Rozważajmy pewną płaszczyznę, którą nazwiemy płaszczyzną podstawową i sporządźmy pewnego rodzaju słownik, w którym każdemu wyrazowi, wpisanemu do jednej kolumny, będzie odpowiadał wyraz wpisany do drugiej, zupełnie tak jak w zwykłych słownikach odpowiadają sobie wyrazy dwóch języków, posiadające to samo znaczenie:
| Przestrzeń ... | Część przestrzeni, leżąca nad płaszczyzną podstawową. |
| Płaszczyzna .. | Kula przecinająca normalnie płaszczyznę podstawową. |
| Prosta ..... | Koło przecinające pod kątem prostym płaszczyznę podstawową. |
| Kula ...... | Kula. |
| Koło ...... | Koło. |
| Kąt ....... | Kąt. |
| Odległość dwóch punktów .... |
Logarytm stosunku anharmonicznego tych dwóch punktów oraz przecięć płaszczyzny podstawowej z kołem, przechodzącym przez te dwa punkty i przecinającym ją pod kątem prostym; i t. d. i t. d. |
Weźmy następnie twierdzenia Łobaczewskiego i przetłumaczmy je zapomocą tego słownika tak, jakbyśmy przetłumaczyli tekst niemiecki zapomocą słownika niemiecko-francuskiego. Otrzymamy w ten sposób twierdzenia geometryi zwykłej.
Naprzykład twierdzenie Łobaczewskiego: »suma kątów trójkąta jest mniejsza od dwóch prostych« w tłumaczeniu takim brzmi: »Jeżeli boki trójkąta krzywolinijnego są łukami kół, które w przedłużeniu przecięłyby pod kątami prostemi płaszczyznę podstawową, suma kątów tego trójkąta krzywolinijnego będzie mniejsza, niż dwa proste«. Tak tedy, jakkolwiek daleko posuniemy się w wyprowadzaniu wniosków z założeń Łobaczewskiego, nie trafimy nigdy na sprzeczność.
