Strona:H. Poincaré-Nauka i Hypoteza.djvu/47

 Roztrząsając zresztą określenia i dowodzenia geometryi, przekonywamy się, że zachodzi konieczność przyjęcia bez dowodu nietylko możliwości tego ruchu, ale nadto niektórych jego własności.
 Wynika to przedewszystkim z samego określenia linii prostej. Istnieje wiele wadliwych określeń tej linii, prawdziwą wszakże jest poniższa, tkwiąca domyślnie we wszystkich dowodzeniach, do których wchodzi linia prosta:
 »Może się zdarzyć, że ruch figury niezmiennej odbywa się w sposób taki, iż wszystkie punkty pewnej linii, należącej do tej figury, pozostają nieruchome, gdy wszystkie punkty poza tą linią leżące poruszają się. Linia taka nazywać się będzie linią prostą«. Rozmyślnie oddzieliliśmy, w tym sformułowaniu, określenie od związanego z nim pewnika.
 Wiele dowodzeń — np. rozmaitych wypadków równości trójkątów, możliwości opuszczenia prostopadłej do danej prostej z danego punktu — przypuszcza domyślnie twierdzenia, których wyraźnego sformułowania oszczędzamy sobie; opierają się one bowiem na założeniu, że możliwe jest przeniesienie w pewien sposób figury w przestrzeni.

 Czwarta geometrya. — Z pośród tych pewników domyślnych jeden zdaje nam się zasługiwać na uwagę, gdyż odrzucenie go pozwala na zbudowanie czwartej geometryi, równie logicznie spójnej, jak geometrye Euklidesa, Łobaczewskiego i Riemanna.
 Aby dowieść, że można zawsze wznieść w punkcie A prostopadłą do danej prostej AB, rozważa się prostą AC, ruchomą dokoła punktu A i zlewającą się pierwotnie z prostą stałą AB i każe się jej obracać dokoła punktu A aż przystanie ona do przedłużenia AB.
 Czyni się przytym dwa założenia: naprzód, że obrót taki jest możliwy, powtóre, że można go dokonywać, póty aż jedna z prostych stanie się przedłużeniem drugiej.
 Przyjmując pierwsze założenie, a odrzucając drugie, otrzymalibyśmy szereg twierdzeń dziwniejszych jeszcze niż twier-