też dla n, skąd się wnosi, że jest prawdziwe dla wszystkich liczb całkowitych. Widzieliśmy powyżej, jak można się nim posługiwać dla dowiedzenia prawideł dodawania i mnożenia, to jest prawideł rachunku algebraicznego; rachunek ten jest narzędziem przekształcania, nadającym się do znacznie większej rozmaitości kombinacyi niż prosty sylogizm; ale jest to również narzędzie czysto analityczne, niezdolne do powiedzenia nam czegoś nowego. Gdyby matematyka nie rozporządzała żadnym innym, zatrzymałaby się rychło w swym rozwoju; lecz ucieka się ona znowu do tego samego postępowania, t. j. do rozumowania przez rekurencyę, i w ten sposób może postępować naprzód.
Przy baczniejszej nieco uwadze, odnajdujemy ten sposób rozumowania na każdym kroku, bądź w postaci prostej, którąśmy mu powyżej nadali, bądź w postaci mniej lub bardziej zmienionej.
Jest to więc rozumowanie matematyczne par excellence, i dlatego wypada nam bliżej je rozpatrzeć.
Cechą istotną rozumowania przez rekurencyę jest, że zawiera ono zgęszczoną, że tak powiem w jedną formułę nieskończoną ilość sylogizmów.
Aby lepiej to uwydatnić wypowiedzmy jedne po drugich te sylogizmy, układające się — że użyjemy wyrażenia obrazowego — w kaskadę.
Są to rozumie się, sylogizmy hypotetyczne.
| Twierdzenie jest prawdziwe dla liczby 1. | |
| Jeżeli zaś jest prawdziwe dla 1, to jest prawdziwe i dla 2. | |
| A więc jest prawdziwe dla 2. | |
| Jeżeli zaś jest prawdziwe dla 2, to jest prawdziwe dla 3. | |
| A więc jest prawdziwe dla a, i tak dalej. |
