Stary to spór; już Leibniz usiłował dowieść, że 2 i 2 daje 4; rozpatrzmy nieco bliżej jego dowodzenie.
Przypuśćmy, że określono liczbę 1 oraz działanie x + 1, które polega na dodaniu jedności do danej liczby x.
Określenia te, jakakolwiek jest ich treść, nie będą występowały w dalszym ciągu rozumowania.
Określam następnie liczby 2, 3 i 4 zapomocą równości:
Określam podobnież działanie x + 2 przez równość:
To założywszy mamy
| 2 + 2 = (2 + 1) + 1 | (określenie 4) |
| (2 + 1) + 1 = 3 + 1 | (określenie 2) |
| 3 + 1 = 4 | (określenie 3) |
skąd wypływa
| 2 + 2 = 4 | c. b. d. d. |
Niepodobna zaprzeczyć, że rozumowanie to jest czysto analityczne. Zapytajcie jednak o to jakiegokolwiek matematyka, a odpowie wam: »Nie jest to dowodzenie we właściwym znaczeniu słowa, lecz tylko sprawdzenie«. Ograniczono się do zestawienia dwóch określeń czysto konwencyonalnych i stwierdzono ich tożsamość; nie dowiedziano się niczego nowego. Sprawdzenie różni się od prawdziwego dowodzenia tym właśnie, że jest czysto analityczne i że jest jałowe. Jest jałowe, gdyż wniosek jest tylko przekładem na inny język treści zawartej w przesłankach. Dowodzenie prawdziwe jest natomiast płodne, ponieważ wniosek, do jakiego prowadzi jest poniekąd ogólniejszy niż przesłanki.
Równość 2 + 2 = 4 może być poddana sprawdzeniu dlatego tylko, że jest szczególną. Każde twierdzenie szczególne w matematyce będzie zawsze nadawało się do takiego rodzaju sprawdzenia. Gdyby wszakże matematyka miała się
