Tablica pochodnych

Podstawowe wzory

• Niech $f,\;g,\;h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będą różniczkowalne na zbiorze otwartym $U\;$, zaś $c\;$ będzie stałą. Zachodzą wtedy poniższe wzory (poprawne również dla funkcji o argumentach i wartościach zespolonych):

Funkcja	Pochodna
$f\pm g$	$f^{\prime }\pm g^{\prime }$
$c\cdot f$	$c\cdot f^{\prime }$
$f\cdot g$	$f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$
$f\cdot g\cdot h$	$f^{\prime }\cdot g\cdot h+f\cdot g^{\prime }\cdot h+f\cdot g\cdot h^{\prime }$
${f \over g}$	${{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }} \over g^{2}}\quad ^{1)}$
$g\circ f=g(f)$	$(g^{\prime }\circ f)\cdot f^{\prime }=g^{\prime }(f)\cdot f^{\prime }\quad ^{2)}$
$\left.\ln f\right.$	$f^{\prime } \over f$
$\quad f^{c}$	$c\cdot f^{c-1}\cdot f^{\prime }$
$\quad f^{g}$	$f^{g}\left({f^{\prime }g \over f}+g^{\prime }\ln f\right)\quad ^{3)}$

$^{1)}\,$ Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze $\{x\in U:g(x)\neq 0\}$.
$^{2)}\,$ W tym wypadku zakładamy, że $f\,$ jest różniczkowalna na $U\,$ oraz $g\,$ jest różniczkowalna na $f(U)\,$.
$^{3)}\,$ $\quad f>0$

Pochodne funkcji elementarnych

W tabelce poniżej x to zawsze zmienna, a wszystkie inne litery to stałe.

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c\,$	$0\,$
$x\,$	$1\,$
$x^{n}\,$	$nx^{n-1}\,$	$n\in \mathbb {R} \setminus \{1\}\qquad ^{4)}$
$ax+b\,$	$a\,$
$ax^{2}+bx+c\,$	$2ax+b\,$
${a \over x}=a\cdot x^{-1}$	$-{a \over x^{2}}=-1\cdot a\cdot x^{-2}\,$	$x\neq 0\,$
$\sin x\,$	$\cos x\,$
$\cos x\,$	$-\sin x\,$
$\operatorname {tg} \ x\,$	$\operatorname {sec} ^{2}\ x={1 \over \cos ^{2}x}\,$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi ,\;k\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {ctg} \ x\,$	$-\operatorname {csc} ^{2}\ x=-{1 \over \sin ^{2}x}\,$	$x\not =k\pi ,\;k\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {sec} \ x\,$	$\operatorname {tg} \ x\ \operatorname {sec} \ x\,$	$x\neq {\pi \over 2}+k\pi ,\;k\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {csc} \ x\,$	$-\operatorname {ctg} \ x\ \operatorname {csc} \ x\,$	$x\not =k\pi ,\;k\in \mathbb {Z}$
$e^{x}\,$	$e^{x}\,$
$a^{x}\,$	$a^{x}\ln a\,$	$a>0\,$
$x^{x}\,$	$x^{x}(1+\ln x)\,$	$x>0\,$
$\ln x\,$	$1 \over x\,$	$x>0\,$
$\log _{a}x\,$	$1 \over x\ln a\,$
$\operatorname {arc\,sin} \ x\,$	$1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}\,$	$|x|<1\,$
$\operatorname {arc\,cos} \ x\,$	$-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\,$	$|x|<1\,$
$\operatorname {arc\,tg} \ x\,$	$1 \over 1+x^{2}\,$
$\operatorname {arc\,ctg} \ x\,$	$-{1 \over 1+x^{2}}\,$
$\operatorname {arc\,sec} \ x\,$	${\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\,$	$|x|>1\,$
$\operatorname {arc\,csc} \ x\,$	$-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\,$	$|x|>1\,$
${\sqrt {x}}\,$	$1 \over 2{\sqrt {x}}\,$	$x>0\,$
${\sqrt[{n}]{x}}\,$	$1 \over n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}\,$	$x>0\,$
$\operatorname {sinh} \ x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}\,$	$\operatorname {cosh} \ x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}\,$
$\operatorname {cosh} \ x={{e^{x}+e^{-x}} \over 2}\,$	$\operatorname {sinh} \ x={{e^{x}-e^{-x}} \over 2}\,$
$\operatorname {tgh} \ x={\operatorname {sinh} \ x \over \operatorname {cosh} \ x}\,$	$\operatorname {sech} ^{2}\ x={\tfrac {1}{\operatorname {cosh} ^{2}\ x}}={\tfrac {4}{(e^{x}+e^{-x})^{2}}}\,$
$\operatorname {ctgh} \ x={\frac {\operatorname {cosh} \ x}{\operatorname {sinh} \ x}}\,$	$-\operatorname {csch} ^{2}\ x=-{\tfrac {1}{\operatorname {sinh} ^{2}\ x}}=-{\tfrac {4}{(e^{x}-e^{-x})^{2}}}\,$	$x\neq 0\,$
$\operatorname {sech} \ x={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}\,$	$-\operatorname {tgh} \ x\ \operatorname {sech} \ x\,$
$\operatorname {csch} \ x={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}\,$	$-\operatorname {ctgh} \ x\ \operatorname {csch} \ x\,$	$x\neq 0\,$
$\operatorname {ar\,sinh} \ x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\,$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\,$
$\operatorname {ar\,cosh} \ x=\ln(x+{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}})\,$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,$	$x>1\,$
$\operatorname {ar\,tgh} \ x={\frac {1}{2}}\ln {1+x \over 1-x}\,$	$1 \over 1-x^{2}\,$	$|x|<1\,$
$\operatorname {ar\,ctgh} \ x={\frac {1}{2}}\ln {x+1 \over x-1}\,$	$1 \over 1-x^{2}\,$	$|x|>1\,$
$\operatorname {ar\,sech} \ x=\ln \left({\sqrt {{\tfrac {1}{x}}-1}}{\sqrt {{\tfrac {1}{x}}+1}}+{\tfrac {1}{x}}\right)\,$	${\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\qquad ^{5)}\,$	$x\in (0;1)\,$
$\operatorname {ar\,csch} \ x=\ln \left({\sqrt {1+{\tfrac {1}{x^{2}}}}}+{\tfrac {1}{x}}\right)\,$	${\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\qquad ^{5)}\,$	$x\neq 0\,$
$\ln(x+{\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}})\,$	$1 \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2}}}\,$

${}^{4)}\;$ Dla $n=1$ wzór jest też poprawny, ale z wyjątkiem punktu $x=0,$ w którym pochodna istnieje, ale podany wzór nie jest określony.

${}^{5)}\;$ W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast także w dziedzinie zespolonej.