Tablica pochodnych

Podstawowe wzory

Niech $f, g, h : ℝ \to ℝ$ będą różniczkowalne na zbiorze otwartym $U$ , zaś $c$ będzie stałą. Zachodzą wtedy poniższe wzory (poprawne również dla funkcji o argumentach i wartościach zespolonych):

Funkcja	Pochodna
$f \pm g$	$f^{'} \pm g^{'}$
$c \cdot f$	$c \cdot f^{'}$
$f \cdot g$	$f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}$
$f \cdot g \cdot h$	$f^{'} \cdot g \cdot h + f \cdot g^{'} \cdot h + f \cdot g \cdot h^{'}$
$\frac{f}{g}$	$\frac{f^{'} \cdot g - f \cdot g^{'}}{g^{2}}^{1)}$
$g \circ f = g (f)$	$(g^{'} \circ f) \cdot f^{'} = g^{'} (f) \cdot f^{'}^{2)}$
$\ln f$	$\frac{f^{'}}{f}$
$f^{c}$	$c \cdot f^{c - 1} \cdot f^{'}$
$f^{g}$	$f^{g} (\frac{f^{'} g}{f} + g^{'} \ln f)^{3)}$

$^{1)}$ Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze ${x \in U : g (x) \neq 0}$ .
$^{2)}$ W tym wypadku zakładamy, że $f$ jest różniczkowalna na $U$ oraz $g$ jest różniczkowalna na $f (U)$ .
$^{3)}$ $f > 0$

Pochodne funkcji elementarnych

W tabelce poniżej x to zawsze zmienna, a wszystkie inne litery to stałe.

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	$n \in ℝ ∖ {1}^{4)}$
$a x + b$	$a$
$a x^{2} + b x + c$	$2 a x + b$
$\frac{a}{x} = a \cdot x^{- 1}$	$- \frac{a}{x^{2}} = - 1 \cdot a \cdot x^{- 2}$	$x \neq 0$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$- \sin x$
$tg x$	$\sec^{2} x = \frac{1}{\cos^{2} x}$	$x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$
$ctg x$	$- \csc^{2} x = - \frac{1}{\sin^{2} x}$	$x ≠ k π, k \in ℤ$
$\sec x$	$tg x \sec x$	$x \neq \frac{π}{2} + k π, k \in ℤ$
$\csc x$	$- ctg x \csc x$	$x ≠ k π, k \in ℤ$
$e^{x}$	$e^{x}$
$a^{x}$	$a^{x} \ln a$	$a > 0$
$x^{x}$	$x^{x} (1 + \ln x)$	$x > 0$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$\log_{a} x$	$\frac{1}{x \ln a}$
$a r c s i n x$	$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\| x \| < 1$
$a r c c o s x$	$- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$	$\| x \| < 1$
$a r c t g x$	$\frac{1}{1 + x^{2}}$
$a r c c t g x$	$- \frac{1}{1 + x^{2}}$
$a r c s e c x$	$\frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$	$\| x \| > 1$
$a r c c s c x$	$- \frac{1}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}$	$\| x \| > 1$
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$	$x > 0$
$\sqrt[n]{x}$	$\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n - 1}}}$	$x > 0$
$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$	$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$
$\cosh x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$	$\sinh x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$
$tgh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$	${sech}^{2} x = \frac{1}{\cosh^{2} x} = \frac{4}{(e^{x} + e^{- x})^{2}}$
$ctgh x = \frac{\cosh x}{\sinh x}$	$- {csch}^{2} x = - \frac{1}{\sinh^{2} x} = - \frac{4}{(e^{x} - e^{- x})^{2}}$	$x \neq 0$
$sech x = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$	$- tgh x sech x$
$csch x = \frac{2}{e^{x} - e^{- x}}$	$- ctgh x csch x$	$x \neq 0$
$a r s i n h x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
$a r c o s h x = \ln (x + \sqrt{x - 1} \sqrt{x + 1})$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$	$x > 1$
$a r t g h x = \frac{1}{2} \ln \frac{1 + x}{1 - x}$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$	$\| x \| < 1$
$a r c t g h x = \frac{1}{2} \ln \frac{x + 1}{x - 1}$	$\frac{1}{1 - x^{2}}$	$\| x \| > 1$
$a r s e c h x = \ln (\sqrt{\frac{1}{x} - 1} \sqrt{\frac{1}{x} + 1} + \frac{1}{x})$	$\frac{- 1}{x (x + 1) \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}}^{5)}$	$x \in (0; 1)$
$a r c s c h x = \ln (\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}} + \frac{1}{x})$	$\frac{- 1}{x^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}^{5)}$	$x \neq 0$
$\ln (x + \sqrt{x^{2} \pm a^{2}})$	$\frac{1}{\sqrt{x^{2} \pm a^{2}}}$

$^{4)}$ Dla $n = 1$ wzór jest też poprawny, ale z wyjątkiem punktu $x = 0,$ w którym pochodna istnieje, ale podany wzór nie jest określony.

$^{5)}$ W niektórych z powyższych wzorów możliwe są uproszczenia, ale dotyczą one tylko dziedziny rzeczywistej. Podane wzory działają natomiast także w dziedzinie zespolonej.