gruncie rzeczy okazały się zwodniczemi. Teorya linij równoległych nie dała się ostatecznie inaczej uzasadnić i na tej drodze liczby pewników geometryi nie można było zmniejszyć.
 Wtedy profesor kazański Łobaczewski (w r. 1826), a z nim równocześnie prawie geometra węgierski Bolyai postawili kwestyą w sposób całkiem odmienny. Jeżeli aksiomat o liniach równoległych dowieść się nie da, zmieńmy go i zobaczmy, czy na tej podstawie nie da się zbudować sy-