Dyskusja indeksu:Pojęcia i metody matematyki (Dickstein)

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

POJĘCIA I METODY MATEMATYKI. POJĘCIA I METODY MATEMATYKI.
NAPISAŁ
S DICKSTEIN.
Matematyka jest to królowa wszystkich nauk: jéj oblubieńcem jest prawda, a prostość i oczywistość jéj strojem.
Jan Śniadecki.
TOM PIERWSZY.
CZĘŚĆ PIERWSZA.
TEORYA DZIAŁAŃ.
WARSZAWA.
WYDAWNICTWO REDAKCYI PRAC MATEMATYCZNO-FIZYCZNYCH
SKŁAD GŁÓWNY W KSIĘGARNI GEBETHNERA I WOLFFA.
1891.
PAPIER Z PAPIERNI W JEZIORNIE.
DRUK J. SIKORSKIEGO ROD ZARZĄDEM A. SAŁADYCKIEGO, W WARSZAWIE, WARECKA 14.
SKŁADAŁ W. SKHZYCKJ.
SPIS RZECZY.
WSTĘP.
1. Przedmiot Matematyki 1
2. Wielkość 0
3. Formy przerywane i ciągle 15
4. System Matematyki 18
5. Matematyka i Logika 21
6. Analiza i synteza 23
7. Zasada zachowania i warunki stosowalności działań formalnych 27 Przypisy
ROZDZIAŁ I.
LICZBY CAŁKOWITE.
8. Działania proste 45
9. Działania odwrotne 51
10. Liczby nadskończone 55
Przypisy 58
ROZDZIAŁ II.
TEOKYA DZIAŁAŃ FORMALNYCH.
11. Teorya Grassmanna i Ilankela 67
12. Teorya Dedekinda 85
Przypisy 92
ROZDZIAŁ III.
LICZNY UŁAMKOWE.
13. Teorye działań nad ułamkami 101
14. Wielkość ułamka. Mnogość liczb ułamkowych 105
Przypisy 107 ROZDZIAŁ IV.
LICZBY UJEMNE.
15. Rozwój pojęć o liczbach ujemnych 110
16. Teorye działań nad liczbami ujemnemi 112
17. Wielkość liczb ujemnych. Mnogość tychże 114
Przypisy 115
ROZDZIAŁ V.
LICZBY ZESPOLONE ZWYCZAJNE.
18. Rozwój pojęć o liczbach urojonych 122
19. Teorye działań nad liczbami urojonemi 125
20. Normy, wartości bezwzględne i mnogość liczb urojonych . . 132 Przypisy 134
ROZDZIAŁ VI.
LICZBY ZESPOLONE WYŻSZE.
21. Rozwój pojęć o liczbach nadurojonych 137
22. Teorya Weierstrassa 142
23. Pojęcia zasadnicze metody Grassmanna 151
24. Gatunki mnożenia według Grassmanna 153
25. Mnożenie zewnętrzne 157
26. Wyznaczniki 159
27. Iloczyny odniesione do dziedziny głównej 165
28. Mnożenie wewnętrzne 169
29. Mnożenie środkowe 170
30. Kwaterniony Hamiltona 171
31 Działania nad wektorami 180
Przypisy 183
ROZDZIAŁ VII.
FUNKCYE CAŁKOWITE.
32. Określenia 193
33. Twierdzenie zasadnicze 198
34. Iloraz funkcyj całkowitych 200
35. Największy wspólny dzielnik 205
36. Rozkład funkcyi całkowitéj według potęg innej 209
37. Funkcye symetryczne 210
38. Pochodne funkcyi całkowitej 228
39. Wzór Taylora 238
40. Różnice funkcyi całkowitej 241
41. Wzór interpolacyjny L a g r a n g e'a 250
42. "Prawo najwyższe., Wrońskiego 255
Przypisy 26<> WSTĘP.
o
I)ie Matlieniatik ist iii ihrer Entwickcluilg villiię frei und nur an die selbstredende RUcksieht gebundeu, dass ihre Begriffe sowohl an sich wiederspruehlos słnd ais a u uh in festcn durch Definitionen gcordnetcn IJeziehunęen zu den vorher gcbildctcn bereits vorhandenen und bewiihrtcn UegrllTeii stehcn.
(i. Caulor.
1. rnZICDMIOT MATEMATYKI.
Bogactwo treści najściślejszéj wiedzy ludzkiéj, jaki], jest Matematyka, stanowiąca świat odrębny pojęć, odźwierciadlających w sobie wiekową, pracę ducha ludzkiego nad trudnemi zagadnieniami bytu, nic da się zawrzeć w kilku słowach wstępnego określenia; przytaczając więc niżéj niektóre z częściéj napotykanych określeń Matetematyki, musimy zastrzedz z góry, że żadne z nich nie jest wystarczaj ącem, bo właściwe zadanie nauki dopiero przy wykładzie jéj pojęć i metod najlepiéj uwydatnić się daje.
1
Matematyka jest nauką o wielkościach — oto najpospolitsza z napotykanych definicyj. Jest ona wszakże niezupełną, bo nie wszystkie twory Matematyki są wielkościami i nie we wszystkich jéj badaniach idzie o związki pomiędzy wielkościami. [O wielkości mówimy obszerniéj w następnym artykule]. Nauka kombinacyi np. nie ma nic do czynienia bezpośrednio z wielkościami, a do takich np. tworów, jak liczby urojone i nadurojone, nie można wprost stosować pojęcia wielkości. I Geometrya w wielu badaniach swych obywa się zupełnie bez pojęcia miary wielkościowej
rojęda. r. i.
Do następujących typów głównych sprowadzają się wszystkie twory lub formy badań matematycznych2. Do pierwszego typu należą liczby, a więc przedewszystkiem liczby całkowite, stanowiące zasadniczy materyał Arytmetyki, następnie wszystkie inne rodzaje liczb, które drogą uogólnienia działań powstają, a więc liczby ułamkowe, ujemne, urojone, nadurojone, liczby idealne Ku mm era, "ideały „ Dedekinda; liczby nieskończenie wielkie i nieskończenie małe, nadskończone (transfinite) G. C a n t o r a, wymierne i niewymierne, algebraiczne i przestępne. Daléj należą tu funkcye matematyczne, wyobrażające w jednem pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzą liczby, zmieniające swą wartość w zależności od innych liczb.
Do typu drugiego należą formy geometryczne, t. j. ciała geometryczne trójwymiarowe, formy dwu i jednowymiarowe, punkt geometryczny, oraz ogólniejsze formy rozmaitościowe czyli przestrzenie wielowymiarowe; daléj układy czyli kombinacyc rozmaitych form. i formy, wyobrażające w jednem pojęciu szeregi stanów, przez jakie przechodzi pewna forma geometryczna lub układy podobnych form.
Do trzeciego wreszcie typu należą rozmaite formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk, jak formy foronomiczne, mechaniczne, fizyczne i t. p.
Na pierwszy rzut oka zdaje się. że objęcie tych różnorodnych przedmiotów jedną nauką odbiera tejże charakter jednolitości: liczby bowiem zdają się być czemś zupełnie rożnem od form geometrycznych, te zaś różnią się zasadniczo od tworów, cechujących zjawiska. Rozwój nauki, jak to zobaczymy, zbliża wszakże do siebie te różnorodne początkowo dziedziny.
11
9
WSTĘP.
I tak pojęcie liczby przez uogólnianie prowadzi kolejno od liczb całkowitych dodatnych z jednéj strony do urojonych i nadurojonych, z drugiéj zaś strony do niewymiernych i przestępnych. Tworzenie liczb urojonych i nadurojonych odpowiada wprowadzeniu do nauki o liczbach wymiarowości, stanowiącéj cechę tworów geometrycznych. Tworzenie zaś liczb niewymiernych i przestępnych i w ogóle uważanie całego continuum liczb odpowiada ciągłości, uważanéj za cechę pierwotną form geometrycznych. Tak więc przy pomocy liczb dają się przedstawić formy geometryczne i obie różne napozór dziedziny jednoczą metody badania form analitycznych. Na odwrót, formy geometryczne służyć mogą do przedstawienia wła ściwości form liczbowych. Daléj znów badanie zjawisk prowadzi do konstrukcyj analityczny ch i geometrycznych.
Prócz tego, jedność i jednolitość Matematyki jest ugruntowaną na jednolitości genezy psychologicznéj jéj form. Formy matematyczne powstają przedewszystkiem za*pomocą abstrakcyi z przedmiotów doświadczenia, po usunięciu wszelkiéj ich treści specyficznéj, z zachowaniem wszakże syntezy tych aktów świadomości, które współdziałały przy abstrakcyi. Tak np. wielość przedmiotów doprowadza przez abstrakcyą do liczb całkowitych, gdy odwracając uwagę od wszelkich właściwości przedmiotów, jedynie przy pomocy syntezy aktów, które przy abstrakcyi współdziałały, tworzymy formy, będące odbiciem umysłowem wielości spostrzeżonéj. Od ciał fizycznych o różnéj postaci abstrakcya doprowadza do form geometrycznych, które są właśnie ową postacią, od treści oderwaną.
Taki sam proces doprowadza do pojęcia przestrzeni, obejmującéj w sobie wyobrażalne utwory geometryczne, a także do pojęcia czasu, będącego formą następstwa zjawisk.
Opisany wyżéj proces nie wystarcza wszakże do tworzenia form wszystkich; albowiem umysł z jednéj strony kombinuje i łączy formy; z drugiéj zaś strony uogólnia formy raz utworzone i dochodzi tym sposobem do form nowych, nie będących bezpośrednio odwzorowaniem przedmiotów lub zjawisk. Tak np. od układu liczb rzeczywistych o jednéj jednostce zasadniczéj przechodzi do liczb urojonych lub zespolonych o dwu lub więcéj takich jednostkach: przestrzeń trójwymiarową uogólnia, tworząc rozmaitość wielowymiarową, Postępowanie w tym razie jest tak sarno uzasadnionem jak i abstrakcya, która z przestrzeni trójwymiarowéj prowadzi do dwu lub jednowymiarowéj. Wprowadza ono wprawdzie twory niewyobrażalne wprost, ale wyobrażalność, w zwykłem znaczeniu tego wyrazu, nie stanowi zasadniczéj cechy pojęć matematycznych. Pojęcia bez poglądu są puste, powiedział Kant, ale w tym, jak i w innych przypadkach, poglądowość czyli wyobrażalność dostatecznie wynagradza ogół tych cech, któremi dane pojęcie określamy. Tworzenie form podobnych, ogólniejszych od form pierwotnych, przez abstrakcyą utworzonych, stanowi właśnie cechę właściwą Matematyce i jest jednym z najważniejszych czynników jéj rozwoju.
«1
1]
PRZEDMIOT MATEMATYKI.
Winniśmy wprawdzie na samym wstępie zaznaczyć, co dokładniéj przedstawionym będzie w dalszym wykładzie, że uogólnianie pojęć matematycznych może być podjęte dwojako. Można bowiem z jednéj strony uważać pojęcia uogólnione, jako odpowiadające formom istotnie nowym, mającym w dziedzinie badania takie same prawa bytu, jakie mają pojęcia form pierwotnie wprowadzonych; albo też można widzieć w formach uogólnionych tylko nowe związki, w jakie wprowadzamy formy pierwotne, czyli nowe a raczéj uogólnione działania. Tak np. można uważać liczby ujemne, urojone, niewymierne i t. p. za nowe rodzaje liczb, mające taką samą samodzielność, jaką mają liczby całkowite; przestrzenie czyli rozmaitości wielowymiarowe można uważać za uprawnione z przestrzenią zwykłą, euklidesową; albo też widzieć w nowych liczbach formy, pod jakiemi liczby całkowite dodatnie wchodzą do związków i do rozumowania, a w nowych przestrzeniach —przestrzeń zwykłą, przy przyjęciu za element nie punktu, lecz innego tworu geometrycznego. Lecz przy jednym zarówno jak i przy drugim sposobie uważania, Matematyka wznosi się po nad dziedzinę pierwotną, uogólniając raz pojęcie tworów, drugi raz pojęcie działań. Wybór pomiędzy jednym a drugim sposobem uważania zależy od poglądu teoretyczno-poznawczego na podstawy Matematyki. W saméj Matematyce oba sposoby uważania są równouprawnione i każdy z nich w sposób sobie właściwy prowadzi do wyników prawdziwych.
Ta dowolność tworzenia form w Matematyce nasuwa nawet pogląd, że w téj nauce umysł sam sobie stwarza przedmioty badania, bez żadnego udziału doświadczenia, że, jak powiada II. Grassmann:3 "Matematyka jest nauką o bycie szczególnym, który stał się przez myślenie,,, i że tem różni się od nauk realnych, których przedmiotem jest byt zewnętrzny, przeciwstawiający się myśleniu. Winniśmy wprawdzie nadmienić, że to określenie stosuje Grassmauii do Matematyki czystéj, z któréj wyłącza Geometryą, zaliczając ją wraz z Foronomią i Mechaniką do nauk stosowanych (porównaj art. 4.).
4

USTKI'.
Kant4 uważa formy matematyczne za konstrukcye „wewnątrz czasu,., gdy są liczbami, lub "wewnątrz przestrzenią, gdy są formami geometrycznemu Przestrzeń i czas są według niego "formami poglądu a priori „, od wszelkiego doświadczenia niezalcżnemi; stąd twierdzenia Matematyki zasadnicze są prawami koniecznemi i powszechnemi. Z tego wszakże, że wszystkie zjawiska uważamy, jako zachodzące w przestrzeni i w czasie, nie wynika jeszcze, aby formy matematyczne były tylko konstrukcyami wewnątrz przestrzeni i czasu; przeciwnie pojęcia matematyczne są ogólniejsze od pojęcia przestrzeni i czasu: czas jest jednym z przykładów formy jednowymiarowéj, przestrzeń przykładem formy trójwymiarowéj. Liczenie odbywa się w czasie, ale liczba — wytwór liczenia —nie ma w sobie nic z pojęcia czasu; formy geometryczne wyobrażamy sobie w przestrzeni, ale pojęcie rozmaitości wielowymiarowéj nie koniecznie mieć winno ccchy przestrzenne.
Wroński, którego poglądy na całość badań matematycznych postaramy się w książce naszéj przedstawić, w podstawowem swem dziele o filozofiii Matematyki5 w tworzeniu jéj zasad idzie za Kantem. Matematyką nazywa on naukę o wielkości, uważanéj intuicyjnie [poglądowo]; wielkością jest u niego, jak i u Kanta, "stan przedmiotu uważanego z punktu widzenia syntezy tego, co zawiera w sobie jednorodnego,.. Inaczéj mówiąc, przedmiotem Matematyki jest forma t. j. sposób bytu natury czyli świata zewnętrznego, gdy przeciwnie treść tego bytu jest przedmiotem Fizyki. Formą świata zewnętrznego, powstającą ze stosowania praw transcendentalnych zmysłowości do zjawisk, danych a posteriori, jest czas dla wszystkich, a przestrzeń dla przedmiotów zewnętrznych. Prawa czasu i przestrzeni są prawdziwym przedmiotem Matematyki. Prawa te mogą być uważane in concreto lub in abstracto; w pierwszym razie stanowią przedmiot Matematyki czystéj, w drugim — stosowanéj. Stosując do czasu, uważanego objektywnie za należący do zjawisk fizycznych, danych a posteriori, prawa transcendentalne poznania, a mianowicie prawo ilości, wzięte ogólnie, dojdziemy do pojęcia następstwa momentów, a w najwyższéj tegoż abstrakcyi do liczby. Stosując znowu to samo prawo do poglądu przestrzeni, jako należącéj do zjawisk fizycznych, danych a posteriori, dojdziemy do pojęcia "łączności,, (obokleżności, conjonction) punktów, a w najwyższéj tegoż abstrakcyi do pojęcia rozciągłości. Liczba i rozciągłość są więc ostatecznie przedmiotem Matematyki. To określenie W r o ń s k i e g o mogłoby być wystarczające i w dzisiejszym stanie wiedzy, jeżeli w niem liczbę uważać będziemy nie za związaną z następstwem momentów czasu, lecz jako formę zupełnie od czasu niezależną; pod nazwą zaś rozciągłości rozumieć będziemy nietylko formy przestrzcnue ale i ogólnie rozmaitości wielowymiarowe.
1J
O
L'KZEI)MJOT M A T EM AT V KI.
Twórca filozofii pozytywnéj. C o m t e, współczesny W r o ń s k i e mu, zbyt jednostronnie pojmował zadanie Matematyki. I Comte'a wprawdzie nie zadawalniało określenie Matematyki, jako nauki o wielkościach; niedostateczność wszakże określenia widział on nie w tem, że pojęcie wielkości nie obejmuje wszystkich pojęć matematycznych, lecz w tem, że nie wskazuje, o co w Matematyce idzie przy badaniu wielkości. Comte widzi cel Matematyki w mierzeniu wielkości, nie w mierzeniu wszakże zwykłem i bezpośredniém, które nie może stanowić jeszcze nauki, lecz w mierzeniu pośredniem, „w oznaczaniu jednych wielkości przez drugie, według związków ścisłych, jakie między niemi istnieją„ 6. DlaComt e'a Matematyka nie ma właściwie odmiennego zadania od nauk fizycznych, które również szukają związku pomiędzy wielkościami, zachodzącemi w zjawiskach; tylko że zjawiska, badane przez Matematykę, są bardziéj proste, a przedmioty jéj oderwane.
Ograniczenie Matematyki do roli nauki niejako pomocniczéj dla badań fizykalnych odejmuje jéj charakter wiedzy niezależnéj, powstającéj i rozwijającéj się o siłach własnych przez samodzielne tworzenie pojęć, nie zawsze bezpośrednio związanych z przedmiotem doświadczenia. Matematyka w rzeczy saméj zajmuje w systemie wiedzy ludzkiéj stanowisko odrębne. Badając przedmioty tylko ze względu na ich własności formalne, albo, jak mówi Wundt7, ze względu na porządek, a nie treść rozmaitości, danych w doświadczeniu, albo też, co na jedno wychodzi, ze względu na funkeye intelektualne przy spostrzeganiu przedmiotów, nie zaś ze względu na treść wrażeń zmysłowych, Matematyka jest nauką formalną i tem różni się od nauk doświadczalnych czyli realnych, w których do właściwości czysto formalnych przybywa szczególna jakość (ąualitas) elementów, t. j. najprostszych części składowych rozmaitości. Stosunek Matematyki i nauk doświadczalnych określić można w ten sposób, że "pierwsza ma za przedmiot to, co w doświadczeniu jest według warunków formalnych moźliicem, drugie to, co według formy i treści jest rzeczywistemn s. Wyjaśnienie tego stosunku wskażą niejednokrotnie dalsze artykuły.
2. WIELKOŚĆ.
I*
6
WSTĘP.
Nazwę wielkość spotykamy już u Euklidesa, według którego do wielkości zaliczą się formy geometryczne: linie, kąty, powierzchnie, ciała, oraz liczby całkowite, które mają następujące cechy wspólne: wielkości jednorodne można porównywać, dodawać, odejmować i dzielić na części. Według Hankela9, pojęcie "wielkość,, nie potrzebuje wcale definicyi metafizycznéj, ale tylko wyjaśnienia. Wielkością nazywa 011 każdy przedmiot, który jest większy, mniejszy lub równy innemu przedmiotowi, który może być uwielokrotniony lub dzielony na części, albo, wyrażając się słowami Bolzano 10, "który należy do gatunku rzeczy, z których dwie którekolwiek M i N nie mogą mieć nigdy innego stosunku, jak ten, że są albo równe, albo jedna jest sumą zawierającą jednę z nich jako część". Szeroko rozwodzi się nad pojęciem wielkości P. Dubois-Rey111 o nd11, którego wywody postaramy się tu streścić.
Nie wszystkie szeregi wyobrażeń, z jakiemi można wykonywać działania matematyczne, podpadają pod zwykłe określenie wielkości, t. j. nie wszystkie dają się porównywać liczebnie, jak np. długości lub ciężary. Wielkością matematyczna jest ogół (Inbegriff) następstwa takich tylko wyobrażeń, o którym powiedzieć można, że 1. każde pojedyńcze wyobrażenie ma w tem następstwie miejsce dostatecznie określone; 2. pomiędzy wielkościami danego następstwa lub też pomiędzy wyobrażeniami, należącemi do innych ustalonych następstw, istnieją związki, które mogą być kombinowane w nowe związki. Trzeba przyznać, że to określenie, będące abstrakcyjnem przedstawieniem znanych cech każdéj wielkości, podlegającéj porównaniu z innemi, nie jest wcale jasnera; zresztą nie zadawalnia ono i samego autora, który widzi w niem "produkt dyplomatycznéj sztuki definicyi, nie dający wcale poznać ani zakresu ani treści tak delikatnego i bogato rozwiniętego pojęcia wielkości,,. Jak nie możemy poznać, powiada trafnie Dubois-Reymond, nowéj formy zwierzęcéj, oznaczając liczbę płaszczyzn, która ją w sobie zamyka, tak samo powyższa definicya nie daje nam poznać, czem jest wielkość matematyczna i czem różni się od wielkości niematematycznéj. Szuka przeto Dubois-Reymond tego pojęcia we wszystkich dziedzinach, w których je przypuszczalnie znaleźć może, i bada następnie, co wszystkie przypadki mają w sobie wspólnego.
W przeglądzie tym znajduje najprzód wielkość matematyczną w Liczbie, jako w w przerywanéj, która się wprawdzie różni za
21
7
WIELKOŚĆ.
sadniczo od wielkości ciągłéj, jaką naprzykład widzimy w linii geometrycznéj, [o formach ciągłych i przerywanych mówić będziemy wart 3.], ale różnicę tę usuwa powoli rozwój Matematyki, gdyż wielkość ciągła, aby mogła być mierzoną, poddaną być musi pod pojecie liczbowe. Przykładem wielkości matematycznych ciągłych są długości, powierzchnie, objętości, ciężary, czas, prędkość, siła, ilość ciepła, natężenie światła, napięcie elektryczne, siła prądu elektrycznego itd. Typem wszystkich tych wielkości może być odcinek linii prostéj. Jak odcinki mogą być dodawane i dzielone na części, jak różnice odcinków, wielokrotności i części tychże nie zmieniają swéj natury, dają się porównywać, powiększać i zmniejszać, podobnie i każda z wymienionych wielkości te same własności posiada. Z tego powodu nazywa je wszystkie wielkościami matematyczne mi linearnemi. Do tych wielkości należą, według niego, nie tylko wielkości, wzięte ze świata zewnętrznego, ale i takie, do których prowadzi badanie życia psychicznego, a więc np. wrażenia, jako stopniujące się w zależności od podrażnienia zewnętrznego. Cała dziedzina Psychofizyki opiera się właśnie na téj możliwości zaliczenia wielkości badanych do szeregu wielkości linearnych.
Do wielkości nielinearnych, należących do dziedziny badania matematycznego, zalicza D u b o i s-R e y m o n d przedewszystkiem wielkości, "powstające ze stosowania działań matematycznych po za granicami naturalnéj ich stosowalnością, albo przy pomocy analogij. "którym nie przypada w udziale żadne liczbowe znaczenie,,, jak np. wielkości urojone, lub pojęcie "nieskończoności funkcyjw. Do pierwszych nie przypada bezpośrednio pojecie większości lub mniejszości, które przenosimy do ich modułu12, przy drugich o większości lub mniejszości rozstrzyga nie różnica lecz iloraz. Jeżoli mimo to t-3 formy matematyczne nazywamy wielkościami, to tylko dlatego, że możemy wykonywać nad niemi rachunki tak sarno jak nad wicikościami linearnemi, rozumie się, przy pewnem ograniczeniu lub modyfikacyi zasadniczych praw działań. Takie wielkości nielinearne nazywa D u b o i s-R e y m o 11 d analityc.znemi.
Jest wreszcie trzecia katcgorya wielkości, różna zupełnie od poprzednich i nie nadająca się, według D u b o is R e y 111 o n d a, do traktowania matematycznego. Nazywa je 011 wielkościami giernemi [Spielgróssen]; w tych do elementu, który poddaje się rachunkowi, przybywa element niematematyczny "błędów myślenia,,.
Istotne własności wielkości linearnych zamyka D u b o i s-R e ymond w następujących określeniach:
i. Wielkości matematyczne linearne są albo równe albo nierówne. Równemi są wtedy, gdy ich objawy zmysłowe sprawiają zawsze to samo wrażenie przy tych samych warunkach. Jedna wielkość jest większa od drugiéj, gdy obraz zmysłowy jednéj może być zmieniony za pomocą "wyczerpania,, [t. j. przez kolejne zmniejszanie] w taki sposób, że zawrze w sobie całkowicie obraz drugiej; ale nie odwrotnie.
II. Żadna szczególna z wielkości linearnych danego gatunku [t.j. żaden odcinek z pomiędzy możliwych odcinków], nie posiada sam przez się pierwszeństwa przed innemi, i dlatego nie posiadamy wyobrażenia kresu [granicy], koniecznego tak dla małości jak i wielkości [Grossheit] którejkolwiek z nich.
III. Dwie lub więcéj wielkości tego samego gatunku, dodane do siebie, dają wielkość tego samego gatunku, większą od każdéj z części składowych. Każda wielkość może być dzielona na dowolną liczbę części, z których każda jest mniejsza od wielkości danéj.
iv. Jeżeli jedna wielkość jest większa od drugiéj, to istnieje zawsze trzecia wielkość tego samego gatunku, która, dodana do drugiéj, daje pierwszą.
v. Wielkości równe lub nierówne, z których najmniejsza nie ma być mniejszą od wielkości dowolnie małéj, można zawsze w dostatecznéj liczbie połączyć tak, aby otrzymać wielkość, nie mniejszą od jakiejkolwiek wielkości dowolnéj tego samego gatunku.
vi. Wielkości dają sic niezliczonemi sposobami dzielić na mniejsze; między tem i sposobami wyróżnia się ten, w którym wielkość rozpada się na dwie, trzy i więcéj części równych. Dzielenie wielkości daje się prowadzić tak długo, dopóki wszystkie części nie staną się mniejszemi od wielkości dowolnie małéj. Lecz jakkolwiek daleko prowadzić będziemy w myśli ten podział, części otrzymywane będą zawsze tego samego gatunku, co dana wielkość. Wyłożona w tych twierdzeniach teorya jest urobiona na podstawie doświadczenia i stosuje się przedewszystkiem do wielkości geometrycznych. Gdy idzie o formy matematyczne, ogólnie uważane, pojęcie ich równości lub nierówności nie może oczywiście opierać się na porównywaniu wrażeń zmysłowych, jak chce Dubois-Reymond, lecz musi być dane za pomocą określenia formalnego, takiego np., jakie znajdujemy u II. Grass m a n n a 13. Pojęciem wielkościoicem, według Grassmanna, nazywamy takie pojęcie, że dwa podpadające pod nie przedmioty mogą być uważane za równe lub nierówne. Równemi nazywa on takie przedmioty, gdy w każdym sądzie [Aussage] jeden można zastąpić drugim. Należy to rozumieć w ten sposób, że gdy A = B, B= C\ to stąd wynika A= Cy i że tym sposobem A, B, C mogą się wzajem zastępować we wszelkich połączeniach czyli działaniach. Bez takiéj podstawy żadna teorya działań nie byłaby wcale możliwą. Co się zaś tyczy określenia nierówności np. większości, to musi ona czynić zadość warunkowi: „Jeżeli A>By C, to A^> C. Ale warunków tych dla równości i nierówności bezpośrednio do wszelkich form matematycznych stosować nie można, i dlatego przy każdem nowo wprowadzanem pojęciu przedmiot ten wymaga oddzielnego roztrząsania.
Podział wielkości na linearne i nielinearne jest zbyteczny, jeżeli dla przedmiotów badania matematycznego zachowamy ogólną nazwę formy, a wielkościami nazywać będziemy takie formy, do których potrafiliśmy zastosować pojęcia równości, większości i mniejszości.
Pytanie o możności stosowania działań i metod Matematyki do form, otrzymywanych z abstrakcyi przy badaniu przedmiotów i zjawisk świata zewnętrznego, a mianowicie określenie ich równości i nierówności, oraz sposób wprowadzania ich we wzajemne związki nie są tak proste, jak to z przykładów życia codziennego wydawać się może. Pytanie to wymaga gruntownego oświetlenia, opartego na wynikach teoryi ogólnéj działań matematycznych. Podjął je nieda wno H e 1 m h o 11 z w rozprawie o liczeniu i mierzeniu 14.
10
12
WSTĘP.
II e 1 m li o 11 z uważa Arytmetykę czyli naukę o liczbach za metodę, zbudowaną na faktach czysto-psychologicznych, która uczy należytego używania układu "znaków„ [liczb] o nieograniczonéj rozciągłości i zdatnych do nieograniczonéj subtelności [Yerfeinerung]. Liczby są zatem, według niego, symbolami, "dającemi nam opis przedmiotów rzeczywistych; opis, któremu możemy nadać żądany stopień dokładności i za pomocą którego dla wielkiéj liczby przypadków działania ciał, pozostających pod władzą znanych praw przyrody, można znaleźć rachunkowo wartości liczbowe, mierzące skutek działania,,. Zapytuje daléj H c 1 m h o 11 z, jakie jest objektywne znaczenie tego faktu, iż stosunki rzeczywiste pomiędzy przedmiotami wyrażamy, jako wielkości w liczbach mianowanych, i przy jakich warunkach uczynić to można? Pytanie to, według niego, rozpada się na dwa następujące:
i. Jakie jest znaczenie objektywne faktu, że dwa przedmioty uważamy za równe w pewnym względzie?
n. Jaki charakter musi mieć fizyczne łączenie dwóch przedmiotów, aby ich atrybuty porównalne można było uważać za dodajne [additiv], t. j. mogące być dodanemi, i za wielkości, dające się wyrazić liczbami mianowanemi?
Przy stosowaniu Arytmetyki do wielkości fizycznych, przybywa do pojęć równości i nierówności, które wymagają wyjaśnienia, jeszcze pojęcie jednostki. Uważa II e 1 m h o 1 tz, że bez potrzeby ograniczamy dziedzinę stosowalności twierdzeń Arytmetyki, gdy wielkości fizyczne z góry przyjmujemy, jako złożone z jednostek.
Wyłożywszy najprzód teoryą dodawania i odejmowania liczb "czystych„, w czem głównie opiera się na teoryi Grassmanna przechodzi Helmholtz do określenia wielkości fizycznych, ich równości i działań nad niemi. Wielkościami nazywa, jak zwykle, przedmioty lub atrybuty przedmiotów, do których stosować można pojęcia równości, większości i mniejszości. Postępowanie, za pomocą którego do każdéj uważanéj wielkości przystosowujemy liczbę tak, aby różnym wielkościom odpowiadały liczby różne, i aby liczba, odpowiadająca danéj wielkości, mogła zastępować ją w ciągu rozuwania, jakie przeprowadzamy nad wielkościami, nazywa mierzeniem. Stosunek, zachodzący między atrybutami dwóch przedmiotów, nazywający się równością, charakteryzuje pewnik:
"Dwie wielkości, z których każda jest równa trzeciéj, są sobie równe,,.
Nie jest to, jak mówi Helmholtz, pewnik o znaczeniu objektywnem; zadaniem jego jest wskazanie tylko, jakie związki fizyczne winniśmy określić nazwą równości.
Jeżeli A— C, i B= C, to stąd wynika A—B, jak również B=A. Stosunek równości jest wzajemny.
llówność porównywanych atrybutów jest wogóle przypadkiem wyjątkowym i przy spostrzeganiu faktycznem może być wskazaną jedynie w ten sposób, że dwa przedmioty równe, spotykając się lub działając wspólnie pod odpowiedniemi warunkami, dają spostrzedz szczególny skutek, nic zachodzący pomiędzy innemi parami podobnych przedmiotów. Postępowanie, za pomocą którego wprowadzamy przedmioty badane w takie właśnie warunki, aby zachodzenie tego skutku można było stwierdzić, nazywa Helmholtz metoda poróicnama.
Z powyższego pewnika wynika najprzód, że skutek porównania nie zmienia się, jeżeli oba przedmioty przestawimy, stosując metodę porównania. Daléj, jeżeli okazało się, że dwa przedmioty A i B są równe, i jeżeli za pomocą téj saméj metody porównania znaleziono, że przedmiot^ równa się trzeciemu przedmiotowi C, to wnioskujemy stąd i za pomocą téj metody sprawdzić możemy, iż przedmioty B i C są równe.
To są warunki, jakie stawia Helmholtz metodzie porównania. Tylko takie metody są w stanie wykazać równość, które warunkom tym czynią zadość.
Wielkości, o których równości lub nierówności przekonywamy się za pomocą téj saméj metody porównania, nazywają się jednorodnemi. Jeżeli atrybut, którego równość lub nierówność z atrybutem innego przedmiotu znaleźliśmy, oderwiemy za pomocą abstrakcyi od wszystkiego, co w tych przedmiotach jest wogóle rożnem, pozostanie nam dla odpowiednich przedmiotów tylko różnica wielkości.
Na przykładach pokazuje Helmholtz, jakie metody porównania obmyślono dla rozmaitych gatunków wielkości: dla ciężarów, odległości punktów, przedziałów czasu, jasności światła, wysokości tonów.
Następnie bada warunki, przy jakich połączenie fizyczne dwóch wielkości może być nazwane dodawaniem. Są one: 1°) jednorodność sumy i składników; 2°) prawo przemienności, według którego wynik dodawania jest niezależny od porządku, w jakim dodajemy składniki; 3°) prawo łączności, według którego połączenie wielkości jednorodnych może być uskutecznione w ten sposób, że dwie lub więcéj z nich zastąpimy jedną, która jest ich sumą. [O prawach dodawania mówić będziemy szczegółowo w następnych rozdziałach].
Ponieważ wynik dodawania uważamy za większy od każdego ze składników, posiadamy przeto możność poznania, która z dwóch wielkości jest większa, a która mniejsza. Przy takich wielkościach, jak przedziały czasu, długości, ciężary, które znamy od wczesnego dzieciństwa, nie mamy nigdy żadnéj wątpliwości co do tego, co jest większe lub mniejsze, bo znamy metody dodawania tych wielkości.
Gdy takie dwie wielkości są równe, to i wielkości od nich zależne, utworzone dla obu w sposób zupełnie jednaki, są równe; ale co należy uważać za dodawanie takich wielkości, o tem rozstrzyga tylko doświadczenie. Są np. przypadki, gdzie możliwe są dwa gatunki dodawania. Tak np. za pomocą téj saméj metody porównania oznaczamy w Fizyce, czy dwa druty mają równy opór galwaniczny w, albo też czy mają równą zdolność przewodnictwa A, gdyż w = ljL Lecz opory dodajemy, umieszczając druty tak, aby prąd przebiegał po kolei jeden drut za drugim; zdolności zaś przewodnictwa, dodajemy, umieszczając druty tak, aby końce ich odpowiednio były złączone. Pytanie, co jest większe a co mniejsze, znajduje dla oporu odpowiedź przeciwną niż dla przewodnictwa. Podobnież i kondensatory elektryczne [butelki lejdejskie] umieszczamy obok siebie lub jeden za drugim; w pierwszym przypadku dodajemy pojemności, w drugim potencyały [napięcia] dla równego naładowania.
Wielkiego uproszczenia doznaje przedstawienie wielkości dopiero wtedy, gdy je rozłożymy na jednostki i przedstawimy za pomocą liczb mianowanych. Wielkości, które można dodawać, dają się w ogólności i dzielić. Jeżeli bowiem każdą z uważanych wielkości możemy uważać, jako powstałą z dodania pewnéj liczby składników według praw dodawania, to. jeżeli idzie o jéj wartość, możemy ją zastąpić przez sumę tych składników. Te składniki równe są wtedy jednostkami. Jeżeli wielkość nie jest podzielną bez reszty przez dobraną jednostkę, dobieramy wtedy jednostek mniejszych, a to przez podział jednostki poprzedniéj na części równe. Tylko w przypadkach wyniierności mogą być wielkości wyrażone przy pomocy jednostek z zupełną dokładnością. Oprócz wielkości, dla których zawsze określić można dodawanie, istnieją szeregi stosunków, wyrażalnych za pomocą liczb mianowanych lub niemianowanych, dla których to stosunków nie znamy dotąd połączenia, które można by nazwać dodawaniem. Stosunki te zachodzą wtedy, gdy związek pomiędzy wielkościami dodajnemi ulega wpływowi pewnéj specyficznéj substancyi, pewnego ciała i t. p. Tak np. prawo załamania światła wyraża, że pomiędzy w stawą kąta podania i wstawą kąta załamania promienia oznaczonéj długości fali, przechodzącego z próżni do substancyi przezroczystéj, istnieje stosunek oznaczony. Dla różnych ciał stosunek ten wszakże jest różny, stanowi zatem własność specyficzną, danego ciała, wyraża jego zdolność załamania. Podobne znaczenie mają: ciężar właściwy, zdolność przewodnictwa elektrycznego, pojemność cieplna. Podobnéj natury są pewne stałe, które nazywamy stałemi całkowania w Dynamice. Możemy wprawdzie dodawać liczby oderwane, odpowiadające tym wielkościom, ale jakie znaczenie przypisać by można dodawaniu samych wartości ? II e 1 mh o 11z utrzymuje, że różnica tych stosunków, które nazywa " współczynnikami „, od prawdziwych wielkości nie jest istotną, że z czasem nowe odkrycia moga doprowadzić do znalezienia połączeń dodajnych tych "współczynników,,, przez co staną się one wielkościami w zwykłem znaczeniu tego wyrazu.
Teorya Helmholtz a ma tę zasługę, że kładzie nacisk na konieczność badania warunków stosowalności działań matematycznych do wielkości, przejmowanych z badań fizykalnych, a przedewszystkiem na warunki równości i dodawania. W saméj rzeczy, gdy idzie o przeniesienie działań liczbowych na połączenia wielkości, potrzebną jest wielka ostrożność, aby, jak się wyraża Kronecker, przez rozszerzenie znaczenia wyrażeń technicznych nie ucierpiała dokładność przedstawienia. Uwaga o "współczynnikach,, jest ważną i wskazuje na zagadnienia, które nauka ma rozwiązać w przyszłości. Sprowadzenie wszystkich "współczynników„ do trzech jednostek zasadniczych długości, czasu i masy—jak to czyni Fizyka nowoczesna,—jest zdobyczą ważną, ale zdobycz ta dotąd ogranicza się, jak wiadomo, przeważnie na wyrażaniu wymiarów współczynników za pomocą odpowiednich symbolów15. Niektórym tylko "współczynnikom,,, jak prędkości, przyspieszeniu, sile, momentowi, i t.p. nauka nadała postać wielkości zwykłych [ekstensywnych] i bada je wyczerpująco, analitycznie i geometrycznie. Helmholtz przewiduje, że toż samo stanie się z innemi "współczynnikami,,, to jest, że np. dodawaniu ich będzie można nadać znaczenie fizykalne w ten sam sposób, w jaki mają je dodawanie prędkości, sił, momentów i t. p. A priori wydaje się możliwą i inna droga, a mianowicie, odszukanie warunków działań bezpośrednich nad "współczynnikami,,, bez sprowadzania ich do wielkości zwykłych. Metoda taka byłaby w takim stosunku do metody poprzedniéj, w jakiem jest naprzykład badanie bezpośrednie form geometrycznych za pomocą metod geometry i syntetycznéj do badania ich pośredniego za pomocą form liczbowych w geometryi analitycznéj. Byłaby to "Matematyka wielkości intensywnych„ w przeciwstawieniu do dzisiejszéj Matematyki wielkości ekstensywnych. W takiéj Matematyce teorya jednostek fizycznych mogłaby rozwinąć się w samodzielną umiejętność. Nie wchodzimy tu w rozstrzygnięcie tego pytania, powiemy tylko, że wszystkie dotychczasowe próby utworzenia podobnéj Matematyki nie dały zadawalających rezultatów. Nietylko Fizyka ale i Psychofizyka, mająca do czynienia z wielkościami intensywnemi, stara się dla badań swych znaleźć odpowiednie formy liczbowe lub geometryczne lfi.
3. FORMY PRZERYWANE I CIĄGŁE.
Formy matematyczne dzielą się na przerywane i ciągle. Przykładem pierwszych jest układ liczb całkowitych, szereg punktów, pomyślanych dowolnie na prostéj, płaszczyznie lub w przestrzeni; jako przykład drugich służyć mogą: continuum liczb, linie, powierzchnia, przestrzeń geometryczna, czas.
Pragnąc określić ciągłość, natrafiamy na wielkie trudności. K a n t17 nazywa ciągłością tę własność wielkości, mocą któréj żadna jéj cześć nie jest najmniejszą możliwą. "Czas i przestrzeń są ciągłemi, bo nie może być dana żadna ich część, któraby nie dała się zamknąć pomiędzy dwiema granicami [punktami lub chwilami], tak że częścią przestrzeni jest znowu przestrzeń, częścią czasu — czas„.
15
3]
FORMY PRZERYWANE I CIĄOI.E.
Właściwie mówiąc, ciągłość np. linii sprowadza się do tego, że miedzy każdemi, dowolnie pomyślanemi, punktami na niéj można pomyśleć sobie punkt trzeci. Czy przestrzeń, objektywnie uważana jako podścielisko zjawisk fizycznych, jest w istocie rzeczy ciągłą w tern znaczeniu, tego doświadczeniem rozstrzygnąć nie można. Można najwyżéj uważać to za postulat, który nam umożliwia wszelkie pomyślane konstrukeye. G. Cantor 18 utrzymuje, że ciągłość przestrzeni polega na tem, iż każdy punkt, którego współrzędne x, y, z względem pewnego układu dane są w liczbach rzeczywistych, wymiernych lub niewymiernych, uważa się jako istotnie do przestrzeni należący. "Do podobnego uważania nie ma wszakże wewnętrznego musu, stanowi ono akt wolny działalności konstrukcyjnéj nasze go umysłu„. Hypoteza ciągłości przestrzeni jest, według Cantom, jedynie dowolnem założeniem o zupełnéj jednoznacznéj odpowiedniości między czysto arytmetycznem continuum (x, y, z) a przestrzenią, będącą podstawą świata zjawisk. Ta swoboda umysłu sięga nawet tak daleko, że można utworzyć pojęcie przestrzeni nieciągłéj, w któréj ruch odbywa się sposobem ciągłym.
Toż samo utrzymuje Dedekind19, według którego ciągłość przestrzeni nie jest wcale konieczną podstawą geometry i, bo w niéj nigdzie nie bywa należycie wyjaśnianą. Jeżeli obierzemy sobie, twierdzi D e d e k i n d, trzy punkty dowolne A, B, C, nie leżące na jednéj prostéj, z tem tylko ograniczeniem, aby stosunki ich odległości AB, AC, BC były liczbami algebraicznemi, i będziemy uważali za istniejące w przestrzeni tylko te punkty M, dla których stosunki AM, BM, CM do AB wyrażają się również liczbami algebracznemi; wtedy przestrzeń, złożona z punktów M, będzie oczywiście nieciągłą, i pomimo téj nieciągłości, konstrukcje, które uskutecznia w niéj geometry a elementarna, dadzą się zupełnie wykonać tak samo, jak w przestrzeni ciągłéj.
Tak jest bezwątpienia. Zachodzi tylko pytanie, czy porównywanie stosunków odległości nie wymaga w istocie rzeczy ukrytego przyjęcia pewnych form ciągłych i czy wogóle ta nieciągłość przestrzeni da się pojąć czy wyobrazić bez pewnéj rozmaitości ciągłéj ? W każdym razie, usuwając tę ciągłość z przestrzeni, C a n t o r i 1) e d ekind wprowadzają ją do układu liczb. Podobny pogląd wygłaszają i niektórzy filozofowie. "Ciągłość, powiada Cohen20, jest ogólną podstawą samowicdzy, walnym warunkiem myślenia, którego działalność okazuje się w ciągłości [nieskończonéj podzielnościJ przestrzeni, lecz przedewszystkiem w téj dziedzinie matematycznéj, która jest najbliższą ogólnego myślenia, a więc nauce o liczbie,,.
Inni uczeni są przeciwnego zdania. Twierdzą oni, że ciągłość spoczywa przedewszystkiem w formach geometrycznych, w przestrzeni. W błędzie jest Dedekiiul, powiada A. Fick21, jeżeli nie w Geometryi, lecz w dziedzinie liczb szuka ciągłości. "Ciągłość nie może nigdy leżeć w akcie liczenia, ani z liczenia powstać; szukać jéj należy tylko w wyobrażeniu przedmiotów liczonych„.
16
13
wsujr.
31
17
KOK MY rir/FKYW AN'F. I CIAO LR.
Przeciwieństwo tych poglądów polega na różnicy zasad teoretyczno-poznawczych wiedzy ludzkiéj w ogólności; w Matematyce saméj nie stanowi ono przeszkody w rozwoju jéj pojęć. W Geometry i trudność, tkwiąca w pojęciu ciągłości, nie występuje wyraźnie; rozpoczyna się ona właściwie dopiero wtedy, gdy idzie o stosowanie analizy do badań geometrycznych, oraz Matematyki wogóle do badań fizykalnych. Uniknąć tego pojęcia niepodobna; usunięte z przestrzeni zjawia się ono w układzie liczb i odwrotnie. Układ liczb całkowitych okazuje się niewystarczającym do opisu form wszystkich; "sieć Arytmetyki,, jak się dosadnie wyraża Wernickc22, ma początkowo za wielkie oka„, aby mogła pochwycić twory świata zewnętrznego. Umysł ludzki rozpoczyna przeto pracę twórczą nad zagęszczeniem téj sieci: wprowadza kolejno ułamki, liczby niewymierne i przestępne i wznosi się do pojęcia continuum. Te to właśnie zagadnienia czynią koniecznem wprowadzenie pojęcia ciągłości form na zasadzie ścisłego określenia, którego należy pilnować sie na wszystkich stopniach rozumowania. Przedmiot ten we właściwem miejscu będzie należycie wyjaśniony; tu powiemy tylko, że jest niezmiernie ważnem staranne oddzielenie tych prawd, dla uzasadnienia których nie jest koniecznem wyraźnie pojęcie ciągłości, od twierdzeń, które jedynie przy pomocy ciągłości uzasadnić się dadzą. Na punkt ten w wywodach naszych szczególną zwracać będziemy uwagę.
Powiemy jeszcze, w jaki sposób wprowadza G r a s s m a 1111 pojęcie ciągłości do swojego wykładu Matematyki. Formy matematyczne, stanowiące przedmiot nauki Grassniannowskiéj, którą nazwał nauka rozciągłości [Ausdehnungslehre], są to formy rozciągłe, wielowymiarowe i ciągłe, które wszakże nie mają być poglądowemi, jak formy przestrzenne, lecz "czysto myślowemi,,. To też usiłuje G r a s s m a 1111 nadać swym formom ciągłość na podstawie określenia, które brzmi w ten sposób23: "Każda forma myślowa staje się w sposób dwojaki: albo przez prosty akt jéj tworzenia [ErzeugenJ, albo przez akt podwójny postawienia [Setzen] i połączenia [Yerknupfen]; forma, powstała pierwszym sposobem, nazywa się ciągłą, powstała drugim — przerywaną,,. Przeciwieństwo wszakże tych dwóch rodzajów form nie jest, według niego, stanowcze: forma bowiem przerywana może być uważaną za ciągłą i odwrotnie. I tak, jeżeli to, co łączymy w formę, uważamy w myśli, jako stawającc się, a sam akt łączenia za moment stawania sie, forma przerywana może być poczytana za ciągłą.
1'ojęcia, T. I.
Jeżeli, przeciwnie, pojedyńcze momenty stawania się uważać będziemy za akty łączenia, to forma ciągłą może być poczytana za przerywaną.
Nie wiem, czy czytelnika zadowolili to kunsztowne określenie ciągłości. Bezwątpienia dostrzeże 011 w niem pozorne ominięcie tylko tych samych trudności, które napotykamy, chcąc określić bezpośrednio utwory przestrzenne ciągłe. Pokazuje to wyraźnie, że zagadnienie o ciągłości, obok swéj trudności czysto-matematycznéj, którą tylko, jak to zobaczymy, za pomocą analizy zwalczyć można, posiada ważne znaczenie dla Teoryi poznania w ogólności.
4. SYSTEM MATEMATYKI.
System wiedzy matematycznéj dzieli sie na Matematykę czystą i stosowaną.
Przedmiotem Matematyki czystéj jest badanie form, należących do pierwszych dwóch typów, o których mówiliśmy w art. 1., a więc form liczbowych i geometrycznych; przedmiotem Matematyki stosowanéj są formy trzeciego typu, t. j. formy matematyczne, utworzone przy badaniu zjawisk. Nazwa Matematyki stosowanéj pochodzi stąd, że badanie form do niéj należących sprowadza się. jak to już powiedzieliśmy, do badania form liczbowych i geometrycznych.
Do Matematyki czystéj należałoby tym sposobem zaliczyć Arytmetykę, Algebrę, Rachunek wyższy czyli Analizę i Geometryą ze wszystkiemi ich rozgałęzieniami; do Matematyki stosowanéj — Mechanikę i Fizykę matematyczną 24.
Podział Matematyki na czystą i stosowaną nie daje się wszakże przeprowadzić z całą ścisłością, zależy bowiem od poglądu na podstawy Matematyki i nauk realnych oraz od danego rozwoju wiedzy.
[4
18
WSTĘP.
W saméj rzeczy można z Mechaniki wyłączyć Foronomią lub Cynematykę, t. j. naukę o ruchu samym w sobie, bez względu na siły działające, i zaliczyć ją do Matematyki czystej; z drugiéj zaś strony można Mechanikę wraz z Fizyką matematyczną, jak to czynią niektórzy, zaliczyć do nauk realnych, czyli doświadczalnych, na téj zasadzie, że nauki te mają z naukami fizycznemi, oprócz głównego celu, jakim jest badanie zjawisk, to wspólnego, że opierają się na pewnikach, uważanych za podstawy nauk doświadczalnych. I Geometrya też, ponieważ ma do czynienia z formami, urobionemi przy pomocy abstrakcyi z przedmiotów świata zewnętrznego i opiera się także na pewnikach, zaliczaną bywa niekiedy do Matematyki stosowanéj, a nawet do nauk doświadczalnych, na równi z Mechaniką.
Pogląd podobny znaleźć można u Newtona, w którego wiekopomnem dziele25 czytamy, że Geometry a ma swoją podstawę w Mechanice praktycznéj i jest częścią Mechaniki ogólnéj, która podaje i uzasadnia sztukę dokładnego mierzenia. Gauss26 jest zdania, że nauka o przestrzeni zajmuje zupełnie inne stanowisko względem wiedzy naszéj o prawdach, rozumiejących się same przez się, aniżeli czysta Matematyka; brak w niéj bowiem tego zupełnego przekonania o konieczności tych prawd, a zatem o ich bezwzględnéj prawdziwości, która jest właściwością drugiej; "z pokorą wyznać musimy, powiada Gauss, że jeżeli liczba jest czystym produktem naszego ducha, to przestrzeń zewnątrz nas posiada swą rzeczywistość, któréj my praw a priori przypisywać nie możemy„.
Wiemy już, że i Gr as smann podziela ten pogląd. "Pojęcie przestrzeni, twierdzi on, nic może być wytworzone przez samo myślenie; przeciwnie, przeciwstawia się ono myśleniu, jako coś danego. Etoby chciał twierdzić przeciwnie, musiałby przedewszystkiem uzasadnić konieczność trzech wymiarów przestrzeni przy pomocy czystych praw myślenia,,. Stanowisko Geometryi względem nauki o formach czyli Matematyki czystéj zależy, według G r a s s m a 1111 a, od stosunku, w jakim poglądowość przestrzeni jest do czystego myślenia; toż samo odnosi się do czasu i do ruchu w przestrzeni i dlatego to Geometryą, Forometryą [Foronomią] i Mechanikę uważa on za zastosowania czystéj nauki o formach do zasadniczych "poglądowości,, [Anschauungen] świata zewnętrznego 27. Powiedzieliśmy już, że główna różnica, jaką upatrują wymienieni uczeni pomiędzy Matematyką czystą a stosowaną, polega na tem, iż pierwsza nie potrzebuje żadnych pewników i rozwija się zupełnie samodzielnie przy pomocy czystego myślenia; druga zaś przeciwnie opiera się na pewnikach, które umysł przy pomocy indukcyi ze zjawisk świata zewnętrznego wnosi do jéj dziedziny. Rozstrzjrgnięcie pytania, która z nauk jest czystą, która zaś stosowaną, sprowadza się zatem do pytania z Teoryi poznania o podstawach wiedzy ścisłéj w ogólności. Rozbiór tego pytania nie może wchodzić w zakres naszéj pracy; dla naszego celu wystarczy jasne wskazanie stanowiska, z jakiego zapatrujemy się na zadania Matematyki. Wyraziliśmy to już na końcu artykułu 1., tu dodamy jeszcze, że wszelka wiedza teoretyczna opierać się musi na pewnych faktach zasadniczych, bez względu na to, czy fakty te są rezultatem indukcyi, czy też są założeniami umówionemi, na wzór wyników indukcyi urobionemi lub uogólnionemi, i na mocy pewnych definicyj formalnych do nauki wprowadzonemi. Rozumie się samo przez się, że założenia, stanowiące podstawę nauki, nie powinny pozostawać z sobą w sprzeczności. Jeżeli te założenia wraz z definicyami form, do dziedziny nauki należących, wystarczają, aby, przy pomocy działań i konstrukcyj czysto matematycznych i wnioskowań logicznych, zbudować umiejętność, bez potrzeby jakiegokolwiek zasiłku z zewnątrz; jeżeli formy i działania zdolne są do uogólnień, nauka jest czystą, w razie przeciwnym jest stosowaną. Wynika stąd, że nauka ze stosowanéj może się stać czystą, jeżeli w rozwoju swym to, co do formy i treści jest rzeczy wistem, zastępuje warunkami formalnemi.
Możemy przeto Geometryą zaliczyć do nauki czystéj, bo przyjąwszy raz pewien układ pewników, budujemy tę naukę przy pomocy konstrukcyj matematycznych na formach, wprowadzonych za pomocą dcfinicyj. Tak pewniki jak i formy geometryczne zdolne są do uogólnień, które doprowadzają do innych gatunków Geometryi, opierających się na układzie pewników, różnym od układu euklidesowego, wreszcie do ogólnéj nauki o rozmaitościach, która jest właściwie tem, w czćin G r as s m a 11 n widzi Matematykę czystą. Główna różnica między tym poglądem a Grassmanowskim polega na tem, że to, co według naszego rozumienia stanowi jeden z przypadków szczególnych nauki czystéj, u niego stanowi naukę stosowaną.
Toż samo powiedzieć można o Mechanice, jako nauce o ruchu ciał przyrody, opierającéj się również na pewnikach. Można Mechachanikę uważać za naukę ruchu form geometrycznych, a układ jéj pewników za układ założeń, w takim razie Mechanikę zaliczyć wolno do Matematyki czystéj. Stosuje się to przedewszystkiem do części Mechaniki, zwanéj Foronomią lub Cynematyką, któréj przedmiotem, jak to powiedzieliśmy wyżéj, jest ruch ciał pomyślanych w prze strzeni, bez uwagi na siły. Można i tę gałąź Mechaniki uogólnić, zastępując formę przestrzeni, w któréj ruch się odbywa ogólniejszą formą rozmaitościową. Jeżeli zaś w Mechanice opieramy się na pewnikach, uważanych za wynik indukcyi z doświadczenia albo za prawa natury, i w dalszem budowaniu umiejętności odwołujemy się do do faktów doświadczalnych, Mechanika będzie nauką stosowaną.
Tym sposobem Matematykę czystą składają następujące nauki:
1. Arytmetyka, Algebra i Rachunek wyższy, które Wroński obejmuje jedną nazwą ogólną Algorytmii28.
2. Geometry a,
3. Foronomia czyli Cynematyka.
Można z innego punktu widzenia ustanowić klasyfikacyą Matematyki czystéj. Wiemy, że formy matematyczne [art. 3.] są przerywane i ciągłe, mamy więc Matematykę form przerywanych, nieciągłych lub uważanych bez względu na ciągłość, oraz Matematykę form ciągłych. Do pierwszéj z nich należałoby zaliczyć Arytmetykę, Algebrę i tę część Geometryi, którą można rozwinąć bez potrzeby uważania ciągłości; do drugiéj Rachunek wyższy i Geometryą układów ciągłych wraz z Foronomią29.
Podział ten przyjmujemy w niniejszéj książce, przyczem w pierwszym tomie zajmiemy się pojęciami i metodami Arytmetyki i Algebry, drugi poświęcimy Analizie, Geometryą zaś, jako mającą swoje odrębne metody, oraz Cynematyką zajmiemy się w tomie trzecim.
5. MATEMATYKA 1 LOGIKA.
Logika formalna, jako metoda szukania związków pomiędzy przedmiotami, oderwanemi od wszelkiéj treści, jest nauką zbliżoną do Matematyki czystćj. Mając do czynienia z ogólnemi prawami myślenia, t. j. z prawami łączenia pojęć, sądów i wniosków, obejmuje ona prawa łączenia pojęć form matematycznych oraz sądów i wniosków, które z tego łączenia wynikają; jest zatém nauką ogólniejszą od Matematyki i zaliczaną bywa do Teoryi poznania. Wszystkie gałęzie Matematyki można uważać za zastosowania Logiki formalnéj do pojęć poszczególny ch form matematycznych:J0.
5]
21
MATEMATYKA I LOGIKA.
Organem Logiki formalnéj do ostatnich czasów był język wyrazów, jako główny środek przedstawiania i rozwijania myśli. Gdy wszakże wyrazy nie mają ścisłego i niezmiennego znaczenia, jakie mają, np. symbole matematyczne, gdy daléj na téj drodze kombinacye złożone pojęć i wogóle operacye logiczne w szacie słownéj nie są ani dość przejrzyste, ani też nie zawsze pozwalają na wyprowadzanie wszystkich wniosków z danych rozumowań, przeto jeszcze L e i b n i t z powziął pomysł zastosowania do przedmiotów i operacyj logicznych takich samych symbolów, jakich używa Matematyka, a mianowicie Algebra, t. j. liter. Pomysł ten dopiero w dziele Boo1 e'a o prawach myśli został po raz pierwszy urzeczywistniony i systematycznie wykonany31. Dziś Logika formalna w szacie matematycznéj, albo, jak ją nazywają, Algebra Logiki posiada wielu pracowników i bogatą literaturę, któréj wykaz znaleźć można w świeżo wydanym pierwszym tomie obszernego traktatu E. S c h r o d er a
Ze stosunku Matematyki do Logiki wynika, że Algebra Logiki nie jest bynajmniéj zastosowaniem metod Matematyki do działań logicznych; owszem, mimo tożsamości symbolistyki i wyrażeń technicznych, działania logiczne mają znaczenie wogóle odmienne od działań matematycznych, jakkolwiek istnieją też godne uwagi analogie. Zauważyć przytem należy, że przejąwszy symbolistykę od Matematyki, Logika formalna przejęła zarazem zasadniczą właściwość Matematyki, którą jest uogólnianie pojęć, i na téj drodze dochodzi do wyników, jakich nie znała Logika, traktowana sposobem zwykłym .
22
[5
\TSTEP.
Zastąpienie mowy słownéj symbolami matematycznemi jest nietylko rodzajem pisma stenograficznego, ale jest zarazem metodą ścisłego wyrażania związków logicznych, nic dopuszczającego żadnéj dwuznaczności i pozwalającego na łatwe i prędkie wyrażanie zachodzących w nauce twierdzeń i wniosków. Jest zasługą matematyka włoskiego G. Peano obmyślenie systemu prostych znaków, za pomocą których wyrażają się prawdy logiczne i zastosowanie tego nowego języka do przedstawiania zasad i twierdzeń rozmaitych gałęzi Matematyki. Najprzód zastosował on tę metodę do Arytmetyki i Geometryi, a obecnie pracuje nad wprowadzeniem tego nowego języka do Matematyki wyższéj. Owocem jego pracy jest najnowsza rozprawa, w któréj się zawiera dowód twierdzenia o całkowalności równań różniczkowych zwyczajnych. W przypisach dajemy zwięzły wykład metody Peano, mającéj, jak się zdaje, piękną przyszłość w nauce3:-.
Od Algebry Logiki należy odróżnić Logikę Matematyki, któréj przedmiotem jest badanie związków logicznych między pojęciami i metodami, gdy samo stosowanie i rozwinięcie tych pojęć i metod jest przedmiotem Matematyki właściwéj.
Logika Matematyki może wychodzić z dwóch punktów widzenia. Po pierwsze może pytać, jaką postać przyjmują metody badania naukowego w zastosowaniu do dziedziny Matematyki?; są to. analiza, synteza, abstrakcya, indukcya i dedukcya. Po drugie może pytać
0 charakter logiczny metod w poszczególnych dziedzinach Matematyki; są to metody matematyczne właściwe, o jakich mówimy w niniejszéj książce,34
G. ANALIZA I SYNTEZA.
Euklides w następujący sposób określa obie metody: W analizie rzecz szukana uzasadnia się za pomocą kolejnych wniosków, prowadzących do prawdy uznanej; w syntezie rzecz uzasadnia się za pomocą wniosków, które do niéj prowadzą od prawd uznanych.
Te niezupełne jasne określenia utrwaliły się, jak powiada II auli el35, w tradycyi szkolnéj i późniejsze komentarze licznych pisarzy nie uczyniły ich jaśniejszemi. Aby pokazać, naczem istotnie polega różnica obu metod, weźmy dla przykładu jedno z twierdzeń geometrycznych i dowiedźmy go metodą analityczną, a następnie syntetyczną 36.
"Niechaj będzie prosta AB, podzielona w stosunku skrajnym i średnim w punkcie C, i niechaj AC będzie część większa. [Czytelnik zechce sam nakreślić potrzebny do tego rysunek; punkt D znajduje się po przeciwległéj stronie punktu C względem punktu ^łj. Jeżeli linia AD równa się połowie linii AB, mówię, że kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD.,.
1°. Sposób analityczny. Ponieważ kwadrat odcinka CD jest pięć razy większy od kwadratu odcinka AD, kwadrat zaś odcinka CD równa się kwadratowi odcinka AC wraz z kwadratem odcinka AD
1 podwójnym prostokątem, zbudowanym na odcinkach AC i AD, przeto suma kwadratów odcinków AC i AD i podwójnego prostokąta, wystawionego na tych odcinkach, równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD. Odejmując od wielkości równych po kwadracie z odcinka AD, otrzymujemy, że suma kwadratu odcin ka AC i podwójnego prostokąta, wystawionego na odcinkach AC i AD, równa się poczwórnemu kwadratowi z odcinka AD. Lecz podwójny prostokąt, wystawiony na odcinkach AC i AD, równa się prostokątowi, wystawionemu na liniach ACiAB, gdyż linia AB jest dwa razy większą od odcinka AD. Prostokąt, wystawiony na odcinkach AC i BC, równa się kwadratowi, wystawionemu na odcinku AC. gdyż ten ostatni odcinek jest częścią większą linii AB, podzielonéj w stosunku skrajnym i średnim; otrzymujemy tedy, że suma dwóch prostokątów—jednego, wystawionego na liniach AC i AB, drugiego, wystawionego na liniach BC i AB—równa się poczwórnemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz ostatnie dwa prostokąty stanowią razem kwadrat, wystawiony na linii AB; a więc kwadrat, wystawiony na linii AB, jest cztery razy większy od kwadratu, wystawionego na odcinku AD, co jest oczywiście prawdą, gdyż linia AB jest równa podwojonemu odcinkowi AD. Twierdzenie tym sposobem jest dowiedzione.
2°. Sposób syntetyczny. Ponieważ kwadrat linii AB równa się poczwórnemu kwadratowi odcinka AD, kwadrat zaś, wystawiony na linii AB, równa się sumie prostokątów— jednego, wystawionego na liniach AB i AC, drugiego na liniach AB i CB,—przeto suma tych dwóch prostokątów równa się poczwórnemu kwadratowi, wystawionemu na odcinku AD. Lecz pierwszy z tych prostokątów równa sie podwójnemu prostokątowi na liniach AD i AC, drugi zaś kwadratowi odcinka AC, a więc suma kwadratu odcinka AC i podwójnego prostokąta, wystawionego na odcinkach A C i AD, równa się poczwórnemu kwadratowi odcinka AD. Dodając do wielkości równych po kwadracie z odcinka AD i zważywszy, że kwadrat z odcinka AC, kwadrat z odcinka AC i podwójny prostokąt, wystawiony na odcinkach AD\ AC, stanowią razem kwadrat odcinka CD, otrzymamy, że ten kwadrat równa się pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, co należało dowieść.
Jeżeli wprowadzimy następujące oznaczenia
AB=a, AC—b, CB=c, AD=d, CD=f,
to obie metody dadzą się w skróceniu przedstawić w sposób następujący:
24
[6
WSTĘP.
1°. Sposób analityczny.  b-=ac, 2bd=ba, a 64^ # = 4 d'2, a(c-\-b) = ±P, a . a = 4 ćf-, a2 = 4 d2,
co jest prawdą, gdyż a = 2 d.
2°. Sposób syntetyczny.
a2 = 4 d2, a (b + c) = 4 d2, a £ a c = 4 d2, b2 = ac, 2 bd = ba,
2 £ d 462 = 4 <f2, cZ2 42 £ <£ 4" = 5 dT2,
/2 — 5 d2,
co należało dowieść.
Porównywaj ąc obie metody dowodzenia, spostrzegamy z łatwością, że metoda syntetyczna jest najzupełniéj wystarczającą, gdyż wychodząc z prawdy znanéj i kombinując ją z innemi prawdami pewnemi i znanemi, dochodzimy w niéj do twierdzenia, którego należało dowieść; gdy tymczasem w metodzie analitycznéj, przyjmując twierdzenie nasze za dowiedzione, przychodzimy wprawdzie do prawdy uznanéj , nie mamy wszelako zupełnéj pewności, czy wychodząc i z innych założeń, różnych od przyjętego, nie doszlibysmy do tego samego wyniku. Aby więc upewnić się, czy metoda analityczna w naszym przypadku prowadzi do twierdzenia szukanego, należy jeszcze dowieść, że gdy kwadrat odcinka CD nie jest równy pięciokrotnemu kwadratowi odcinka AD, to stąd wyniknie że poczwórny kwadrat odcinka AD nie jest równy kwadratowi odcinka AB.
6]
25
ANALIZA 1 SYNTEZA.
W jednym przypadku można dowodzenie analityczne uważać za wystarczające, mianowicie, jeżeli wychodząc z pewnego założenia i kombinując je z prawdami poprzednio dowiedzionemi, dochodzimy do wniosku niezgodnego z prawdą: wtedy bowiem założenie musiało być oczywiście fałszywe, gdyż jest rzeczą niemożliwą, aby z prawdy, uznanéj za pewną, można było przez kombinacyą z prawdami dowiedzionemi dojść do wniosku niezgodnego z prawdą. W tym przypadku sposób dowodzeuia znany jest pod nazwą sprowadzenia do niedorzeczności (reductio ad absurdum) i jest najzupełniéj wystarczający, jakkolwiek może nie posiada téj siły przekonywającéj, jaką ma sposób dowodzenia bezpośredni. Mimo to sposób ten często był używany przez starożytnych i dopiero metody Rachunku wyższego Matematyki nowożytnéj dały nam środek zastąpienia go sposobem bezpośrednim dowodzenia.
Hankel37 scharakteryzował metody syntetyczną i analityczną w Geometryi starożytnych i określił warunki, pod któremi są one zawsze stosowalne, w sposób następujący.
Każde twierdzenie geometryczne wyraża, że gdy pewna figura posiada pewną własność A, wtedy koniecznie i ogólnie posiada inną własność B, czyli mówiąc krótko: jeżeli jest A, to musi być i B.
Jeżeli obok tego twierdzenia zachodzi i drugie twierdzenie, mianowicie: jeżeli niema A, to niema i B, to oba twierdzenia można zawrzeć w jednem: A jest wamnkiem koniecznym i dostatecznym dla B. Ponieważ wynika stąd, że gdy jest By to jest i A, a więc w tym przypadku twierdzenie jest bezwarunkowo i ogólnie odwracalne: obie własności A i B warunkują się wzajemnie.
W przypadku gdy A nie jest koniecznym warunkiem zachodzenia B, twierdzenie UA jest Bn nie jest odwracalne i wynika z niego jedno z dwóch; 11B jest A„ albo "i? jest nie-^4,,. W tym właśnie przypadku znajdują się wszystkie twierdzenia, w których i? jest własnością podrzędną, w A zawartą, jakiéj się używa często w twierdzeniach pomocniczych. Twierdzenie zaś, wyrażające związek pewnéj własności A z inną, nie zawartą z nią logicznie, musi być odwracalne. Twierdzenie: "Jeżeli jest A, to jest i B„ gdy nie jest odwracalne, wskazuje, że istnieje inne twierdzenie odwracalne: "Jeżeli jest A' to jest i B,n1 gdzie A' oznacza własność ogólniejszą od własności A, lub Bf wyraża własność specyalniejszą od własności B. Synteza przy dowodzeniu twierdzenia "A jest Bn polega na kombinowaniu twierdzeń, poprzednio dowiedzionych: UA jest "D jest E„ ..., dopóki nie dojdziemy do wyniku "F jest i?„, skąd bezpośrednio wnosimy: "A jest B„.
Analiza przy dowodzeniu twierdzenia UA jest Bn polega na kombinowaniu twierdzeń: UB jest C„, " C jest -D„..., skąd wynika UA jest C„, uA jest Z)„ ... póki nie dojdziemy do wyniku "A jest E„, który jest albo fałszywy, albo wyraża pewną własność figury. W pierwszym przypadku, jak to już powiedzieliśmy, twierdzenie "A jest Bn jest stanowczo fałszywem, w drugim zaś jest prawdziwem, ale tylko przy warunku, aby wszystkie twierdzenia użyte, poprzednio stosowane, były odwracalne.
O ile synteza przeważała u starożytnych przy dowodzeniu twierdzeń, o tyle analiza znowu miała ważniejsze znaczenie, jako droga rozwiązywania zagadnień; czytelnika, interesującego się tą kwestyą stosowania analizy do zagadnień, odsyłamy po bliższe szczegóły do dzieł Hanke la i Duhamela3*, z których ostatni znaczną część pierwszego tomu swojéj książki o metodach rozumowania w naukach ścisłych poświęca analizie i syntezie starożytnych.
W Matematyce dzisiejszéj analiza i synteza utraciły znaczenie dawne i przybrały znaczenie zupełnie odmienne. Przez analizę rozumiemy dziś zbiór metod rachunkowych, a w ściślejszem znaczeniu Rachunek wyższy czyli nieskończonościowy; synteza zaś oznacza badanie bezpośrednie form geometrycznych i foronomicznych. Geometry a zowie się analityczną, jeżeli formy geometryczne badamy w niéj pod postacią form liczbowych, im odpowiadających; syntetyczną zaś, jeżeli nie posiłkujemy się narzędziem rachunkowem i używamy jedynie konstrukcyj geometrycznych. Gdy idzie o dowodzenie twierdzeń w którejkolwiek gałęzi nauk matematycznych, używamy bez żadnéj różnicy jednéj lub drugiéj drogi rozumowania, którą starożytni starannie odróżniali, jako analizę i syntezę; dziś jednak nie przywiązujemy znaczenia do tych nazw specyalnych, gdyż analiza i synteza są obie w usługach dedukcyi, stanowiącéj przeważną metodę rozumowań matematycznych 39.
7. ZASADA ZACHOWANIA I WARUNKI STOSOWALNOŚCI DZIAŁAŃ FORMALNYCH.
27
7]
ZACHOWANIE D/.IAŁAŃ FORMALNYCH
Wiemy już z powyższego, że Matematyka rozwija się, dzięki uogólnianiu pojęć i związków pomiędzy przedmiotami swojego ba w st kr.
(lania. Jak z postępem techniki człowiek z kombinacyi najprostszych machin, spożytkowując czynniki przyrody, zdobywa coraz doskonalsze narzędzia pracy, podobnież w Matematyce uogólnianie pojęć, będące wynikiem pracy umysłowéj pokoleń, daje nowe i doskonalsze narzędzia myślenia, które następnie z pożytkiem stosujemy do badania przyrody. Najbardziéj oderwane i wyidealizowane formy matematyczne, którym zdaje się nie odpowiadać nic rzeczywistego, okazują się następnie potęźnemi narzędziami badania; za przykład służyć mogą nieskończenie małe, jedna z najważniejszych form Matematyki wyższéj, dzięki któréj udoskonaliły się tak znakomicie Mechanika, Astronomia i Fizyka. Ważność i płodność tego kierunku twórczości ludzkiéj wykazują dostatecznie dzieje nauki, a prawa tego postępu myśli w nauce tak ścisłéj, jak Matematyka, stanowią zadanie wielce ciekawe dla filozofa40.
Przed 23 laty H a n k e 1 41 sformułował dla dziedziny liczb zasadę, którą kierujemy się zwykle przy uogólnianiu prawd i związków matematycznych, i nazwał ją zasadą zachowania prav) formalnych [Prinzip der Permanenz formaler Gesetze]. W postaci nadanéj przez Hanke 1-a, zasada ta jest właściwie tylko szczególnym przypadkiem zasady ogólniejszéj, którą niżéj podajemy.
Oto jak uzasadnia rzecz tę II ankel:
Niechaj a,£,c... będą pewne formy lub związki pomiędzy formami Wyobraźmy sobie, że formy a i b skombinowaliśmy czysto pojęciowo i że na wypadek tego połączenia czyli działania otrzymaliśmy nową formę c. Forma ta we wszystkich działaniach, jakie nad formami wykonywać będziemy, zastępuje połączenie form a i b, jest równą temu połączeniu. Rzecz oczywista, że jeżeli formy łączyć będziemy ze sobą według pewnych stałych prawideł, to pomiędzy wynikami różnych połączeń otrzymamy pewne związki, wynikające z saméj natury połączeń, bez względu na istotę form łączonych ze sobą; związki, dające się wyprowadzić z samych założeń drogą dedukcyi. Ponieważ natura połączeń form jest zupełnie dowolną, więc i prawidła działań czysto formalnych są zupełnie dowolne, z tem tylko zastrzeżeniem, aby nie wyłączały się wzajemnie i nie zawierały się jedne w drugich: wybieramy przeto prawidła bezwzględnie dostateczne.
28
Można oczywiście utworzyć system takich form, w którym wszystkie formy i działania są określone dostatecznie [i nie bardziéj niż zachowanie działań formalnych.
dostatecznie], który wszakże pozostanie bez wartości, jeżeli w tworzeniu systemu nie zwracaliśmy wcale uwagi na znaczenie działań. Aby więc nasze formalne działania miały istotne znaczenie dla nauki, trzeba, aby prawidła ich obejmowały w sobie prawidła działań nad formami znanemi, aby z jednéj dziedziny można było działania te przenieść do innéj, gdzie maja. już znaczenie ustalone. Albo, objaśniając rzecz na przykładzie: jeżeli tworzymy nowe liczby np. urojone, trzeba działania nad temi liczbami poddać takim prawidłom, któreby jako szczególny przypadek zawierały w sobie działania nad liczbami rz eczywistem i; jeżeli wprowadzamy potęgi z wykładnikami ułamkowemi, trzeba, aby działania nad nowemi formami dawały nam wyniki pewne i ustalone, jeżeli ułamki staną się równe liczbom całkowitym.
Zasadę zachowania w zastosowaniu do liczb II a n k e 1 wypowiada w ten sposób: " Jeżeli dwie formy, wy rażone w ogólnych znakach algebraicznych, są sobie równe, to mają takiemi pozostać, jeżeli znaki te nie oznaczają liczb rzeczywistych, gdy przeto działania nad niemi otrzymują nowe znaczenie „.
Dodaje przy tem Hankel, że nie należy zasady téj stosować wszędzie bez żadnych zastrzeżeń; że ma ona służyć przedewszystkiem do określenia prawideł koniecznych i dostatecznych, o ile te są od siebie niezależne, ale wymaga zarazem, by stosowanie zasady pozwalało na rozwinięcie należytéj ogólności w tworzeniu form.
Zasadę zachowania możemy wypowiedzieć w postaci ogólniejszéj, a mianowicie:
u Jeżeli formy pewnéj określonéj dziedziny poddajemy określonym
konstrukeyom i działaniom, które doprowadzają do pewnych związków
*
między formami téj dziedziny, to związki te uważamy, za zachodzące i wtedy, gdy konstrukeye i działania prowadzą do wyników, których nie można uważać za formy, bezpośrednio do naszéj dziedziny należące„. Utrzymanie właśnie związków tych samych dla jednych i drugich form pozwala objąć te formy jedną dziedziną rozszerzoną.
29
Jeżeli teraz z góry pomyślimy sobie dwie dziedziny czyli rozmaitości takie, że każdéj formie czyli każdemu elementowi jednéj rozmaitości odpowiada pewna forma lub element drugiej: jeżeli to przejście od jednéj rozmaitości do drugiéj, stanowiące pewien proces myślowy, mający swój wyraz w pewnéj konstrukcyi lub działaniu, na zwiemy wogóle odwzorowaniem lub przekształceniem, to z poprzedniego wynika zasada odwrotna:
„Można pomyśleć takie przekształcenia, iż związki. zachodzące między formami pierwszéj rozmaitości zachodzić będą pomiędzy formami drugiej; pomyślane przekształcenia mają tę własność, że nie zmieniają związków zachodzących pomiędzy formami \
Przetłomaczona na język geometryczny zasada wypowiedziana w tem twierdzeniu prowadzi nietylko bezpośrednio do dwóch ogólnych zasad Geometry i: dwoistości i odpowiedniości [la dualite et homographie) C haśle sła48, ale sięga jeszcze daléj i głębiej; przez wprowadzenie bowiem pojęcia grupy przekształcenia t. j. szeregu przekształceń, mających tę własność, że każda zmiana, wynikająca z kombinowania tych przekształceń, znajduje się w tym szeregu, prowadzi do zagadnienia, obejmującego w sobie najwyższe uogólnienie Geometry i, które w przedstawieniu F. Kleina43 wyraża się w ten sposób:
"Dana jest rozmaitość i iv niéj pewna grupa przekształcenia; zbadać formy należące do jéj rozmaitości co do takich własności, które nie zmieniają się przez przekształcenia téj grupy,,.
[7
30
WSTKI*.
Tak wiec zasada zachowania panuje nad rozwojem Geometryi; z nipj to wypływają: ważna zasada ciągłości [principe de continuite] Ponccleta44 i wspomniane dwie zasady Chas 1 es'a; ona to kierowała twórczością St e i n o r a 4\ który "odkrył organizm, łączący najróżnorodniejsze zjawiska w świecie przestrzeni. Potężny jéj wpływ widocznym jest w Analizie, gdzie nietylko otworzyła dla umysłu dziedziny nowych liczb, ale i teoryą funkcyj doprowadziła do wysokich uogólnień. Ona to była kierowniczką wielkiego matematyka W r o ń s k i e g o w zdobywaniu dla nauki nowych poglądów; ona doprowadziła go do praica najwyższego^, które uważał za twierdzenie naczelne całéj wiedzy matematycznéj. Śmiało rzec można, że całkowity rozwój Matematyki odbywa się pod przewodnictwem zasady zachowania, pojętéj w całéj jéj ogólności. Ponieważ zaś rozwój nauk fizycznych ściśle jest związany z postępem nauk matematycznych, łatwo przeto rozumieć, że wpływ téj zasady musi się dać uwidocznić i w pierwszych. W saméj rzeczy, w naukach fizycznych zasada zachowania uwidocznia się w związkach stałych, zachodzących pomiędzy elementami zjawisk w rozmaitych dziedzinach; Fizyka związki te odkrywa, Matematyka zaś urabia je w formy sobie wła ściwe i odpowiedniemu poddaje badaniu. Zastosowanie Matematyki do nauk realnych polega właśnie na tem, że związki formalne, jakie Matematyka stwarza, znajdują swoje urzeczywistnienie w związkach, zachodzących pomiędzy elementami zjawisk.
Zasada zachowania jest wszakże tylko kierującą; oprócz niéj konieczną jest zasada regulująca, aby uogólnienia pojęć, działań i związków nie doprowadzały ani do sprzeczności logicznych, ani do niezgodności z prawdami, poprzednio dowiedzionemi. Zasadę tę możemy wyrazić w sposób następujący:
"Wszelkie związki, konstrukcje i działania iv dziedzinie form nowych nie powinny prowadzić do wyników logicznie sprzecznych lub niezgodnych z prawami, odnoszącemi się do dziedziny form dawnych„.
W wielu razach, do usunięcia téj sprzeczności lub niezgodności wystarcza, jeżeli przy przenoszeniu związków z dziedziny pierwotnéj do dziedziny ogólniejszéj pomijamy pewne prawa, które w takim razie charakteryzować będą specyalnie dziedzinę pierwotną. Niekiedy jednak, gdy do form ogólniejszych dochodzimy inną drogą, wyjaśnienie i zbadanie niezgodności logicznéj, a zarazem określenie dziedziny form uogólnionych za pomocą warunków koniecznych i dostatecznych jest rzeczą niełatwą, i to stanowi powód, dla którego często uogólnienia nauki nie mają tak szerokiego zastosowania, jakie im przypisywano, dlaczego np. prawo najwyższe nie ziściło w całéj rozciągłości oczekiwań jego twórcy.
Stosowalność prawa zachowania w specyalnych dziedzinach badania powinno dać się w ogólności sformułować za pomocą warunków, wyrażających niezmienność pewnych form oznaczonych przy wszelkich zmianach i konstrukcyach, jakie w badanéj dziedzinie wykonywamy; co ostatecznie wyrażać powinno konieczność zgodności logicznéj wyników całego biegu rozumowań z prawdami, przyjętemi za podstawę badania. W naukach formalnych tę podstawę stanowią, jak wiadomo, poczynione założenia; w naukach realnych —system faktów zasadniczych, liypotez lub wreszcie praw natury. Zbadanie istoty prawa zachowania i warunków jego stosowalności w Matematyce godnem jest gruntowniéj szych niż dotąd studyów ze strony filozofów wiedzy. Tymczasem to, co znajdujemy u W undta47 lub Brixa48 i innych, którzy ze stanowiska Teoryi poznania badali podstawy wiedzy matematycznéj, jest mało wystarczające. I) u b o i s-R e y ni o 11 d4-ł, który nie należy do zwolenników wybitnie formalnego kierunku dzisiejszéj Matematyki, zapatruje się też sceptycznie i na samą, zasadę zachowania, opierając się na tem, że istnieje wiele przypadków, w których zasada ta prowadzi do wyników zupełnie fałszywych. Jako przykład podaje on twierdzenie


które, jak wiadomo, wypowiada swoje usługi w wielu przypadkach. Uwaga Dubois-Reymonda jest słuszną, ale nie świadczy na niekorzyść saméj zasady, owszem powinna, zdaniem naszem, pobudzić matematyków do badania granic jéj stosowalności.
1 O niedostateczności określenia Matematyki,jako nauki o wielkościach, mówią: K. Ch. Fr. Krause, Tagblatt des Menschcheitslebeiis, 1811. porówn. wydane w r. 1889 tegoż Philosophische Abhandluiigen, str. 271. i następne; II. Grass mann, Ausdelinungslelire, wydanie 2-e, 1878. str. XXII, i inni.
2 Nazwy formy dla utworów matematycznych używa li. Grass mann Ausdelinungslehre, str. XXII. Matematyka jest według niego nauką
0 formach [Formenlehre]. Według Roberta Grassmann a, Die Formenlehre oder Mathematik, 1872., nauka o formach czyli Matematyka jest nauką o prawach ścisłego naukowego myślenia i składa się z pięciu gałęzi, a mianowicie: z nauki o wielkościach, Logiki, nauki o kombinacjach> nauki o liczbach i z nauki o rozciągłości [Ausgnlehre\.
3 Grass m a n n, Ausdelmungslelire, str. XXII.
4 K a n t, Kritik der reinen Yernunft, wydanie E r d m a n n a 1880. Pogląd ten wypowiedziany jest w wielu miejscach np. na str. 145, 488—494
1 t. d.
5 W r o ń s k i, Introduction a la philosophie des Mathematiąues, 1811, str. 1 —4. Porówn. także tegoż, Sept manuscrits inedits ócrits de 1803 a 1806, oeuvres posthumes, 1879.
6 C o m t e, Cours de philosophie positive, wydanie z r. 1863,1, str. 98. * W u n (11., System der Philosophie, 1889, str. 26.
s W u n d t, tamże, str. 123.
9 Ilankel, Theorie der complexen Zahlensysteme, 1867, str. 48.
10 B o 1 z a n o, Paradoxien des Unendlichen. Wydanie 2-e, 1889, str
4—0,
11 P a u 1 D u b o i s-R e y m o n d, Die allgemeine Functionentheorie. 1882, str. 14-57.
32
[7
WSTĘP.
13 Dziś wyraz moduł; w znaczeniu użytem w tekście, zastępujemy wprowadzonem przez W e i e r s t. r a s s a wyrażeniem wartość bezwzględna.
l'R7.YHSY.
n H. (5 r a s s m a n n, Lehrbuch der Aritlimetik, 1861, str. 1.
14 Helmholtz. Zahlen und Messen, erkenutnisstheoretisch betrach-
tet. [Philosophische Aufsatze, Eduard Zeller zu seinem Junfzigjahrigen Doctorjubilaum gewidmet, 1887, str. 16—52]. W roku 1868 R i e m a n n w rozprawie, napisanéj jeszcze w r. 1854., Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen [Gsttinyer Abhandlunyen, XIII, 1 — 20, także B. Riemann's Gesammelte mathematische Werke, 1876, str. 254 — 269; przekład polski S. Dieksteina i Wł. Gosiewskiego w Pamiętniku Towarzystwa Nauk Ścisłych w Paryżu. IX, 1877] i jednocześnie Helmholtz w pracy: Ueber die Thatsachen der Geometrie [Gtittin(jer Nachrichten, 193—221. także Wissenschaftliche Abhandlunyen von H e rmann Helmholtz, 11,1883. str. 618 — 639], zajęli się zbadaniem podstaw, na których spoczywa nasza Geoinetrya. Te znakomite rozprawy wpłynęły na pogłębienie całśj wiedzy matematycznéj i zrodziły bogatą, literaturę [porówn. Wiadomość o pracach z dziedziny Geometryi wielowymiarowéj, Prace matematyczno-fizyczne. I, 1888, str. 128—135]. Wyniki tych nowych badań przedstawimy we właściwém miejscu; tu powiemy tylko, że H e 1 m h o 11 z hołduje teoryi empirystycznéj, według którśj pewniki Geometryi nie są twierdzeniami a priori, jak utrzymuje Kant, lecz prawdami, które doświadczeniem zdobywamy i któremi jedynie doświadczenie zachwiać by mogło. Rozprawa o liczeniu i mierzeniu ma być odnośnie do Arytmetyki dopełnieniem tych poglądów wielkiego fizyka. Winniśmy dodać, że pod tym względem miał Helmholtz poprzedników w Grass mannic, Hankelu i Schroder z e. Równocześnie z pracą podobnéj treści wystąpił Kronecke r w rozprawie, Ueber den Zahlbegriff. | Philosophische Aufsatze i t. d., str. 263—274.]. Z krytyką poglądów Helmholtza i Kroneckera występują: G. C a n t o r, Zur Lehre von Transfiniten, 1890, str. 17, oraz K erry, Ueber Anschauung und ihre psychische Verarbeitung [Yierteljahrsschrift fur wissenschaftliche Philosophie, XIV, 1890, Str. 317—353].
33
15 Porówn. E v e r e 11 a, Jednostki i stałe fizyczne, przekład polski J. J. B o g u s k i e g o, 1885., Wł. Natansona, Wstęp do Fizyki teoretycznéj, 1890, str. 8—11., oraz J.B ertranda, Leęons sur la thćorie mat,hematique de 1'electricite, 1890, str. 266—296.
3
N. T h i e 1 e, Til Afslutning af Regneundervisningen, 1883, dzieli przedmioty badań matematycznych na pięć klas następujących: Do pierwszśj należą mnogości, posiadające jedność bezwzględną [indywiduum] i dające się przedstawić za pomocą liczb całkowitych. Do drugiśj uielkości [długości, powierzchnie, objętości, ciężary, wartości]; te mają jedności względne, dowolnie przyjęte, a do opisu ich potrzebne są liczby ułamkowe i niewymierne dodatne. Przedmioty pierwszéj i drugiéj klasy mają zero bezwzględne. Trzecią klasę stanowią punkty rzeczowe — Tingpunkter — [temperatura, momenty czasu, punkty na prostéj nieograniczonéj ], przy opisie których nie potrzeba ani zera bezwzglę-
Tojęcia, T. i.
W ST KI'.
dnego ani jedności bezwzględnej; mają one tylko zero względne i jedności względne. Do klasy czwartéj należą "wyrazy,,—Led—[np. wyrazy nieskończonego łańcucha], mają one jedności bezwzględne, lecz nie mają bezwzględnego zera. Wreszcie do klasy piątéj zalicza T h i e 1 o kąty i wogóle przedmioty, prowadzące do pojęć, nie dających się zawrzeć w jednéj z klas poprzednich.
10 Niemożność utworzenia Matematyki wielkości intensywnych tkwi według D ti h r i n g a, [Logik und Wissenschaftstheorie. 1878. str. 254j w braku koncepcyj czysto myślowych i czysto konstrukcyjnych odnośnie do istoty materyi. "Gdyby, powiada on, o ogólnym ośrodku materyalnym można było powiedzieć coś podobnego do tego. co się mówi w pewnikach o przestrzeni, i gdyby nad tworami, zawartemi w tych orzeczeniach, można było wykonywać takie same działania, jakie wykonywa Arytmetyka na liczbach, albo też Matematyka w ogóle w przestrzeni i czasie, to doszlibyśmy do nowéj Matematyki materyi. Przy braku takich pojęć, dochodzimy tylko jedynie do zastosowań Matematyki do materyi i do ciał fizycznych,,.
17 Kant, Kritik der reinen Yernunft. Wydanie Erd mann a, 1880. str163.
18 G. Cantor, Ueber unendliche lineare Punktmannichfaltigkeiten. |' Mathematische Annalen, XX, 1882, Str. 113.].
19 Dcdekin d. Was sind und sollen die Zahlen, 1888.: porów, też pracę tegoż autora: Stetigkeit und irrationale Zahlen, 1872, w któréj istotę ciągłości widzi w następującem twierdzeniu: k4Jeżeli punkty na prostéj rozpadają się na dwie klasy w ten sposób, że każdy punkt pierwszéj klasy leży na lewo od każdego punktu drugiéj, to istnieje jeden i tylko jeden punkt, który daje ten podział punktów na dwie klasy, to rozcięcie prostéj na dwie części,,. Za D e (1 e k i n d e m idzie S t o 1 z w Yorlesungen ttber allgemeine Arithmetik, 1885,1, str. 80—84.
ao C o h e n, Das Prinzip der Infinitesimalmethode und seine Geschichte. 1883. str. 37.
21 A. F i c k, Das Grossengebiet der vier Rechnungsarten, 1880, str. 6.
»s \v e r n i c k e, Die asymptotische Function des Bewusstseins. [ Vierteljahrsschrift fur wissenschaft.liche Philosophie, XI, str. 485 ].
23 H Grass m a n n, Ausdehnungslehre, str. XXIII, XXIV.
3 4
24 Do systemu wiedzy matematycznéj należy Rachunek prawdopodobieństwa, nie wymieniony wyraźnie w tekście. Nauka ta, będąca według wyrażenia L a p 1 a c e'a rzdrowym rozsądkiem sprowadzonym do rachunku-, według Wr oń s kie go "teorya prawa teleologicznego, jakie rządzi przypadkiem,, [loi teleologiąue (lu hasard], ze względu na metodę swoją należy do Algebry i Analizy, ze względu na pojęcie zasadnicze prawdopodobieństwa do Teoryi poznania i do Logiki, ze względu wreszcie na zastosowania do różnych gałęzi wiedzy może być zaliczoną do Matematyki stosowanéj. Teorya prawdopodobieństwa jest dotąd więcéj wyrobioną pod względem metod matematycznych, aniżeli pod względem teoretyczno-poznawczym.
fK/.yPCSY,
25 X e w t o n, Philosophiae naturalis principia mathematica. Przednio wa. Przekład niemiecki W o 1 f e r s a, 1872, str. 1.
56 G a u s s w liście do B e s s e 1 a w r. 1829. Porówn.: Kronecker, Ueber (len Zahlbegriff [JournalJur die reine und angewandte Mathematik, CI, str. 339].
27 Grass m a n n, Ausdelinungslehre, str. XXIII.
28 W r o ń s k i, Introduction i t. d. str. 464 i następne, dzieli tak Algorytm i ą jak i Geometryą na dwie gałęzie: Teorya i Technią. Teorya nazywa on ogół twierdzeń, czyli podań, mających za przedmiot naturę ilości, t. j form matematycznych, Technią—metod, które on nazywa podaniami, odnoszącemi się do mierzenia tychże form. Mamy więc Teoryai Technią Algorytmii oraz Teorya i Technią Geometryi. Dalszy podział każdéj z tych części oparty jest na istocie działań matematycznych, a mianowicie: jeżeli Teorya i Technią używają tylko działań elementarnych, noszą nazwę. Teoryi i Technii elementarnej; jeżeli używają asystemów„ działań elementarnych, noszą nazwę Teoryi i Technii systematyczną'. Prócz tego tak Teorya i Technią mogą. się odnosić już to do powstawania [ generation] form matematycznych, już to do ich związków wzajemnych, do ich porównania [comparaison]; stąd wynika dalsze rozczłonkowanie systemu Matematyki. Cały swój system przedstawił Wroński na wielkiéj tablicy "architektonicznéj.,, dołączonéj do swego dzieła, i uzasadnił go szczegółowo w tekście. W r o ń s k i e m u też wspólnie z Kantem i Carnotem przypada zasługa wprowadzenia Foronomii do systemu Matematyki czystej; patrz jego dzieło Sept inanuscrits i t. d. Porówn. S. Dickstein, Foronomia W r ońskiego [Rocznik Towarzystwa Przyjaciół Nauk w Poznaniu, XVII, 1890.].
35
Arytmetyka i Algebra obie zajmują się liczbami; obu podstawą jest teorya działań, dziedziny ich wzajemnie się krzyżują. W znaczeniu ściślejszym pod nazwą Arytmetyki rozumiemy Teorya liczb, to jest naukę o liczbach całkowitych, o fnnkcyach, za pomocą skończonéj liczby działań elementarnych utworzonych a takie liczby przedstawiających, i w ogóle o układach czyli ciałach liczbowych, za pomocą podobnych funkcyj określonych; przyczem pod nazwą liczb całkowitych rozumiemy nie tylko liczby całkowite rzeczywiste [Teorya liczb zwyczajna] ale i liczby całkowite urojone, idealne, ideały. Głownem zadaniem Algebry jest ogólne badanie funkcyj, zbudowanych za pomocą skończonéj liczby działań zasadniczych, równań, z takich funkcyj utworzonych, i liczb oraz ogólniéj funkcyj, przez takie równania określonych. Lecz gdy badania arytmetyczne są przywiązane niejako do stałego układu liczb określonéj natury, badania algebraiczne, przeciwnie, są prowadzone bez względu na podobny układ; pierwsze są specyalne, drugie ogólne, skąd płynie różnica metod w obu naukach, którą Wroński charakteryzuje, nazywając metody Teoryi liczb teleologicznemi [celowemij. Według pomysłów, które obecnie rozwija Kronecker, cała treść badań algebraicznych powinna dać się "zarytmetyzować*, t. j. Algebra zamienić na Arytme- wstigr,
tykę czyli Teoryą liczb. Tym sposobem obie nauki, wyszedłszy z jednéj podstawy i rozwijając każda swe metody, złączyłyby się we wspólnych pojęciach i metodach. We właściwem miejscu rzecz tę szczegółowo przedstawimy. Ważne metody Algebry, które rozwinęły się nawet w samodzielne gałęzie, mianowicie: Teorya podstawień i grup, Teorya przekształceń i niezmienników, stanowią tak nazwaną Algebrę nową. Jeszcze ogólniejsze formy i za pomocą ogólniejszych metod bada Rachunek wyższy czyli Analiza. Funkcye, któremi się ta gałąź Matematyki zajmuje, nie są pod względem tworzenia swego ograniczone do skończonéj liczby działań elementarnych, a głównem narzędziem badania są, tu pojęcia graniczne czyli nieskończonościowe, do których zalicza się także pojęcie ciągłości, zbieżności i t. d. Można Rachunek wyższy nazwać Teoryą funkcyj matematycznych, najogólniéj uważanych. Analiza ma oczywiście wiele punktów wspólnych z Algebrą, i wogóle wszystkie trzy nauki: Arytmetyka, Algebra i Analiza, stanowią właściwie jednę tylko umiejętność, w któréj formy matematyczne badamy z różnych stanowisk, i, co za tem idzie, przy pomocy różnych narzędzi. Słusznie przeto wszystkie je połączył Wroński jedną nazwą Algorytmu.
Przedmiot nauk, nazywanych w szkole Arytmetyką i Algebrą, stanowi zbiór wiadomości elementarnych z trzech dziedzin powyższych. Arytmetyka elementarna obejmuje naukę czterech działań nad liczbami całkowitemi i ułamkami, przedstawionemi w dziesiętnym układzie liczenia wraz z zastosowaniami do zadań praktycznych. x\lgebra elementarna obejmuje naukę o liczbach ujemnych, elementy teoryi funkcyj całkowitych i rozwiązywania równań algebraicznych oraz teorya kombinacyi, z analizy zaś przejmuje elementarną teoryą postępów geometrycznych nieskończonych i teoryą logarytmów.
Aby dać wyobrażenie o bogatym rozwoju dzisiejszéj Matematyki, przedstawiamy tu tytuły działów i poddziałów, na jakie dzielą, się sprawozdania o postępie Matematyki czy stój, podawane w specyalnem czasopiśmie Jahrbuch uber die Fortschrilte der Mathematik. według XIX-gO rocznika tego pisma:
I. Historya i Filozofia Matematyki.
II. Algebra.
1. Równania. Teorya ogólna. Równania algebraiczne
szczególne.
2. Teorya form.
3. Eliminacya i podstawienia. Wyznaczniki i funkcye
symetryczne.
111. Arytmetyka niższa i wyższa.
Arytmetyka niższa.
36
Teorya liczb.  a) Rzeczy ogólne.
b) Teorya form.
c) Teorya ułamków ciągłych.
IV. Rachunek prawdopodobieństwa. Nauka o kombinacyach.
V. Szeregi.
a) Rzeczy ogólne.
b) Szeregi szczególne.
VI. Rachunek różniczkowy i całkowy.
1. Kzeczy ogólne.
1. Rachunek różniczkowy [Różniczki, funkcye różniczek, maksyma i minima].
Rachunek całkowy.
Całki określone.
Równania różniczkowe zwyczajne. i>. Równania różniczkowe cząstkowe. 7. Rachunek waryacyjny.
VII. Teorya funkcyj.
1. Rzeczy ogólne.
2. Funkcye szczególne.
o) Funkcye elementarne.
b) Funkcye eliptyczne.
c) Funkcye hypereliptyczne, Abelowe i t. p.
d) Funkcye kuliste i t. p.
VIII. Geometrya czysta, elementarna i syntetyczna.
1. Zasady Geometryi.
2. Badania w dziedzinie ciągłości.
3. Geometrya elementarna. [Planimetrya, Trygonome-
trya, Stereometrya).
4. Geometrya wykreślna.
5. Geometrya nowa syntetyczna.
a) Rzeczy ogólne.
b) Utwory płaskie szczególne.
c) Utwory przestrzenne szczególne.
d) Geometrya licząca.
IX. Geometrya analityczna.
1. Współrzędne.
2. Geometrya płaska.
a) Ogólna teorya krzywych płaskich.
b) Teorya krzywych algebraicznych.
c) Proste i stożkowe.
d) Inne krzywe specyalne.
3. Geometrya analityczna przestrzeni.
a) Ogólna teorya powierzchni i krzywych w przestrzeni.  wsnjr.
b) Teorya powierzchni i krzywych algebraicznych
c) Utwory przestrzenne 1-go, 2-go, 3-go stopnia.
d) Inne specyalne utwory przestrzenne.
4. Geometrya liniowa [kompleksy, układy promieni].
5. Pokrewieństwo, przekształcenia liniowe, odwzoro
wania.
a) Pokrewieństwo, przekształcenie liniowe i od
wzorowanie.
b) Odwzorowanie podobne [ conforme Abbildung]. Wundt, Ueber die Eintheilung der Wissenschatten, [Philosophische
Studien, II, 1888, str. 1—55] przedstawia nauki matematyczne w następującym systemie:
I. Nauki matematyczne ogólne.
A) Nauka form ilościowych: Nauka B) Nauka form jakościowych: Teoo wielkościach. rya rozmaitości.
1. Nauki o działaniach nad wielkościami: Algebra.
2. Teorya związków pomiędzy wielkościami: Teorya funkcyj.
II. Nauki matematyczne specyalne.
A) Nauka o liczbach. B) Nauka o przestrzeni:
1. Arytmetyka: Nauka o dzia1. Geometrya syntetyczna: Na-
łaniach nad liczbami. uka o powstawaniu form
2. Teorya liczb: Nauka o licz- przestrzennych z elementów.
bach i związkach pomię2. Geometrya analityczna: Teodzy niemi. lya zastosowania pojęć wiel
kościowych do utworów przestrzennych.
C) Nauka o ruchu.
1. Cynematyka syntetyczna: Nauka o składaniu ruchów.
2. Cyneinatyka analityczna; Zastosowanie ogólnych pojęć
wielkościowych do zagadnień ruchu. Porówn. uwagi nad tym systemem w artykule S. D i c k s t e i u a, O najnowszych próbach klasyiikacyi nauk. [Ateneum, 1889, 1. str. 266 i dalsze.].
30 W u n d t, Ueber die Eintheilung der Wissenschatten [Philosophische Studien, V, 1889, str. 35.].
38
31 G. B o o 1 e, An investigation of tlie Laws of thought on wliich are founded tlie mathematical theoriesoflogic andprobabilities. 1854. Treściwie zebrane wiadomości o pracach uczonych angielskich nad Logiką formalną znaleźć można w książeczce L i ar d a, Les logiciens anglais contemporains, 2-e wyd. 1883. która wyszła i w niemieckim przekładzie p. t. Die neuere englische Logik. 2-e wyd. 1883. Inne próby Logiki, traktowa- 1'rkitisy.
11 éj sposobem matematycznym, ogłosili J. D e 1 b o e u f, Logiąue algorithmiąue, Essai sur un systeme de signes appliąue a la Logiąue, 1877, i G. F r e g e, Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens; wszakże tylko metody logików angielskich wywalczyły sobie pierwszeństwo przed innemi.
Dzieło J e v o n 8 a p. t. The Principles of science, a Treatise on logie and scientific method, 1887 [ wydanie drugie] zawiera wykład Logiki formalnéj, zastosowanie tójże do nauki o liczbach, do teoryi kombinacyi, przemian, prawdopodobieństwa, do metod mierzenia, do badań indukcyjnych, do teoryi uogólnień, analogii i klasyfikacyi.
32 E. Schrdder, Yorlesungen ii ber die Algebra der Logik [exacte Logik]. Tom I. 1890. Krótki wykład Algebry logicznéj znaleźć można w rozprawie St. P i ą t k i e w i c z a, Algebra w Logice [Sprawozdanie yimnazyum we Lwowie za rok 1888].
:l3 Peano wyłożył metodę swoją w następujących rozprawach: Arithmetiees principia nova methodo exposita, 1889; Principii di Geometria loi>;icameiite esposti, 1889; Les propositions du cinquieme livre d'Euchde, rćduites en formules \Mathesis, X, 1890, str. 73 — 74]; Demonstration de 1'integrabilitó des ćąuations dilYćrentielles ordinaires [Mathematische Annalen, XXVII, 1890]. O metodzie téj powziąć można wyobrażenie z następującego treściwego jéj przedstawienia:
Znaki, używane w téj metodzie, są następujące:
K oznacza klasę | rozmaitość, mnogość przedmiotów i t. p.], ^ oznacza Spójnik z", r\ albo, £ znaczy jest, = równa się, Q jest zawarty albo wynika ^—nic albo niedorzeczność.
Jeżeli a, b, c są K [klasami], to a r^ b c oznacza: klasę wspólną klasom o, 6, c.
al>c r to samo co a r\b c.
a b c .. najmniejszą klasę, zawierającą w sobie klasy ayb i c. r klasę złożoną z elementów nie-a. x jest a [należy do klasy oj. .r, y za „ xi y należą do klasy o.
a = b „ klasy o i b są teżsame.
aę)l> „ klasa o jest zawarta w klasie b. albo każde o jest b
A ,, nic albo klasę "zero,,. Tak np. ab = ^ oznacza, że
żadne a nie jest b.
.Jeżeli o, by c są zdaniami, to a r\h r\ c oznacza: jednoczesne potwierdzenie zdań a i b\
abc .. to samo CO o r\ b r\ c;
a b c że przynajmniéj jedno ze zdań 6, c jest prawdziwe
—a „ zaprzeczenie zdania o. Jeżeli zdanie o zawiera je
39
—a x z a
den ze znaków q, =. e, wtedy znak— dogodniéj jest pisać przed temi znakami. Tak np. a — = b piszemy zamiast —(a = b), x — za zamiast — (x-a) lub xi—-a.
40 WSTĘP.
Jeżeli np. a, b są. K, to ab — = \ oznacza, że jakieś a jest 6.
a = b oznacza: zdania a i b są teżsame.
a o b „ ze zdania a wynika 6, albo jeżeli jest a, to jest b. \ „ niedorzeczność. Tak np. ó=\ oznacza o q b.
Jeżeli a i b są zdania, zawierające przedmioty nieoznaczone y,. . . „ wtedy
a b oznacza: jakiekolwiek jest x, z a wynika b. a O*u f) v jeżeli x i y czynią zadość a, to czynią zadość i b. a ==, b „ dla wszystkich wartości x zdania a i 6 są teżsame. a — A n warunek a nie jest co do x niedorzeczny, albo istnieje x, czyniące zadość warunkowi a. Rozmaite części jednego wzoru oddzielają się od siebie nawiasami, jak w Algebrze. Do oddzielenia części twierdzenia używamy punktów .: .*.:: i t. d. Aby przeczytać wzór opatrzony takiemi punktami, łączymy najprzód znaki, nie rozdzielone punktami, następnie znaki, rozdzielone jednym punktem, rozdzielone dwoma, potem trzema i t.d. Tak np.
ab .cdief.g / h . ki oznacza {[(ab) (cd)] [(ef)g]}[A(fcf)]
Przy pomocy tego znakowania twierdzenia Logiki wyrażają się nadzwyczaj zwięźle, jak to pokazują następujące przykłady:
o s K . o. a. q o (quod est, est } .
a, b, cśK.aQ6 jQc:Q.flQc wyraża sylogizm:
Jeżeli a, 6, c są klasami, np. sądami, to: jeżeli z a wynika b, z b zaś wynika c, to z a wynika c.
a. b z K aa •=a.a\*sa = a. — (— a) — a . a — — \
aA = Ai a ^ A = Jeżeli a. 6 są klasami, to stąd wynika, że klasa wspólna klasom a i a jest klasą a; najmniejsza klasa, obejmująca klasy a i a jest a; klasa, będąca negacyą klasy nie-a, jest klasą a; klasa wspólna klasie nt€-a jest klasą zero; klasa wspólna klasie a i klasie zero jest zerem; najmniejsza klasa, obejmująca klasę a i klasę zero, jest klasą a.
Następujące trzy wzory czytelnik z łatwością sam odczyta.
a, b z K ,Q:a6 = 6fl,o\j6=6vja,fl6Qa,a[)ow6.— (a r\b) = C— a) w (— b) . —(a w 6) — (—a) rs (— 6);
a, 6, c e K . Q: (ab) c -=-a (Ac) = abc . (« ^ />) <■ = a (b w c)
= a w 6 c;
a. 6 s lv . f) .'. a f) 6 . =: r s a ^ x c Liczbę tych przykładów możnaby znacznie powiększyć; ale i podane wystarczają do pokazania, w jaki sposób symbolistyka Peano skraca wysłowienie twierdzeń. Równie zwięźle przedstawić można twierdzenia matematyczne, jak to pokazują następujące przykłady, które czytelnik łatwo odczyta. W nich klasą N są liczby całkowite dodatnie, inne znaki są zwykłe arytmetyczne.
ab z N.o . o4-(6fl) = a(6-ł1); a bez N . Q . a -f (b -f-c) = a 4" & + c i o s N . 3 . 1-f a = rt + l; abzN.Q:a<b. = .b — a — = a z N. 3 .aXl —A; a b s N. Q . a b z iV; o, by C£XV.Q.<* = &:£):ac = 6c.;
o, 6, e, £ N. 3 a < b . = . a c < 6 c: a = b . = . a c = b c:
a;>/;. — . ac>/yc.;
a, 6, c £ Ar. 3 . a (bc) = a bc;
a, 6 £ N. 3: bja = iV[ss] (x a = 6).
Ostatnie twierdzenie wyraża: jeżeli a i /> są liczbami całkowitemi, to iloraz z podzielenia b przez a jest liczbą całkowitą, jeżeli istnieje takie x, dla którego xa = 6. W następujących przykładach q niechaj oznacza klasę liczb rzeczywistych; możemy napisać następujące twierdzenia:
a, b z q . 3 . ab —ba
[jeżeli liczby a i 6 są rzeczywiste, to iloczyn ab równa się iloczynowi óa]
a, b £ q . a2 -fó2 = 0: 3: a = 0 . 0
Wzór ostatni oznacza, że jeżeli iloczyn dwóch liczb rzeczywistych a i b jest zerem, to albo a albo b musi być zerem.
a, b■, xy y £ <7 . 3 .\ x -fy = a . x — y — b: —: 2x = a b . 2y = a — b.
= \ = . a2 — 4 6 > 0.
Wzór drugi wyraża twierdzenie: "Jeżeli a i 6 są liczbami rzeczywistemi, to warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby pierwiastek równania x* Ąa x b = 0 był liczbą rzeczywistą, jest: a2—4 b > 0„.
Twierdzenia piątéj księgi Euklidesa przedstawiają się pod postacią wzorów następujących, w których G oznacza klasę wielkości, N zaś, jak wyżéj, klasę liczb całkowitych dodatnich:
1. af b £ G . m z N: 3 . ma -fm b = m (a-f b)
2. a £ G, w, n z N: 3 . m a -fna — (/»-(-«) a
3. .. : 3 . n(ma) = (nm) a
4. a, b. c, (/, £ G, my n z N . a/b — c/d: 3 . (ma)J(nb) — {mc)/(n/d) 5. a, b £ (7 . ni z iY: 3 . ma—mb—m(a—6) (i. a z G, MI, n s A: Q . ma—na=(m—n)a
7. a, 6, c £ G . a = b: Q: ajc = bjc . c/a = c/6
8. „ a;> 6: 3: a/c z> bjc . r/6;> cja
9. o/c = b/c: 3 . a = 6 / ,, c/a = e/6: 3 . a = b
10. j „ a/c > bjc: 3 . a > 6 V „ c/6> c/a: 3 . a> 6
11. a, 6, c, (/, e, / £ G . ajb = c/t/ . c/rf = ejf: 3 . a/6 — e[f
12. „ . a/6 = c/cf =ejf: q . a/6 = (a-ł-c+e)/(6+^+/)
13. „ . a/6 = c/tf . c/d > e(f: 3 . a/6;> ejf
14. a, 6, c, d i G . a/6 = c/c/: 3 a > c . 3 . 6;> d: a=c . 3 . 6=<i:
a <C c . k > . 6 <r d.
15. a, 6 s G . m z N: 3 . (»<a)/(in6) — a/6 IG. a, 6, c. c/ s 6' . a/6 = C:d: 3 . a, c — 6/</.
17. „ 1 0 • (a—6)/6=(c—</;/</
18. .. „: o . (a+6),6=(c-hJ)/c/
19. ., „: 0 • (a-c)l(b-d) = a;b
20. a, 6, c, </, e f z G . a/6 = dte . 6/c = e /: 3 .*. a;> c . 3 . d>J\
a = c . 3 . </ —f: a <C c . 3 . d < t
21. ,. a/6 = . 6/c — d/c: 3 a >■ c . 3 . d z>f:
a = c . 3 . e/ =./': a < c . 3 . d c f
22. „ 0 6 — dje . 6/c = e[/': 3 . ajc — djf
23. „ a/6 = e//. bjc =: 3 . a/c = rf//*
24. a/6 = cjd . c/6 = fid: 3 . (a+e)/6 (c-b/)/</
25. a, 6, c, (/, £ G . a/6 — c </ . a > 6 . a > c t 3 ,« + £/>/< + c.
Dla przykładu pokażemy jeszcze, w jaki sposób Peano wyraża niektóre twierdzenia geometryczne. W (ieometryi A'oznacza klasę lub kategoryą utworów geometrycznych. 1 wyraża punkt, K\ oznacza klasę punktów albo figurę geometryczną, znak — między dwoma punktami oznacza ich tożsamość. Jeżeli a, 6 są punktami, to ab oznacza klasę, utworzoną z punktów wewnętrznych odcinka a6.Wzór c £ ab oznacza, że c jest punktem wewnętrznym odcinka ab.
a, 6 £ 1 . 3 . a6 £ A l
a, 6, c, ć/, £ 1 .a = b,c = d:ę).ac = bd. Ostatni wzór wyraża aksiomat o prostéj.
a, 6, c, d £ 1 . c £ ad . 6 £ a c: 3 . 6 s a d.
Wzór ten wyraża: jeżeli ay 6, c, d są punktami odcinka, punkt c leży wewnątrz odcinka a d, punkt 6 wewnątrz odcinka ac., to wynika stąd, że punkt 6 leży wewnątrz odcinka ad.
a, b z 1 . c, d £ a' b: Q e s 1 . c, d $ ae: — —c A
Wzór ten wyraża, jeżeli a i b są punktami, c i d zaś są punktami prostéj a'b, to istnieje punkt e taki, że punkty ci d należą do odcinka ae.
Wzór a, c, d z 1 . />, q s ab . q 9 cd . p — = q: ę) y e 1.
c, 6, <?, r/ c xy: — = A
wyraża: Jeżeli a, 6, c, d są punktami i jeżeli odcinki ab i cd mają wspólne dwa punkty różne, to te cztery punkty należą do jednego odcinka.
34 Wykładowi ogólnych metod Matematyki poświęcony jest rozdział tomu 2-go Logiki W u ud ta. 1883, str. 76—114, w któréj czytelnik znajdzie następujące rzeczy: o zadaniach badania matematycznego, o analizie i syntezie matematycznéj, o indukcyi i abstrakcyi matematycznéj, o dedukcyi matematycznéj. Ten sam przedmiot opracował wcześniéj Wundt w rozprawie Ueber die mathematische Induction [Philosophische Studien, II 1883, str. 90—1471.
35 Hankel. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, 1874, str. 137—150.
36 przykład wzięty z 1) a u g e'a Leęons de Metliodologie mathematiąue 1881-1882.
37 H a n k e 1. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter, jak wyżéj.
38 J. M. C. I) u h a in e 1. Des móthodes dans les sciences des raisonnenient. Premiere partie. Des mśthodes communes a toutes les sciences de raisonnenient. Wydanie 3-e. 1885.
3;ł O indukcyi i dedukcyi matematycznéj, patrz W u n d t, Logik II. 85-114.
40 Potężnym bodźcem do uogólnienia badań matematycznych było wprowadzenie liter do oznaczania liczb w rachunkach algebraicznych. Przy przedstawianiu działań w takiéj postaci, musiały naturalnie powstawać pytania o ogólnem znaczeniu działań, gdy się żadnych co do liczb, wyrażanych przez litery, nie czyni założeń specyalnych. .Przez Geonietryą Descarte s'a wpływ téj metody przeszedł na Geometrya i rozwinął się następnie w Geometryi syntetycznéj.
41 Hankel, Theorieder complexen Zahlensysteme, 18o7. str. 10—12.
43 O h a s 1 e s. Aperęu historique sur l'origine et le dćveloppement des
metliodes en geometrie, particulierement de celles qui se rapportent a la geometrie moderne, suivi dun memoire sur deux principes gśn£raux de la science, la dualite et Thomograpliie 1847, wyd. 3-e 1889, str. 586—695.
4:i Klein F., Yergleichende Betrachtungen iiber neuere geonietrische Forschungen, 1872, str. 7.  wsTęp.
44 P o n c e 1 e t, Traite des proprietes projectives des figures, 1822, Wydanie 2-gie, 1865. Dwa tomy. Porównaj nadzwyczaj interesujące uwagi zawarte we wstępie do tego znakomitego dzieła.
45 Stein er. Systematiscke Entwickelung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten, 1832; także w Jacob Steiners Gesammelte Werke I., 1881. str. 233.
46 Wroński podał w r. 1810 "prawo najwyższe,, w rozprawie: Premier principe des methodes algorithmiąues comme base de la Tecknie mathematiąue, i rozwinął ją w dwóch wielkich tomach dzieła: Philosophie de la Technie algorithmiąue, 1815, 1816—1817. Porównaj O -prawie najwyższśm,, H o e n e W r o ń s k i e g o w Matematyce, przez S. Dicksteina, [Prace matematyczno-fizyczne, tom II, 1890. Str. 145—168].
48 B r i x, Der mathematische Zahlenbegriff und seine Entwicklungsformen. [Philosophische Studien, VI, 1890 str. 290].
44
49 D u b o i s-R e y m o n d. Die allgemeine Functionentheorie, str. 38. CZĘŚĆ PIERWSZA.
o
TEORYA DZIAŁAŃ.
I.a science arithmćtiąue se dćveloppc a la facon d'un arbrc dont chaąuc branche donnę naissance a plusieurs branches qui a leur tour se divisent et se rainifient a 1'intini.
J. Delbocuf.
ROZDZIAŁ T.
LICZBY CAŁKOWITE.
S. DZIAŁANIA PROSTE.
Wiemy już, że liczby całkowite stanowią fundament Arytmetyki i że prowadzi do nich abstrakcya z dostrzeganéj wielości przedmiotów.
Przedmioty, zjawiska dostrzegane, lub odpowiadające im akty myśli nazywamy: pierwszym, drugim, trzecim, i t. d. Każdemu z dostrzeżonych przedmiotów odpowiada pewien liczebnik porządkowy; inaczéj mówiąc, przedmioty, przez nas dostrzeżone i odróżnione, odpowiadają kolejno wyrazom szeregu:
pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, ....
Szereg tych wyrazów zastąpić można szeregiem innych przedmiotów lub znaków w ten sposób, aby każdemu przedmiotowi z pierwszego szeregu odpowiadał jeden przedmiot lub znak z drugiego szeregu, i odwrotnie, aby każdemu przedmiotowi z drugiego szeregu odpowiadał jeden przedmiot z pierwszego. Podobne przystosowywanie czyli odwzorowywanie wzajemne dwóch szeregów przedmiotów sta-
C/.EST I. ROZDZIAŁ I.
nowi nie tylko podstawę liczenia, ale jest źródłem wielu ważnych metod matematycznych, o których w téj książce mówić będziemy. Jeżeli z wyrazów szeregu
pierwszy, drugi, trzeci, czwarty, . . .
utworzymy szeregi:
pierwszy, pierwszy, drugi, pierwszy, drugi, trzeci, pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,
pierwszy, drugi, trzeci, czwarty,.... n—y,
to do każdego takiego szeregu będziemy mogli przydzielić liczbę, a mianowicie, do pierwszego szeregu liczb § jeclen, do drugiego liczbę dwa, ... do ostatniego liczbę n. Przy tworzeniu liczby umysł wykonywa syntezę aktów myśli, odpowiadających każdemu z powyższych szeregów: do dziedziny nazw lub dziedziny przedmiotów dodaje coś nowego, a mianowicie szereg form matematycznych. Formy te odtąd służyć mają za szereg zasadniczy, z którym porównywać będziemy zawsze jakiekolwiek szeregi przedmiotów, podległych naszemu spostrzeganiu ]. Liczba, otrzymana z syntezy aktów, o jakich mówimy, uważa się za liczbę przedmiotów badanego przez nas szeregu.
Licząc przedmioty, t. j. dając każdemu z nich nazwę, wziętą z szeregu liczebników porządkowych, przez to samo przedmioty te porządkujemy. Jeżeli zmienimy porządek przedmiotów, t,. j. przestawimy je w sposób dowolny, i następnie porównamy z szeregiem liczebników porządkowych tak, aby kolejnym przedmiotom przypadły znowu nazwy pierwszy, drugi, trzeci..., to oczywiście ostatniemu przedmiotowi, bez względu na poczynione przestawienia, odpowie taż sama nazwa, która odpowiadała ostatniemu przedmiotowi w poprzedniem uporządkowaniu. Liczba przeto, odpowiadająca szeregowi po przestawieniu, będzie taka sama, jak liczba, odpowiadająca mu przed przestawieniem; liczba przedmiotów nie ulega zmianie, czyli, wyrażając się słowami Kronecker a, liczba jest niezmiennikiem danego szeregu przedmiotów
[8
Liczba w tem znaczeniu, to jest. liczba całkowitay zastępuje przy liczeniu liczebniki porządkowe, zamiast więc nazywać przedmioty pierwszym, drugim, trzecim, .. . , liczymy: jeden, dwa, trzy . , . Przy liczeniu w ten sposób nie tylko oznaczamy każdy przedmiot, ale jednocześnie wykonywamy syntezę aktów myśli, odpowiadających każdemu z przedmiotów, to jest określamy ów niezmiennik, ową formę matematyczną, która pozostaje niezmienną przy dowolnem przestawianiu przedmiotów liczonych. [Na nazwę tego niezmiennika język niemiecki posiada wyraz uAnzahl„, gdy wyraz "Zahl,, używa się w znaczeniu ogólnem, a więc nie tylko dla liczb całkowitych, ale i ułamkowych, ujemnych i t. d. I my w tem samem znaczeniu używamy wyrazu "liczba,,, dla oznaczenia zaś pojęcia "Anzahl,, najwłaściwszym byłby wyraz "ilość,,. Lecz upowszechniło się w naszym języku naukowym używanie wyrazu ilość, raz w znaczeniu logicznem, w przeciwstawieniu do wyrazu jakość, drugi raz do oznaczania wogóle liczb jakichkolwiek, a nawet do oznaczania wielkości. Dla niewywołania więc zamieszania w języku naukowym, dla wyrażenia pojęcia uAnzahl„ używać będziemy wyrażenia "liczba całkowita,, lub, gdy nie zachodzi obawa dwuznaczności, wyrazu liczba; mówić też będziemy o wielości, mnogości lub rozmaitości przedmiotów, nadającéj się do przedstawienia za pomocą liczby |.
Szereg liczb:
jeden, dwa, trzy, cztery,.. .
lub w znakach:
1, 2. 3, 4, . . .
wystarcza do liczenia jakiegokolwiek szeregu przedmiotów, ale posiada on jeszcze inne ważne zastosowania, które zaraz przedstawimy.
Niechaj będą dwa szeregi przedmiotów, nazwijmy je A i B. Każdy z tych szeregów możemy liczyć oddzielnie, nazywając przedmioty szeregu A kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, . . . ,n,-ym, przedmioty szeregu B, nazywając także kolejno: pierwszym, drugim, trzecim, . . . , w2-ym. Wyobraźmy sobie teraz szereg liczb całkowitych
1. 1, 2, 3, 4,
8]
47
DZIAŁANIA VROSTR.
i przystosujmy do niego liczebniki porządkowe z poprzednich dwóch szeregów w ten sposób, aby liczbom szeregu 1. odpowiadały po kolei i bez przerwy liczebniki pierwszy, drugi, trzeci, . . .,*vy, pierwszy, drugi, trzeci, . . . , n2-y, wtedy ostatniemu przedmiotowi szeregu Z? odpowie liczba szeregu 1., którą nazywamy sumą liczb n{ i n2 i oznaczamy przez n1 -fn2. Liczba n{ -{n2 w odniesieniu do dwóch danych szeregów A i B oznacza, że jeżeli przedmioty obu szeregów wyobrazimy sobie, jako stanowiące szereg jeden, w którym idą przedmioty najprzód szeregu A. a następnie szeregu B, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danycht liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie n1 +w2.
Jeżeli znowu do szeregu 1. przystosujemy w sposób wyżéj opisany najprzód liczebniki porządkowe pierwszy, drugi, trzeci, . . .,w2-y, odpowiadające szeregowi A, następnie liczebniki porządkowe, pierwszy, drugi, trzeci,. . ., nl —y, odpowiadające szeregowi B, to dojdziemy do pewnéj liczby, która będzie sumą liczb n2 i ni, a którą wedle przyjętego znakowania przedstawiamy za pomocą n^Ą-n^. Liczba ta wyraża oczywiście, że jeżeli wyobrazimy sobie przedmioty obu szeregów, jako stanowiące szereg jeden, w którym najprzód idą przedmioty szeregu B, a następnie przedmioty szeregu A, to, bez względu na porządek przedmiotów w każdym z szeregów danych,
liczba, odpowiadająca temu jednemu szeregowi złożonemu, będzie + •
Działanie, za pomocą którego otrzymaliśmy liczbę ?i1 -fn2 lub n2 + nv nazywa się dodawaniem.
Jest oczywistem —i oczywistość ta niezależnie od poglądu na źródła naszego poznania, musi być uważana za założenie zasadnicze teoryi działań, —że liczba n2Ą-nly do któréj doszliśmy przy drugiem liczeniu, jest tą samą liczbą szeregu 1., jaką jest liczba n{ -\-n2, do któréj doszliśmy przy pierwszem liczeniu, co wyrażamy w ten sposób:
2. = n2 + nl.
Prawo to nazywa się prawem przemiennohci dodawania [commutativ Law]. Wzór 2., wyrażający to prawo w przypadku dwóch składników, z łatwością może być rozszerzony do jakiejkolwiek [skończonej] liczby składników, jeżeli znaczenie dodawania trzech i więcéj liczb za pomocą określenia ustalimy. Prawo to wyrazić można ogólnie za pomocą wzoru
+ n2 +• • • • + n> = "a + np + • • . + ne, gdzie a, fi o stanowi jakąkolwiek przemianę szeregu 1, 2,..., r.  DZIAŁANIA FROSTK.
Z poprzedzającego wnieść można, że dodawanie dwóch [i więcéj liczb] jest tylko uogólnieniem liczenia. W dodawaniu zestawiamy szeregi przedmiotów, z których każdemu odpowiada jedna z liczb szeregu 1., w liczeniu zaś te szeregi składają się każdy z jednego przedmiotu, któremu w szeregu 1. odpowiada pierwszy wyraz. Jeżeli liczbę, odpowiadającą takiemu pojedyńczemuprzedmiotowi, nazwiemy jednością, to liczenie będzie można nazwać dodawaniem jedności. Widzimy zarazem: 1. że gdy idzie o dodawanie i wogóle o działania na liczbach całkowitych, wszystkie przedmioty liczone, bez względu na różnice, jakie pomiędzy niemi istnieć mogą, zamieniają się w procesie liczenia wszystkie na jedności, wszystkie zatem stają się równemi. 2. że każdą liczbę szeregu 1. wyrazić można jako sumę liczby, bezpośrednio przed nią się znajdującéj, i jedności, czyli, liczbą szeregu 1., bezpośrednio następującą po liczbie n, jest n -(1. Z prawa przemienności 2. wynika
3. »+l = l+ ».
Jeżelibyśmy wzór 3. stanowiący przypadek szczególny wzoru 2., przyjęli za założenie zasadnicze, to z niego i przy pomocy określenia
4. nx + (n2 + 1) = (;h + n2) + 1 ,
moglibyśmy wyprowadzić tak wzór 2. jako też i wszystkie własności dodawania.
Wzór 4. stanowi przypadek szczególny ogólniejszego wzoru
5. nx + (n2 + n3) = (n, -f n2) + n3,
6]
wyrażającego prawo łączności \ associatiye Law] dodawania. Prawo to określa właśnie sumę trzech składników: jedna i druga strona wzoru 5. oznacza sumę trzech liczb nx -fn2 ns. Prawo to rozciąga się na jakąkolwiek [skończoną] liczbę składników.
Łącząc prawo przemienności i łączności w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do dodania ilekolwiek liczb nl9 n2,... ,nr, możemy otrzymać sumę ich, łącząc którekolwiek i ilekolwiek z nich w sumę cząstkową, z pozostałych liczb łącząc znów którekolwiek i ilekolwiek w drugą sumę cząstkową i t. d., póki nie wyczerpiemy wszystkich składników danych, i dodając następnie sumy cząstkowe w dowolnym porządku3.
1'ojęcia. T. I.
50 CZĘSÓ I. ROZDZIAŁ I.
Jeżeli pojedyncze składniki sumy n, -f n2 + • • • + nr są wszystkie równe jednéj liczbie n, wtedy dodawanie przechodzi w mnożenie, suma zaś nx + ?i2 -j... + n,. = w + w -f ... + n przyjmuje na% zwę iloczynu liczb n i r i oznacza się przez nr. Liczba nr jest niezmiennikiem, odpowiadającym szeregowi utworzonemu ze złączenia r szeregów, z których każdy zawiera po n przedmiotów. Jeżeli w tym szeregu złożonym zmienimy ustawienie przedmiotów w ten sposób, aby najprzód stały obok siebie wszystkie przedmioty, które w szeregach danych były pierwszemi, następnie wszystkie, które były drugiemi i t. d., wreszcie wszystkie, które były ostatniemi, to dojdziemy tym sposobem do liczby rn. Ponieważ liczba przedmiotów nie uległa zmianie, a zatem
6. nr = r n.
Wzór ten wyraża prawo przemienności mnożenia dla przypadku dwóch czynników. Jeżeli określimy mnożenie trzech [i więcej] czynników za pomocą wzoru
7. nt (n2 n.Ą) = (nL n2)?i:i,
wyrażającego prawo łączności, przyczem pierwsza i druga strona wzoru 7. wyrażają iloczyn nx n2 n.Ą, to na zasadzie tego określenia będzie można wzór 6. rozszerzyć na dowolną [skończoną] liczbę czynników t. j. napisać ogólnie
nan^ . . . n(J=nyn2 . . . nr gdzie a, fi, ... oznacza jakąkolwiek przemianę szeregu 1,2,..,r.
Łącząc prawo przemienności i łączności mnożenia w jedno prawidło, możemy powiedzieć, że mając do mnożenia ilekolwiek liczb nl9n* . . , nn możemy otrzymać iloczyn ich, tworząc z którychkoli ilukolwiek z nich iloczyn cząstkowy, z pozostałych ilukolwiek tworząc drugi iloczyn cząstkowy i t. d. póki nie wyczerpiemy wszystkich czynników, i mnożąc następnie przez siebie iloczyny cząstkowe w jakimkolwiek porządku.
Oprócz przemienności i łączności mnożenie liczb całkowitych posiada jeszcze jedną ważną własność, nazwaną prawem rozdzielności [distributive Law]4, które wyraża się wzorami
s + n2) = »! »3 + U2 W3
nAn 1 + n>) — W3W1 + W3 U2
Pierwszy z tych wzorów daje się dowieść przez rozkład iloczynu po 9] DSMAf.ANIA ODUI.OrNK. 51
prawój stronie na sumę nz równych składników, a następnie przez odpowiednie uporządkowanie tych składników, drugi zaś wynika z pierwszego przy zastosowaniu prawa przemienności.
Jeżeli czynniki iloczynu nx n2,... ,nr są wszystkie równe jednéj liczbie w, wtedy mnożenie przechodzi w potęgowanie albo podnoszenie do potęgi, iloczyn zaś nx n2 . . . nr = nn ... n przyjmuje nazwę r-éj potęgi liczby n i oznacza się przez n'\ Liczba n nazywa się podstawą potęgi, liczba r jéj wykładnikiem.
Potęgowanie nie jest przemieniłem ani łącznem, gdyż
W jest wogóle różne od ru
oraz
n(r$) inrY
u » r> » n \n ) 9
nr n*
posiada natomiast własności wyrażone wzorami
nr+*
9. nr* = (n'Y
(mn)r —m'n'\
odpowiadające prawu rozdzielności mnożenia; właściwie tylko, ostatni z wzorów 9. wyraża ściśle tę własność, która łączy potęgowanie z mnożeniem w podobny sposób, w jaki wzory 8. łączą mnożenie z dodawaniem. Pierwsze dwa wzory 9., nie mające analogicznych sobie w dodawaniu i mnożeniu, wyrażają charakterystyczne własności potęgowania5.
9. DZIAŁANIA ODWROTNE.
Opisane wyżéj działania: dodawanie, mnożenie i potęgowanie nazywają się działaniami prostemi; w przeciwstawieniu do nich cztery następujące nazywają się działaniami odwrotnemi. [Działania proste nazywa Hankel tetycznemi — thetische Operationen, odwrotne— litycznemi. lytische Operationen].
Odejmowanie jest to działanie odwrotne względem dodawania; jest to takie działanie, za pomocą którego wyznaczamy liczbę w, czyniącą zadość równaniu
1. x — n2 — nx.
Liczba x nazywa się różnicą liczb nx i n2 i oznacza się przez nx—n2. Kładąc za z to wyrażenie w równaniu 1., otrzymujemy  2. (»j— 7i2)Ą-n.2 = nr
Wzór 2. może być uważany za określenie różnicy lub odejmowania.
Z istoty odejmowania wynika, że jeżeli nt i n2 są. liczbami szeregu 1., że wtedy tylko na x otrzymujemy odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę, znajdującą się w tym szeregu, jeżeli liczba znajduje się w szeregu na prawo od liczby n2, jest od liczby n2 większa. Jeżeli zaś co do nx i w2nie czynimy z góry żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania znaczenia odejmowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia zera i liczb ujemnych, przyczem naturalnie równanie 2. służyć winno za określenie nowych liczb. Tak więc definicyą formalna liczb ujemnych jest tożsama z definicyą odejmowania.
]Jzielenie jest działaniem odwrotnem względem mnożenia; jest to działanie, za pomocą którego wyznaczamy liczbę czyniącą zadość równaniu
3. =
gdzie n{ i n2 są liczbami szeregu 1. Liczba se oznacza się przez
n
--1 lub n.in.)
112
i nazywa się ilorazem. Kładąc za x to wyrażenie w równaniu .*>., otrzymamy równość
n.
4. — n., = n. ,
n2
która może być uważana za określenie ilorazu lub dzielenia.
Z istoty dzielenia wynika, że jeżeli n, i n2 są liczbami szeregu 1, to wtedy tylko otrzymujemy na .r odpowiedź, to jest otrzymujemy liczbę zawartą w 1., jeżeli liczba w, jest icielokrotnością liczby n.>. Jeżeli zaś co do ni i n.2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika wtedy potrzeba nadania znaczenia dzieleniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi do nowego rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do utworzenia liczb ułamkowych, przyczem naturalnie równość 4. winna służyć za ich określenie. Tak więc definicyą formalna liczb ułamkowych zawartą jest w definicyi dzielenia. Z przyczyny prawa przemienności, stosującego się do dodawania i mnożenia, każdemu z tych działań odpowiada jedno działanie odwrotne, tymczasem potęgowaniu, które przemiennem nie jest 9] działania odwrotne. 53
odpowiadają dwa działanie odwrotne, a mianowicie pierwiastkowanie [właściwie: wyciąganie pierwiastka] i logarytmowanie.
Pierwiastkowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę czyniącą zadość równaniu
5. — n{
Liczba x czyli podstawa potęgi otrzymuje nazwę pierwiastka [pierwiastka «2-ego lub pierwiastka n2-éj potęgi] i oznacza się w ten sposób:
n<
X — lnr
Jeżeli to oznaczenie wprowadzimy do równania 5., otrzymamy wzór
e. 0s)"= «i,
który można uważać za określenie pierwiastka i pierwiastkowania. Jeżeli Wj i n2 są liczbami całkowitemi, to na x wtedy tylko otrzymujemy odpowiedź w szeregu 1., gdy liczba nt jest potęgą zupełną t. j. iloczynem n2 równych czynników; w przeciwnym razie odpowiedź nie może zawierać się w szeregu 1. Jeżeli więc co do nx i n2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, to wynika stąd potrzeba nadania znaczenia pierwiastkowaniu i w tym przypadku, w którym warunek powyższy się nie spełnia. To prowadzi nas znowu do rozszerzenia dziedziny liczb, to jest do tworzenia liczb niewymiernych, przyczem równanie 6. może służyć za formalne ich określenie.
Równanie 5. stanowi przypadek szczególny równania algebraicznego ogólnego, to też liczby niewymierne, określone formalnie za pomocą takiego równania, zawierają się w pojęciu ogólniejszeni liczb algebraicznych.
Logarytmowanie jest działaniem, za pomocą którego wyznaczamy liczbę x, czyniącą zadość równaniu wykładniczemu
7. n.,x = .
Liczba x nazywa się logarytmem liczby nx przy podstawie n2 i oznacza sie w ten sposób:
x = log„2 n{
i>
Wstawiając to oznaczenie w 7., otrzymujemy równość
8. w0 2 =n który może być uważany za określenie logarytmu i logarytmowania. Jeżeli n{ i n2 są liczbami szeregu 1., to na x otrzymujemy tylko wtedy liczbę szeregu l.; jeżeli nt równa się liczbie n2 lub jakiejkolwiek potędze [z wykładnikiem będącym liczbą szeregu 1.] liczby n2. Jeżeli więc co do n{ i n.2 nie czynimy żadnych zastrzeżeń, wynika potrzeba nadania logarytmowaniu znaczenia w przypadku, w którym warunek powyższy nie spełnia się. To prowadzi do nowego uogólnienia pojęcia liczby, do tworzenia liczb przestępnych [transcendentalnych].
Ponieważ równanie 7. stanowi tylko jedną z postaci, jaką przybierać mogą równania przestępne, więc definicyą formalna, zawarta we wzorze 8.. daje tylko specyalną klasę liczb przestępnych, klasę logarytmów.
Z dotychczasowego przedstawienia widać jasno, że proces liczenia, podnosząc się na coraz wyższe stopnie, prowadzi do trzech działań prostych: dodawania, mnożenia i potęgowania; odwrócenie zaś zagadnienia zawartego w działaniach prostych, prowadzi do czterech nowych działań: odejmowania, dzielenia, pierwiastkowania i logarytmowania, i zarazem wywołuje potrzebę rozszerzenia dziedziny pierwotnéj, zawartéj w szeregu 1. Odwrócenie zagadnień, zawartych w działaniach prostych, jest myślą twórczą, która stwarza nowe dziedziny badania. Przekonamy się niejednokrotnie, że ten sam pomysł w innych gałęziach Matematyki, a głównie w teoryi funkcyj eliptycznych i hypereliptycznych, stał się podstawą znakomitych odkryć i uogólnień.
W uważanym obecnie przypadku mamy do czynienia z zagadnieniami najprostszeini, bo z najprostszemi połączeniami liczb, wchodzącemi do uważanych działań. Przy połączeniach bardziéj złożonych, utworzonych z rozmaitych kombinacyj powyższych działań, dochodzimy naturalnie do zagadnień odwrotnych ogólniejszych, i dlatego podane przez nas wyżéj nowe dziedziny liczb nie wyczerpują całéj rozmaitości nowych form liczbowych, do jakich prowadzą działania matematyczne.
54
[9
CZKŚĆ I. HO/.IJ/.IAL I.
Z siedmiu opisanych działań, cztery, a mianowicie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, nazywamy działaniami zasadniczerni albo arytmetycznemi dla tego, że stanowią one przedmiot Arytmetyki elementarnéj, która obejmuje dziedziny liczb całkowitych i ułamkowych, z wyłączeniem [dla względów dydaktycznych] dzie- dżiny liczb ujemnych, uwzględnianéj dopiero w Algebrze elementarnéj. Dołączając do powyższych czterech działań jeszcze podnoszenie do potęg całkowitych i wyciąganie pierwiastków o wykładniku całkowitym, otrzymamy sześć działań elementarnych, stanowiących podstawę działań algebraicznych.
Zawarta w tym i w poprzedzającym artykule teorya działań zawiera tylko zarys ogólny, w którym, opierając się na szeregu podstawowym 1., podaliśmy zasadnicze własności działań, ich związki wzajemne i wskazaliśmy źródło, z którego pochodzi potrzeba rozszerzenia pierwotnéj dziedziny liczb całkowitych oraz znaczenia działań. Pozostają atoli do rozstrzygnięcia pytania ważne, a mianowicie. w jaki sposób wskazane uogólnienia urzeczywistnić, czyli innemi słowy, jakie własności nadać nowym formom; czy i w jaki sposób rozszerzenia, wskazane w różnych kiernnkach, to jest z różnych pochodzące działań, łączą się ze sobą w jednę organiczną całość, wreszcie jaką rozmaitość form wydają kombinacye działań? Czytelnik przewiduje, że w tych pytaniach mieszczą się doniosłe zagadnienia nauki o liczbach. Zanim wszakże do rozwiązania tych pytań przejdziemy, musimy jeszcze raz zastanowić się nad wyłożonemi wyżéj prawami, określającemi własności działań zasadniczych, i, wziąwszy je za punkt wyjścia, zbadać konsekwencye, do jakich prowadzą. Stanowić to będzie przedmiot następującego rozdziału o teoryi działań formalnych, w któréj formy, podlegle działaniu. będziemy uważali w całéj ogólności, nie przywiązując do nich zgóry charakteru liczb całkowitychr>.
10. LICZBY NADSKOŃCZONE.
Rozważania nad naturą liczb, podane w art. poprzedzającym, można uogólnić, zakładając, że mnogość przedmiotów, z któréj za pomocą abstrakcyi dobywamy pojęcie liczby, jest nieskończoną. O nieskończonéj mnogości przedmiotów nie może nas przekonać doświadczenie: w nieskończoności widzimy przedewszystkiem tę własność zasadniczą, jaką posiada szereg liczb całkowitych.
1. • 1, 2, 3, 4 . . .n,n-j-l,....
55
10]
MC7.ltY NADSKOŃC/ONF..
w którym od każdego dowolnie wielkiego wyrazu n możemy przejść do następującego n + 1 w taki sam sposób, w jaki przechodzimy np. od i do 2. W tem posuwaniu się coraz dalszem w szeregu na szym nie napotykamy żadnéj przeszkody, żadnéj sprzeczności z prawami logicznego myślenia. Podobnie rzecz się ma nietylko z szeregiem 1., ale i z wielu innemi szeregami np. z szeregiem liczb parzystych:
9 4 6
Ty \J . . . . ,
z szeregiem liczb nieparzystych:
1o
, O, £ . . . ,
z szeregiem ułamków:
1111
i ? ~2> 4 * ■ •
Takich przykładów w dziedzinie badań matematycznych napotkamy wiele w ciągu dalszego wykładu.
Ta własność szeregu 1. i innych podobnych tturzeczowiona„, że tak powiemy, lub przeniesiona do dziedziny przedmiotów, stanowi o nieskończoności rozmaitości lub mnogości. [Pojęciem nieskończoności i rozmaitemi jego odmianami, tak waźnemi w Matematyce, zajmiemy się szczegółowo w tomie drugim; tu idzie nam głównie o wyprowadzenie pojęcia liczb nadskończonych, mających charakter liczb całkowitych].
Jeżeli powiemy, że liczba wyrazów szeregu 1. lub liczba elementów pewnéj mnogości jest nieskończoną, to używamy wyrazu liczba w znaczeniu rozszerzonym. Liczba każda, odpowiadająca skończonéj mnogości przedmiotów, jest zupełnie oznaczoną, i możemy od niéj za pomocą skończonéj liczby działań elementarnych cofnąć się do pierwszego wyrazu szeregu; tego samego nic możemy wszakże powiedzieć o liczbie nieskończonéj, bo odejmując od niéj kolejno po jedności, nie dojdziemy po skończonéj liczbie działań do żadnéj liczby określonéj. Wyrażenie przeto "liczba nieskończona,, jeżeli nazwę liczby chcemy tu zachować, oznacza liczbę, znajdującą się na kresie procesu myśli, wytwarzającego szereg 1.; pojęcie jéj jest pojęciem granicznem, w którem proces ten, jakkolwiek wyobrażałny tylko w znaczeniu dowolnego przedłużenia, uważamy za wyczerpany; nieskończoność jest tu niejako gotową, urobioną w pewną formę, jest nieskończonością, jak ją nazywa Cautor, "bezwzględną,, lub właściwą, aktualną; jest liczbą po za wszelką liczbą skończoną, lub, inaczéj mówiąc, jest pierwszą liczbą yiadskończoną (transtinito Zahl) całkowitą co. Liczba ta stanowić może początek nowéj rozmaitości liczb, w taki sam sposób, w jaki liczba 1 stanowi początek szeregu liczb całkowitych skończonych. Następujące po co liczby nadskończone będą
co + 1, (o + 2, co + 3, co+ 4, . . .
Jeżeli do tego szeregu zastosujemy ten sam proces myśli, jaki stosowaliśmy do szeregu 1., dojdziemy do liczby 2co, po któréj następują
2a> +1, 2co + 2, 2co + 3, 2co + 4 . . .
Froces, prowadzący od liczby, zawartéj w którymkolwiek z powyższych szeregów, do liczb innych w tymże szeregu, nazywa Cantor pierwszą zasadą tworzenia liczb; proces zaś, prowadzący od liczby co do 2a>, nazywa drugą zasadą. Skombinowane zastosowanie obu zasad tworzenia prowadzi do kolejnych szeregów
3co, 3co + l, 3co + 2, 3co + 3, . . .
jucDf JUOJĄ1, jliwĄ2, [ioj + 3 . . .
po których znów dalszy proces daje nam liczby
lio* + /ko 4v
i ogólniéj liczby postaci
v0o)u + Vi a)""1 + . . . + +
Lecz i tu proces tworzenia liczb nie kończy się, bo prowadzi do liczb nadskończonych
co"
i t. p.
57
io;i
UC/.BY NWOSKOŃOZONK.
Tworzeniu liczb nadskończonych w dalszym ciągu nic nie staje na przeszkodzie; zdaje się, wszakże, że proces ten gubi się w głębiach nieskończoności, nie prowadząc do ściśle określonych dziedzin badania. Tak jednak nie jest, jeżeli przy tworzeniu nowych liczb uwzględnimy warunek, nazwany przez C a n t o r a trzecią zasadą, zasadą regulującą [Henimuugs oder lieschr&nkungsprincip |, którą zaraz przedstawimy. Uczynimy tu uwagę, że teorya Cautora podlega ogólnéj zasadzie zachowania, którą przedstawiliśmy we wstępie [str. 27-32]. Zasadę regulującą stanowi właśnie zastosowanie poję cia niezmiennika (lanéj mnogości nieskończonéj, podobnego do pojęcia niezmiennika, stosującego się do mnogości skończonych. Niezmiennik ten, który Cantor nazwał najprzód mocą (potęgą, Machtigkeit, puissauce), a późniéj liczbą l-arcbjnalną, danéj mnogości odpowiadającą, powstaje przy pomocy téj saméj abstrakcyi, przez którą w mnogości skończonéj dochodzimy do pojęcia liczby skończonéj. Jeżeli mianowicie w danéj rozmaitości albo mnogości J\1, składającéj się z oznaczonych i dobrze wyróżnionych przedmiotów konkretnych lub z pojęć abstrakcyinycłi, które nazwiemy elementami mnogości, odwrócimy uwagę tak od natury elementów jako też od ich porządku, to dojdziemy do określonego pojęcia ogólnego [universale], który można nazwać mocą mnogości M} albo odpowiadającą jéj liczbą kardynalną.
To ogólne określenie liczby kardynalnéj obejmuje w sobie pojęcie liczby skończonéj i nadskończonej; dają się z niego wyprowadzić, jak to pokazujemy w przypisach, ogólne prawa działań, odnoszące się do jednych i drugich, jako też różnice, charakteryzujące oba rodzaje liczb.
Prócz pojęcia liczb kardynalnych utworzył jeszcze Cantor pojęcie typów lub liczb porządkowych, nazwanych tak dla tego, że w procesie abstrakcyjnym, o którym mowa wyżéj, nie odwracamy już uwagi od porządku elementów7.
() szeregu tym mówi Kerry, Ueber Auschauutig i t. d. 11. c., str. 3'24|, że jest wielością miarowa przyrodzona [natiirlichc MassvielheitJ do mierzenia wszystkich innych wielości, podobnie jak nasze oko, nasze ucho, nasze organa dotyku, nasza pamięć są przyrodzonemi wzorcami do mierzenia długości.
O pojęciu liczby całkowitéj traktuje obszernie V r e ge w pracy, 1 >ic Urundlagen der Arit.hmetik, eine logisch-matheinatische Untersuchung liber den Begritf" der Zahł, 1884.
Kronecker, Ueber den Zahlbegrift... 1. c. str. 342.
:t Suma złożona z dwóch liczb może być utworzona 2 sposobami, z trzcch liczb—18-ma, z czterech—264-ma, z pięciu—5400-ma, z sześciu 141840-ma sposobami. Toż samo stosuje się i do mnożenia.

 Nazwy praw przemienności, łączności i rozdzielności podajemy w nawiasach po angielsku dlatego, że one rozpowszechniły się najwcześniéj w literaturze angielskiéj, jakkolwiek pierwszy i trzeci termin wprowa- 

rRZYnsY.
dził do nauki prawdopodobnie Servois w r. 1811. Porówn. Hankel, Teberdie complexen Z&hlensysterae str. 3.
5 Powtórzenie potęgowania prowadzi do działań
a
a a a a a .a , . . . i t. d.
które uważają niektórzy za nowe działanie, za "czwarty stopień* działań. Wszakże działanie to jest małego użytku i mało zbadane. Porówn, artykuł E. Schul tzego, Die vierte Rechenstufe [Archiv der Mathematik vnd Physik, 2 ser. IX, zeszyt 3, 1890, str. 320—326].
W roń ski | Introduction, str 6.i7.] dzieli działania, opisane wart. 8 i 0., które |za wyłączeniem logarytmowania] nazywa algorytmami pierwotnemi, na trzy klasy, z których każda znowu dzieli sią na dwie gałęzie prostą | progressire] i odwrotną [regressivéj. Podział ten przedstawia następująca tabliczka:
Sumowanie l,r03te: Dodawanie, |SommationJ odwrotne: Odejmowanie.
Reprodukcya l)roste: Mnożenie, (Keproduction] odwrofcne. Dziele„ie.
Stopniowanie Proste: Potęgowanie,
IGraduation] odwrotne. pierwiastkowanie.
Ileprodukcyą uważa W r o ń s k i za algorytm pośredni między sumo waniem i stopniowaniem, algorytmy zaś pierwotne sumowania i stopniowania nazywa "biegunami intelektualnemi,, poznania w zastosowaniu do form algorytmicznych. W sumowaniu części wielkości uważa za przerywane, mające charakter agregatów | per juxta positionem |, \v sumowaniu za ciągłe, w pewnéj mierze za intensywne i mające charakter wielkości wzrastających |per intus susceptionem |. Te (lwie funkcye mają, według niego, każda swoje prawa specyalne; są one zupełnie różnorodne i niepodobna jednśj z nich wyprowadzić z drugićj. Pierwsza jest. opartą na prawach budujących rozsądku | lois constitutives de l entendeinent], druga na prawach regulujących rozumu [lois rćgulatives de la raisonj. Neutralizacya tych dwóch funkcyj intelektualnych daje funkcyą pośrednią, a mianowicie algorytm reprodukcyi, który z metafizycznego punktu widzenia odnosi do zdolności sądzenia | faculte du jugement].
59
7 Dajemy tu krótki wykład teoryi liczb kardynalnych i porządkowych, opierając się głównie na dwóch pracach Cantora: Grundlagen einer allgemeinenMannichfaltigkeitslehre, 1883 i Zur Lelire vom Transłiniten Erste Abtheilung, 1890. Porówn. także artykuły tegoż w Acta Mathematica, TI. 1883.
60 CZĘŚĆ I. K07.D7.IAŁ I.
Dwie oznaczone mnogości M i J/, nazywają się równoważnemu co wyrażamy przez M ~ Mu jeżeli można je przyporządkować wzajemnie tak, aby każdemu elementowi pierwszéj odpowiadał jeden oznaczony element drugiéj, i odwrotnie.
Jeżeli M ~ Mx i Mx ~ AA,, to wynika stąd. że M ~ JA,.
Przykłady. Mnogość barw tęczowych [czerwona, pomarańczowa, żółta, zielona, błękitna, niebieska, fioletowa] i mnogość tonów gamy [(7, D. E. F, G, A, li | są mnogościami równoważnemi: obie podchodzą pod pojecie ogólne siedm.
Mnogość palców obu rąk i mnogość punktów w tak nazwanym trójkącie arytmetycznym
• • • • » • • • •
są równoważne. Liczbą kardynalną, im odpowiadającą, jest dziesięć.
Mnogość nieskończona (v) wszystkich liczb całkowitych szeregu 1. [str. 55.] jest równoważna: mnogości wszystkich liczb parzystych, mnogości wszystkich liczb nieparzystych, mnogości (<H-V0 wszystkich liczb zespolonych całkowitych a-|-w', gdzie jii v przyjmują niezależnie od siebie wszystkie wartości całkowite. Wszystkie te mnogości są znów równoważne
(
}J. \ JJL
Jwszystkich liczb rzeczywistych —, gdzie ka i v są liczbami
względnie pierwszemi, nawet mnogość wszystkich liczb algebraicznych jest równoważna każdéj z powyższych mnogości. [Porówn. art. 14.]. Oznacza to. że wszystkie nieskończone mnogości, o których tu mowa, można przystosować do szeregu 1. w sposób, wyżéj podany.
Przeciwnie, mnogości wszystkich liczb rzeczywistych [t. j. liczb wymiernych, niewymiernych, algebraicznych i przestępnych], jak tego dowiódł C anto r, Ueber eine Eigenschaft des Inbegriftes aller reellen algebraiSClien Zahlen I Journal fur die reine und angewandte Mathematik, LXXVII. 1874, str. 258]. nie jest równoważną mnogości (v).
[Możemy też wspomnieć tu o ważnem twierdzeniu Cantora, że rozmaitość 72-wymiarowa ciągła, uważana jako rozmaitość punktów jest równoważna continuum linearnemu. [Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre Journ. f. die reine u. amj. Mathem. LXXXI V. 1878, str. 242.]].
Z poprzedzającego wynika, że mnogości równoważne mają moc albo liczbę kardynalną równą i że naodwrót mnogości o równéj liczbie kardynalnéj są równe. Jeżeli wiec M ~ AA,, to AA, i odwrotnie. Tu przez AA i M\ oznaczamy liczby kardynalne.
Jeżeli dwie dane mnogości nie są równoważne, to musi zachodzić jeden z dwóch następujących przypadków: l-o można z N wydzielić część składową A7, aby było M ~ A7; 2-o można z M wydzielić część składową A/' przyrisr.
aby było M' ~ N. W pierwszym przypadku mówimy, że A/ jest mniejsze od iV, w drugim: Sjest większe od N.
Mnogość, powstałą z połączenia mnogości M i Ny—na porządek połączenia nie zwracamy tu uwagi—oznaczamy przez MĄN. Jeżeli mamy dwie inne mnogości M' i Nf tak, że M ^ N ~ A7', to
M-f N~M'-\-N'.
Na tem twierdzeniu opiera się określenie sumy dwóch lub wiecśj liczb kardynalnych. Jeżeli a = 3/, b=N, to przez a-)-6 rozumiemy taką liczbę kardynalną, która odpowiada mnogości MĄ-N, to jest
a Ą-b— 1T+TN
Prawo przemienności a-\-b=b-\-a i prawo łączności a-j-(&4-c)=(a-|-6)-|-c wynikają tu wprost z uwagi, że liczby kardynalne, już ze względu na sam akt abstrakcyi, przez który powstają, są od porządku elementów niezależne.
Jeżeli M i N są dwie mnogości, to przez M. A' rozumiemy trzecią mnogość, powstającą z mnogości N w ten sposób, że na miejsce każdego pojedynczego jéj elementu kładziemy mnogość równoważną mnogości M — porządek elementów tu nie ma wpływu. — Wszystkie mnogości M i N, otrzymane według tego sposobu, są równoważne, a liczba, im odpowiadająca, jest
ab = WŃ.
Z tego określenia wynikają z łatwością: prawo przemienności ab = bay prawo łączności a. (b .c) = (ab)c oraz prawo rozdzielności a(b-\~c) =a b Ą-a c.
Wszystko, co wyżéj powiedziano, odnosi się zarówno do mnogości i liczb skończonych, jako też do liczb i mnogości nieskończonych.
Dla mnogości skończonych można dowieść, że gdy z trzech liczb kardynalnych a, 6, c jedna jest równa sumie dwóch drugich np, a-fb = c, to liczba c nie może być równa żadnemu ze składników. Jeżeli wszakże pominiemy warunek skończoności, to twierdzenie to przestaje być prawdziwym, i w tśin tkwi, jak twierdzi C a n t o r, głęboka i istotna różnica pomiędzy liczbami skończonemi i nadskończonemi. Dla liczb nadskończonych stosują sie twierdzenia
a -}v =r a, a . v — a, ar .-=-. a
gdzie v jest liczbą skończoną, a zaś liczbą nad skończoną.
t)i
Oprócz pojęcia liczby kardynalnéj wprowadza C a n t o r do swojśj teoryi pojęcie liczby porządkowéj [Ordnungszahl], które rozwija w najnowszéj swojéj wyżśj cytowanéj pracy. Aby pojęcie to uzasadnić, trzeba najprzód poznać, co C a u t o r rozumie przez pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj.  Mnogością dobrze uporządkowaną nazywamy każdą określoną mnogość któréj elementy są związane z sobą pewnem z góry określonem prawem następstwa, według którego pewien element mnogości jest pierwszym, po nim [o ile on nie jest ostatnim] następuje określony drugi, i wogóle po każdéj skończonéj lub nieskończonéj mnogości elementów następuje element rozmaitości zupełnie określony. O takich rozmaitościach czyli mnogościach mówić można, że są odUczalnemi | abzithlbar] jedna na drugiéj. Takiemi rozmaitościami są np.
(a, a', a") i (6, //, 6") (a, a', a") . . . a>M . . .) i (6, b', ó" . . . 60') . . .) (a. a', a" . . . aM . . c, c', c") i (/>, 6', . . . bW ...(/, d")
Pojęcie mnogości dobrze uporządkowanéj daje się uogólnić w sposób następujący:
Wyobrażamy sobie, że mnogość dobrze uporządkowana składa się z elementów E, E\ E" . . ., które są uporządkowane w n różnych niezależnych kierunkach [bierzemy tu pojęcie kierunku w znaczeniu ogólniejszem od geometrycznego ]. Nazwijmy te kierunki 1-ym, 2-gim.... v-ym.... a samą mnogość nazwijmy n-krotnie uporządkowaną.
Wprowadźmy następujące oznaczenia: Jeżeli K i E' są jakiekolwiek dwa elementy mnogości M, to pomiędzy niemi w każdym z n kierunków istnieje określony stosunek położenia [ein bestimmtes Rangverhaltniss |, do oznaczenia którego użyjmy znaków <r, =, >. Jeżeli v jest jedna z liczb 1, 2. 3, . . . to w kierunku v-ym zachodzi jeden z trzech przypadków
EcEf, E=E', E>£'.
Dla rozmaitych kierunków stosunek ten może być taki sam. jak dla kierunku v, lub różny.
Jeżeli E, E\ A7'są jakiekolwiek trzy elementy rozmaitości .1/ i jeżeli w kierunku v-ym zachodzą związki
i E'<-EJ\
to w tym samym v-ym kierunku musi być
E < E",
przyczem równość zachodzi w ostatnim związku tylko wtedy, jeżeli zachodzi jednocześnie w obu zwriązkach poprzednich.
Przy takiem założeniu, dana w-krotna rozmaitość albo mnogość nazywa się uporządkowaną w n kierunkach porządkowych 1, 2, 3, . n-ym. Jako przykłady podobnych rozmaitości służyć mogą: trójkrotnie uporządkowana mnogość punktów w przestrzeni odnośnie do układu trzech osi prostokątnych; dwukrotnie uporządkowana mnogość punktów płaszczyzny odnośnie do układu dwóch osi prostokątnych; utwór muzyczny [melodya, symfonia i t. p.], będący mnogością tonów czterokrotnie nporządkowaną ze względu na następstwo tonów w czasie, ich trwanie, wysokość i natężenie, i t. d.
Jeżeli w takiéj oznaczonéj n-krotnie uporządkowanéj mnogości M odwrócimy uwagę od istoty elementów, przy zachowaniu związków ich położenia w n różnych kierunkach, powstanie w nas obraz intelektualny, pojęcie ogólne, które C autor nazywa typem porządkowym (OrdnungstypusJ albo też liczbą idealną, odnoszącą się do danéj mnogości [tych liczb idealnych nie należy mieszać z liczbami idealnemi Kuminora. o których mówić będziemy w części drugiéj niniejszego tomu] i oznacza ją przez M.
Pojedynczym elementom E. Ef, E" mnogości M odpowiadają w jéj typie porządkowym M same jedności «=1, e/=l. e"=l . . które różnią się tylko wzajemnem położeniem w M: ich związki są takie same, jak związki pomiędzy elementami mnogości M.
Tym sposobem n-krotny typ porządkowy jest niejako liczbą całkowitą w-wymiarową, jest organicznem skupieniem jedności, uporządkowanych w n różnych kierunkach.
Typ porządkowy nazywa Canto r czystym, jeżeli każde dwie jedności tego typu e i e' mają przynajmniéj w jednym z n kierunków położenie różne; w przeciwnym razie typ nazywa mieszanym. W typie mieszanym jedności łączą się w oznaczone grupy, tak, że jedności, należące do jednéj i téj saméj grupy, mają we wszystkich kierunkach położenie jednakowe i zlewaja się w jednę liczbę kardynalną, gdy jedności, należące do grup różnych, przynajmniéj w jednym z ^-kierunków mają położenie różne. Typ mieszany powstaje z oznaczonego typu czystego, jeżeli w tym ostatnim zamiast jedności podstawimy pewne liczby kardynalne.
Dwie mnogości Mi iV, n-krotne uporządkowane, nazywają się podobnemir jeżeli można je wzajemnie przyporządkować w ten sposób, aby, gdy E i E są dwoma elementami pierwszéj mnogości, Fi F — odpowiedniemi elementami drugiéj, to dla v=l, 2, 3 ... w położenie elementu E względem E' w kierunku v-ym jest w rozmaitości M takie same, jak położenie F względem F wewnątrz rozmaitości N. Podobieństwo takich dwóch mnogości oznaczać będziemy przez
M s N.
Dwie w-krotnie uporządkowane mnogości mają wtedy i tylko wtedy jeden typ porządkowy, jeżeli są podobne, i odwrotnie. Jest tedy
M=r X jeżeli M s .V
i odwrotnie
M ^ .V, jeżeli Tl='Ń.
Typem porządkowym danéj mnogości H-krotnéj M jest więc to pojęcie ogólne, pod które podpadają mnogość M i wszystkie jéj podobne.
Z podobieństwa mnogości M i N wynika ich równoważność; odwrotnie wszakże, z równoważności dwóch mnogości nie można wogóle wnosić o ich podobieństwie. Możemy przeto wypowiedzieć twierdzenie: Jeżeli (lwie mnogości dobrze uporządkowane mają ten sam typ porządkowy, to mają i jednę liczbę kardynalną; t. j. jeżeli M = A, to M = N.
Tak więc liczba kardynalna czyli moc mnogości M jest jednocześnie liczbą kardynalną jéj typu porządkowego M i powstaje z tego ostatniego, jeżeli oderwiemy uwagę od położenia jego jedności. Jeżeli a jest znakiem dla typu porządkowego M, to a jest znakiem dla liczby kardynalnéj M.
Stosownie do tego, czy liczba kardynalna mnogości jest skończoną lub nadskończoną, i samą mnogość oraz jéj typ porządkowy nazywamy skończonym lub nadskończonym.
Typ n-krotny a składa się z pewnych jedności <?, e\ e" . .. , mających oznaczone położenie w n kierunkach. Jeżeli weźmiemy pod uwagę, tylko pewną część tych jedności, to określi ona pewien typ y. który można uważać za część "przygotowaną,, [ możliwą, virtuell] typu a. Każdy typ a składa się z takich typów przygotowanych y, y', y" . .., które w części znajdują się jeden zewnątrz drugiego, w części zachodzą wzajem na siebie.
Rozpatrzmy działania elementarne, wykonalne na dwóch takich typach a i fj.
Wyobraźmy sobie dwie mnogości M i N o typach M= o. i N— $ i utwórzmy z nich nową uporządkowaną mnogość M-1iVpod następującemi warunkami. Elementy M niechaj mają wewnątrz MN to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w M, podobnież elementy mnogości N niechaj mają w MĄN względem siebie to samo położenie w n kierunkach, jakie miały w N, wreszcie niechaj w MĄN wszystkie elementy mnogości N mają w każdym z n kierunków położenie wyższe od wszystkich elementów mnogości N. Wszystkie mnogości M 4N, czyniące zadość tym warunkom, są oczywiście mnogościami w-krotnie uporządkowanemi i podobnemi, i określają ten typ, który nazywamy a-f-p. Mamy więc
CC =
gdzie a nazwijmy dla odróżnienia składnikiem pierwszym [augendus], fi składnikiem drugim [addendusj.
Stąd wynika łatwo stosowalność prawa łączności
Prawo przemienności w ogólności się nie stosuje, gdyż a Ą£ i * są różnemi typami.
Zauważmy jeszcze, że liczba kardynalna sumy otĄp równa się sumie liczb kardynalnych odpowiadających typom a i
Dla otrzymania iloczynu a . wyobraźmy sobie mnogość n o typie tak że N= p, i oznaczmy elementy, z których składa się N, przez/',. F8, ... Fi. ..
Niechaj daléj Mt, Mr . . . Mi będą mnogości typu a. tak że
Ml = M.2 . . . = M)— ... — a. Odwzorujmy wzajemnie te mnogości, tak źe
E\,\> K 1,2 . . . będą elementami mnogości Mu
Ei, 1, JS?2,2 . . . „ „
Ex,2 . . . „ ,. Ml,
E\,fi,E2tti.. . .E).tu [> = 1. 2 . . .] są odpowiadającemi sobie elementami mnogości A/t, A/2, ... Mi ...
Utwórzmy nową mnogość A/iY z mnogości N w ten sposób, że w miejsce elementów Fu F2f . . . Fi. . . podstawiamy odpowiednio Mu A/2, . . . Mi . . ., przyczśm wzajemność położenia podlegać ma następującym warunkom: Wszystkie elementy E^, Ei^jednśj i téj saméj mnogości Mi mają wewnątrz MN zachować względem siebie to samo położenie, jakie miały w Mi; dla dwóch elementów Ey,u i Eitfl> należących do różnych mnogości My. i Mi należy przyjąć następujące rozróżnienie: 1.) Jeżeli Fy. i Fi mają wewnątrz N w kierunku v-ym położenie różne, to wzajemne położenie elementów Ey,tU i EilU> wewnątrz MN w kierunku v-ym ma być to samo, jakiem jest położenie elementów Fx i Fi w rozmaitości N w kierunku v-ym; 2.) Jeżeli Fy. i Fi mają wewnątrz N w kierunku v-ym położenie jednakowe, to położenie Ey.tU względem wewnątrz MN w kierunku v-ym ma być takie, jak położenie Ey.rll względem 23*y wewnątrz A/*, albo, co na jedno wychodzi, jakiém jest położenie Eifl względem Eiy wewnątrz Mi w kierunku v-ym.
Wszystkie mnogości A/A7, utworzone według tego przepisu, są podobne, iloczyn zaś, im odpowiadający, określa się w ten sposób:
= MN
gdzie a nazywamy czynnikiem pierwszym [mnożną], (5 — czynnikiem drugim [mnożnikiem]. Stosuje się tu prawo łączności
gdy tymczasem a . p jest w ogóle różne od £. a. Prawo rozdzielności
ma tu miejsce.
Liczba kardynalna iloczynu dwóch typów równa się iloczynowi liczb kardynalnych czynników, t. j.
5
Z danym typem n-krotnym a związane są ściśle inne typy, które nazywamy sprzężonemi.
Pojęcia, T. I.  Można wzajemność położenia właściwą typowi « przemienić w ten sposób, że położenia wzajemne jedności e, e" . . . w kierunkach p.-ym i v-ym przestawiają się, w innych zaś kierunkach pozostają bez zmiany. Takich przekształceń, które nazwać można przestawieniami ze względu na kierunki ji-y i v-y, jest oczywiście n (n—l)/2, a wszystkie one, kolejno stosowane, dają wraz z typem danym wogóle 1.2. .. n typów sprzężonych.
Jeżeli odmienimy typ a przez to, że odwrócimy położenie jedności w jednym v-ym kierunku, t. j. jeżeli położenie jedności e i e' w nowym typie będzie takiem, jakiem było położenie jedności e' i e w typie dawnym, to przekształcenie takie nazwać można odwróceniem. Takich odwróceń jest w, a kolejne ich stosowanie daje wraz z typem danym 2n typów różnych.
Wszystkich typów różnych sprzężonych z danym będzie zatem wogóle 2.n .1.2 . . . n.
Cautor zajmuje się jeszcze zagadnieniem o oznaczeniu liczby wszystkich typów porządkowych (lanéj liczby w, po rozwiązanie którego odsyłamy czytelnika do drugiéj z cytowanych prac lub do rozprawy H. C. S ch wart z a, Ein Beitrag zur Theorie der Ordnungstypen. 1888.
Teorya O a n t o r a, któréj zarys przedstawiliśmy, zawiera w sobie cenne zadatki przyszłego rozwoju. Pomysły w niéj tkwiące, stosował Cantor już wcześniéj do badania rozmaitości punktowych |mówić o nich będziemy w tomie drugim], gdzie doszedł do wyników bardzo ważnych dla teoryi funkcyj. Nauka już teraz z tych pomysłów czerpie pożytek, przedewszystkiem zaś wpłynęły one na pogłębienie i udokładnienie badań analitycznych. ROZDZIAŁ II. TEORYA DZIAŁAŃ FORMALNYCH.
1 1. TEORYA GRASSMANNA I HANKELA.
Twórcą teoryi działań formalnych jest właściwie II. Grassm a n nrozwinął zaś i uprzystępnił ją szerszym kołom Hankel. Jest ona urobiona na podstawie działań z liczbami całkowitemi, o których mówiliśmy w rozdziale poprzedzającym. Lecz teorya działań, przywiązanych do dziedziny specyalnéj, nie uwidocznia należycie związków ogólnych, jakie pomiędzy działaniami, niezależnie od istoty form im poddawanych, istnieją; nie pozwala przeto oddzielić wyraźnie tego, co charakteryzuje daną dziedzinę. Zadanie to spełnia teorya działań formalnych, którą stosować można do rozmaitych układów form.
O tem, jak rozumieć należy równość form, mówiliśmy już we wstępie | str. 10.]; co się zaś tyczy działań czyli połączeń, to uważać je należy zapewien proces myśli, za pomocą którego od dwóch lub więcéj form danych przechodzimy do formy nowéj, zwanéj wynikiem połączenia. W jaki sposób połączenia sie odbywają, tego zgóry nie rozstrzygamy, badamy tylko prawa połączeń. W przedstawieniu téj rzeczy pójdziemy przeważnie za Hanke lem, zmieniając nieco znakowanie i uzupełniając niektóre punkty teoryi2. Niechaj a, b, c . .. przedstawiają formy, które zamierzamy poddać rozmaitego rodzaju połączeniom czyli działaniom. Działania te mają. posiadać pewne własności formalne, stanowiące określenie każdego z nich i wyróżniające jedne od drugich.
Połączenie dwóch form oznaczać będziemy najczęściéj za pomocą symbolu A (a, b) lub też V(a, b). W przypadku, gdy działań różnych będzie więcéj, pisać będziemy
Ax (a, b), A2 (a, b) . . . V, (a, £), V2 (a, i)....;
A (a, c) oznaczać będzie połączenie trzech form, V (a, c, d)— połączenie czterech form i t. d. Znaczenie połączeń trzech i większéj [skończonej] liczby form będzie dopiero ustanowione i wyjaśnione po ustanowieniu prawideł dla połączeń dwóch form. Równanie
A (a, b) =r o
oznaczać ma, że wynik połączenia form a i b jest pewną formą c. Podobnież równanie
V (a, U) — d
oznacza, że wynik innego połączenia tych samych form jest pewną formą d. równą formie c lub różną od niéj.
Niechaj będą dwa działania A i V. Zastosujemy pierwsze do dwóch form m i n, drugie do form a i b} i niechaj będzie
A (m, n) = p
V (<z, b) = c.
Między temi dwoma działaniami ustanowimy związek następujący: jeżeli w pierwszem z równań zastąpimy m przez c, n przez b, to p równać się będzie a. Założenie to daje sie wyrazić w ten sposób:
1. \ [V (a, b), b\ — a
i określa związek, zachodzący między formalnemi działaniami A i V, lub określa działanie V, gdy dane jest działanie A.
Obok tego związku przyjmijmy jeszcze, że działania A i V są jednoioartościowe, co ma oznaczać, że jeżeli działanie np. A (a, b) doprowadza raz do wyniku c, drugi raz do wyniku c\ to formy c i c' są tożsamościowo równe. Toż samo rozumie się o działaniu V (a, b).
68
111
C7.ęŚć I. U07.D7.lAb II.
Z tych dwóch założeń daje się wyprowadzić nowa własność naszych działań, wyrażająca się następująceni twierdzeniem:
"Jeżeli w działaniu A (a, b) lub V (a, b) pierwszą formę zmienimy, drugą zaś pozostawimy bez zmiany, to wynik działania zmienić się musi„.
W saméj rzeczy, niechaj będzie
V (a, b) = c, V (a\ b) = c'
gdzie a' różne od a; twierdzimy, że ć musi być różne od c. Gdyby bowiem c' równało się c, mielibyśmy
V (a', b) = V (a, i), a łącząc obie strony z formą 6 za pomocą działania A:
A[V(a',*), *] = A[V(M), b]; Stosując wreszcie do obu stron wzór zasadniczy 1., otrzymalibyśmy
a' — a,
co się sprzeciwia założeniu. Wynika stąd, że równanie
V b) = e
może mieć tylko jedno rozwiązanie, które możemy znaleźć, łącząc obie strony z formą b za pomocą działania A. Otrzymujemy wtedy na zasadzie wzoru 1.
x = A (c, ,
a wstawiając znalezioną wartość do poprzedniego równania, związek 2. V [A (o, b), i] =.c,
analogiczny ze związkiem 1. i określający działanie A, gdy danem jest działanie V. Na podstawie związku 2. możemy dowieść, że gdy a jest różne od a\ to i A (a, b) jest różne od A (a\ b).
Za określenie działań A i X przyjęliśmy związek 1. i jednowartościowość obu tych działań; stąd wynikło powyższe twierdzenie i związek 2. Oczywista, że gdybyśmy zamiast równania 1. przyjęli za podstawę równania 2., to przyszlibyśmy do równania 1., jako do wyniku tego przyjęcia oraz jednowartościowości obu działań. Można zresztą uczynić i inne założenia, np. przyjąć za określenie działań związek 1. i założyć, że jedno z działań A i V jest jednowartościowem i posiada własność, wyrażoną powyższem twierdzeniem; wyniknie stąd związek 2. oraz podobna własność drugiego z działań. Dla rozszerzenia naszych działań na większą liczbę form. załóżmy, że do działania A stosuje się prawo łączności. Jeżeli mamy trzy formy, to prawo to wyraża, że otrzymamy jeden i ten sam wynik, łącząc pierwszą formę z wynikiem połączenia drugiéj i trzeciéj, czy też łącząc wynik połączenia pierwszéj i drugiéj formy z formą trzecią. Działania A, posiadające podobną własność—i tylko takie działania—nazywać będziemy prostemi. Działania V, związane z takiemi działaniami A na podstawie równań 1. lub 2., nazywać będziemy odwrotnemi. Własność łączności przedstawić możemy za pomocą wzoru
3. A[a,A(i,c)] = A [1 (a, 4),c].
Przez A (a, b, c) rozumieć będziemy którekolwiek z tych dwóch ró* wnych sobie wyrażeń 3.
Przy takiem założeniu, można już dowieść, że prawo łączności stosuje się do działania prostego nad czterema i więcéj formami. W saméj rzeczy, na zasadzie równania 3. mamy
A [a, A(^,^)]=A{a,A[A(^60^]}=A{A[a.A(^,c)],rf}==A[a,A(V)^J
i także
A| «, A (b, c, d)\ = A {a, A | b, A (c, d)]} A [A (a, b), A (c, d)].
Każde z tych sześciu równych wyrażeń nazwiemy połączeniem A (a, b, c, d). W podobny sposób określić można połączenie jakiejkolwiek [skończonej] liczby form. Do wszystkich tych połączeń stosować się musi prawo łączności, jeżeli założymy, że ono stosuje się do trzech form, i jeżeli połączeniem n form nazwiemy połączenie jednéj formy z wynikiem połączenia n — l pozostałych.
Określiwszy działania proste łącznościowe, podamy wynikające z określeń tych twierdzenia, wyrażające własności naszych działań. Własności te wyrazić się dają następującemi trzema wzorami:
A [a. V (/>,c)| = V [A («,*), c|
4. V|>, Ar<?,*)| = V[T (<*,//), c]
V j A (a, c), b\ V [<i.V(M)|
Pierwsza tych własności dowodzi sie w sposób następujący. Niechaj będzie
.r A fa, V (A
Połączywszy obie strony z formą c zapomocą działania A, otrzymamy
A(.r,c)=A{A| «,V (*,*)>,} = A{a,A|A(^c),c|}
= Mafb):
stąd
V | A c), c\ = V [A (a, b), c], * = V [A (a, c],
czy li
A | a, V J = V | A (a, b), c ] c. b. d. o.
Drugą własność okażemy, zakładając
icf = V [V (a, b) <?]. Połączenie obu stron z formą c za pomocą działania A daje
A(*',c) = A{VlV(a,b),c],c}
= ^ (a, b),
skąd
A|A (,v',c),b] = A [V (a. b), b] = a,
a więc także
A|y,A(c, b)j = a,
Połączywszy obie strony z formą A (c, £) za pomocą działania V otrzymamy
«r' = V | ar A (<?, i)]
czyli
V [V(a, <?] = V A (c, £)] c. b. d. o.
Dla okazania trzeciéj własności połóżmy
= V |A (a, c), b\ i połączmy obie strony z formą b za pomocą działania A:
A(*",$) = A'V| Ma,c,),b\,b} — A (a,c).
Łącząc obie strony z formą c przy pomocy działania V, otrzymujemy na podstawie pierwszéj dowiedzionéj już własności
i [/', V (b, c) | = a;
wreszcie łącząc obie strony z formą V (b, c) za pomocą działania V, otrzymujemy
= i
czyli
V[A(a,c),4| = V|<*,V(M)|. c. b. d. o.
Z jednowartościowości działań A i V wyprowadziliśmy własność, że gdy w każdem z tych działań druga forma zostaje stałą, pierwszą zaś zmieniamy, to i wynik połączenia zmienia się. Teraz przyjmujemy, że działanie A (a, b) jest zupełnie jednowartościoweni, t. j. że wynik jego zmienia się także, gdy pierwsza forma pozostaje stałą, druga zaś ulega zmianie. Przy takióm założeniu, z równania A (a, b') = A (a, b) wnieść należy, że b' = b. Z zupełnéj jednowartościowości działania A wynika, jak o tem łatwo przekonać się można, zupełna jednowartościowość działania V.
Określmy formę m, któréj połączenie za pomocą działania prostego A z formą jakąkolwiek a, niechaj daje wynik równy formie a. Formę, mającą tę własność, nazywać będziemy modułem działania A. [Grass ma nn nazywa ją "formą obojętną,, ). Określenie modułu zawiera się w równaniu
5. A (a,m) = a. Ponieważ na zasadzie prawa łączności:
A | a, A (w, b) | = A [A (a, ?>i), b |, przeto na podstawie 5. będzie
A [a, A (», b) | = A (a, b), a że działanie A jest jednowartościowem, otrzymujemy zatem
6. A (w, b) = b.
Równania 5. i 6. wykazują, że porządek, w jakim przy pomocy działania prostego łączymy formę z modułem, nie ma wpływu na wvnik działania. Zbadajmy teraz wynik działania odwrotnego V (a,m); w tym celu połóżmy
x = V (a, m)
i połączmy obie strony z modułem m za pomocą, odpowiedniego działania prostego A; będzie tedy
A m) = A [ V (a, ra), mj.
Stosując do strony pierwszéj równanie 5., do drugiéj zaś równanie 1., otrzymujemy
7. x = V (a, m) = a,
Wzór ten wyraża, że łącząc jakąkolwiek formę z modułem, jako formą drugą, za pomocą działania odwrotnego, dochodzimy do wyniku równego formie danéj.
Z równania znów 2., gdy w niem formę c zastąpimy modułem m, otrzymujemy
V[A (m,b),b] = m, a więc na zasadzie wzoru 7.
8. V(M) = ™.
Wzór ten wyraża, że moduł działania A uważać można za wynik działania odwrotnego V, wykonanego na dwóch jakichkolwiek formach równych.
Formę, określoną za pomocą działania nazywać będziemy
formą odwrotną względem formy, A(m,b) równéj b; oznaczamy ją dla krótkości przez b,u, tak że
9. X(m,b) — b)n
jest określeniem formy odwrotnéj.
Z tego określenia wynika, że formą odwrotną względem formy b,n jest forma b. W saméj rzeczy,
{bm)m = V (m, b„) = V [m, V(m, b)] = V [A (to, b)y m | = V (b, m) = b.
Wprowadzenie form odwrotnych daje nam możność zamiany działania prostego na odwrotne i odwrotnego na proste. Istotnie, pierwsze i trzecie z równań 4.. gdy w nich położymy b = m, dają
10. A (a, crn) X(a,c); A (a, <?) = V(a, cm).
Dotąd badaliśmy własności działań, oparte na prawie łączności; teraz zbadajmy wnioski, jakie wynikną z założenia, że działania proste ulegają prawu przemienności, które wyraża się wzorem
11. A(M) = A (b,a).
Przy takiem założeniu, wzory 1. 2. 4. przechodzą w następujące.
1'. A [b. V (a, £),] = a.
2'. V[A(MM.] =
A|V(M), a] = V[A(*,a),*J 4'. V [a, A (b, c) | = V [ V (a, c |
Do téj pory uważaliśmy jedno działanie proste A i odpowiadające mu działanie V. Przejdźmy teraz do ustanowienia związków między dwoma różnemi działaniami prostemi.
Niechaj będą dwa działania proste i łączne i A2, połączone ze sobą następującemi równaniami:
j 2 X [A, (a, b)y c] = A, l A2 (a, c\ A2 (b, c) | ,
A2 |_a, Ai (c, d)] = Ax f A2 (a, c). A2 (a, <*)] ,
wyrażaj ącemi praico rozdzielności. Dowiedziemy, że jedno z tych działań, a mianowicie działanie A1? jest przemienne.
W tym celu, w pierwszem z równań 11. zastąpmy c przez A^c,^), w drugiem a przez A, (a, otrzymamy wtedy
A21A2 (a, A, (<?, d)] = Ax {Ao I a. A! )], A2 [b, A} (<?, d))} A2 [AJ (a b), \ (c, d)j = A, {A2 | A, (a, t), c] , A21 A, (a, b),d]}
Z równości pierwszych stron tych wzorów wynika równość stron drugich:
Przekształcając stronę pierwszą tego równania przy pomocy pierwszego z równań 11., drugą zaś przy pomocy drugiego z tych równań, otrzymamy
A, (A, | A, (a,c), A2 (a,d)], A, [ A, (b,c), A, (b,d)\) {Aj | A, A, (!KC) A, | A2 M), A, (*,*)]}.
Ponieważ działanie Aj jest łączne, przeto równanie to napisać można pod postacią
Aj[A2(a,c),A2(a/^^
Obie strony różnią się tu tylko porządkiem wyrazów; kładąc więc dla skrócenia
A._>(<*. c) = p, Aj,(a, c?) = <7, Ao (fl, c) = r, A2
i stosując do równania
A, (>, = Ax (p.V.q,S)
prawo łączności, możemy napisać
IA (P: 7| = IA <?>, *J,
skąd, z przyczyny jednowartościowości działania Aj, otrzymujemy
Aj 0>, r) = Aj (/>,q) co można napisać pod postacią
\P, \ (<1, r)] = A, [p, Ai(r, ].
Stąd też, z powodu jednowartościowości działania AM otrzymujemy
A, r) = A, (r, 7),
co dowodzi przemienności działania Aj. Ważne to twierdzenie w teoryi działań formalnych możemy wyrazić w sposób następujący:
"Jeżeli dwa różne działania jednowartościowe i łączne są związane z sobą prawem rozdzielności, to wtedy jedno z nich musi być przemienne,,.
W podobny sposób możnaby dowieść, że działanie A2 jest przemienne, jeżeli czyni zadość następującym dwóm związkom
A2[ A2 (a, J), c | = Ao | Aj (a, c), Aj (b: c) |, Aj | a, A2 {c, d)] A2 | \(a, c), Aj (a,d)]. Związek, wyrażony ogólnie równaniem 12., obejmuje w sobie związek, zachodzący między dodawaniem i mnożeniem liczb; wynika z niego, że prawo rozdzielności, wiążące mnożenie i dodawanie, pociąga za sobą przemienność dodawania, jeżeli założymy, że oba działania są jednowartościowe i łączne. Przemienność zaś mnożenia nie jest koniecznym wynikiem tego założenia; istotnie, mnożę7 6 c/^ść j. hołir/.ial. ii. [11
nie, jak to przekonamy się na przykładach w rozmaitych dziedzinach, może nie być przemiennem 3.
Własności formalne działań Aj i A2 oraz związek 12. pomiędzy niemi nie wystarczają wszakże do zupełnego określenia dodawania i mnożenia w każdéj specyalnéj dziedzinie, wymagającéj jeszcze odpowiedniego ustanowienia w niéj znaczenia dodawania.
Możemy wyprowadzić wzór analogiczny do wzoru 12., a wyrażający związek między działaniem A2 i działaniem odwrotnem \x. W saméj rzeczy, według określenia tego działania, mamy
łącząc obie strony z formą c za pomocą działania A2, otrzymujemy
A, [V, = («,«).
Do strony pierwszéj możemy zastosować pierwszy z wzorów 12., zastępując w nim a przez Yx (a, otrzymamy wtedy
Ai {A2 LV, (a, b),cJ, A, (b, c)} = A2(«,c)
Łącząc obie strony z formą A2(£, c) za pomocą działania odwrotnego V1? mieć będziemy po redukcyi
12'. A, [\x (a, i), éj = V, | A2 (a, c). A2 {b, o)]
c. b. d, o.
Dziedzina form a, o*,... nad któremi wykony warny działania proste, zawiera według naszego założenia, wszystkie wyniki działań prostych A (a, b), A (a, bc)... Wykony wając w niéj i inne działania proste A2(M), A3 (a, b) . . przyjmowaliśmy, że wyniki tych działań do naszéj dziedziny należą, a równania takie jak 12., określają związki, zachodzące pomiędzy działaniami prostemi A, i A2. Związek pomiędzy trzema działaniami prostemi jednowartościowemi A2, AO, A3, może mieć np. postać następującą
A2 [A3 (a, b)% A, (a, c)~\ = A3 [a. Aj (i, c)] ,
przy założeniu,że wyniki działania A3 prowadzą do form, należących do dziedziny pierwotnej; już z tego związku wnieść można, że działanie A3 względem form b i c jest przemiennem, jeżeli działania At i A2 są przemiennemi. Rozmaitości podobnych związków nie podobna z góry wyczerpać: każde badanie specyalne nasuwa je umysłowi. Najprostszym byłby taki system form, w którym wszelkie wyniki działań prostych i ich kombinacyj dają, się przedstawić, jako wyniki jednego działania prostego A, stosowanego do form pierwotnych. Taki system stanowią dodawanie, mnożenie i potęgowanie w układzie liczb całkowitych.
Co się tyczy działań odwrotnych, to związek ich z odpowiedniemi działaniami prostemi określamy za pomocą wzorów 1. i 2. Jeżeli wyniki tych działań należą wprost do form badanych, to wykonywanie działań prostych nad niemi podlega prawom, wyżéj przedstawionym; jeżeli zaś te wyniki nie znajdują się w dziedzinie pierwotnéj, to równania powyższe określają nowe formy, które do téj dziedziny wcielamy. Powstaje tedy pytanie, w jaki sposób wykonywać należy połączenia form dawnych z nowemi i nowych pomiędzy sobą. Zasada zachowania uczy nas, jak należy postąpić; według jéj wymagań, winniśmy połączenia nowych form z dawnemi i nowych pomiędzy sobą określić w ten sposób, aby one czyniły zadość tym samym własnościom formalnym, jakim czynią zadość działania na formach pierwotnych.
Niechaj V (a, b), V (c, d) oznaczają formy dawne: na podstawie równań 4. otrzymamy z łatwością wzór
13. A | V (a. b), V (c, d)] = V [ A (c. a), A (d, b) J,
który przyjmujemy za określenie działania prostego i w przypadku ogólnym, t. j. i wtedy, gdy jedna lub obie formy (c,d) nie
znajdują się w dziedzinie pierwotnéj.
Ze związku 13. wnieść można, że działanie proste nad nowemi formami: l-o jest przemienne, 2-o jest łączne. Zbadajmy jeszcze działanie odwrotne, wykonane na dwóch formach nowych V (a. b) i V (c, d); w tym celu połóżmy
V [V (a, b). V (c, d) | =
gdzie x niechaj będzie wynikiem działania V (y, z), w którem y i z są formami dziedziny pierwotnéj.
Łącząc obie strony z formą za pomocą działania A. otrzy
mujemy na zasadzie wzoru 13.
VM) = V[A(yłC),AM)].
Aby z tego równania wyprowadzić związek między formami szukanerni y i * a danemi, zauważmy, że z równania
78 część I. HO/.DZIAŁ 1L [11
V|A(a,«),A(ó,«), J = AlV(a,4),V(./,«)J,
w założeniu, że równania, określające moduł działania, odnoszą się do form jakichkolwiek, nowych czy dawnych, otrzymujemy
Temu równaniu uczyni się zadość, gdy założymy
a = A (a, u), h — A(b,u). Wogóle staje się zadość równaniu
gdy przyjmiemy Stosując to do równania
VM) = V[A(y,c),AM],
otrzymujemy
skąd dochodzimy do rozwiązań
y = (a,u),c], *=V[A(*,«),d],
które można przedstawić pod postacią
gdzie u jest formą dowolną. Jeżeli w szczególności weźmiemy taką formę u, aby było V (w, c) = d} t. j.
u = A [V (u, c)9 c] = A (d,c),
to otrzymamy
y = A(a,d), z= A(b,G)
co wskazuje, że formy y i z, przy powyższem założeniu o własności modułu; zawsze znaleźć można, że przeto forma
* = V(y,z) = V[A(a1d)A(ł>,c)]
zawsze znajdzie się w dziedzinie uzupełnionéj form dawnych i nowych. Wykazaliśmy tym sposobem, ze uzupełniona dziedzina jest wystarczająca i po włączeniu w zakres badania działań odwrotnych pomiędzy formami nowemi; czyli innemi słowy, że dziedzina form dawnych i nowych mieści w sobie wszystkie możliwe wyniki działań, jakie otrzymujemy przy łączeniu jéj form za pomocą działań A i V. Toż samo powiedzieć można o każdéj innéj parze działań.
Przy stosowaniu teoryi formalnéj do poszczególnych rozmaitości, trzeba przedewszystkiem określić, co w tych rozmaitościach przyjmujemy za dziedzinę form pierwotnych czyli elementów. Określenie to wyrażamy, wskazując proces, za pomocą którego przechodzimy od elementu do elementu w danéj dziedzinie, a następnie badamy, czy istnieje dla tych form działanie proste, mające cechy zasadnicze dodawania. Po znalezieniu dodawania, badamy, czy istnieje inne działanie proste, związane z poprzedniem za pomocą równań 12. Niekiedy przyjęcie podobnego równania dla przypadków szczególnych pozwala już na uogólnienie, gdy się uwzględni istotę badanéj dziedziny. Po określeniu własności działań prostych, przechodzimy do działań odwrotnych, które za pomocą znanych równań określamy i których wyniki sposobem wyżéj opisanym badamy.
Teorya powyższa stosuje się do działań elementarnych i do ich kombinacyj, przy założeniu, że tak liczba elementów jak i działań, kolejno stosowanych jest skończoną. Kolejne stosowanie działań do elementów danych prowadzi do pewnych form liczbowych, i dla tego teorya działań stanowi istotną podstawę rachunku elementarnego takich form liczbowych, jest podstawą Arytmetyki i Algebry. Przypadki, w których liczba elementów i liczba kolejnych działań, lub jedna i druga są nieskończone, należą w ogóle do dziedziny Analizy wyższéj. Wreszcie teorya działań może być rozwiniętą i w innym kierunku, wypływającym ze spostrzeżenia, że pojęcie dodawania i mnożenia można objąć w jednem pojęciu działania prostego, któremu, jeżeli z góry nie zakładamy przemienności, odpowiadają dwa działania odwrotne. Tą drogą poszedł Schroder, któremu zawdzięczamy pierwsze w tym kierunku badania 4.
Przedstawimy tu zastosowanie powyższéj teoryi do dziedziny liczb całkowitych, to jest do szeregu
1, 2, 3, 4 ... , którego wyrazy otrzymujemy kolejno w następujący sposób
2=1 + 1, 3 = 2+1, ...
tak że w ogólności liczba, bezpośrednio następująca po liczbie n, jest równa n+1.
Proces ten, za pomocą którego przechodzimy od elementu do elementu, jest szczególnym przypadkiem działania zasadniczego dla naszego szeregu. Działanie to, dodawanie, określamy za pomocą równań
a + (4 + l)=:(« + *) + l a + \ = 1 + a
| porówn. art. 8. |, które nazwijmy pewnikami dodawania [Helmholtz nazywa pierwsze z nich pewnikiem Grassmanna]5. Działanie odwrotne, odejmowanie, określamy za pomocą równania , odpowiadającego równaniu 1.
la. (a — b) b — a
Dodawanie jest jednowartościowem, bo jeżeli a + b doprowadza raz do sumy c, drugi raz do sumy c\ to według pierwszego pewnika tego działania musi być
« + (* + l) = c + l= </ + l,
stąd oczywiście wynika c = c'. Stąd na zasadzie wyłożonéj teoryi wynika, że jeżeli w działaniu a Ąb lub w działaniu a — b zmienimy pierwszą liczbę a, to wynik działania zmienić się musi, a więc.i równanie x — b = c może mieć jedno tylko rozwiązanie. Związkowi 2. odpowiada w naszym przypadku związek
2 a. (a + b) — b = a. Równaniu 3. odpowiada równanie
3 a. a + (b + c) = (a + b)Ą-c,
wyrażające prawo łączności. Wynika ono z pierwszego równania, określającego dodawanie. W saméj rzeczy, zakładając, że wzór 3 a sprawdza się dla danéj liczby o, możemy stwierdzić, że sprawdza się i dla liczby c-fl, gdyż na zasadzie pierwszego pewnika mamy
a + W + c) + 1] = [a + (b + c) ] + 1;
kładąc po stronie drugiéj w miejsce pierwszego wyrazu jego wartość z równania 3a, a następnie stosując znowu pierwszy pewnik dodawania, otrzymujemy:
<* + O + (« +1)] = (« + *) + (c + 1), a ponieważ równanie 3a jest oczywiście prawdziwem dlac=l, więc jest prawdziwem dla c = 2, 3 ..t. j. ogólność jego jest stwierdzona.
Równaniom 4. odpowiadają następujące:
a + (b — c) = (a + b)—c
4 a. a — (c + b) = (a — b) — c
(a Ąc) — b = a — (b — c)
Modułem dodawania, określonym za pomocą równania 5., jest zero, czyniące zadość równaniu
5 a. a + 0 = a, skąd wynika:
6 a. 0 + b = b,
7 a. a — 0 = a,
8 a. b — b = 0.
Zero, równe b—b lub 1 — 1, wprowadźmy jako nową liczbę do naszego szeregu, który tym sposobem będzie:
0, 1, 2, 3, 4
Formy odwrotne określamy za pomocą równania, odpowiadającego równaniu 9., mianowicie za pomocą równania
9 a. 0 — b = b/n.
Formy te nazywami liczbami ujemnemi i oznaczamy przez —b; szereg liczb ujemnych będzie:
— 1, — 2, — 3, — 4 . • ♦
Równaniom 10. odpowiadają wzory
10 a. a -f (—c) = a — c, a Ąc — a — (—c).
[Liczbami ujemnemi zajmiemy się w rozdziale IV.].
Równaniu 11., wyrażającemu prawo przemienności, odpowiada równanie
11 a. a + b = b Ąa,
które w naszéj dziedzinie pierwotnéj wynika bezpośrednio z pewni-
Fojęcia, T. I, 6
ków dodawania. Z powodu przemienności dodawania, równania 1', 2' i 4' przyjmują, obecnie postać:
Va. b-\-(a-b)=a.
2'a b Ąa — I> —a
(b-c) + a = (b + a)-c, Ma. a (b+c) = (a—b) — r,
(c-ł-a)-b = a-(b-c).
Mnożenie jest drugiem działaniem prostem A2, które możemy określić za pomocą związku jego z dodawaniem, wyrażonego równaniami 12.' Jeżeli za znak działania ń2 przyjmiemy kropkę, to równaniom 12. odpowiadać będą związki
(a b) .c = a. c -Jb. c a. (c Ąd) — a . c Ąa. d.
Wystarczy wszakże do określenia mnożenia w naszym układzie przyjąć prawo rozdzielności dla przypadku mniéj ogólnego
a.(e-f-1) = a . c + a
i następujące założenie, dotyczące modułu mnożenia, którym jest liczba 1., a mianowicie
a. 1 = a.
Z tych założeń wynikają już wszystkie własności mnożenia. Określiwszy jeszcze działanie odwrotne za pomocą wzoru,
Ib. — . b = a,
b
możemy z łatwością napisać następujące wzory, odpowiadające wzorom, stosującym się do dodawania i odejmowania:
C\ 7 a'h
Ib. —= a
3 b.
b
a. (b . c) = (a .b).c
b _ a.b c c
±?>> c.b c
a.c a ~b c
5b. odpowiada założeniu a. 1 = a Gb. „ „ l.a = a
a
Ib. y = a
8b. = 1
b
U. J = b'n
Wzór ten jest określeniem liczby odwrotnéj, zwanéj tu ułamkową. Szereg liczb ułamkowych [prostych] jest następujący:
h b Ti
Równaniom 10. odpowiadają następujące:
lOb. a . (—) = — , a.c = -.
V c / c 1
c
| Liczbami ułamkowerai zajmiemy się w rozdziale III].
Wzory 5b. i §b. wyrażają w przypadku szczególnym prawo przemienności, które łatwo uogólnić. Przemienność w przypadku dwóch czynników przedstawia wzór:
llb. a.b — b.a.
a stąd wynikają następujące własności: b b.a
c ' c
. (t)
4 %
b.c c ca a
Tl?) Równaniu 12'. odpowiada wzór 12 'b. (a — b).c = a.c— b.c,
który dopełniamy, przyjmując
0 . c = 0,
a gdy zachowamy i dla tego przypadku prawo przemienności,
c. 0 = 0.
Ostatnia dwa równania wyrażają, że jeżeli jeden z czynników jest zerem, to iloczyn jest zerem.
Naodwrót, iloczyn dwóch liczb może być zerem tylko wtedy, jeżeli przynajmniéj jeden z czynników jest zerem. Z powyższych równań wynika
1 = 0. C
We wszystkich poprzednich wzorach dzielniki należy uważać za liczby różne od zera [dzielenie przez 0 na teraz z dziedziny działań wyłączamy].
Opierając się na powyższych wzorach, możemy jeszcze dowieść równości następujących:
14.
b a -1 , * a± ~d- d a
J ' c
' ~d a. c
b. d a c a.d J ' b.c
Pierwsze dwa wzory można rozszerzyć do trzech i więcéj składników lub czynników.
12. TEORYA DEDEKINDA.
W przedstawionéj w poprzednim artykule teoryi działań, myśl podstawową stanowiło łączenie form, należących do pewnéj dziedziny, według praw, utworzonych na podobieństwo prawideł, jakim podlegają działania na liczbach całkowitych. Dedekind wystąpił niedawno 6 z nową teoryą, któréj podstawę stanowi zasada odwzorowania, stosowana już przez nas w art. 9. do szeregu liczb całkowitych. Według poglądu Dedekind a, liczby są swobodnemi tworami ducha ludzkiego, są środkiem łatwego i ścisłego przedstawiania rozmaitości rzeczy; cała umiejętność liczb polega na zdolności umysłu do wzajemnego przyporządkowania rzeczy, do ustanawiania pomiędzy niemi odpowiedniości.
Odwzorowaniem cp układu elementów nazywa Dedekind prawo, według którego do każdego elementu układu S należy przedmiot oznaczony s, nazwany obrazem elementu s, a który przedstawić można pod postacią cp(s). Mówimy, że cp(s) odpowiada elementowi $, że 99(5) przez odwzorowanie cp powstaje z s, lub wreszcie, że s za pomocą odwzorowania cp przechodzi w cp(s). Przykładem takiego odwzorowania jest już samo nadawanie nazw oznaczonych lub znaków elementom układu; najprostszem zaś odwzorowaniem jest to, przez które elementy układu przechodzą same w siebie. Takie odwzorowanie nazywamy tożsamościowem.
Odwzorowanie nazywa się podobnem [wyrażnem], jeżeli różnym elementom a i b układu £ odpowiadają zawsze obrazy różne a'=cp(a) i b'=cp(b). Ponieważ w tym przypadku z równości s'=t' wynika odwrotnie równość s = t, zatem każdy z elementów układu /S" = cp(S) jest obrazem s' pewnego zupełnie oznaczonego elementu układu S. Odwzorowanie tedy, za pomocą którego od układu & przechodzimy do układu S, jest również podobnem. Oznaczmy je przez cp, będzie tedy cpfó) = S. Odwzorowanie, złożone z odwzorowań cp i 99, a które oznaczmy przez cpcp, prowadzi do układu pierwotnego, jest więc odwzorowaniem tożsamościowem.
Dwa układy Ił i S nazywają się podobnemi, jeżeli istnieje takie odwzorowanie podobne cp, że cp(S) = R lub cp(K) = *Sf.
Z tych określeń wynika, że każdy układ jest podobny do siebie samego; że jeżeli dwa układy R i S są podobne, to każdy układ, podobny do układu R, jest podobny do układu S.
Na téj zasadzie można wszystkie układy podzielić na klasy. Do jednéj klasy należą wszystkie—i tylko te wszystkie—układy Q,R,S,... które są podobne do jednego z nich R; ten układ R można uważać za przedstawiciela klasy. Jeżeli R i S są układy, należące do jednéj klasy, to każda część układu R jest podobna do pewnéj części układu R. [Częścią układu R nazywa się układ R\ którego każdy element jest elementem układu R; częścią właściwą nazywa się układ R', jeżeli przytem nie jest identyczny z układem R, to jest jeżeli w R jest przynajmniéj jeden element, którego w R' niemaj.
Jeżeli stosując odwzorowanie [podobne lub niepodobnéj cp do układu AS', otrzymujemy układ cp(S), który jest częścią pewnego układu Z, to p{S) nazywamy "odwzorowaniem układu S w układzie Z„. Odwzorowanie to możemy wyrazić w ten sposób
cp (>S) 3 *Sł
gdzie znak 3 oznacza, że układ pierwszy jest częścią drugiego.
Każdy układ, którego obraz jest częścią samego układu, nazywa D ed eki nd łańcuchem [Kette]. Zwracamy uwagę na to, że nazwa łańcucha stosuje się do układu lub do części układu ze względu na odwzorowanie oznaczone cp; przy innem odwzorowaniu układ może nie być łańcuchem.
Łatwo dowieść, że obraz łańcucha jest także łańcuchem, i, jeżeli pewien układ A jest częścią łańcucha, to i obraz jego jest częścią tegoż łańcucha.
Niechaj układ A będzie częścią układu S\ wyobraźmy sobie wewnątrz S wszystkie łańcuchy, których A jest częścią. Układ którego elementami są wszystkie elementy wspólne tym łańcuchom, jest oczywiście sam łańcuchem; Dedekind nazywa go łańcuchem układu A 7.
Układy bywają skończone i nieskończone. Układ nazywa się nieskończonym, gdy jest podobny do części właściwéj samego siebie; w przeciwnym razie jest skończonym. Wynika stąd, że każdy układ, składający się z pojedyńczego elementu, jest skończony, bo nie posiada wcale części właściwéj [inaczéj mówiąc, część właściwa tego układu nie zawiera wcale elementów].
De de ki nd dowodzi istnienia układów nieskończonych w następujący sposób:
Świat moich myśli albo ogół S wszystkich rzeczy, które mogą. być przedmiotem mojego myślenia, jest nieskończony. Gdy bowiem * jest elementem układu Sy to myśl s\ że s jest przedmiotem mojéj myśli, jest także elementem układu S. Jeżeli s' będziemy uważali za obraz elementu s, t. j. za cp($), to odwzorowanie cp(S), jakie tym sposobem otrzymujemy, ma tę własność, że obraz 6" jest częścią układu S i mianowicie częścią właściwą, bo w S zachodzą elementy | n. p. moje własne ja |, które są różne od każdéj takiéj myśli s\ a więc nie są w tf zawarte. Daléj widoczna, że jeżeli a i £ są różnemi elementami układu to i ich obrazy a' i V są różne, odwzorowanie cp jest podobne, układ ^-nieskończony
Z poprzedzającego wynika: że jeżeli R i S są układy podobne, to R jest układem skończonym lub nieskończonym, stosownie do tego, czy układ S jest skończony lub nieskończony; że każdy układ, podobny do części układu skończonego, jest sam skończony.
Układ N nazywa się pojedynczo-nieskończonym, jeżeli istnieje takie odwzorowanie cp, w skutek którego układ N jest łańcuchem elementu, nic zawartego w obrazie cp(N). Ten element nazywamy elementem zasadniczym, oznaczamy go przez i, i mówimy, że układ pojedyńczo-nieskończony jest przez odwzorowanie cp uporządkowanym. Warunki, którym czyni zadość układ pojedyńczo-nieskończony, można w skróceniu przedstawić w sposób następujący:
a. iV 3 N,
//. iV=y0,
y. Element 1 nie zawiera się w iV',
б. Odwzorowanie cp jest podobne.
W każdym układzie nieskończonym Szawiera się jako%zęść układ pojedyńczo-nieskończony. W saméj rzeczy, według określenia układu nieskończonego, istnieje takie odwzorowanie cp, że cp(S) albo S' jest częścią właściwą S, istnieje przeto taki element 1 w Ą który nie zawiera się w AS*. Łańcuch N = i0, odpowiadający temu odwzorowaniu układu S w samym sobie, jest układem pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym przez odwzorowanie cp.
Jeżeli w układzie pojedyńczo-nieskończonym, uporządkowanym przez odwzorowanie 99, odwrócimy uwagę od natury elementów i uwzględnimy tylko związki, wynikające z odwzorowania cp, to elementy nazywamy wtedy liczbami naturalnemi lub wprost liczbami, a element l—podstawą szeregu liczbowego N. Związki albo prawa, wynikające z powyższych warunków a, /?, y, <5, stanowią najbliższy przedmiot nauki o liczbach czyli Arytmetyki.
Wychodząc z tych określeń wyprowadza Dedekind własności, dotyczące następstwa liczb szeregu N (każda liczba, następująca bezpośrednio po liczbie w, jest jéj obrazem n'J, znaczenie liczb większych i mniejszych, liczb niewiększych i niemniejszych od danéj, własności układu Zn liczb niewiększych od liczby n i t. d., a następnie przechodzi do teoryi działań, która w streszczeniu daje się przedstawić w sposób następujący.
Niechaj będzie układ Q zupełnie dowolny, którego elementy nie koniecznie mają być zawarte w A7. Niechaj y oznacza odwzorowanie tego układu w samym sobie, co—zaś element oznaczony układu. Dedekind dowodzi za pomocą indukcyi zupełnéj, że każdéj liczbie n układu N odpowiada jedno i tylko jedno odwzorowanie y>H układu Zn |t. j. układu liczb niewiększych od liczby w], czyniące zadość warunkom:
I. y>n(ZH)3£2,
II. y>n(l ) — CO,
III. y>n (O = y V* (0> gdzie t < n.
[%ipn jest odwzorowaniem, złożonem z kolejnych odwzorowań V* i
W podobny sposób okazać można, że istnieje odwzorowanie cp układu N, czyniące zadość warunkom:
I. y>(N)3Q,
II. y (1) = co, III. y>(n') = yxp(n).
gdzie n jest liczbą dowolną.
Dodawanie. Stosując te twierdzenia do przypadku, w którym Q jest układem nieskończonym N, %(n) = cp(n) = n\ a więc
I. y>(N)3N,
możęmy dla zupełnego oznaczenia ?// przyjąć cx> — i\ wtedy xp oznaczać będzie oczywiście odwzorowanie tożsamościowe, gdyż warunkom
<]> (i) = i, <KO = = p^n) = »(»)]'
staje się zadość, jeżeli przyjmiemy cp(n) = n.
Jeżeli chcemy mieć inne odwzorowanie układu N, przyjmujemy za a) liczbę różną od i, np. liczbę m' zawartą w N. Oznaczmy obraz <{)(w) liczby n przez m-\-n i nazwijmy go sumą liczb m i n. Otrzymamy tedy według twierdzeń powyższych:
II. m + 1 = m III. m + n' = (mĄ-n)' Z równań tych wynikają następujące własności dodawania:
vi -{« = m -f ri, m n = (m n)' 1 +n =n 1 =n + 1, m -)u = n -fm (l + m) + n = / -f(m -fn) t/ł -f"71 >
Mnożenie. Załóżmy .£> = Ar, ^(n) = m -f n = n -f; będzie tedy
L ł(A) 3iV.
Wybierzmy a)=m, obraz ^(n) oznaczmy przez wn i nazwijmy go iloczynem. Według twierdzeń powyższych będzie
II. ra.l = m
III. wn' = t»n|j», skąd wynikają następujące własności mnożenia:
=r 771 n -}n
1 ,n = n mn = nm
m n m = n m -fm
l (m + n) = l m + i n (m Ąn) l = ml nl
(Im) n = l (mn -{m) = l m n .
Potęgowanie. Q = A7, = an — wa, a więc I. y (A) 3 N.
Odpowiednie odwzorowanie ip(ń) oznaczmy przez an i nazwijmy tę liczbę potęgą liczby a,n — wykładnikiem potęgi. Działanie nasze czyni zadość warunkom:
I. a1— a
II. an' = a . a" = an . a, skąd wynikają następujące własności:
arnĄ>n _ a>;> a>i
aM+n. a — [am.a")a (a01)" = a"1" (ab)11 = a" b\
W końcu podamy jeszcze twierdzenia D e d e k i 11 d a, w których uzasadnia pojęcie liczby [kardynalnej] elementów danego układu.
1. Jeżeli układ Z jest nieskończony, to każdy z układów Zn daje się odwzorować w układzie Z za pomocą ob wzorowania podobnego.
2. Układ Z jest skończony lub nieskończony, stosownie do tego, czy istnieje lub nie istnieje układ do niego podobny Zn.
3. Jeżeli Z jest układem skończonym, to istnieje jedna i tylko jedna liczba 71, któréj odpowiada w układzie Z układ Zn\ ta liczba stanowi liczbę [kardynalną] elementów układu. Wszystkie układy, podobne do danego skończonego układu, mają jedne i tężsamę liczbę kardynalną n.
4. Jeżeli układ A składa się z m elementów, układ B z n elementów, przyczem A i 13 nie mają elementów wspólnych, to układ M(A,B), którego każdy element jest elementem albo układu A albo układu B, zawiera m + n elementów.
5. Każdy układ, złożony z n układów skończonych, jest sam skończony.
Teorya, którą, przedstawiliśmy w streszczeniu, nasuwa następujące uwagi: Odwzorowanie stanowi bez wątpienia działanie zasadnicze, będące podstawą tak liczenia jak i działań arytmetycznych; twierdzenia De dek i n da, oznaczone wyżéj przez I, II, III, ukazują wspólne źródło tych działań w postaci ścisłéj i wyraźnéj. Określenie szeregu liczb naturalnych, jako łańcucha elementu 1, charakteryzuje ten szereg wśród innych szeregów nieskończonych i określa zarazem jego znaczenie zasadnicze. Wreszcie twierdzenia o liczbie elementów układu wskazują wyraźnie, że liczenie jakiegokolwiek układu 2 jest oparte na odwzorowywaniu wzajemnem tego układu i układu Zn. Teorya Dedekind a jest odmiennem rozwinięciem téj saméj myśli, która kierowała badaniami G. Cautora, która ujawnia się w rozważaniach Kroneckera. Układy podobne pierwszego z nich—to układy o równéj mocy drugiego lub układy równoważne trzeciego | porówn. niżéj str. 96. |. Ukazując nam liczby całkowite, jako formy szczególne, wynikające z pewnego rodzaju odwzorowania, teorya D e d e k i n d a zadawalnia w wysokim stopniu upodobanie do ogólności w badaniach matematycznych. Uderzającem w teoryi téj jest to, że układy nieskończone zajmują w niéj niejako pierwsze miejsce, są w niéj pierwotnemi, bo po określeniu ich następuje dopiero określenie układów skończonych. Dowód wszakże istnienia układów nieskończonych niezupełnie nas zadawalnia. Punktem głównym tego dowodu jest to, że układ jest częścią układu S, ponieważ w 8istnieją elementy jak np. moje własne ja, które są różne od każdéj myśli zawartéj w Ale zapytać można, dlaczego by własnemu ja w układzie £ nie miała odpowiadać myśl o własnem ja w układzie Naszem zdaniem, "istnienie,, układów nieskończonych, jak to już powiedziano w art. 10., nie może wyrażać nic innego nad możność odwzorowywania kolejnego, bez żadnych przeszkód, albo możność liczenia tak daleko, jak chcemy. Ta to możność w formie matematycznéj przedstawia się jako nieskończoność i jest źródłem wszelkich innych form, jakie za pomocą odpowiednich konstrukcyj tworzyć możemy i tworzymy w Matematyce. 1 G r a s s m a 11 n. Ausdelinungslehre... str. 1—14.
2 Hankel, Ueber complexe Zahlensysteme str. 18—34.
3 N. Tliiele w pracy, Analytiske Studier de rene Mathematiks Principer [ l\dskriftfor Mathematik, 1880 ], któréj treść znamy tylko ze sprawozdania IJahrbuch iiber die Fortschritte der Mathematik, XII, str. 46—481, poddał ogólnemu badaniu związek, zachodzący pomiędzy dodawaniem i mnożeniem, oparty na wzorach
a~\-b = c, ab = c> a' c = b, (a -)b)c = a -f(b -Jr c),
a b = b a, (a -{b) c = a c -fbc,
wyrażających jednowartościowość dodawania i mnożenia, odwracalność, łączność i przemienność dodawania oraz rozdzielność mnożenia. Najogólniejsze działania, czyniące zadość tym związkom, nazywa on "pseudodowaniem„ i upseudomnożeniem„ i oznacza pierwsze przez x # y—z, drugie przez x o y=z. Z badania, przeprowadzonego przez Thielego, wynika, że obie funkcye suma i iloczyn zawarte są w funkcyi
z = ezy+ft+sy -\-h
a xy -)b x cy -]d
lub też, że pomiędzy y, 2 muszą zachodzić równania postaci
f(z)=g(x)h(t/), F(z) = G(x) H(y),
Z wzorów, wyrażających własności działań, tylko wzór, określający zasadę rozdzielności, stanowi jedyną różnicę pomiędzy mnożeniem a dodawaniem; do zupełnego wszakże określenia mnożenia wzory powyższe nie wystarczają i potrzebném jest jeszcze twierdzenie
a. a Ąa Ąa Ą. . . (?i razy) = n . a
które dla up3eudodziałań„ może być przedstawione pod postacią ogólniejszą
a # a # a . . . (n razy) = e„ O a
gdzie
n to (e — o) -f°(u> — e) 11 ~~ 0 1 — cc
n (e — 0} -f(co — e) n — oc 1 v 0 '
Tu -7i oznaczają "pseudoodejinowanie., i <:pseudodzielenie,.. Dla o = 0, e = 1, oj = 00 jest e» = w, i wtedy przechodzimy do Arytmetyki zwykłéj.
Bez uwagi na twierdzenie dodatkowe, "pseudodziałania,, czynią zadość warunkom
F(x#y) = F(x)+F(y) F(x o y) = Fx Fy
x — o e —to
gdzie F(x) =
x — co e — o
Wzorów, wyrażających związki pomiędzy działaniami, nie uważa T h i e1 e za pewniki, lecz pragnie dojść do twierdzeń jeszcze prostszych, opier-a jąc się na oryginalnym poglądzie na istotę liczb. Według tego poglądu liczba niemianowana nie jest abstrakcyą lecz opisaniem liczby mianowawanéj [realnej] za pomocą innéj takiéj liczby, liczby zaś mianowane są znowu opisaniem "objektów matematycznych,,, jakiemi są np. punkty czasowe, przestrzenne i t. d. [porówn. str. 33]. Według téj teoryi liczba niemianowana może być określona jako stosunek anharmoniczny, wyznaczający dokładnie dany przedmiot przy pomocy związku przez trzy inne dowolne tego samego gatunku, po ustaleniu punktów 0, 1, cc.
Wrozprawie Om Definitionerne forTallet,Talarterneog de tallignende Bestimmelser, 1886, T h i e 1 e rozwija w dalszym ciągu pogląd swój na istotę liczb i działań nad niemi. Punktem wyjścia są dla niego tak nazwane "numerale„ [Numeraler], t. j. "bezwarunkowe, pojedyńcze, względne i zupełne jednowartościowe oznaczenia,,, których najprostszy przykład stanowią "punkty rzeczowe,, "wyrazy,,, i t. d. Jeżeli B jest numeralem, to pojęcie B określa się za pomocą pojęcia A w ten sposób:
B =B* A.
"Numeral tożsamościowy., O określa tożsamość
A = O * A, t. j. A = A.
Nad numeralami wykonywać można (lwa działania: "przeciwstawienie,, [Modsaetning] i "przydawanie,, [Tilfjolse]. Pierwsze z nich oznacza, że z równości
B = xV * A
wynika równość
A — ( -rN) * B,
gdzie numeral (-r N) jest przeciwstawieniem numeralu A'. Drugie wyraża, że z równań
B = A * A, C = 13 * B
wynika równanie
C = C * A.
Działanie to, jak łatwo się przekonać, czyni zadość prawu łączności. Jeżeli wprowadzimy oznaczenia A * A=\ A, A * A * A = 'i A,
A * (A * (A .. . * (A)) = ? A., to stąd wypływają równości
(n A) * (?A) = (™A) * (n A).
i t. d.
Znak « jest "numeralem numeralu,, czyli liczbą. Powyższe własności numeralów prowadzą do własności liczb i działań nad liczbami. Do liczb dochodzi się tu zatem od wielkości.
Na téj drodze, jakkolwiek w sposób odmienny, stara się uzasadnić teoryą działań A. F i c k we wspomnianein wyżśj dziełku [Das Gróssengebiet i t. d.].
Każda jednostka J i każda wielkość A jest, według Ficka, miarą pewnśj wzajemności [związku, stosunku, Beziehung] pomiędzy dwoma przedmiotami. Jeden z przedmiotów, do którego odnosimy wszystkie przedmioty badane, jest przedmiotem zerowym• jego wartość względna [Beziekungswerth] jest zerem. Wielkości, których przedmioty zerowe są różne [t. j. wielkości różnorodne], nie mogą wchodzić z sobą w połączenia.
Dodawanie określa F i c k w sposób następujący: suma A 4B wyraża wzajemność względem przedmiotu zerowego takiego przedmiotu, którego wzajemność względem jednego ze składników [A lub B] jest równa wzajemności drugiego ze składników \B lub A] względem tegoż przedmiotu zerowego. Z tego określenia wynika bezpośrednio własność A-\-B=B-{-A i zarazem twierdzenie, że każda suma. o ile ma być wielkością uważanéj dziedziny, może być przedstawioną jako wielokrotność pewnéj jednostki lub jéj części. Ta jednostka nie będzie wogóle tą samą jednostką, któréj wielokrotnością jest B. Jeżeli więc założymy, że A = m Jy, B = n Jy, to otrzymamy A-\B=pJx , gdzie Jfp, Jy,, JY są różnemi jednostkami.
Ogólna wykonalność odejmowania poddaje dziedzinę wielkości warunkowi, aby każdéj wzajemności odpowiadała wzajemność przeciwna [odwrotna], tak że do każdój wielkości A można znaleźć drugą, która, dodana do niéj, daje na wynik zero. Warunek ten spełnia się, jeżeli do kcidój jednostki Jfp pomyślimy sobie inną pJ taką, aby było Jr -fpJ=0; wtedy odejmowanie dwóch wielkości A—B=mJp—nJy, sprowadza się do dodawania m J^ -\-nv>J i jest zawsze wykonalne.
Mnożenie wielkości opiera F i c kna pojęciu stosunku, które uważa jako niezależne od pojęcia dzielenia i dające się określić za pomocą pewnych warunków. Tu, jak i wszędzie, najważniejszą rzeczą jest określenie równości: równość stosunków przedstawia F i c k za pomocą wzoru
A:: B = C:: D,
który ma wyrażać, że wielkość D powstaje z wielkości C przy pomocy tych samych prawideł, przy pomocy których B powstaje z A. Prawidła te mają czynić zadość następującym warunkom:
I. Prawidło musi być odwracalne, to jest, z prawidła, wedługktórego B powstaje z A, otrzymujemy wprost prawidło, według którego A powstaje z B: z proporcyi A:: B=C:: D wynika proporcya B:: A—D zi O.
II. Z proporcyi A:: B = C:: D wynikają proporcye A:: C = B:: D i D:: B=0::A.
III. Stosunek pozostaje bez zmiany, jeżeli do jego wyrazów dodajemy wielkości, będące w tym samym stosunku, t. j. z proporcyi A:: B=C::D wynika proporcya i-fO:: BĄD=. C:: D.
Do definicyi mnożenia potrzebny jest jeszcze wybór jednostki pierwotnéj [Ureinheit] pomiędzy rozmaitemi jednostkami dziedziny. Jednostkę tę oznaczmy przez 1.
Definicyą mnożenia jest następująca: "Pomnożyć wielkość A przez wielkość By t. j. utworzyć iloczyn AB, jest to znaleźć wielkość, będącą w takim stosunku do wielkością, w jakim wielkość B jest do jednostki pierwotnéj,,.
Ponieważ według warunku II, z proporcyi 1:: B = A:: A B wynika proporcya 1:: A =B:: AB, ostatni zaś wyraz drugiéj proporcyi, według określenia, winien być BA, jest przeto AB = BA. Z trzeciego warunku wynika znowu prawo rozdzielności (A -fB) = A CĄB C oraz (A — B)C = A C—B C.

Dzielenie w téj teoryi polega na znalezieniu ilorazu A\B lub A: B, który ma się tak do wielkości A, jak jednostka pierwotna do wielkości B, Na tój podstawie łatwo okazać można twierdzenia
A±B___A _B_ A . B
C ~ C + C ' C
i t. d.
Potęgowanie i wyciąganie pierwiastka określają się sposobem zwykłym.
Dalsze rozwinięcie swojéj teoryi opiera Fick już na pojęciu ciągłości.
Próba Ficka zbudowania teoryi działań niezależnie od nauki o liczbach nie wydaje nam się dostatecznie ogólną, z tego względu, że autor odrazu przyjmuje wielkości, jako złożone z jednostek; że nie poddaje ogólnemu badaniu związków pomiędzy działaniami, lecz działania te odrazu specyalizuje; że wreszcie określenie mnożenia na podstawie pojęcia stosunku zbyt jest skomplikowanym.
Droga, wskazana w teoryi działań formalnych przez Grassmanna i Hanke la, zdaje się być dotąd jedyną drogą, na któréj można zbudować teoryą wielkości. Najnowsze w tym względzie badania K r o n e c k e r a w rozprawie, Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modul-Systeme [Mittheilungen der Berliner Akademie. 1888.,str. 379-396, 615— 648], które wiążą się z przedstawioną wyżéj teoryą Helmholtza [art 2. J w gruncie rzeczy nie różnią się pod względem zasad od teoryi formalnéj.
Kronecker uważa układ elementów [wielkości, wartości, liczb]
który dla krótkości oznacza przez (2). Wyobraźmy sobie proces, za pomocą którego układ (z) przechodzi w inny równoważny układ (V), przy zachowaniu warunku, że z równoważności
wynika równoważność
W (*")•
Jeżeli w szczególności układ (V) jest identyczny z układem (2';, to stąd wyniknie, że każdy układ jest równoważny samemu sobie; jeżeli zaś układ (z") jest identyczny z układem (2), to otrzymujemy
(*') « jako wynik dwóch równoważności
MM*) («0M*)
Niechaj (2), (2'), (-'O • • • będą układy różne i niechaj
1. <f((s), (*>)) ~ 2"
wyraża, że układ z" za pomocą pewnego procesu powstaje z układów (z) i (zr). Załóżmy przytśm, że zachodzi warunek
2. 9 [(«). * ((*'): (*"))] P [(O, * ((*), (;"))
t. j. że dochodzimy do tego samego wyniku, łącząc układ (2) z wynikiem połączenia układów (z') i (2"), czy też łącząc układ (z') z wynikiem połączenia układów (z) i (z"). Niechaj będą dwa układy (z°) i (2^, dla których
<f (0°), (O) (*')•
Jeżeli więc zachodzi związek to zachodzi także związek
¥ [(z"), f (<z°), (m ~ («).
Uwzględniając tu warunek '2., otrzymamy
f («)) ~ («). Dodając teraz nowy warunek
3. f «*). (*')) = <? (<*')■ («)),
z łatwością dochodzimy do wniosku, że wynik połączenia ilukolwiek układów nie zależy wcale od porządku, w jakim je łączymy.
Jeżeli mamy układ (2°^) i oznaczymy wyniki połączeń: <f((21).(21))"przez (*<2>), cp (z<2)) przez (zZ)) ... i ogólnie
9 ((«0>), (/'">;) przez ,
to oczywiście dla jakichkolwiek liczb całkowitych w i n będzie
t. j. skaźnik układu, powstającego z połączenia układów (20*') i (z(") równa sie sumie ich skaźników. Twierdzenie to utrzymuje się, jeżeli wprowa-
( ftft / (=)\ dzimy układy \z /ze skaźnikami ułamkowemi; \z /oznaczać ma taki
układ, że połączenie p równoważnych mu n układów daje wynik równy
układowi (z(,n)).
Jeżeli dane układy nie dają się wyczerpać za pomocą układów oznaczonych przez
03)
i jeżeli (z) jest nowym jakimś układem, to można ozna-
czyć szereg układów nowych za pomocą \z ) i każdy z układów, utworzonych z połączenia układów
(K)) (15))
scharakteryzować za pomocą układu skaźników ^. Postępując
w ten sposób daléj, dojdziemy do oznaczenia wszystkich danych układów za pomocą układów skaźników
y r r Ił <s2> • • •
'ii
którego elementy Cs • • • są liczbami wymiernemu, W ten sposób połączenie układów, którym odpowiadają układy skaźników
? ? t r t ? t
Mi "=2? sa • • • j Sj , V2 ł ->3 • •
charakteryzuje układ
c, + c/, c2 + c/, e3 4v. •
Jeżeli np. układ (*) jest układem liczb całkowitych mniejszych od M, a połączenie p mnożeniem, to każda liczba układu daje się przedstawić pod postacią
n=plZi p2Ci pzŹ3 . . .
gdzie p,p[.p2 są liczbami pierwszemi, Cs •:. przyjmują wartości O, 1, 2 . . . Układ skaźników będzie zatóm
r r r
M? -2' '3 • • *
W zastosowaniu do wielkości teorya ta przedstawia się w ten sposób:
Układom (2), (2'), (2") . . . odpowiadają wielkości fizyczne O, O", które wchodzą w połączenia , podlegające warunkom 2. i 3., zastępują-
Pojęcia, T. I. 7 cym warunki łączności i przemienności w teoryi Helmholtz a. Jeżeli wyjdziemy z pewnéj wielkości O.i), to można wszystkie inne scharakteryzować [w przypadku wymierności] za pomocą skaźników całkowitych lub
ułamkowych. Wielkość O otrzymuje skaźnik (^)i jeżeli połączenie u
wielkości równoważnych wielkości O daje wynik, równoważny połączeniu m wielkości równoważnych wielkości 0(0.
Jeżeli uporządkujemy wielkości według skaźników w ten sposób, aby
wielkość ze skaźnikiem poprzedzała wielkość ze skaźnikiem y
gdy mnr <»*'«, to, jeżeli skaźniki odpowiadają* np. masom lub ciężarom, skaźnik mniejszy należeć będzie do wielkości mniejszéj. Porównanie rozmaitych wielkości fizycznych (taje się przeto sprowadzić teoretycznie do porównania ich skaźników, praktyczna wszakże strona tego oznaczenia wymaga metod,pozwalających na rozstrzygnięcie pytania, która z dwóch wielkości jest większa lub mniejsza.
Pięknie skreślony wykład teoryi wielkości znaleźć można w świeżo ogłoszonéj rozprawie B ettazzTego, Teoria deliagrandezze, uwieńczonéj przez Akademią dei Lincei, 1890. Opierając się na podstawach, danych przez Grassmanna, H a n k e 1 a, C a n t o r a i D e d e k i n d a, autor przedstawia związek pojęcia wielkości [formy] matematycznéj z działaniem zasadniczem, za pomocą którego wytwarzamy "klasy., wielkości i przedstawia następnie teoryą działań na liczbach.
4 W dziele E. Schrodera, Lehrbuch der Arithmetik und Algebra, 1873, zwłaszcza w rozdziale IV-ym (str. 174—294) o związkach wzajemnych pomiędzy działaniami, znaleźć można obszerny wykład teoryi formalnéj działań z drobiazgowym rozwinięciem wszelkich konsekwencyj, jakie z określeń ich wynikają. Badania te proponuje autor objąć nazwą Algebry formalnćj, do któréj zadań należy przeto: 1. zbadanie wszystkich założeń, koniecznych do scharakteryzowania każdego działania rachunkowego wdanój dziedzinie liczb; 2. wyczerpanie wszelkich wniosków z każdéj przesłanki lub kombinacyj przesłanek; 3. znalezienie zamkniętych układów liczbowych, podległych prawom połączeń i dających się zbudować za pomocą znalezionych działań; wreszcie 4. zbadanie, jakie podścieliska realne można dać tym liczbom i działaniom, t. j. jakie nadać im znaczenie geometryczne, fizykalne i. t. d. Dwa ostatnie zadania stanowią już, zdaniem Schrodera, przejście od Algebry formalnéj do bezwzględnéj [absolute Algebra].
Pomysły swoje rozwinął autor w następnych pracach: Ueber die formalen Elemente der absoluten Algebra. 1873, Uber v. S taud's Rechnung mit Wtirfen und verwandte Processe [Mathematische Annalen, X, 187G. str. 289—317]. Ueber eine eigenthumliche Bestimmung einer Function durch formale Anforderungen [Journal Jur die reine und angewandte Mathematik, XC, 1881, str. 189—220], Ueber Algorithmen und Calculn [Archiv der Mathematik und Physik, 1887, ctr. 225—278] i Tafeln der eindeutig umkehrbaren Functionen [Mathematische Annalen. XXIX, 1887, str. 299— 326]. Interesujące te badania, mające niejaką analogią do odmiennie przeprowadzonych badań Thiel ego, wkraczają już w części w dziedzinę Teoryi funkcyj, i dlatego powiemy tylko krótko, że polegają one głównie: 1. na przyjęciu za podstawę działania jednowartościowego inieprzemiennego ab, które Schroder nazywa mnożeniem „symbolicznóm„; mnożeniu temu odpowiadają zatém dwa działania odwrotne, t. j. dwa dzielenia "symboliczne,, 2. na ustanowieniu możliwych związków zasadniczych, jakie pomiędzy temi trzema działaniami zachodzić mogą, a więc np. w przypadku dwóch elementów o i 6, następujących czterech układów czyli "algorytmów.,,
b
a: b = a b = — , a
a
a:b = b a. a: b — —:
6
h
a:b = b: a. — = ba: a
wktórychjestrazem9 równań—i badaniu wniosków, jakie stąd wynikają. W przypadku trzech elementów a, 6, c, otrzymujemy takich wzorów wogóle 990; z nich zbiór 150 równań, ze wszelkiemi konsekwencyami stanowi to, co Schroder nazywa algorytmem Algebry zwyczajnéj, a któremu podlega nietylko mnożenie i dodawanie liczb rzeczywistych i urojonych, ale i dodawanie geometryczne punktów płaszczyzny oraz dodawanie logiczne pojęć i sądów. W ogóle te badania mają związek z dziedziną Logiki formalnej; we wspomnianóm zaś dziele Sc hrodera [art. 6.] znajdzie czytelnik najnowsze w tym przedmiocie poszukiwania, które nie wchodzą już w zakres niniejszéj książki. 5 Helmholtz, Zahlen und Messen, 1. c. str. 24. G Dedekind, Was sind und sollen die Zahlen, 1888. 7 Xa teoryi łańcucha opiera Dedekind używaną w Matematyce metodę indukcyi zupełnéj, która według niego ma swoję podstawę w następującym twierdzeniu:
"Aby dowieść, że łańcuch A0 jest częścią pewnego układu który jest lub nie jest częścią układu S, wystarcza dowieść: a. że A 3 I;
p. że obraz każdego elementu wspólnego układom A0 i £ jest także elementem układu Twierdzenie to można wypowiedzieć w ten sposób: „ Aby dowieść, że wszystkie elementy a łańcucha A0 posiadają pewną własność -RJ [lub że pewne twierdzenie T, W którém jest mowa o nieoznaczonym elemencie n, stosuje się do wszystkich elementów łańcucha A0], wystarcza dowieść: a. że wszystkie elementy a układu A mają własność [lub że twierdzenie T stosuje się do wszystkich elementów a].
p. że obraz n' każdego elementu n łańcucha A0 ma też samą własność vj. [lub że twierdzenie T, jeżeli stosuje się do elementu n łańcucha A0 jest prawdziwym także i dla obrazu n' tegoż elementu.]
8 Dowód "istnienia., układów nieskończonych, podany przez Dedeki n d a, jest właściwie inną postacią dowodu, jaki znajdujemy u Bo 1z an o, [Paradoxien des Unendlichen, str. 14] który twierdzi, że mnogość twierdzeń i prawd samych w sobie [Wahrheiten an sieli] jest nieskończoną. Jeżeli bowiem uważamy jaką prawdę A, np twierdzenie, że prawdy istnieją, to twierdzenie: "A jest prawdą,, jest czśmś rożnem od A, bo podmiotem jego jest samo twierdzenie A. Według tego samego prawa, za pomocą którego z twierdzenia A wyprowadzamy różne od niego twierdzenie B, można znów z B wyprowadzić twierdzenie C i tak daléj bez końca. Ogół tych wszystkich twierdzeń obejmuje mnogość części, [twierdzeń], która jest większą od każdéj mnogości skończonéj.
Keferstein, Ueber den Begriff der Zalil, [Festschrift, herausgegeben von der mathematischen Gesellschaft in Hamburg, 1890, str. 119—124], uważa dowód I) e d e k i n d a za nieudany, gdyż przy określeniu układów podobnych, pojęcie równości jest przyjęte jedynie w tém znaczeniu, że a = b tylko wtedy, gdy a i b są znakami jednśj i téj samój rzeczy, a równość taka nie może oczywiście zachodzić pomiędzy układem i jego częścią właściwą. ROZDZIAŁ III. LICZBY UŁAMKOWE.
13. TEORYE DZIAŁAŃ NAD UŁAMKAMI.
Rachunek na ułamkach sięga czasów najstarożytniejszych. Przed czterdziestu wiekami rachmistrze egipscy znali już sposoby oznaczania ułamków i umieli rozkładać je na ułamki prostsze: babilończycy hindusowie, grecy i rzymianie posługiwali się ułamkami, lecz dopiero po wprowadzeniu Arytmetyki cyfrowéj ustanowiono ogólne prawidła rachunku tak z ułamkami zwyczajnemi jak i dziesiętnemi1. Tu, jak wszędzie, praktyka poprzedziła teoryą. Działania nad wielkościami wykazały potrzebę i ważność ułamków, wszakże dopiero teorya działań wyjaśniła właściwą istotę tych nowych form liczbowych i działań nad niemi.
Według teoryi, wyłożonéj w art. 9. i 10., ułamkiem nazywamy liczbę, zadość czyniącą równaniu
.v b — a
gdy co do a i b nie czynimy żadnych zastrzeżeń | z wyjątkiem warunku, by b nie było równe zeru |; pojęcie zatem liczby ułamkowéj obejmuje w sobie i pojęcie liczby całkowitéj, mianowicie dla przypadku, gdy a = b lub a jest wielokrotnością liczby b.
Zasada zachowania przepisuje nam stosowanie do działań nad nowemi liczbami tych samych praw, które mają miejsce dla dziedziny pierwotnéj liczb całkowitych.
Z równań 10£. w art. 11. otrzymujemy
1 a
co oznacza, że każdy ułamek a/b przedstawić można jako iloczyn liczby całkowitéj a przez ułamek l/b o liczniku równym jedności.
Jeżeli założymy przemienność mnożenia, to możemy napisać 1 1 1 . 1 . . 1
a-T = Ta==7 + T+---+7>
to jest ułamek a/b rozłożyć na sunie a składników, z których każdy równa się l/b.
Ponieważ z równania ,vb = a, wynika x.mb = ma, a więc na zasadzie określenia dzielenia i liczb ułamkowych będzie
a ma
b mb
skąd wynika, że każdemu ułamkowi można nadać nieskończoną liczbę postaci.
Z równań 1 213 w art. 9., otrzymujemy
; a
b . — = a o
b b. a
c ~ c
a a
b ae
a: — = -r c b
a ^ a ih ^ d — d d
a c ac
T ' b d
a c ad b ' d bc Są to wzory, określające działania zasadnicze nad ułamkami i stwierdzające zarazem, że działania te posiadają też same własności formalne, jakie mają odpowiednie działania nad liczbami całko w itemi.
Można łatwo dowieść, że wszystkie powyższe wzory utrzymują się w zupełności i wtedy, gdy w nich a, b, ct d.. . są już nietylko liczbami całkowitemi, ale dowolnemi liczbami ułamkowemi. Tym sposobem przez wprowadzenie liczb ułamkowych działania arytmetyczne, otrzymują znaczenie ogólniejsze od tego, jakie miały w przypadku liczb całkowitych.
Ponieważ mnożenie przez ułamek l/b daje ten sam wynik, co dzielenie przez liczbę b, mnożenie przez ułamek a/b zastępuje działanie, złożone z mnożenia przez a i dzielenia przez b, można przeto liczby ułamkowe, uważać jako znaki działań i na tem oprzeć teoryą działań nad ułamkami. Myśl ta, nienowa zresztą, stanowi podstawę nowéj teoryi elementarnéj Ch. Mćray'a2.
Teorya Weierstrassa3 opiera się na wprowadzeniu nowych jednostek określonych równaniem
£„.71= 1.
Za pomocą takich jednostek dają się przedstawić liczby całkowite, np. liczba całkowita a = a . 1 będzie miała postać aeHn9 lub też naeH, jeżeli przyjmiemy prawo przemienności. Ogólnie liczba całkowita lub ułamkowa daje się przedstawić pod postacią
+ e,t. -fa2e„. + • • • + a>n£»
w
gdzie a0, av a2 . . . an są liczbami całkowitemi, e„t, e„3 .. .^^—jednostkami, określonemi jak wyżéj.
Ponieważ na zasadzie tegoż określenia jest
m.n.£łnn = 1,
gdzie m i n są liczbami całkowitemi, wnosimy więc stąd, że
(w em n)n= 1, a więc in £m n = £„ {n€,„n)m=z 1, „ n£mn = £,„
Na téj zasadzie można każdą liczbę
a = ao + al + • • • + <**£»,„
przekształcić w ten sposób, aby zawierała tylko jednostki £it jednego"gatunku. W saméj rzeczy, jeżeli n jest najmniejszą wspólną wielokrotną liczb nv //2 .... nm, to można napisać
nx vx = n2 v2= . . . • = nm vm — n gdzie vu v2, . . r,n są liczbami całkowitemi; będzie zatem
e"/c = V = ,ł<£'" ^ = 1A. . . , m) , skutkiem czego a przyjmuje postać
a = (a0 n + at vx + . . . + a^w) en-
Na téj podstawie wykonywamy dodawanie i odejmowanie liczb ułamkowych o dowolnych mianownikach.
Mnożenie liczb ułamkowych winno czynić zadość prawidłom mnożenia liczb całkowitych i dla tego będzie
(em + em + • . •m razy) («» + e,t + . . . + » ^zy ) = m n (£,„£„); ponieważ zaś
//i £m = 1, n eu = 1, m n (e,n E„) = 1,
przeto:
m n (.Em£,,) = (mEm). (n £n) = m ue/lt» ,
£>n £»:==: €m n j
P £m. q 8 n — V <1 u •
Wzory te wystarczają do znalezienia iloczynu jakichkolwiek liczb ułamkowych.
Iloraz dwóch liczb ułamkowych otrzymujemy za pomocą prawidła
P£m
=rpn. Em q,
które stwierdzić możemy, mnożąc obie strony przez q£nj przez co otrzymujemy po jednéj i drugiéj stronie iloczyn peM.
Jezełi £n zastąpimy przez 1 'n, m Eit przez m/n, otrzymamy wszystkie wzory działań nad ułamkami w postaci zwykłéj. •
Kronecker4 dla ominięcia pojęcia liczb ułamkowych, zastępuje czynnik l/m formą nieoznaczoną .rw a równość —kongruencyą. | O kongruencyach mówimy w części II |. Prawidła działań nad ułamkami, a mianowicie prawidło dodawania i odejmowania
a b an-\-bm
m n mn
mnożenia
a b ab
m 11 m ii
i dzielenia
a b an
m ' n b ni zastępuje on trzema następuj ącemi kongruencyami: a xm -fb xn ==2 (a ii + b m) xm n (modd.wwr^i, 11 x„ — 1 ,m n xm » — 1), a xm . b xH = ab xm n (modd. m x,a — 1, n xu — 1, 11111 xm u — 1), « xm . xbX)i =anxb m (modd.ww,, — 1 ,nxn — 1 ,bmxb m — 1 ,bxnx„ — 1),
które wypływają odpowiednio z następujący ch trzech tożsamości: axm -fbxn = {an-f bni) xmn 4anxitm {111 xm — 1) + b m xm)i (11 xn— 1)
(« xm 4h (rn nx)nn -1),
axm . b xn = ab xtnn 4ab n xtl xnm (m xm — 1) 4" « ^ x>nn (n xn — 1)
abxlltxu(mnxmn—\),
a xm . xbXn = anxbm 4anx0m (mx„t — 1) — a b 111 xm xbM xbX)t (nxn — 1)
— ax,nxbXn (b mxbm — 1) + amnxiuxbm(bx)lxbXn— 1).
14. WIELKOŚĆ UŁAMKA. MNOGOŚĆ LICZB UŁAMKOWYCH.
W powyższym wykładzie teoryi ułamków nie mówiliśmy o tem, w jaki sposób rozumieć należy, co jest ułamek większy lub mniejszy od drugiego. Jeżeli pojęcie ułamka opieramy na pojęciu podziału jedności na części, to oczywiście z dwóch ułamków o równym liczniku ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy; z dwóch ułamków o równym mianowniku — ten, którego licznik jest większy; gdy zaś dwa ułamki mają różne liczniki i mianowniki, to sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika pokaże z łatwością, który jest większy lub mniejszy. Jeżeli ułamkami (lanemi są a/m i b/n, to wniesiemy stąd, że——,stosownie
m n
do tego czy a n'Z hm. W teoryi formalnéj działań nad ułamkami można albo wprost wynik ten uważać za określenie, albo też przyjąć, że ułamek, będący sumą dwóch ułamków, uważa się za większy od każdego ze składników. Przyjmując to określenie, będziemy w zupełnéj zgodzie ze zwykłą teoryą i potrafimy każdemu ułamkowi, stosownie do wielkości jego, wyznaczyć miejsce właściwe w dziedzinie liczb całkowitych i ułamkowych.
Wszystkie ułamki właściwe, to jest mniejsze od jedności, których mnogość jest nieskończona, możemy uporządkować w sposób następujący.
Wyobraźmy sobie wszystkie te ułamki w postaci nieprzywiedlnéj, to jest w takiéj, aby ich liczniki i mianowniki były liczbami względnie pierwszemi. Niechaj suma licznika i mianownika równa się liczbie całkowitéj p. Otóż każdemu ułamkowi właściwemu odpowiada oznaczona wartość liczby p7 i odwrotnie, do każdéj danéj liczby p należeć może tylko skończona mnogość ułamków. Jeżeli przeto pomyślimy sobie wszystkie ułamki właściwe, uporządkowane w ten sposób, aby te, które odpowiadają mniejszéj wartości liczby p, znajdowały się przed temi, które odpowiadają wartości większéj, i aby ułamki różnet odpowiadające jednéj i téj saméj wartości liczby p, następowały po sobie porządkiem wielkości, to wtedy oczywiście każdy z ułamków właściwych będzie miał miejsce zupełnie oznaczone; to znaczy, że jeden z nich będzie pierwszym, inny—drugim, inny znów—trzecim, i że licząc w ten sposób, nie pominiemy żadnego. Mnogość zatem nieskończona wszystkich ułamków właściwych, jest, wyrażając się słowami De dekin d a, podobna do mnogości
1, 2, 3, 4 . . .,
albo, według terminologii Ca ntora, posiada tę samą moc, t. j. tę samą liczbę kardynalną, jaką ma szereg nieskończony liczb całkowitych, jest mnogością odliczalną.
Tym samym sposobem można dowieść, że mnogość wszystkich liczb ułamkowych, a więc mniejszych i większych od jedności, jest również odliczalną, czyli, innemi słowy, mnogość icszystkich liczb wymiernych jest odliczalną.
Twierdzenie to, dające się jeszcze uogólnić, zawdzięczamy G. Cantorowi5.
1 Szczegóły historyczne o ułamkach u starożytnych znaleźć można w dziele M. Cantora, Yorlesungen iiber Geschichte der Mathematik,
1. Band. 1880; o rachunku z ułamkami w wiekach średnich i nowożytnych uGUnthera, Geschichte des mathematischen Unterrichts im deutschen Mittelalter bis zum Jahre 1525,1887 i u U n g e r a. Die Methoden der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart, 1888.
2 Ch. Mera y. Les fractions et les quantites imaginaires, nouvelle theorie elćmentaire, 1890, w ten sposób wprowadza pojęcie ułamka:
Wynik działania, polegającego na pomnożeniu danéj całkowitéj E przez liczbę całkowitą m i następnie na podzieleniu iloczynu przez trzecią liczbę całkowitą n [nie równą zeru], przy założeniu, że to dzielenie jest możliwe, może być także otrzymany jednym z dwóch sposobów: 1. Jeżeli E jest podzielne przez dzielimy E przez n i iloraz mnożymy przez m.
2. Jeżeli m jest podzielne przez n, uskuteczniamy to dzielenie, a następnie E mnożymy przez otrzymany iloraz. Aby zachować korzyści, wynikające z drugiego sposobu i w tym przypadku, gdy m nie jest podzielne przez w, umawiamy się, by wynik działania, o którém mowa, przedstawić w tym przypadku przez
„ m ... , m „, lub — X E] n L n J
i nazwać go iloczynem liczby E przez czynnik "fikcyjny,, [facteur fictifj mjn. Te czynniki "fikcyjne,, są liczbami ułamkowemi lub ułamkami.
Łatwo już widzieć, jak na téj podstawie buduje się dalsza teorya. Jeżeli przy pomnożeniu jednéj i tśj saméj liczby całkowitéj E, nie równéj zeru. przez dwa ułamki m'/n', i m"/n" zachodzi jeden z trzech związków
m"
to związek ten pozostanie niezmienny dla każdéj innéj liczby całkowitéj E [zakładamy, rozumie się, że mnożenia przez czynniki "fikcyjne,, są wykonalne]. Ten związek stały wyrażamy pisząc:
m' > m" n' <: n"
i mówimy, że wartość pierwszego ułamka jest większa, równa lub mniejsza od wartości drugiego.
Aby zachodził jeden z tych trzech przypadków, warunkiem koniecznym i dostatecznym jest
m' n" m" n'
<
Z warunku tego wynika bezpośrednio, że mnożąc licznik i mianownik ułamka przez jednę i tę samę liczbę całkowitą lub dzieląc licznik i mianownik przez ich wspólny dzielnik, otrzymujemy ułamek równy danemu.
Na tśj własności polega sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika.
Jeżeli działania, oznaczone przez
n if m,f m"r
E — E— E —
x-/ t i " ,, y x-/ fi, • • • •
n' n" n"'
są możliwe, to połączenie ich wyników za pomocą dodawania i odejmowania
M mł/r
m m
fm jest nie zerem
n' — n" — n" —
daje liczbę, którą możemy otrzymać, mnożąc E przez pewną liczbę ułamkową. Ta liczba ułamkowa nazywa się sumą ułamków, m'jn\ m"jnm,ftn"" i nie zmienia się, jeżeli za punkt wyjścia przyjmiemy inną liczbę całkowitą, od E różną. Jeżeli działania
mf ( ,, in' \ m"
E— , ( E-r)X — n' \ w / n"
są możliwe, to wynik ostatniego z nich, oczywiście równy
m' vi" >irn" ł
można otrzymać, mnożąc E przez ułamek m'in"jn'n", który nazywamy iloczynem ułamków m'jn", m"/n". Jeżeli mamy dwa ułamki
M
X ' ~ >T~ '
to ułamek
:c Mn
y Nm
ma tę własność, że iloczyn jego przez ułamek m/n daje wynik równy ułamkowi M/N. Ten ułamek xjy nazywa się ilorazem ułamków MjN i m/n.
Lerch [Zakladove ryzę arithmetickś theorie 'yeliczin, Athenaeum. 1886] podaje teoryą ułamków, polegającą na wprowadzeniu form liczbowych postaci Równoważność dwóch takich form
uh®
określamy za pomocą równania
a d = b c.
Z tego określenia wynika bezpośrednio
GM*)-  Formami—^ nazywa się sumą form (J^ i Na zasadzie tych określeń dowieść można, że
(fJ+GhCnir)
Iloczyn form
określamy za pomocą równania
GMłMH);
skąd wynika, że jeżeli
(łMa-GMi).
to będzie także
(tMVMV)-&) ■
Z określenia iloczynu wynika pojęcie ilorazu. Jeżeli przez ajb oznaczymy wyrażenie, przedstawiające każdą z form
równoważnych formie (^y), to na zasadzie poprzedzających wzorów można już będzie wyprowadzić wszystkie własności działań nad liczbami ułamkowemi.
3 Porówn. Pincherle, Saggio di una introduzione alla teoria delie funzioni analitiche [ Giornale di Matematiche, XVIII, str. 179.], oraz B i e rm ann, Theorie der analytischen Functionen, 1887., str. 9.
4 Kronecker, Ueber (len Zahlbegriff, [1. c. str.346].

5 G. Canto r. EinBeitrag zur Mannigfaltigkeitslehre. [JournalfUr die reine wnd angewandte Mathematik, LXXXIV, Str. 250.] ROZDZIAŁ IV. LICZBY UJEMNE.
15. ROZWÓJ POJĘĆ O LICZBACH UJEMNYCH.
W "Arytmetyce„ D i o f a 111 a, o któréj powiedział L a gr a n g e. że jest jednem z dzieł, przynoszących największy zaszczyt duchowi ludzkiemu, znajdujemy już prawidła znaków w mnożeniu liczb dodatnich i ujemnych, jakkolwiek same liczby ujemne nie występują nigdzie u Di of anta wyraźnie. Przeciwnie, wszystkie zagadnienia, o ile mogłyby prowadzić do rozwiązań ujemnych, arytmetyk grecki opatruje starannie warunkami, maj ącemi na celu ominięcie podobnych rozwiązań1. Liczby ujemne w dzisiejszym znaczeniu tego pojęcia nie istniały wówczas w dziedzinie, matematyki; nawet w dziesięć wieków po D i o f a n c i e matematycy włoscy F i b o n a cc i, P a c c i o 1 i, Cardano, natrafiając przy rozwiązywaniu równań na pierwiastki ujemne, odrzucali je, jako liczby fałszywe, fikcyjne, niemożliwe. Fakt analogiczny, jak to powiemy niżéj, powtórzył się następnie z liczbami urojonemi: duch uogólnienia, stanowiący wybitną cechę późniejszych badań, nie panował jeszcze tak dalece nad umysłami, aby bez pewnego oporu można było ogłosić równouprawnienie dla liczb, które według pojęć ówczesnych były niejako przeciwieństwem rzeczywistości. Wprowadzenie liter do Algebry, a więc powstała stąd konieczność przywiązywania znaczenia do działań w przypadkach ogólnych; a następnie zastosowanie rachunku do Geometryi, wktóréj oznaczanie długości o kierunkach przeciwnych, wykazało ważność a nawet konieczność używania liczb o znakach przeciwnych, przyczyniła się w wysokim stopniu do osłabienia owego oporu matematyków. Liczby ujemne pozyskują, tedy zupełne prawo obywatelstwa w rachunku, a teorya ogólna równań jeszcze bardziéj użytek ich utrwala. Mimo to, jeszcze w końcu ubiegłego i na początku bieżącego stulecia, matematycy nie byli w zgodzie co do istotnego znaczenia liczb ujemnych. Euler2 nazywa liczby ujemne mniejszemi od zera, przeciwko czemu powstają D'Alembert:l i Śniadeeki4. L. N. M. Carnot5 widzi w liczbach ujemnych tylko symbole, służące do zachowania ogólności związków algebraicznych; Wro ń s ki6, zwalczając ten pogląd, uważa liczby dodatnie i ujemne, jako przedstawicielki dwóch różnych stanów jakości, i nie uznaje żadnéj różnicy stanowiska jednych i drugich w Matematyce. Podobny pogląd wygłasza Gauss7, według którego liczby dodatnie i ujemne przedstawiają przeciwieństwo pewnych dwóch procesów elementarnych np. przeciwieństwo przejścia w szeregu elementów od elementu A do elementu B a przejścia odwrotnego od B do A. Następny rozwój nauki, a mianowicie wprowadzenie liczb urojonych, rzuciło nowe światło na znaczenie liczb ujemnych, bo pozwoliło proces myśli, który prowadzi do nich, uważać za przypadek szczególny procesu, prowadzącego do ogólniejszych gatunków liczb. .
Winniśmy zauważyć, że i dziś spotykamy u teoretyków wiedzy poglądy na istotę liczb ujemnych, niezupełnie zgodne I) uh a m el, stojący na stanowisku Carnota, twierdzi, że nie można nadawać żadnego znaczenia rzeczywistego działaniom arytmetycznym nad liczbami ujemnemi samoistnemi8. D uh ring widzi w nich właściwie symbole działania, mającego być wykonanem na wielkościach bezwzględnych, a rachunek na liczbach ujemnych uważa za rachunek nad uniemożliwościami„9, Kronecker10 wreszcie pragnie je usunąć z Arytmetyki, a równości, w których występują liczby ujemne, zastąpić kongrueneyami, w które wchodzi pewna nieoznaczona. Ta teorya znakomitego matematyka jest w związku z jego dążeniem do oparcia całéj dziedziny Arytmetyki i Algebry jedynie na liczbach całkowitych dodatnich.
Teorya formalna działań, która z góry nie jest przywiązaną do żadnéj specyalnéj dziedziny przedmiotów, wprowadza liczby ujemne na podstawie określenia formalnego i stosuje do nowych liczb dzia^ łania na podstawie prawa zachowania. Teorya ta czyni zadość wymaganiom ścisłości i nie przesądza wcale znaczenia, jakie nadajemy lub nadać możemy liczbom ujemnym w specyalnych dziedzinach zastosowań.
16. TEORYE DZIAŁAŃ NAD LICZBAMI UJEMNEMI.
Już w art. 11. określiliśmy liczby ujemne jako formy odwrotne za pomocą równania
0 b = b
i podaliśmy równania
a -f( — c) = a — c, a c = a — (—c)
Równania 1 'a. 2'a. 4 a. i 12. art. 11., stosują się do liczb ujemnych zarówno jak do dodatnich; będzie tedy:
b + (a — b) = a
b Ąa — b = a
(b — c) + a = (b -f a) — e,
a — (b + c) = (a — b) — c,
(c + a) — b = a — (b — c),
(a — b) + (c-d) = (a + c)-(b + d).
Według równania 127;. tegoż artykułu mamy
(a — b) c = a c — bc;
czyniąc a = 0 i uwzględniając przyjętą własność modułu dodawania, otrzymujemy
( — b). c = — b c. Zakładając znów w równaniu
a(c Ąd) = ac + ad d= — c} otrzymujemy na zasadzie własności modułu
ac 4«(—c) = 0,
skąd
112
[15
część I. ROZDZIAŁ IV.
a ( —c) = — ac.  Z równania wreszcie
(-b)c = bc gdy w nieni napiszemy —c zamiast c, otrzymamy
{-b)( — c) = — b(— (?) = (~bc) = bc. Tym sposobem prawidło znaków w mnożeniu jest wynikiem określeń formalnych teoryi działań.
Prawidło znaków w dzieleniu wynika bezpośrednio z prawidła znaków w mnożeniu.
Powyższy wywód stosuje się oczywiście nietylko do liczb ujemnych całkowitych ale i do liczb ujemny cii ułamkowych, jeżeli liczby ułamkowe wprowadzimy na podstawie teoryi, wyłożonéj w rozdziale poprzedzającym.
Kronecker podał o teoryi liczb ujemnych krótką uwagę polegającą na tem, że równość taką, jak np.
7-9=3—5 można zastąpić kongruencyą
7 + 9tfn=3+5 x (mod cc 41),
gdzie "nieoznaczona,, x zastępuje jednostkę —1. Kongruencyą ta ma treść szerszą od poprzedniéj równości, bo dla każdéj liczby całkowitéj x wyrażenia 7 -(9 x i 3 -f5«r, przy podzieleniu przez #+1, dają reszty równe. Przy dołączeniu warunku x4-1 = 0, kongruencyą przechodzi na równość i otrzymujemy liczby ujemne. Teorya liczb ujemnych wypływa przeto z teoryi kongruencyj powyższego kształtu.
W myśl téj uwagi K r o n e c k e r a, możemy z łatwością wyrazić wzory główne, odnoszące się do działań nad liczbami ujemnemi, pod nową postacią. Przedewszystkiem liczby ujemne
i «> *>
i, o, . . .
możemy nastąpić wyrażeniami
x, 2 X, i) x, ... gdzie x jest liczbą "nieoznaczoną,.. Równania
a 4( — c) = a — <?, a-t-c=a-(-c) możemy zastąpić kongrueneyami
a 4ex na — c (mod x -)1), a Ąc ~ a — c x (mod xĄ-1)
Pojęciu. T. I. S
Wzór
(a — b) -f (c—cl) = (a + <;) — + ć7),
w którym a — b i c — d są liczbami ujemnemi, możemy zastąpić wzorem
(a + b.r) + (c + dr) (a + c) — (b Ąd) (mod .v+1) Prawo rozdzielności wyraża się pod postacią:
(a + b.u) c ac 4* b ex (mod v1) Prawidło znaków, np. wzór
— a . — b = 4-ab
wypływa z kongruencyi
aa:. bx as ab (mod,r-|-1).
W podobny sposób wszystkie inne wzory z łatwością uzasadnić się dają. Wiążąc zaś tę teoryą z wyłożoną w artykule 13. teoryą liczb ułamkowych, możemy te prawidła rozciągnąć do wszystkich liczb wymiernych dodatnich i ujemnych, tak że w teoryi Kron e c k e r a występować będą tylko kongrueneye pomiędzy liczbami całkowitemi dodatniemi n.
17. WIELKOŚĆ LICZB UJEMNYCH. MNOGOŚĆ TYCHŻE.
Liczby ujemne całkowite i ułamkowe stanowią nowe uzupełnienie dziedziny liczb dodatnich całkowitych i ułamkowych, któréj własności poznaliśmy w artykułach poprzedzających. Liczby całkowite ujemne
1. -1, -2, —3 . . .
stanowią mnogość nieskończoną, złożoną z wyrazów, odpowiadających wyrazom mnogości
9 1 3
Zr. 1,
Każdy wyraz szeregu 2. nazywa się wartością bezwzględną odpowiedniego wyrazu szeregu 1.; możemy zatem powiedzieć, że każdy wyraz szeregu 1. ma wartość bezwzględną większą od wartości bezwzględnéj każdego z wyrazów poprzedzających, mniejszą zaś od wartości bezwzględnéj każdego z wyrazów następujących.
Oba szeregi 1. i 2., z dołączeniem do nich zera, grupują się w jeden szereg
ą •> 1 o 1 •>
• . . U, —. 1) J , . . .
ciągnący się w obie strony do nieskończoności. Jeżeli n oznacza którąkolwiek liczbę tego szeregu, to liczba, po niéj bezpośrednio następująca, będzie +1, bezpośrednio poprzedzająca — n — l. Szereg 3., uporządkowany w ten sposób, aby pierwszym jego wyrazem było 0, drugim 1, trzecim —1, czwartym 2, piątym —2 i t. d. daje się oczywiście przyporządkować do szeregu 1.; odpowiadająca mu liczba kardynalna jest taka sama jak dla szeregu 1.
Jeżeli oprócz liczb całkowitych pomyślimy tak w szeregu 1. jako też w szeregu 2. wszystkie liczby ułamkowe, otrzymamy znowu dwie odpowiadające sobie mnogości nieskończone; każda liczba—/t drugiéj mnogości będzie wartością bezwzględną odpowiedniéj liczby fi w pierwszéj z nich. Obie mnogości dadzą się również uporządkować w szereg podwójnie nieskończony, odliczalny na szeregu 1. i zawierający w sobie wszystkie liczby wymierne dodatnie i ujemne. Przy porównywaniu liczb wymiernych porównywamy ich wartości bezwzględne. Przyjęty niekiedy sposób mówienia, że liczby ujemne są od zera mniejsze, wyraża tę. okoliczność, że w mnogości podwójnie nieskończonéj wszystkich liczb wymiernych liczby ujemne znajdują się po lewéj stronie zera, a nierówność — a<Z—b należy rozumieć w ten sposób, że wartość bezwzględna liczby a jest większa od wartości bezwzględnéj liczby b, to jest, że w mnogości liczb wymiernych liczba ujemna o wartości bezwzględnéj większej-znaj duje się na lewo od liczby ujemnéj, mającéj wartość bezwzględną mniejszą.
1 Porówn. najnowsze wydanie Arytmetyki Dio fan ta w przekładzie niemieckim G. Wertheima, 1890., gdzie we wstępie [str. 6.] znajdujemy następujące twierdzenie: "Liczba, mająca być odjętą, pomnożona przez takąż liczbę, daje liczbo, którą należy dodać; liczba zaś, mająca być odjętą, pomnożona przez liczbę, mającą być dodaną, daje liczbę, którą należy odjąć.,. Twierdzenie to [uXcV}'.ę \styw TcrAtasAastctcftslca ao-.rl orraptr;, ^sttpi? ok eitl 3sajl Wyrazy Astd:: i ora^t; przełożono tu umyśl
nie za pomocą wyrazów "liczba, mająca być odjętą*, "liczba, mająca być dodaną,,, dla zaznaczenia, że liczby te nie występują, jako samoistne liczby ujemne. Jako przykład starannego omijania liczb ujemnych samoistnych przez naszego autora niechaj posłuży np. zadanie 5-e księgi I-ej: „Liczbę daną podzielić na dwie inne liczby w ten sposób,aby pewna przepisana część pierwszéj, dodana do pewnéj, również przepisanéj części drugiéj liczby, dała sumę daną„, którego Diofant dodaje warunek następujący: "Suma dana musi być zawartą pomiędzy dwiema liczbami, które powstają, gdy weźmiemy przepisane części obu liczb danych,, Rozwiążemy zadanie to ogólnie. Liczbę a rozłożyć na dwie liczby, aby w-a cześć pierwszćj, powiększona o n-ą część drugiéj, równała się 6. Niewiadomą liczbę pierwszą x znajdujemy z równania
m n
z którego otrzymujemy
Ul
x = (bn—o),
/i —m
a — X ~ (a — bm) .
u—ut
Aby liczby xi a—x były dodatnie, trzeba aby było jednocześnie
b n ^ a. hm ^ a ,
skąd oczywiście wynika, że b musi być zawarte pomiędzy liczbami a m i b/n. Przy spełnieniu się tego warunku, zagadnienie nie będzie miało rozwiązań ujemnych.
3 Euler. Yollstandige Anleitung zur Algebra, 1770. Wydanie nowe U e c 1 a m a, str. 18.
DA 1 e ni b e r t, w Opuscules mathćmatiques, I. [ Porówn. 1) u li a m e 1 Des methodes etc. IIstr. 165.] dla okazania fał s żywości poglądu Eu 1 cr a, przytacza proporcya
1: — 1 = — 1:1.
w któréj, zgodnie z zasadniczą własnością proporcyj, iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów średnich i stosunek = — 1 jest równy stosunkowi ^ =— 1. Tymczasem, jeżeli bodziemy uważali liczby ujemne za mniejsze od zera, będzie w pierwszym stosunku 1 > — 1. w drugim zaś — l < 1, co nie zgadza się znowu z równością stosunków. "Prawda, mówi daléj D'Alembert, że, według poglądu Leibniza, liczba —1 nie jest średnią proporcyónalną pomiędzy pomiędzy 1 i 1, ani —2 pomiędzy 1. i 4., gdyż liczby ujemne wchodzą do rachunku, nie wchodząc do stosunków, ułamki zaś nie są tem samem, co stosunki: przyznaję jednak, że nie rozumiem ani siły ani prawdy tego rozumowania. Rozumowanie podobne obaliłoby wszystkie nasze pojęcia algebraiczne za pomocą niepotrzebnych i sztucznych ograniczeń i było by zresztą słusznćin tylko w razie przypuszczenia, że liczby ujemne są niższe od zera, co nie jest prawdą,,.
4 S n i a d e c k i w "Rachunku algebraicznego teoryi,, 1783, która pozostanie najpiękniejszym pomnikiem literatury matematycznéj polskiéj XVIII stulecia, mówi [tom I. str. 10]: "Ilości ujemne [u Śniadeckiego aodjemne„] mają swoje jestestwo tak rzetelne i prawdziwe jak i ilości dodatnie, tylko że w sposobie między sobą przeciwnym. A przeto wyrażenie ilości ujemnych nic zawisło od tak dzikich i obłąkanych tłomaczeń, któremi niektórzy autorowie uczących się bałamucą. Jeżeli to jest prawo dla ludzkiego rozumu, że we wszystkich poznawaniach nie może przeniknąć do prawdy tylko drogą porównywania, rozstrząsając naturę ilości, wpada w konieczną potrzebę uważania ich jedne względem drugich, a przeto znaki na wyrażenie tych względów i stanów są mu nieprzerwanie potrzebne...„ Co się zaś tyczy nazwy nadanéj liczbom ujemnym, jako mniejszym od zera | minores nihilo], to oua, według Śniadeckiego, oznacza tylko zmianę stanu, pochodzącą stąd, że pewne ilości zmieniające się stają się z dodatnich ujemuemi lub odwrotnie. "Jeżeli więc, powiada | str. 83), niektórzy autorowie wyrywają się zaraz z tą nazwą przy wstępie, możemy z teraźniejszych i przeszłych uwag rozsądzić, jak mało znają teoryą ilości dodatnich i ujemnych. Oprócz wielkiéj nieprzyzwoitosci, przez którą uczących się wprawiają w ciemne i dziwaczne rzeczy opisywanie, błądzą przeciwko prawom geometrycznym, dając nazwisko powszechne bardzo szczególnemu przypadkowi i wprowadzając niezrozumiany język w tę. naukę, która z swéj natury jest stolicą jasności i przekonania,,.
r> Carnot zastanawia się obszernie nad liczbami ujemnemi we wstępie do swego dzieła Geometrie de position [An XI, 1803 str. II—XX], oraz w innem sławnem dziełku. Reflexions sur la metaphysique du calcul infinitćsimal [1797., wyd. 5-e, 1881. str. 173 — 200]. Teoryą liczb ujemnych opiera na następującéj zasadzie głównej:
"Każda wartość ujemna, znaleziona na niewiadomą w rozwiązywaniu zagadnienia, wyraża—jeżeli odwrócimy uwagę od znaku téj wartości—różnicę dwóch innych wartości, z których większa została wzięta za mniejszą, mniejsza zaś za większą w wyrażeniu warunków zagadnienia,,. Nie będziemy przytaczali ani dowodu téj zasady, prostego zresztą bardzo, a ti rozmaitych wniosków, jakie z niéj wyprowadza Carnot, powiemy tylko, że idzie mu przedewszystkiem o wytłomaczenie znaczenia rozwiązań ujemnych, do jakich prowadzi rachunek algebraiczny. Rozwiązania te, według niego, nie mają znaczenia same przez się, wskazując tylko, jakie zmiany poczynić należy w warunkach zagadnienia, aby utrzymać rozwiązanie dodatnie. Związki albo równania zachodzą, według niego, tylko pomiędzy wielkościami bezwzglednemi pewnego układu: jeżeli zmienimy w związkach tych znaki jednéj lub kilku wielkości, to wzory, tak przekształcone, należeć będą do innego stanu układu, w którym wielkości, ze zmienionemi znakami są odwrotnemi [inversesj względem wielkości w pierwszym stanie układu. Gdybyśmy tych zmian znaków nie dokonali, doszlibyśmy do wartości ujemnych.
Dla uniknienia wyrażeń niewłaściwych, proponuje Garno t wprowadzenie pojęcie wielkości tczylędnéj [valeur de correlationJ dla wyrażenia, mającego zastąpić wielkość bezwzględną przy stosowaniu związków, nie objętych warunkami pierwotnemi. O takiéj wartości względnéj mówi, że staje się ujemną, a odpowiednia jéj wielkość staje się wtedy odwrotną, co odpowiada, według niego, zasadzie, wyrażanéj dotąd nieściśle: "wartości ujemne należy brać w kierunku przeciwnym wartościom dodatnim*. Wartość względna ujemna jest dla Carnota pewną formą algebraiczną złożoną, wskazującą zarazem wielkości działanie nad niem, jest działaniem, które staje sic niewykonalnem, jeżeli to wyrażenie ma zostać odosobuionem. Lecz wszystkie te "formy czysto hierogliliczne.. powiada, znikają przez przekształcenia, a formy pierwotne, stosowane początkowo tylko do przypadłe u, dla którego przeprowadzono rozumowauie, stają się przez to przekształcenie właściwemi i dla innych przypadków.
Ten sam pogląd, jak to zobaczymy, stanowi podstawę teoryi D ii hr i n g a.
Wroński poświęca w swem dziele Introduction i t. d. [str. 159], krótkie tylko uwagi liczbom ujemnym. Dwa związki wzajemne
AĄB = C i C— F3=A,
wskazują na szczególne znaczenie wielkości które—gdy odwrócimy uwagę od działań dodawania i odejmowania — występuje w pierwszym z tych związków, jako mające własność powiększania, w drugim zaś. opatrzone własnością zmniejszania. Różność roli liczby 13 w tych dwóch przypadkach pozwala na stosowanie prawa jakoki, a stąd wynikają cechy szczególne, które nazywa stanami dodatnim i ujemnym liczby B. Stany odnoszą się do jakości, powiada Wroński, działania •—do ilości; brak tego bardzo prostego rozróżnienia zaciemnił wszystkie dotychczasowe teorye liczb dodatnych i ujemnych.
7 Liczby dodatnie i ujemne, powiada Gauss [Gottimjische gelehrte Anzeijen, 1831, także Warkę Ił, str. 17G], mogą znaleźć zastosowanie tylko tain, gdzie rzeczom liczonym odpowiadają przeciwne, które, pomyślane z niemi razem, wzajemnie sie znoszą. Dokładniéj mówiąc, założenie to ma miejsce wtedy tylko, jeżeli rzeczami liczonemi nie są substaneye [przedmioty pomyślane w sobie], lecz związki pomiędzy dwoma przedmiotami. Zakłada się przytem, że te przedmioty są uporządkowane w szereg, w pewien oznaczony sposób, np. A, B, O, D... i że wzajemność [stosunek] między A i B uważamy za równy wzajemności, zachodzącéj pomiędzy B i Ci t. d. Ta do pojęcia przeciwieństwa należy tylko przestawienie [Umtausch] wzajemności, tak, że jeżeli wzajemność albo przejście od A do Zauważamy za +1, to wzajemność albo przejście od 13 do A oznaczamy przez —1. Jeżeli więc taki szereg po obu stronach jest nieograniczony, to każda liczba rzeczywista całkowita wyraża wzajemność pewnego dowolnego wyrazu, przyjętego za pierwszy, do pewnego oznaczonego wyrazu szeregu.
8 Duhamel, Des methodes etc.II. str. 1G9.
0 Znaki, powiada D ii h r i n g [Neue Grundmittel und Erfindungen, 1884 str. 8. i dalsze] mogą oznaczać tylko działania lub związki, z działań wynikające; znak — nigdy nie oznacza nic innego niż odejmowanie. Jeżeli w wyrażeniu postaci a—x, a jest wielkością oznaczoną. x wielkością zmienną np. rosnącą, to z chwilą, gdy x staje się równem a. poczyna się. niemożność wykonania działania. Jeżeli napiszemy a—x=—y, to równanie to nie wyraża nic innego nad tę. niemożność. Taka jest, według D tih r ingn, geneza i znaczenie liczby ujenméj odosobnionéj. Znaczenie zaś rozwiązań ujemnych wyjaśnia on w sposób następujący:
Jeżeli mamy równanie x-j-y—a, gdzie x i y są liczby zmienne, a zaś jest liczbą stałą, to równanie y = a -~x w przypadku, gdy x jest większe od a. przedstawia niemożność. Kładąc x — a = z. mamy;/ = — z jako wskazówkę, żey nie może być wielkością bezwzględną. Zastępując y przez z. otrzymujemy równanie x — z=a> gdzie wszystkie liczby [wielkości] są już bezwzględne, a zmieniając tu literę 2 na literę y — oznaczenie jest tu obojętne—otrzymujemy zamiast równania pierwotnego xĄ-y=a równanie x—y=a nowego typu. Rozwiązanie ujemne daje przeto poznać, że w warunkach zadania mieści się niemożność, i jak tę niemożność usunąć przez zmianę znaku. Duli ring stoi tu, jak widzimy na stanowisku Carnota..
Przyjmując rozwiązania ujemne, obejmujemy dwa typy równań x-\--y=a x—y~a jednym typem np. xĄ-y=a; wprowadzenie liczb ujemnych oznacza tedy to samo, co zastąpienie jedném równaniem dwóch równań różnych. Ten sam fakt powtórzy się, jak to zobaczymy, w teoryi liczb urojonych.
Rachunek liczb ujemnych jest, według Dtthringa, rachunkiem niemożliwości. uMit dem Unmoglichen,powiada on, wenn man es eben ais unmoglich setztund behandelt, muss es in Sehliissen und Rechnungen hantirt werden, sonst bleibt jeder Gedankengang in der Kindheit„ — więc i według jego teoryi ten rachunek "niemożliwości* ma swoje pewne prawidła, które nie mogą się różnić i nie różnią się od prawideł działań nad liczbami dodatniemi [bezwzglednemi]. Mimo zasadniczéj różnicy poglądu, całe następne rozwinięcie rachunku liczb ujemnych będzie zupełnie takie same, jak gdyby liczby te wprowadzone zostały, jako formy nowe, za pomocą określeń formalnych.
10 Kronecker. Ueber den Zahlbegiiff [1. c. str. 345].
11 L e r c h we wspomnianéj wyżéj pracy podaje teoryą liczb ujemnych, polegającą na zasadzie, podobnśj do téj, na jakiój oparł teoryą liczb ułamkowych. Wprowadza on formy czyli pary liczb (a | 6), w których a i b są liczbami całkowitemi. Dwie takie formy (a | 6) i (c | d) nazywają się równoważnemi, jeżeli czynią zadość równości a-\-d=b-\-c. Określenie to stosuje się zarówno do przypadku, w którym a > 6, c > d, jako też do przypadku, w którym a < b, c c d. Z dwóch równoważności
(a | a') (b | b') (c | c') ^ (6 | b')
wynika, na zasadzie powyższego określenia, równoważność
(a | a') r^ (c | c')
Wyrażenie, przedstawiające ogół form wzajem równoważnych, nazywa L e r ch "differenta,,, Tak np. differenta (1 | 4) obejmuje formy (2 | 5), (3 | 6), (4 | 7) ... * Diłfererenta (x | x) = (0)0) nazywa się differenta zerową. Sumą form {a \ a') i (b | b') nazywamy formę (a -f b \ a' -(b'). Z tego określenia wynika, że jeżeli
(a | u') (c ! c'). (b | b') (d | d'), to (a I a')-U(/> | l>') ^ (c I c')Ą-(d | d')
(a_j-6 j arĄ//) ^ (c+d | c'-\-d')
Jedno wartościowość i przemienność dodawania stwierdzamy na zasadzie powyższego, bez trudności:
Sumę m form (a [ 6) oznaczamy przez m (« | &)• jeżeli A jest znakiem formy (a | b), to sumę tę oznaczyć możemy przez mA lub Am, przyczem
mA = (ma | mb).
Każda differenta jest postaci mE, gdzie .Ejest diff. (1 J 0) lub postaci m'E' gdzie A'=diłf. (0 | 1). E nazywa się jednostką dodatnią, Et jednostką ujemną. Ogólnie jest
m E -{-nE' = diff (m \ n). Iloczyn form (a | b), (c | d) określamy za pomocą równania (a | b) . (c | d) = (ac-j-bd | ad^bc),
z którego wynika jednowartościowość i przemienność mnożenia.
Jeżeli A i B są dwie "differenty dowolne,, (a | a'), (6 | b') dwie odpowiadające im formy, to differenta C iloczynu (o | a'), (b | b') nazywa się iloczynem different A i B, co oznaczamy w ten sposób C= A B=BA. Na podstawie tego określenia można łatwo dowieść, że
mE. nE — mnE, mE . nE? = mnEf, mE? . nbJ = mnE,
co wyraża znane prawidło znaków w mnożeniu.  Teorya L e r c h a nie jest w istocie rzeczy nową, bo zawiera się jako szczególny przypadek w teoryi "par algebraicznych., [algebraic conples] ogłoszonéj przez Sir Rowana Hamiltona jeszcze w roku 1835. O téj teoryi podamy wzmiankę w następującym rozdziale.
Ogłoszona niedawno teorya elementarna liczb ujemnych Ch. Mer ay'a [Les fractions et les ąuantites negativśs. 1890], polega na tém, że uważa wielkości dodatnie i ujemne, jak to czyni W r o ń s k i, za dwa stany, różnéj jakości [ąuantitśs qualifieesj i zamiast znaków -fi — wprowadza na początek dla objaśnienia teoryi znaki i umieszczone[nad głoskami. Iloczyn określa M e r a y za pomocą wzorów:
« X l>
<<— —> ~ a X b — (ab).
=z (t X 6 = {ab).
a X ROZDZIAŁ V.
LICZBY ZESPOLONE ZWYCZAJNE.
18. ROZWÓJ POJĘĆ O LICZBACH UROJONYCH.
I-iistorya liczb zespolonych, zwanych inaczéj urojonemi, podobną jest do historyi liczb ujemnych. Do ostatnich prowadzi potrzeba uogólnienia odejmowania, do pierwszych takaż potrzeba uogólnienia wyciągania pierwiastków: jedne i drugie przez długi czas uważane były za fałszywe i ślad tego poglądu pozostał w nazwie liczb urojonych. Nad istotą liczb urojonych zastanawiano się wielokrotnie i dziś jeszcze, mimo zupełnego ustalenia ich użytku w nauce, różne na ten przedmiot panują poglądy. Przebiegnijmy pokrótce dzieje tego nowego gatunku liczb.
Już Car da no zwrócił uwagę na pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych, do jakich doprowadzało rozwiązywanie równań stopnia drugiego. Bombelli, Girard, de Moivre i inni rozwinęli rachunek na liczbach urojonych. Jan 13 er no uli i za pomocą liczb urojonych przedstawia rozmaite wzory Analizy, między innemi podaje sławny wzór
7T ^ log l/=rl 2 ~ >_i '
Euler zaś odkrywa wzory
c'] -i _ e-#}'-'l
si u x—
2 I l
Ć J -i __ c> I -i
COS-L'
t>
które w wysokim stopniu przyczyniły się do postępu Analizy. Jan 8 n i a d cck i tłomaczyl znaczenie rozwiązań urojonych w ten sposób, że "pokazują nam one niepodobieństwo tego, czego szukamy„ dla jakiejś przeciwności, która się w pytanie, mimo uwagę nasze wmieszała; ponieważ wszakże do przypadków szczególnych, któro ogarnia równanie, należy i ten, który to pytanie czyni niepodobnem, płynie stąd uzasadnienie potrzeby rachunku nad temi liczbami1,,. Gauss w swojéj sławnéj rozprawie inauguracyjnéj [1799] o rozkładzie funkcyj algebraicznych całkowitych na czynniki rzeczywiste pierwszego i drugiego stopnia nie używa w dowodzeniu liczb urojonych, jakkolwiek jasno i dobitnie wyraża swój pogląd na możność i prawo ich stosowania2. Jeszcze dobitniéj rolę tych liczb akcentuje Wroński 11811.], powstając przeciwko przyjętéj przez matematyków nazwie i proponując dla nich nazwę liczb idealnych, którą późniéj Kum mer zastosował do analogicznych form liczbowych w Teoryi liczb. Jednostkę urojoną czyli idealną V — 1 uważa Wroński za opartą bezpośrednio na pojęciu nieskończoności: liczby urojone nazywa jednym z fenomenów umysłowych, najbardziéj godnych uwagi, dającym się używać bez żadnéj sprzeczności logicznéj we wszystkich działaniach algorytmicznych i prowadzącym do wyników zgodnych z naszym rozumem1. To też posługuje sie Wroński liczbami urojonemi z całą swobodą w badaniach swoich; on to jeden z pierwsz)ch stosuje je do uogólnienia powyższych dwóch wzorów Eulera, stwarzając tym sposobem nowe funkcye trygonometryczne wyższych rzędów. Niestety jednak, ani ten stanowczy sąd Wrońskiego o liczbach urojonych, ani jego odkrycia, nie zwróciły na siebie uwagi współczesnych, i trzeba było dopiero powagi imienia takiego Gaussa, aby liczbom urojonym zapewnić równouprawnienie w nauce. Uczony ten w I-éj rozprawie o resztach dwukwadratowych [1825. wskazuje Arytmetyce wyższéj czyli Teoryi liczb nowe pola badania przez wprowadzenie do jéj dziedziny liczb urojonych i wykłada [ 1831."] znaną, obecnie i ogólnie używaną metodę przedstawiania liczb urojonych za pomocą punktów na płaszczyźnie, chociaż co do tego uprzedził go był już Argan d [1806.]4. Przez to geometryczne przedstawienie badanie układu liczb urojonych zamienia się na badanie rozmaitości dwuwymiarowéj. Jednocześnie stawia G a u s s ważne pytanie, rozwiązane późniéj przez innych [porówn. rozdział VI-y], "dlaczego stosunki pomiędzy rzeczami, przedstawiaj ącemi rozmaitość więcéj niż dwuwymiarową, nie dają jeszcze innych gatunków wielkości, dopuszczalnych w Arytmetyce ogólnéj,,.
Teorya ogólna rozwiązywania równań, a zwłaszcza badania w dziedzinie funkcyj, jakie zawdzięczamy Ab cl o w i, Jacobfem u, C a u c h y7e m u, U i e m a u n o w i, W e i e r s t r a s s o w i i innym, oraz badania w Teoryi liczb, które prowadzili Gauss, Dir i c h 1 e t, Eisenstein, Ku m m er, D e d e ki n d i t. d. zapewniły liczbom urojonym niezbędne stanowisko we wszystkich gałęziach Algorytmii, a ważne zastosowania w dziedzinie Geometryi wykazały wysoką użyteczność tego narzędzia.
Ten rozwój zastosowań liczb urojonych nie mógł nie wywołać badań, skierowanych ku wyjaśnieniu istoty ich i uzasadnieniu podstaw rachunku nad niemi. Tu, jak i w teoryi liczb ujemnych, głównie dwa uwidoczniają się poglądy. Według jednego z nich, za przedstawicieli którego należy uważać W r o ń s k i e g o, G a u s s a, W e i e r s tr a s s a, H a n k e 1 a i t. p. liczby urojone mają w dziedzinie liczb stanowisko takie, jakie przyznajemy liczbom ułamkowym i ujemnym: uzupełniają one dziedzinę pierwotną liczb całkowitych i stanowią razem z liczbami rzeczy wistem i jedne mnogość dwuwymiarową. Drugi pogląd, reprezentowany przez Cauchy*ego-*', D u h a m e 1 a, 1) ii h ring aH, L i p s c h i t z a7. Kronecke r a8 i innych orzeka, że liczby urojone są tylko symbolami, znakami działań, jakie wykonywamy na liczbach rzeczywistych. Najbardziéj w tym kierunku posuwa się Kronecker, według poglądów którego liczby urojone mogą być usunięte z dziedziny badań analitycznych.
[18
124
CZEŚĆ I. K07,n/.IAT, T.
Tu, jak i przy liczbach ujemnych, teorya formalna godzi, zdaniem naszem, poglądy sprzeczne, bo wprowadzając liczby urojone i działania nad niemi za pomocą ścisłych określeń, uzasadnia tem samem stosowanie ich w nauce, pozostawiając swobodę interpretacyi tych form liczbowych w poszczególnych dziedzinach badania.
10. TEORYE DZIAŁAŃ NAD LICZBAMI UROJONEMI.
Niechaj będzie liczba dwuwymiarowa uc^Ą-jk.,. w któréj a i fi są jakiemikolwiek liczbami całkowitemi lub ułamkowemi, dodatuiemi lub ujemnemi, e{ i e., mają być dwiema jednostkami zasadniczemi, o których zakładamy, że nie mogą czynić zadość żadnemu równaniu
v n e, ^ ^ = 0,
w którém w i n są liczbami całkowitemi lub ułamkowemi, dodatuiemi lub ujemnemi, różnemi od zera.
Równość dwóch takich liczb ae] -f-fiel i określimy w ten
sposób: Jest
wtedy i tylko wtedy, jeżeli
« a\ fi />".
Z określenia tego wynika, że liczba zespolona acx-rfie2 jest zerem wtedy tylko, jeżeli każdy ze współczynników u. i fi jest zerem.
Dodawanie dwóch liczb ae{ + i + określamy za pomocą wzoru
(ae^fte^ + ia^ = (a + a')et+ (fi
Na podstawie tego wzoru łatwo uskutecznić dodawanie trzech i więcéj liczb zespolonych, a także wykazać, że dodawanie to jest działaniem łącznem i przemiennem i że odejmowanie takich liczb wykonywa się na podstawie wzoru
(aev +fie.2)-(ael+fi'e^ = + (/*-/»>«.
Widzimy stąd, że suma i różnica dwóch liczb dwuwymiarowych są téj saméj postaci, co liczby dane.
Przechodzimy teraz do mnożenia, o którem załóżmy, że jest działaniem łącznem i przemiennem oraz związanem z dodawaniem prawem rozdzielności. Na téj zasadzie iloczyn dwóch liczb aek-\-fie.2, ae1 + fi'e., będzie
(ae1 +fie2)(a'ć1+/Te2) = ««V, + (a/f + afi^e, +fifi'e2e2.
125
19]
1>7.!AI.AKIA NAI» I.1C7.BAMI (,'UOJONKUI.
Jeżeli nie uczynimy żadnych nowych założeń co do iloczynów e.el3 eie-2 ~ e2e\ie2e'2j t0 iloczynu dwóch liczb zespolonych nie będzie można sprowadzić do postaci prostszéj, ani dać mu postaci, jakie mają czynniki. Aby więc iloczynowi można było nadać znaczenie w dziedzinie naszéj, musimy ustalić znaczenie iloczynów jednostek.
Dla przeprowadzenia badania tego w całéj ogólności, pójdziemy drogą, wskazaną przez W e i e r s t r a s s a 9.
Niechaj a oznacza pewną liczbą zespoloną, q i h dwie inne liczby zespolone dowolne, należące do téj saméj dziedziny i takie, że nic można jednéj z nieb otrzymać z pomnożenia drugiéj przez czynnik rzeczywisty o. Powiadam, że liczbie a można będzie nadać postać
« — ŹO +
gdzie £ i są liczbami rzeczywistemi. W saméj rzeczy, niechaj będzie
a = ae{-\-de.ly g = yex y'e2, h — de} -\-ó'e2.
Będzie tedy
ae.+ae, = 4 (y*x + + £'((5^+<S'e,),
skąd na zasadzie określenia równości:
<- | C
a = ęy ~r ź o a = ęy 4s o
Z tych dwóch równań stopnia pierwszego między liczbami rzeczywistemi, oznaczymy szukane liczby £ i byleby różnica
y <Y — y\5,
była różną od zera. Warunek ten, równoważny warunkowi, aby stosunek y/d nie był równy stosunkowi y'jdr. spełnia się na zasadzie uczynionego zastrzeżenia, że liczba g nie może równać się liczbie h, pomnożonéj przez jakikolwiek czynnik rzeczywisty g.
Mając zatem do pomnożenia dwie liczby zespolone a i b, możemy przedstawić je pod postacią
a = ź<j ?> = no +
a następnie wykonać mnożenie według podanego wyżéj prawidła. Będzie więc
1. a b = . + (r^/ + mi + fy •hk-
Zagadnienie nasze sprowadza się do znalezienia znaczenia iloczynów
go, oK hh
w założeniu, że liczba g nie jest równa q h.
Dla oznaczenia tych iloczynów przyjmijmy równania następujące:
(J'J — AfJ +
2. hg =-. gh = + //A
/i/i — -jv'h.
Pomiędzy współczynnikami
/., a'\ /i, /i\ v. v'
zachodzą pewne związki, wynikające z przyjętéj przez nas własności mnożenia
ggh = ghg, %/i = hhg.
Wstawiając w te równania wartości iloczynów gg,gh, hg i hh, wzięte z równań poprzednich, otrzymamy następujące równania warun* kowe
KY — /l/l
o 1 t I 1/ / /•"> ,v
o. AU + AV — U A -U ' — 0,
i 1 ii '
Oi t t (\
/r + ii v — vA — v /i — 0. Zauważmy, że nie może być
kfJ — /IA' — v/i — /iv — vk' — Av = 0, gdyż stąd wynikłoby
X /i v ^
ii v,
a więc:
gg = ^ = /
t. j.
A'
co się sprzeciwia naszemu założeniu o liczbach g i h.
Jeżeli istnieją wartości k, A', fi, //, v, v, czyniące zadość równaniom 3. to można oznaczyć liczbę ev aby czyniła zadość warunkowi
exa — aex = a,
t. j. aby była modułem mnożenia. W saméj rzeczy, aby iloczyn ab był równy a, to jest aby b było^wlaśnie tym modułem eu musi by£, według 1.
&igę + (?>] + W) oh + £V •hh & +
Kładąc po stronie pierwszéj wartości iloczynów gg, gh i hh, wzięte z równań 2., a następnie stosując warunek równości, dochodzimy do równań
W + « + vT),u + ?fi'v = f
W + bW + f
które winny się sprawdzać dla każdéj liczby a, to jest niezależnie od wartości liczb £ i Kładąc przeto raz £=1, £='0, drugi raz £=0 i f'=l, otrzymujemy z powyższego
rjl + iftu> = 1, u-Ą-ifr — 0
Wartości, które otrzymujemy z dwóch pierwszych równań zgadzają się z wartościami, jakie otrzymujemy z dwóch drugich, a to na mocy równań 3.
Liczba więc ex, mająca własność modułu, istnieje; jeżeli przyjmiemy za liczbę g ten właśnie moduł, to iloczyny gg, gli, hh przejdą w następujące
e1el = e{1 eji = h, hh = yex
będzie zatem
A = 1, /'=0, /i = 0, fi'= 1
i zagadnienie nasze sprowadza się do oznaczenia współczynników v i 1>'.
Ponieważ liczba h jest dowolną, określmy ją za pomocą następującego założenia: Uczyńmy 19] DZIAŁANIA NAD LICZBAMI UKOJOSF.ML 1 2
to otrzymamy
hi hi = (Y + V) ev
v2
a jeżeli wartość bezwzględną liczby rzeczywistéj — + v oznaczymy
przez i -&2 mają być liczbami rzeczywistemi]:
hlhl = lub h{ hv = —
v'2
stosownie do tego, czy — + r jest dodatnie lub ujemne.
Jeżeli przyjmiemy, że druga jednostka zasadnicza e.2 = \ h, ,
otrzymamy z równań poprzedzających
c2e.2 = fj lub e.2e.2 = —
należy zatem rozstrzygnąć, które z tych dwóch założeń stosować można w teoryi naszéj.
Gdybyśmy przyjęli pierwsze z założeń, to wtedy iloczyn dwóch liczb
różnych od zera, równałby sie
exex +exe% — eve2 — e2e2 = elel —e2e2 = 0,
a zatem byłby zerem, mimo że żaden z czynników zerem nie jest. Założenie to należy przeto odrzucić i pozostaje jedynie drugie założenie
^l '
A zatem:
Jeżeli dla liczb zespolonych, utworzonych z dwóch jednostek zasadniczych e1 i e2f pragniemy zachować wszystkie własności mnożenia liczb rzeczywistych, to dla iloczynu jednostek należy przyjąć założenia:
Przyjmując e{ = 1, t. j. zwykłéj jednostce rzeczywistéj, i oznaczając e2 przez i, otrzymujemy liczby zespolone postaci aĄ-fii, dla których jednostka urojona i określa się równaniem
Pojęcia, T. L 9
11= 1,
lub
«j ^
Takie liczby afi i nazywają się liczbami zespolonemi lub urojonemizwyczajnemi, liczba a nazywa się częścią rzeczywistą, fii—częścią czysto urojoną. Liczby zespolone a + fii obejmują w sobie liczby rzeczywiste, które otrzymujemy, zakładając fi = 0.
Działania nad liczbami zespolonemi «-f pi odbywają sie według prawideł, wyżéj wskazanych, a mianowicie:
(a + fii) + (a'+ fi'i) = (a + a') + (fi + fi')i
(a + fii) (a'+ fi'i) = (aa') + (fifi')i
Iloczyn liczb, na podstawie określenia podanego wyżéj, przyjmuje postać
(a + fii) (a+fi'i) = aa'fi fi' + (ap+pa')i,
skąd bezpośrednio wnosimy, że iloczyn dwóch liczb urojonych postaci a + fi* jest liczbą téj saméj postaci. Toż samo stosuje się do iloczynu trzech i więcéj czynników. Z określenia wynika
fi = 1, P = i9 i4 = 1, t5 = 1 . . .
i w ogóle
i\m-\-u __ j>i
gdzie m jest liczbą całkowitą dowolną, n zaś przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3.
Iloraz dwóch liczb zespolonych aĄ-fii i a'-\-fi'i, z których druga nie jest zerem, możemy łatwo znaleźć. Oznaczmy ten iloraz przez £ + r]i\ na podstawie określenia dzielenia będzie
(f+ł0 = « + #
czyli
&-tiP + (tf+tia')i = a + fii9
skąd
|a' — rjfi' —a sfi' + no!=fi.
Jeżeli więc a i fi' nie są zerami, otrzymujemy z tych równań
r*> i i>>'> » J '2 i o' 2 '
a--r/)" a + />
a więc
Ponieważ każde z działań elementarnych nad liczbami zespolonemi postaci a+/?i'doprowadzado liczb tejże postaci, a więc i wszelkie kombinacye skończonéj liczby takich działań doprowadzają również do liczb postaci ciĄ-fii.
Dwie liczby a+fii i a—fii różniące się znakiem współczynnika przy jednostce urojonéj, nazywają się wzajemnie sprzężonemi. Suma dwóch liczb sprzężonych a + fii i a — fii równa się liczbie rzeczywistéj 2a, różnica jest liczbą czysto urojoną 2fii, iloczyn równa się liczbie rzeczywistéj a2Ą-fi2.
W myśl poglądów Kronec ker a, możemy liczby zespolone, w których jednostką urojoną jest V—1, przedstawić pod postacią ciĄ-bx, gdzie x jest "nieoznaczoną,,, równości zaś, w których występują takie liczby zespolone, zastąpić kongruencyami według modułu x-(-1 = 0. Tak np. równość dwóch liczb a + bx i a -fb'x wyraża się za pomocą kongruencyi
a + bx == a + Vx (mod«r+1)
Ponieważ obie strony téj kongruencyi są stopnia pierwszego względem x, mocluł zaś jest stopnia drugiego, kongruencyą zatem sprowadza się do wyżéj podanych warunków
a = a', b = b'.
Suma i iloczyn liczb aĄ-bi i a'-\-b'i wynikają z kongruencyj: (a + bx) + (at+b'x)wm(a+al) + (b+b')x (mod.r2+l) (a + M (a + b'x) = aa + (ab' + a'b)x + bb' x2 (mod.*2 + 1),
z których, przy dołączeniu równania «r3+l = 0, otrzymujemy znane wzory na dodawanie i mnożenie liczb urojonych.
Metoda ta ma służyć może nie tylko dla liczb zespolonych a+bV—i, ale i ogólnie dla liczb postaci a-\-b]/—n, jeżeli zamiast modułu x2-J-1 przyjąć moduł x2Ą-n\ może też służyć do badania wyrażeń, zależnych od liczb niewymiernych; tak np. równości, w które wchodzi J2, można zastąpić kongruencyami według modułu
— 2, z dołączeniem równania a?2—2 = 0.
Zasada metody niniejszéj jest zupełnie zgodną z zasadą podanéj przez Cauchy'ego jeszcze w r. 1847 metody równoważności algebraicznych, mającéj wyjaśnić teoryą liczb urojonych. U Kronecker a zasada ta wypływa z ogólnéj teoryi arytmetycznéj wielkości algebraiczny ch, którą znakomity uczony przedstawił przed dziewięciu laty w sławnéj rozprawie poświęconéj Ku mm er owi i którą w szeregu dalszych prac swych rozwija. Ważne i głębokie pomysły, zaiwarte w téj pracy, jednoczące z sobą rozległe dziedziny badań arytmetycznych i algebraicznych, pozwalają wznieść się na ogólne stanowisko, z którego poszczególne teorye, jakie przedstawiliśmy w artykułach poprzedzających, stanowią tylko pojedyńcze fragmenty10.
20. NORMY, WARTOŚCI BEZWZGLĘDNE I MNOGOŚĆ LICZB
UROJONYCH.
Nonną liczby zespolonéj aĄ-bi nazywamy wyrażenie a-Ą-b2, co wyrażamy w ten sposób:
N (aĄ-bi) = a2 + b\
Norma liczby a + bi równa się iloczynowi liczby a Ąbi przez wzajemnie z nią sprzężoną a — bi.
Liczby
aĄ-bi, a—bi, -aĄ-bi, —a — bi,
mają oczywiście normy równe.
Ponieważ iloczyn liczb urojonych (a + fo') (aĄ-b'i) równa się
aa' bV + (ab' + a'b)i, normą przeto iloczynu będzie
(aa'-bbyĄ-(ab'+a'b)K To wyrażenie jest tożsamościowo równe wyrażeniu
(aĄ-b2)(a'2 Ą-b'~)
a zatem norma iloczynu równa się iloczynowi norm czynników.
Własność tę można łatwo udowodnić dla jakiejkolwiek skończonéj liczby czynników.  Wartością bezwzględną liczby urojonéj nazywamy wartość dodatnią pierwiastka kwadratowego jéj normy; wartość tę, nazywaną dawniéj modułem liczby urojonéj, oznaczamy wraz z W e i e r s t r a ss e m w ten sposób
\ a Ą-bi\ = V* + b*. Z określenia tego wynika, że liczby
aĄ-bi, a — bi, —aĄbi, —a — bi
mają wartości bezwzględne równe; że wartością bezwzględną liczby rzeczywistéj ±a [zgodnie z określeniem w art. 17.] jest a, wartością bezwzględną liczby -t-fa'jest b.
Do wartości bezwzględnych liczb urojonych stosują się następujące twierdzenia:
I. Wartość bezwzględna sumy dwóch liczb urojonych nie jest mniejszą od różnicy a nie większą od sumy wartości bezwzględnych składników.
II. Wartość bezwzględna iloczynu liczb urojonych równa się. iloczynowi wartości bezwzględnych czynników.
III. Wartość bezwzględna ilorazu dwóch liczb zespolonych równa się ilorazowi wartości bezwzględnych dzielnéj i dzielnika.
Dowód tych twierdzeń jak i dalsze rozwinięcie opartéj na nich teoryi znaleźć można w podręcznikach Algebry i Rachunku wyższego11. Powiemy tu tylko, że przy dowodzie tych twierdzeń elementarnych należy pamiętać o tem, iż stosowanie ich w przypadku niewymierności liczb wymaga naturalnie uprzedniego ustanowienia działań nad liczbami niewymiernemi.
Jeżeli ograniczymy się na dziedzinie liczb zespolonych wymiernych, to jest takich liczb aĄ-bi, dla których a i b są liczbami wymiernemi dodatniemi lub ujenmemi, ogół których nazywa Dedekind "ciałami liczbowemi wymiernemi drugiego stopnia,, lub "ciałem kwadratowemi wymiernemi„, to zamiast wartości bezwzględnych, które są wymiernemi lub niewymiernemi, posługujemy się normami, które są zawsze wymiernemi.
Możemy z łatwością wykazać, że mnogość wszystkich liczb zespolonych wymiernych jest równoważną mnogości nieskończonéj liczb całkowitych [porówn. str. 60. |
133
20]
NORMA I MNOGOŚĆ LICZB CROjONYCll.
W saméj rzeczy, wyobraźmy sobie, że norma przyjmuje kolejno wszystkie wartości wymierne, uporządkowane w szereg odliczalny.
o którym mówimy w art. 14. Do każdéj wartości normy a-Ą-b2 do bierzmy wartości wymierne liczb a i b [o ile się znajdują], nie opuszczając żadnych. Liczba wartości dla każdéj skończonéj wartości normy będzie oczywiście skończoną; wypisując wiec najprzód liczby a 4bi. odpowiadające pierwszéj wartości normy, następnie liczby, odpowiadające drugiéj i t. d. będziemy po kolei wypisywali wszystkie i otrzymamy mnogość odliczalną na szeregu 1, 2, 3 ..
Do tego samego wyniku dochodzimy na podstawie uwagi, że mnogości złożonéj z elementów a + bi, musi odpowiadać ta sama liczba kardynalna, jaka odpowiada każdéj z dwóch mnogości a i bi; każda zaś z nich jest równoważną mnogości liczb całkowitych dodatnich.
1 Śniadecki, Rachunku algebraicznego teorya przystosowana do linij krzywych. Toin 1. str. 69.
2 Gauss, Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius yariabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse. Porówn. E. Netto, przekład niemiecki téj rozprawy 1890. [OstwaldJs Klassiker der exacten Wissenschaften N. 14. str. 6—7.]
s Wroński, Introduction etc. str. 167—168.
4 Gauss. Werke II, str. 174.
Arg and, Essai sur la maniere de representer les quantites imaginaires dans les constructions gśometri<iues, 1806. Wydanie drugie Hoiiela, 1874.
5 O a uchy. Analyse algebriąue, 1821. str. 173 i dalsze, Exercices d'analyse et de i»hysique mathśmatiąue, IV. 1847., str. 87.
fi Według poglądu Diihringa [Neue Grundmittel und Erfindungen, str. 26 — 54], liczby urojone są tylko dalszém skomplikowaniem niemożliwości, jaką przedstawiają już liczby ujemne; liczba czysto urojona nie wyraża, zdaniem jego, nic więcéj nad to, że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnśj jest niemożliwością. To połączenie znaku pierwiastka kwadratowego ze znakiem — jest niejako nowym znakiem V~, który Diihring pisze wprost Vlub F. Znak ten, postawiony przed wielkościami. wyraża odejmowanie, o którego wykonalność wtedy dopiero pytać można, gdy przez podniesienie do kwadratu przywracamy warunki możliwości. Cały rachunek nad liczbami urojonemi jest tylko przeprowadzeniem biegu myśli przez niemożliwość.
Niemożliwość, oznaczona za pomocą r, wynika już wprost z równania z-\-y* = a, z którego otrzymujemy y= 1 a—z. Jeżeli z ma wartość większą od a, to liczby, zadośćczyniącéj równaniu, niema, a zatem y — 1 a—z wyraża niemożliwość, którą piszemy pod postacią y = T — 1 T z—a lub
V— Vz—a lub wreszcie r(z—a), gdzie z — a jest wielkością bezwzględną. Nazywając tę wielkość przez v, mieć będziemy z-\(F^t-^ = a, albo
v2=a, a kładąc znów tu y za i>, otrzymujemy równanie z—y-=a w miejsce poprzedzającego równania z-\-y-=a.
Stąd, tak samo jak przy liczbach ujemnych, wynika, że należy używać dwóch równań, jeżeli chcemy obejść się bez używania znaków liczb urojonych.
Oba równania z-\-y'i = a, z—y2=a przechodzą jedno w drugie, jeżeli uczynimyy urojonem; którekolwiek z nich można uważać za główne, ogólne, drugie zaś jako przypadek szczególny. Jeżeli więc mamy równanie z-\-w2 = a, to w niein w możo oznaczać albo wielkości bezwzględne albo wielkości, opatrzone znakiem niemożliwości r, a właściwie dwoma takiemi znakami F i —F\ w pierwszym razie równanie to przedstawia z+y2=a, w drugim z—y'2=a, gdzie y jest już wielkością bezwzględną.
Też same uwagi poczynić można o równaniu x2-\-y*=r2, któremu odpowiada przytóm interesująca interpretacya geometryczna, a mianowicie przechodzenie koła na hiperbolę i odwrotnie.
Liczba zespolona, złożona z dwóch części rzecz\rwistéj i urojonéj, jest, jak się wyraża D ii li r i n g, pojęciem jasnem jak słońce [ein sonnenklarer Begriff]; jest ona złożona z dwóch części, które należy uważać za różne pod względem związków, w jakie wchodzi w rachunku nad wielkościami; znak T7—1, znajdujący się przed częścią czysto urojoną, przypomina wykonanie tego, co powiedziano wyżéj o znaczeniu tego znaku. Liczba a wyraża się geometrycznie za pomocą sumy dwóch odcinków
a i b na osi odciętéj, w któréj to sumie wszakże odcinek b nie traci swego znaczenia, wskazanego znakiem F—l, ukazującym związek rachunkowy z innemi wielkościami. Geometryczne przedstawienie Gaussa D u h r i n g odrzuca.
Teoryą, zbliżoną do teoryi Diihringa ogłosił niedawno S. V e c ch i: I/essenza reale delie ąuantita ora dette immaginarie e. c., 1890.
7 Według Lipschi tza [Lehrbuch der Analysis I, 1883. str. 75, 76], do liczb urojonych prowadzi uwaga, że suma dwóch kwadratów a2 -fbnie może być przedstawioną, jako iloczyn dwóch czynników rzeczywistych stopnia pierwszego względem a i 6; aby rozkład ten umożliwić, wymyślono symbol i odpowiedni rachunek, przez który rozkład taki staje się formalnie możliwym.
Wyrażenie a2 — &222 równa się iloczynowi dwóch czynników (a — bz) i (a+6z). Jeżeli więc przyjmiemy, że 2 oznacza symbol, przy którym prawidła mnożenia wyrażeń (lwumiennych nie ulegają zmianie, to kładąc w wyniku mnożenia 22 równe —1, otrzymamy oczywiście rozkład liczby
a2+ó3 na dwa czynniki a—bz i aĄ-bz. Symbol 2 równy —1, oznaczany zwykle przez i\ daje rozkład formalny:
a2 -f 62 = (a — bi) (a + bi)
Wogóle zagadnienie o przekształceniu wyrażeń algebraicznych stanowi według L ip 3 chi t z a, źródło, z którego wypływa teorya liczb urojonych i nadurojonych. Potrzeba utrzymania ogólności twierdzeń, odnoszących się do tych przekształceń, prowadzi do symbolów, umożliwiających tę ogólność. Myśl tę rozwinął szczegółowiśj Lipschitz w badaniach swych nad sumami kwadratów [Untersuchungen ueber die Summen von Qnadraten, 1886.] w których podaje teoryą liczb urojonych zwyczajnych, kwaternionów i liczb urojonych wielowymiarowych.
Sir K. W. Hamilton, [porów. str. 121] wychodzi z uważania par czyli dwójek [couples] (a, 6), w których a i 6 są liczbami rzeczywistemi. Dla przypadku 6=0, uważamy (a, 0) za liczbę rzeczywistą a. Dwie dwójki (a, b) i (c, d) uważamy za równe, jeżeli
a= c, b — d
Stąd wynika, że dwójka (a, b) jest równa (0, 0) = 0 tylko wtedy, jeżeli a = 0,6=0. Dodawanie określamy za pomocą wzoru
(«,6) + (c,rf) = (a-K 6 + d), iloczyn za pomocą wzoru
(a. 6) . (c, d) = (ac — bdf ad -fbc). Kładąc w ostatnim wzorze a = c = 0. 6 = </= 1, otrzymujemy
(0,1). (0,1) = (—1,0) = — 1. Oznaczając dwójkę (0,1) przez mamy
*3 = — 1.
Ponieważ według powyższych określeń:
(a, 6) = (a, 0) + (6,0) (0, 1),
możemy przeto dwójkę (a. 6) przedstawić pod postacią a-\-bi.
Podana przez L er cha we wspomnianéj wyżśj rozprawie [1886] teorya liczb urojonych niczém się nie różni od teoryi Hamiltona.
8 Porówn. 31 o 1 k, Sur une notion qui comprend celle de la divisibilitć et sur la theorie gćnśrale de rćlimination [Acta mathematica, VI, str. 7, 8]
9 Porówn. P i n c h e r 1 e 1. c. str. 205 — 210. Biermann 1. c. str. 44 — 47., a także Kossak, Die Elemente der Arithmetik. 1872 str. 25—26.
10 Kronecker, Grundziige einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grossen [Journal Jur die reine und anyewandte Mathematik, XCII, 1882.]; Molk i t. d, jak wyżśj.
11 Np. w Zasadach Algebry wyższéj Zajączkowskiego, 1884 lub w Zasadach Rachunku różniczkowego i cąłkowego Folkierskieg o, 1870. ROZDZIAŁ YI. LICZBY ZESPOLONE WYŻSZE.
lii. ROZWÓJ POJĘĆ O LICZBACH NADUROJONYCII.
Liczby zespolone wyższe, inaczéj naclurojone lub wielowymiarowe stanowią jeden z najnowszych nabytków w dziedzinie badań matematycznych. Doprowadziła do nich naturalna droga uogólnień, która ujawniła się przedewszystkiem w usiłowaniach, skierowanych ku znalezieniu narzędzia do badania form geometrycznych w przestrzeni, analogicznego do narzędzia, jakie dla geometryi na płaszczyźnie stanowią liczby urojone zwyczajne. Hamilton, Grass mann i Scheffler niezależnie od siebie pytanie to podjęli i w sposób odmienny rozwiązali. Badania Hamiltona, rozpoczęte jeszcze w r. 1833, doprowadziły go do utworzenia skupień, złożonych z n liczb rzeczywistych, tak nazwanych "sets„, które są uogólnieniem par czyli dwójek, na których oparł teoryą liczb urojonych zwyczajnych [porówn. str. 136 |. Późniéj wszakże, mając głównie na celu zastosowania rachunku do badania figur i ruchu w przestrzeni, zatrzymał się na liczbach czterojednostkowych i stworzył rachunek tak zwanych kwaternionów, który rozwinął znakomicie w szczegółach i ważnemi opatrzył zastosowaniami1.
Grassmann rozpoczął również od rozważań natury geometrycznéj i uogólniając pojęcia działań i konstrukcyj, nadał bardziéj abstrakcyjny charakter poszukiwaniom swoim, których owocem było utworzenie nowéj nauki, stanowiącéj organiczną i pięknie zbudowaną całość. Naukę tę nazwać można ogólną teoryą rozmaitości albo geometryą wielowymiarową, wysnutą z założeń najogólniejszych, a nie ograniczoną postulatami, charakteryzuj ącemi geornetryą zwykłą. Ta ostatnia w stosunku do nauki Grassmannowskiéj stanowi przypadek specyalny, albo, jak chce sam Grassm a nn, zastosowanie jego nauki ogólnéj do naszéj przestrzeni | porów. art. 4.J. To, co mówimy o nauce Grassmannowskiéj, stosuje się przedewszystkiem do téj postaci, jaką nadał jéj w pierwszem dziele z roku 1844. (wydanie drugie z r. 1878 |. W dziele drugiem z r. 1862 te same pomysły przybrały inną szatę, a mianowicie występują jako system nauki o liczbach | wielkościach | ^-wymiarowych, która obejmuje w sobie teoryą działań i rachunku nad formami liczbowemi najogólniejszemi, która zatem jest niejako Algebrą powszechną—•[ unirersal Algebra, jak ją nazywa Sylv e s t e r] 2.
Na innéj znowu drodze usiłował rozwiązać Scheffler zadanie o zastosowaniu form liczbowych do geometryi3. Metodę jego można uważać za rozwinięcie pomysłu A r g an da [art. 18.], według którego V— 1 wyraża obrót w płaszczyznie xy od dodatniéj części osi x do dodatniéj części osi y. Jeżeli idzie o przedstawienie figur w przestrzeni, trzeba wprowadzić nowy znak K-r-l na oznaczenie obrotu w płaszczyznio yz od dodatniéj części osi y do dodatniéj części osi z. Tym sposobem punkt w przestrzeni, którego współrzędnemi w układzie prostokątnym są x,y,z, a właściwie promień wodzący tego punktu wyraża się u S c h e f f 1 e r a w sposób następujący:
r = x+y * Y^YY-T
Wspomniane w art. 18. pytanie G a u s s a o stosowalności prawideł działań arytmetycznych do liczb więcéj niż dwumiarowych pobudziło matematyków do zastanowienia się nad naturą tych liczb i działań nad niemi. Pierwszy, o ile wiemy, na pytanie to odpowiedział H a nkelwr. 18(>7, w wielokrotnie cytowanéj pracy, wykazując, że układ liczb zespolonych wyższych [to jest więcéj niż o dwu jednostkach zasadniczych], w którym iloczyny jednostek są funkeyami liniowemi tych jednostek, podlegający wszystkim prawom działań Arytmetyki zwykłéj, a więc i warunkowi, aby iloczyn dwóch czynników stawał się zerem tylko wtedy, gdy przynajmniéj jeden z czynników jest zerem — taki układ nie istnieje4. Czyli mówiąc inaczéj, tylko układy liczb jedno i dwuwymiarowych czynić mogą zadość wszystkim powyższym własnościom, przy większéj zaś liczbie jednostek zasadniczych iloczyn może być zerem, gdy czynniki są od zera różne.
Ten sam przedmiot podjął W e i e r str ass jeszcze przed II a nkelem w wykładach uniwersyteckich w roku 1801/2, ale spostrzeżenia swoje ogłosił dopiero wr. 1884 5. Bada 011, w jaki sposób można określić działania w dziedzinie liczb o n jednostkach ev e2...e„, aby, jeżeli a, l, c . są dowolnemi liczbami téj dziedziny, liczby
a
a-\-b, a — b, ab, — ,
należały także do niéj i aby działania arytmetyczne czyniły zadość warunkom:
aĄ-b = b-\-a, + + c = (a-b)Ą-b=a
ab = ba, (ab) c = a (bc), a (b c) = ab Ąac, — b=a.
Wynik tych badań jest następujący: Wprowadzenie liczb zespololonych wyższych do Arytmetyki nie jest nieuzasadnionem, lecz jest zbytecznem, bo Arytmetyka tych liczb nie może prowadzić do żadnego wyniku, którego by nie można otrzymać za pomocą teoryi działań w układzie liczb jedno i dwuwymiarowych.
Dedekind w rozprawie, ogłoszonéj w r. 1885r>, badając ten sam przedmiot, dochodzi do podobnego wyniku, wychodząc wszakże z odmiennego poglądu na istotę liczb zespolonych. Pogląd ten streścić można w ten sposób:
Niechaj będzie układ n2 liczb e, (<\ | s = 1, 2 . . . n], takich, że ich wyznacznik jest różny od zera. | O wyznacznikach mówimy w art. 26. |. Układ n jednostek
> ^2 * * • ^t
ma być wielowartościowy w tem znaczeniu, że może przedstawiać którykolwiek z n układów Należyto rozumieć tak, że każde równanie, zawierające, obok liczb rzeczywistych i urojonych zwykłych, liczby eu e2 . . . e„, wtedy tylko może być uważane za prawdziwe, jeżeli utrzymuje się, gdy w miejsce ev . . . eu podstawimy odpowiednie liczby każdego z powyższych n układów. Otóż, według poglądu Dedekind a, układ liczb
av ey + a>> e2 + ... au eu
winien być uważany za przedstawiciela n układów liczb zwyczajnych, rzeczywistych i urojony ch.
Kronecker w najnowszéj swéj pracy, póświęconéj liczbom zespolonym 7, wykazuje, że teorya działań nad niemi sprowadza sie się do oznaczenia w sposób najogólniejszy -i v(v-\-l) funkcyj całkowitych A7', A7", AT"'. . . postaci
yny,;cjh>h) -c">>k) [A^Ł, h,k= ls2 . . . »|
zależnych od v zmiennych nieoznaczonych yv y2, ... yv, aby czyniły zadość kongruencyi
F(yvy2,...y,)=C, + Clyi + C2y2 + ...+ Cvyl, (modd. AT, jV", AT"'...)
w któréj strona pierwsza wyraża jakąkolwiek funkcyą całkowitą zmiennych y2 . . . yv, na stronie zaś drugiéj CQ, C\ . . . Cv są współczynnikami oznaczonemi, od zmiennych niezależnemi. Według tego poglądu zatem teorya liczb zespolonych wyższych sprowadza się, do badania arytmetycznego funkcyj całkowitych.
Wyniki, do jakich dochodzą ostatni trzéj badacze, zdają się dowodzić zbyteczności nowego narzędzia, jakiem są liczby zespolone wyższe. Ale wniosek taki byłby, zdaniem naszem, zbyt pospieszny. Możność sprowadzenia działań nad liczbami zespolonemi wyższemi do działań nad liczbami rzeczywistemi i zespolonemi zwyczajnemi nie może przesądzać kwestyi użyteczności pierwszych, podobnie jak możność sprowadzenia rachunku na liczbach urojonych do działań nad liczbami rzeczywistemi nie przeczy zupełnie użyteczności i ważności liczb urojonych. Owszem, dopiero wprowadzenie tego ostatniego algorytmu pozwoliło na uogólnienie zasadniczych twierdzeń Algebry, nadało nową postać całéj Teoryi funkcyj, wzbogaciło Teoryą liczb, — jednem słowem, otwarło nowe i rozległe widoki badań. Liczby zespolone wyższe, jako nowsze, nie zdołały dotąd rozpowszechnić sie w badaniach; sądzimy wszakże, że rachunek kwaternionów, któremu i sam Dedekind nie odmawia znaczenia 8, a jeszcze bardziéj rachunek Grass m anna stanowią potężne i bogate w zastosowaniu metody. Jeżeli dodamy jeszcze, że Łipschitz9 zastosował niedawno te formy liczbowe do teoryi przekształceń form kwadratowych, że S c h u r10, S t u d y11 i S c h e f f e r s12 stosują z powodzeniem układy zespolone wyższe do jednéj z najnowszych gałęzi nowoczesnéj nanauki, do tak zwanéj Teoryi grup przekształceń Lie?go, zajmującéj ważne stanowisko wśród metod Rachunku wyższego, to nie będziemy wątpili o doniosłości nowego narzędzia, którego użyteczności zresztą nie wypróbowano dotąd w różnych dziedzinach. Sam Grassmann wskazał ścisły związek jego nauki z teoryą niezmienników15, a sądzimy, że zastosowanie wyłożonych w drugiéj części jego dzieła z r. 1862 zasad nauki o funkcyach liczb wielowymiarowych, najmniéj może dotąd znanéj, przyczyniłoby się bezwątpienia do wzbogacenia Teoryi funkcyj. Pole to otwarte i wdzięczne do uprawy dla tych, którzy zgłębią świetne i głębokie pomysły Grassmanna.
W Arytmetyce wyższéj liczby zespolone stały się narzędziem ważnem i uźytecznem; w téj wszakże dziedzinie liczby wielowymiarowe mają charakter odmienny od liczb zespolonych o n jednostkach ev e2 . . . e„ niezależnych, to jest niezwiązanych z sobą równaniem liniowem; są one postaci
a=a rx + ax r2 -f. . . + a„_! r„ gdzie rl9 r2 . . . r„ są pierwiastkami równania stopnia n-go:
<rł/ = 1.
Jeżeli r jest pierwiastkiem pierwotnym tego równania, to pozostałe pierwiastki są jego potęgami całkowitemi i liczba a może być przedstawiona pod postacią
a = a(1+a1r-f ... -f a^
Dirichlet, Ku miner, Eisenstein, Dedekind i inni rozwinęli teoryą tego gatunku liczb całkowitych14.
Inne zastosowanie liczb zespolonych téj postaci wskazał I) ii lir i n g. Według poglądu, który rozwinął w kilkakrotnie cytowanéj już pracy, liczby r, r2 . . . odgrywają rolę znaków, podobną do téj, jaką mają znaki + i — i jaką według jego teoryi odgrywa znak V — 1. Równanie, w którem występują liczby, opatrzone podobnemi znakami, wyraża związek pomiędzy formami o różnéj liczbie wartości, rozpada się na pewną liczbę innych równań pomiędzy liczbami dodatniemi. Zasada ta stanowi podstawę metody rachunkowéj, którą D uh ring nazwał "rachunkiem wartościowości,, [Werthigkeitsrechnung] 15.
22. TEOliYA WEiERSTRASSA.
Liczba ?i-wymiarowa o jednostkach zasadniczych ev e.j . . . e„ wyraża się pod postacią
a = a{ e{ + a2e2 + . . . + an e„ = 2 a, et.
i
Liczby rzeczywiste a2 . . . an można nazwać współrzęclnemi liczby zespolonéj a.
Równość liczb zespolonych, a mianowicie liczby a i liczby
* = + • • • + /*»«» = 2 fi< et
i
ma miejsce wtedy i tylko wtedy, jeżeli odpowiednie współrzędne są równe, t. j. jeżeli
al = fil* a2 ~ fi* ' • ' =r finWynika stąd, że liczba zespolona a jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, jeżeli każda z jéj współrzędnych jest zerem. Sumę dwóch liczb określamy za pomocą wzoru
a + b = 2 («, + fi,)
e
skąd wynika, że dodawanie jest łącznem i przemiennem i że różnice dwóch liczb otrzymuje się według wzoru
a-b = 2 («-fit) er i
Iloczyn dwóch liczb a = a, e, i b = 2 fiy. e>„ na podstawie prawa rozdzielności, będzie
ab = 22 at fi* et e* = 2 at fi* et e„
L y. i,y.
i, x = l, 2, . . . »
Jeżeli chcemy, aby iloczyn należał do dziedziny danéj, to jest, aby był liczbą postaci téj, jaką mają czynniki, winniśmy przyjąć, że iloczyny jednostek et i eK dają się wyrazić jako funkcye liniowe jednostek zasadniczych, a mianowicie, że o
22] TF.OKYA WF1F.RSTRASSA. 14
gdzie rj.*t(,y. Sł1 liczbami rzeczywistemi; otrzymamy tedy
ab = 222 rjs.i.n = &
1 y. fi, i,y.
Załóżmy daléj, że mnożenie liczb badanych jest łączne, to jest, że posiada własności
(a^)cł = a(bc)
O* e>)
Wstawiając w ostatnie równanie w miejsce iloczynów etex, eH ex ich wyrażenia powyższe, a następnie porównywając współczynniki po obu stronach otrzymanego związku, dochodzimy do warunku
gdzie o, A przybierają wartości 1, 2, ... n. Jeżeli założymy prócz tego przemienność mnożenia jednostek, wyrażającą się wzorem
et ey = ey en znajdziemy równania warunkowe
W**,* = •
Iloraz dwóch liczb zespolonych a i b ma czynić zadość równaniu
a;
— . b — a. b
Oznaczmy ten iloraz przez c i załóżmy, że jest postaci
c = 2 y$ es i
będzie zatem
2 y$ e<. 2 fi* e* — 2 a.<e*
,S y. x
Wykonywając mnożenie według otrzymanego wyżéj wzoru, będzie my mieli
2 ** ~ a*e<»
stąd dla oznaczenia szukanych współrzędnych y8, mamy układ równań
2 y*,ttH Yifi* = <*s
l,X
5 = 1, 2 ... Tl
Równania te są liniowemi względem współrzędnych y; z teoryi równań liniowych wiadomo [porówn. art. 26.], że można niewiadome oznaczyć, jeżeli tylko wyznacznik układu, który oznaczmy przez
^ = Vs»
nie jest toźsamościowo równy zeru.
Przy takiem założeniu można znaleźć układy wartości dla liczb yv y2 . . • yn, przy których dzielenie liczby a przez liczbę b daje iloraz oznaczony. Gdy zaś wyznacznik A jest zerem, wtedy dzielenie jest możliwe tylko wtedy, jeżeli pomiędzy Gj, CL2 • • • Ci)i zachodzi pewien związek określony; wówczas zaś iloraz ma nieskończenie wiele wartości.
Warunek, by wyznacznik A nie był toźsamościowo zerem, spełniać się może w ogólności, mimo to wszakże istnieć mogą pewne szczególne wartości współrzędnych fil, /?2, . . . , fin, przy których wyznacznik jest zerem. Liczba b o takich współrzędnych fii i ft-2fin ma tę właściwość, że można do niéj dobrać inną liczbę zespoloną c, różną od zera, aby iloczyn liczb b i c był równy zeru, t. j. aby było
bc = 0
Liczbę b nazywa Weierstrass dzielnikiem zera. Dzielnik zera, pomnożony przez liczbę dowolną, jest także oczywiście dzielnikiem zera16.
Istnienie dzielników zera, od zera różnych, stanowi, według Weierstrass a, istotną różnicę pomiędzy Arytmetyką liczb zespolonych wyższych a zwyczajną. Ta uwaga zgadza się z przytoczonem w poprzednim artykule twierdzeniem Hanke la, że w układzie liczb zespolonych wyższych, w których iloczyny jednostek są funkcyami liniowemi samych jednostek, iloczyn dwóch czynników może być zerem, jakkolwiek żaden z czynników nie jest zerem17.
Jeżeli założymy, że wyznacznik nie jest toźsamościowo zerem, to możemy wykazać, iż w układzie naszym istnieje liczba e0, posiadająca własność, wyrażoną równaniem
e0 a = a e0 = a , gdzie a jest liczbą dowolną. Ta liczba e0 jest modułem mnożenia.
W saméj rzeczy, jeżeli wyznacznik A nie jest toźsamościowo zerem, w takim razie iloraz a ja jest oznaczony. Na podstawie określenia .dzielenia będzie
a
— a = a , a
skąd wynika, że a!a jest właśnie owym modułem e0. Łatwo też widzieć, że tak określona liczba e0 równa się także b!b9 gdzie b jest liczbą od a różną. Kładąc bowiem b = ka9 znajdziemy zawsze liczbę h, jeżeli wyznacznik A nic jest zerem; będzie zatem:
be0 — (ka) e0 — k(ae0) = l a = b,
skąd
, , b be0 = b, e0 = -.
Jak w teoryi liczb zespolonych zwyczajnych wprowadzaliśmy nowe jednostki g i h zamiast pierwotnych e1 i e2 fart. 19.], podobnież i tu można w miejsce n jednostek el9 e2 . . . eJł9 wprowadzić n liczb » 9i • • • fJ»-1? należących do téj saméj dziedziny, a to następującym sposobem:
Niechaj będzie liczba zespolona
1. g = ^ ex + l2e2 + . . . + ey.
Za pomocą mnożenia i przy założeniu wzorów, wyrażających iloczyny jednostek, możemy otrzymać kolejne potęgi liczby g, wyrażone w postaci:
f = l!,2)e, + ip e,+ ...
10
Ji.
gdzie ••• napisaliśmy w miejsce f2
Z tych n równań, jeżeli założymy, że wyznacznik £ 0) • > s W 3. • • 5 i: (») • isii 1'ojęcia, T. I.

nie jest toźsamościowo zerem, możemy wyrazić jednostki ei,e2...etl, jako funkcye liniowe liczb g, g2, . . . g>l.
Ponieważ na podstawie równań 2. potęgi liczby g wyższe od gn dają się wyrazić jako funkcye liniowe potęg niższych: g, g2. . . gn, możemy więc napisać
rj»+1 + ą ę* + e2gu-1 + ... +eug = 0,
gdzie eu fi2 • • • Pewne liczby rzeczywiste. Dzieląc obie strony przez g i zważając, że


gdzie e0 jest modułem mnożenia, otrzymujemy
4. gH + gn~x + £29n-2 + ... +cHe o = 0. Wprowadźmy w miejsce jednostek eu e2, . . . , en, nowe jednostki
0i5 02» • • • > 0»-i;
5. 0O = *0> 0/< = 0" = 1, 2 . . .
Ponieważ jednostki • • • wyrażają się jako funkcye liniowe liczb g2} . . . ,gu, a więc na mocy równania 4. i określeń 5., będziemy mogli jednostki eu e2, . . . , en zastąpić funkcyami liniowemi jednostek .. .,gn-i, a każda liczba a, do naszéj dziedziny należąca, da się przedstawić pod postacią
a = 2 asg,-, 5 = 0, 1, 2, . . . —1.
Iloczyn dwóch takich liczb
a = 2 a,g, i b — 2 /łabędzie
ab = 2 a,g,. 2 fit 0* *= 2 («/ /?«)
t, U
u = 0, 1,2,..., 1.
Liczby = gdy f + — 1, sprowadzamy na podstawie powyższego do potęg niższych, tak że ostatecznie iloczyn ab przybierze postać
£Vs9<\ 5 = 0, 1, 2, . . . ,11—1.
Mnożenie to, jakie przy układzie jednostek g0, gu . . . ,g„—i wykonywamy, można, posługując się niektóremi twierdzeniami Algebry, scharakteryzować w sposób następujący: 22] TPORYA WE1KRSTRASSA. 147
W równaniu 4. napiszmy | w miejsce g, gdzie | ma oznaczać zmienną jednolub dwuwymiarową, 1 zaś w miejsce e0, otrzymamy wtedy funkcyą
/(f)=-. • +
Liczbę a = J£asgs i funkcyą całkowitą 2 as$s nazwijmy odpowiadaj ącemi sobie wzajemnie. Jeżeli mamy dwie liczby afgs i to iloczyn ich, równy (atf}u){Jt+u, przy pomocy równań 2. spro-
t,u
wadza się, jak wiemy, do postaci J£yggg, Jeżeli liczbom a i b odpowiadają funkcye asfi JZfisP, to funkcyą, odpowiadającą
iloczynowi ab, jest 2 (a, ta funkcyą zaś przyipomocy równa-
r,u
nia /(|) = 0 sprowadzić się daje do postaci Widzimy za
tem, że, aby otrzymać funkcyą, odpowiadającą iloczynowi, należy pomnożyć przez siebie funkcye, odpowiadające czynnikom, iloczyn podzielić przez funkcyą /(f), a reszta, pochodząca z tego dzielenia, będzie funkcyą, odpowiadającą iloczynowi ab.
Na téj podstawie uskutecznić można podział liczby zespolonéj na składowe, z których każda zmienia się w dziedzinie jedno lub dwuwymiarowéj. W saméj rzeczy, niechaj liczbie 2at9t odpowiada
funkcyą cp(£) stopnia niewyższego od »—1. Iloraz y^y według teoryi rozkładu ułamków na ułamki Częściowe, jeżeli założymy, że funkcyą /(£)nie posiada pierwiastków wielokrotnych, daje się przedstawić w ten sposób:
rtt)
/(f) fi(f) /2(f) ' /r(«
Tu każdy z liczników p;i(i) jest albo stałą albo funkcyą liniową, każdy zaś mianownik /„(£) jest odpowiednio funkcyą pierwszego lub drugiego stopnia zmiennéj f; jest przy tem
/(I) = /l(f) -m) ■ . ./r(l).
gdzie czynniki po stronie drugiéj są wszystkie różne. Otrzymujemy zatem
(t JiaSJ
skąd wynika, że funkcyą </?(£), odpowiadająca danéj liczbie zespolonéj, jest sumą funkcyj
z których każda odpowiada liczbom, zmieniającym się w dziedzinie jedno lub dwuwymiarowéj. W saméj rzeczy, można wszystkie liczby,
należące do powyższéj funkcyi, otrzymać, gdy czynnik /)«(£) jest
f(£)
stopnia pierwszego, z liczby, odpowiadającéj funkcyi ~j7;gdy zaś jest
J ft\>)
stopnia drugiego —z dwóch liczb, odpowiadających funkcyom
M SM
f,l (I) ' //.(f) '
Każda więc liczba zespolona a może być przedstawiona jako suma r liczb zespolonych au a2, . . . a,., należących do dziedzin cząstkowych, które nazwijmy Gv G.ź...., 6>. Można dowieść: l.że liczba a jest zerem wtedy i tylko wtedy, jeżeli każda ze składowych jest zerem; 2. że liczba a jednym tylko sposobem może być rozłożoną na składowe w uważanych dziedzinach: 3. że iloczyn dwóch liczb, należących do dwóch różnych dziedzin cząstkowych, jest zawsze zerem; 4. że iloczyn dwóch liczb, należących do jednéj dziedziny cząstkowéj, jest zerem tylko wtedy, jeżeli jeden z czynników jest zerem.
Niechaj składowemi modułu g0 będą g\ g\ . . . ,g{r\ Jeżeli aft oznacza liczbę zespoloną, należącą do dziedziny G/n to z równania
na zasadzie powyższego, będzie
0o = 9<!l) a ponieważ g0 a„ = a„, przeto
gf'» an = a„.
Jeżeli więc odpowiednia funkcyą jest stopnia pierwszego, to każda liczba, należąca do dziedziny Gfn może być przedstawiona pod postacią a iloczyn ag(f >. fig(r> będzie równy a fi .^H
Jeżeli zaś odpowiednia funkcyą fu(£) jest stopnia drugiego, to ka22] TEORYA WEJEKSTRASSA. 149
żda liczba dziedziny Gu daje się otrzymać z dwóch liczb i od siebie niezależnych. Niechaj będzie
h<n) h<f) = y ///<) + y'gft>);
metodą podobną do téj, jaką stosowano w art. 19., można okazać, że każda liczba tój dziedziny G(l daje się przedstawić pod postacią
a g^ + ci &'/'> gdzie liczba określa się za pomocą równania
przyczem iloczyn dwóch liczb wyraża się w ten sposób: (a gW + ak<!*)(pg<^ + = (a fi afif)g^ + («'/? + <*fi')U't}.
"Wynika stąd, że badanie w dziedzinie n jednostek ev cv..., en sprowadza się do badania r dziedzin, z których każda jest jedno lub dwuwymiarową, Wszystkie działania w dziedzinie jednowymiarowéj wykonywają się według prawideł rachunku z liczbami rzeczywistemi, wszystkie działania w dziedzinie dwuwymiarowej—według prawideł rachunku z liczbami urojonemi zwyczajnemi. Liczba nowych jednostek, zastępujących dane, jest równa n.
Jeżeli a i b są dwie liczby, należące do dziedziny n-wymiarowéj, i jeżeli alf a2, . . .; bv b2) . . . ,br są ich odpowiednie składowe w dziedzinach cząstkowych Gv G2...., Gf, wtedy, na zasadzie powyższego iloczyn dwóch liczb a i b będzie
i — r
ab = V aa ba , /«—i
gdzie iloczyn liczb aub/n należących do jednéj dziedziny Gu wykonywa się według prawideł działań nad liczbami rzeczywistemi lub urojonemi zwyczajnemi. Ponieważ iloczyny aubu stanowią składowe iloczynu ab w dziedzinach cząstkowych, zatem iloczyn ab może być zerem tylko wtedy, jeżeli każda ze składowych aubfl jest zerem. Gdy więc b nie jest zerem, to iloczyn ab może być zerem wtedy tylko, gdy a jest zerem. Jeżeli niektóre ze składowych liczby b są zerami, to, aby iloczyn ab był zerem, trzeba, aby w pozostałych składowych iloczynu ab odpowiednie składowe były zerami. Wy nika stąd, że liczba b może być dzielnikiem zera tylko wtedy, gdy nie wszystkie jéj składowe są od zera różne. Jeżeli przyjmiemy, że b nie jest dzielnikiem zera, to możemy napisać
1 J_ ± 4.aJL * " h ' ' ' hr '
gdyż mnożąc obie strony przez b = b1+b2 + ...-{-b,.y otrzymujemy
I-* -•+*') + ' • • + £01+** + + *'>,
al A i a'il i i /
by b2 br
a = a1 +a2 + . . . -f ar,
przyczem iloraz dwóch liczb afljbu, należących do dziedziny jednolub dwuwymiarowéj, daje się otrzymać według prawideł dzielenia liczb rzeczywistych i zespolonych zwyczajnych.
Z tych rozważań wyprowadza Weicrstrass następujące twierdzenie:
"Jeżeli a, bf c, cl. ♦ . są liczbami dziedziny wielowymiarowéj i jeżeli za pomocą rachunku, w którym zachodzą tylko działania elementarne: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, mamy z tych liczb otrzymać nową, to składową liczby szukanéj dla każdéj dziedziny cząstkowéj Gfl znajdujemy, wykonywając przepisany rachunek ze składowemi liczb danych w dziedzinie G'„,..
Określenie dziedzin cząstkowych Gv 6\>. . . . , Gr opiera się na przyjęciu jednostki g o współrzędnych . . ., takich, by
wyznacznik 3. nie był zerem i aby funkcyą /(£) nie miała pierwiastków równych. Można przeto zapytać, czy określenie dziedzin cząstkowych zależy rzeczywiście od danéj liczby g, albo innemi słowy, czy, przy wyborze innéj liczby g, dziedziny cząstkowe zmieniają się lub nie?
Pytanie to postawił i rozwiązał II. A. Schwarz 18 a wynik jego badania jest następujący:
"Dziedziny cząstkowe Gv G.,. . . . , Gr nie zmieniają sie, jeżeli zamiast liczby g—2 ctprzyjmiemy inną liczbę g'= 2 £/*>> czyniącą zadość tym samym, co pierwsza, warunkom,,.
W końcu winniśmy jeszcze przypomnieć, że teorya W e i e r s t r a ssa stosuje się do liczb zespolonych, w założeniu, że mnożenie ich czyni zadość prawom łączności, przemienności i rozdzielności, oraz że iloczyny jednostek są funkcyami liniowemi samych jednostek. Gdy którekolwiek z powyższych założeń miejsca nie ma, teorya działań prowadzi w ogóle do wyników odmiennych, jak to ma miejsce w metodach Grassmanna i Hamiltona, które rozpatrzymy w następnych artykułach.
Podobnie jak w art. 20., możemy okazać z łatwością, że mnogość nieskończona liczb zespolonych wymiernych, należących do dziedziny jednostek eu e2,. . . jest odliczalną na szeregu nieskończouym liczb całkowitych.
23. rOJĘCIA ZASADNICZE METODY GU AS SM ANN A.
Właściwym punktem środkowym nauki Grassmannowskiéj jest pojęcie mnożenia liczb wielowymiarowych, polegające na różnych założeniach o iloczynach jednostek; zanim wszakże przedmiot ten rozpatrzymy, winniśmy przytoczyć określenia niektórych pojęć w wysłowieniu wlaściwem Grass mann owi19. Liczbę zespoloną postaci
1. fl = 6i + + Łi a>"
gdzie i,,..., iu są liczbami rzeczywistemi, na?j w \uhrorzoną z liczb av a2, . . . ,a„ przy pomocy liczb ę2, . . . , które możemy, jak poprzednio, dla krótkości nazywać współrzędnerai.
Jeżeli pomiędzy liczbami ar a.,, . . . , a„ nie zachodzi żaden związek postaci
fix a{ -j/a2 + ... + /«;, au == 0,
w którym nie wszystkie współczynniki są od zera różne, to liczby av a.,, . . . , an nazywać będziemy liniowo niezależnemi, lub, wprost krótko, niezależnemi.
Liczbę ai} utworzoną z jednostek ev c2, . . . , e„ według wzoru
2. a, =«/,i e{ + a/o e2 +...+«,,„ e„
nazywa Grassmann liczbą [wielkością] prostą pierwszego stopnia, a dziedzinę wszystkich liczb utworzonych z av a2,... ,au którą oznaczać będziemy przez (ax, a2)..., a„), nazywa dziedziną n-go stopnia [«-wy miarową |.
Prawidła dodawania, odejmowania liczb postaci 1. lub 2. oraz mnożenia i dzielenia ich przez liczby rzeczywiste są najzupełniéj zgodne z prawidłami działań, przedstawionemi w poprzednim artykule.
Dwie dziedziny A i B liczb zespolonych nazywają się tożsamościowemi, jeżeli każda liczba pierwszéj z nich należy do drugiéj i odwrotnie. Nazywają się zaś wzajemnie zachodzacemi na siebie, jeżeli każda liczba, należąca do pierwszéj, należy do drugiéj, odwrotnie zaś nie wszystkie liczby dziedziny drugiéj są zarazem liczbami pierwszej; dziedzina A nazywa się wtedy niższą | objętą], dziedzina B—wyższą [ obejmującą |. Ogół liczb, należących do dwóch dziedzin, stanowi dziedzinę wspólną obu; ogół zaś liczb, dających sie utworzyć z liczb, należących do dwóch lub więcéj dziedzin, nazywamy dziedziną łącząca. Tak np. jeżeli dziedzina A jest utworzona z jednostek en e2, e,, dziedzina i? z jednostek e2, e:}, e4, to dziedziną wspólną będzie dziedzina jednostek e2l e:i, dziedziną łączącą—dziedzina. utworzona z jednostek ev e2, e3, ev
Z łatwością dowieść można twierdzeń następujących:
I. Jeżeli n liczb znajduje się w związku liniowym i jeżeli nie wszystkie są zerami, to można wydzielić z nich mniéj niż n liczb, między któremi nie zachodzi już związek liniowy.
II. Jeżeli w układzie n liczb au a2, . . . , an pierwsza aA nie jest zerem, a żadna następująca nie daje się utworzyć z poprzedzających, to pomiędzy temi liczbami nie zachodzi związek liniowy.
III. Jeżeli liczba a{ daje się utworzyć z n liczb b2, . . . b,n a jéj współrzędna, odnosząca się do liczby b{, nie jest zerem, to dziedziny (blf b2 ...b„) i (av bu) są tożsamościowe.
Można to twierdzenie uogólnić w ten sposób:
IV. Jeżeli m liczb alf a2, . . . , a,n, nie będących w związku liniowym, daje się utworzyć z n liczb bu b2,..., bn (ny>m), to można do m liczb , a o, ... , anl dobrać u tn nowych liczb
z téj saméj dziedziny, tak aby dziedziny (aua2,,..,an) i (bvb2y..,bu) stały się tozsamościoweini.
Wynika stąd:
V. Jeżeli n liczb av a2) . . . , an można utworzyć z m liczb bv b2i . . . ,b,n (m<in), to liczby aA, a2,. . . ,a„ pozostają ze sobą w związku liniowym.
VI. Dodając stopnie dwóch dziedzin, otrzymujemy liczbę równą sumie stopni dziedziny wspólnéj i łączącéj.  VII. Dwie dziedziny A i B odpowiednio stopni a i fi, jeżeli obie należą do dziedziny stopnia n-go, mają dziedzinę wspólną stopnia co najmniéj równego a-\~fi—n.
• . .,
VIII. Równanie, wyrażające równość dwóch liczb jednéj dziedziny, z których pierwsza jest utworzona z n liczb niezależnych a, b, c . . . , druga z innych n liczb niezależnych k, Z, m..., a mianowicie równanie
aa + fib yo . . . — y.k + U + fJtm +
jeżeli zachodzące w niem formy a, b, c ... k, l, m... przedstawimy przy pomocy jednostek e{, e2, . . . ,en w ten sposób:
a = axex -ja2e2 + ..,+«„ ea; k y.{e{ + x2e2 Ą... + xn e)t b = fixéj + fi2e2 + ... + fin l = + l2ex + .. . + ht eu c = 7\e\ + /'<A> + • • • + 7" 5 m ~ iuiei + >u2e2+ • • • + ^n e*
sprowadza się do następującego układu równań pomiędzy liczbami rzeczywistemi
aa{ 4fifi{ + 77i + • . • + + + • • •
153
24]
MNOŻENIA WEDŁUG GRASSMANNA.
(in2 + fifi2 + yy2 + • • • = + + ,u/h + • • • ««ie + fi fiu + yyu + . . • = + Mn + W* + • • •
1.
24. GATUNKI MNOŻENIA WEDŁUG GRASSMANNA. Mnożenie dwóch liczb
a = 2 a.rer, b = 2 fi* et
uskutecznia się według prawidła podanego w art. 22., opartego na prawie rozdzielności:
ab = a,fi e,<?,.
Z określenia tego wynikają wzory:
(2at.er)b = 2ar(erbX (a-p b-}-...)/? = ap-\-bp-\... p(a-\-b-}-...) — pa-\-pb-\. . . 2 a,a,.. fis bs = 2 a, fii •^,
w których a, £, . . . , p są liczbami zespolonemi.
Iloczyn trzech czynników otrzymujemy, mnożąc na podstawie powyższego prawidła iloczyn dwóch czynników przez czynnik trzeci; podobnie tworzymy iloczyn czterech i więcéj czynników. Wyrażenie 1. iloczynu dwóch czynników nie da się przedstawić w postaci prostszéj, jeżeli niepoczynimy pewnych założeń o iloczynach jednostek, lub jeżeli wogóle przyjmiemy, że te iloczyny e,eg są od siebie wszystkie niezależne. Inaczéj jednak rzecz się ma, gdy założymy, że pomiędzy iloczynami ere$ zachodzą związki lub równania warunkowe takie, że przyjmując pewne z tych iloczynów za dane, możemy na podstawie tych warunków oznaczyć iloczyny pozostałe. Niechaj jedno z równań warunkowych będzie postaci:
2. 2 ar,s. ere^ — 0.
r, s = 1, 2 . . . n,
gdzie ar$ są liczbami rzeczywistemi, nie równemi jednocześnie zeru.
Załóżmy, że równania warunkowe nic ulegają zmianie, gdy zamiast jednostek e{, e2... er...es...en podstawimy liczby z nich utworzone, t. j. zamiast er podstawimy 2xr%ueu gdzie u zmienia się od 1. do n włącznie, zamiast es podstawimy 2 x$mv er, gdzie v przyjmuje również wartości 1, 2, . . . ,n. Tu liczby x są rzeczywistemi i mogą przyjmować wartości zupełnie dowolne. Jeżeli rzeczone podstawienie uskutecznimy, dojdziemy do równania
3. 2 Xr,uX*tv(cir,$ eH as,revett) = 0.
Ponieważ wartości liczb x są dowolne, przyjmijmy przeto, że jeden ze współczynników xr>H np. współczynnik x0}C równa się 1, a następnie — 1. Otrzymamy tym sposobem dwa równania, które, odjęte od siebie, doprowadzają do związku
•i• 2 x,fv(agececaS)aecec) = 0,
gdzie pomiędzy parami wartości, jakie przyjmują s i v, należy wyłączyć s = a i v = o. W równaniu 4. przyjmijmy znowu, że jeden ze współczynników np. równa się raz 1., drugi raz —1.; odejmując od siebie dwa otrzymane w ten sposób równania, dochodzimy do związku
5. a,(& ec ed-\ao,* ed ec = 0,
gdzie a, b, c, d przyjmują wartości 1, 2, ... ,n. z wyłączeniem wszakże a=b, c=d.
Pr/y uwzględnieniu równania 5. związek 3. przyjmuje postać prostszą
2 £/•,!( O-rr ^u &u z= ^t
z któréj, ponieważ liczby x,tU mają wartości dowolne, wynika równanie
^c^c == O t
stwierdzające, że związek 5. zachodzi także dla wyłączonego wyżéj przypadku a — b, c — d.
Tak więc równania warunkowe 2. przy uczynionem założeniu, doprowadzają do związków 5.
Kładąc w 5. raz c—d, drugi raz a — b, otrzymujemy
5(a„t/, + aiJt 0) e,ec = 0. 5". au,«(cced-\-edec)=$.
Równaniom 5' można uczynić zadość, przyjmując
1°. «rfł4 + av=0, 2°. eccc = 0. Warunek
ciujj-Ąaott = 0. wprowadzony do równania 5., daje
a,,r,(ecet/—c(/e,) — 0,
skąd, jeżeli nie jest dla dowolnych wartości a i b zerem—co by 1 o z as tr zeż o nem—wy nik a
e..ed—etiet.-= 0,
czyli
(3. e,.ed — e(lec.
Drugi warunek e,.ec= 0 lub eueu= 0, jeżeli mamy go uważać za identyczny z równaniami warunkowemi 2. pociąga za sobą wartości współczynników: a«,a — 1, aa,b — 0 (a różne od b). Uwzględniając te wartości w równaniu 5", dochodzimy do związku
e,e:/-\-e.je,= 0 150 rzęść i. HO/iDZIAI, M. [24
Wynik ostateczny całego poprzedniego wywodu da się streścić w następuj ącem twierdzeniu:
"Mnożenie liczb wielowymiarowych,podległe równaniom warunkowym 2. przy założeniu, że te równania utrzymują, się, gdy jednostki zastąpimy liczbami dowolnemi, liniowo z jednostek utworzonemu—nazwijmy je mnożeniem liniowem — winno czynić zadość jednemu z dwóch układów
€<ł == > et:ea = —e{let: „
Mnożenie liniowe, czyniące zadość pierwszemu układowi, nazywamy mnożeniem algebraicznem; czyniące zadość drugiemu — mnożeniem zewnętrznem.
Do tych dwóch gatunków mnożenia liniowego można jeszcze dla zupełności dołączyć dwa mnożenia: jedno, w którem iloczyny ecetl nie czynią zadość żadnym równaniom warunkowym, w którem zatem wszystkie współczynniki aaj> są zerami; drugie, w którem wszystkie iloczyny jednostek są zerami. Mamy więc razem cztery gatunki mnożenia liniowego.
Mnożenie liniowe zawiera się jako przypadek szczególny w mnożeniu, które G r as s m a n n nazywa kołoicen, a które określa na podstawie własności, że równania warunkowe 2. nie ulegają zmianie, jeżeli zamiast dwóch jednostek n. p. er i es wprowadzimy liczby, liniowo z nich utworzone. Założenie to doprowadza do ośmiu gatunków mnożenia; cztery stanowią wyżéj objaśnione mnożenie liniowe, pozostałe jeszcze cztery liniowemi nie są. Z nich zasługuje na szczególną uwagę mnożenie wewnętrzne, podległe warunkom
eae0= 0, elteu= e0e<,,
Mnożenie kołowe zawiera się znowu w mnożeniu symetrycznem, opartem na założeniu, że równania warunkowe 2. nie zmieniają się, gdy zmienimy znak którejkolwiek jednostki, oraz gdy dwie dowolne jednostki przestawimy. Przy tem założeniu otrzymujemy w ogóle 16 gatunków mnożenia.
Jeżeli napiszemy trzy grupy równań fi. eret-\-ete,= 0, e{ ex =e2e.Ł . . . =e„e„: s^r
y. e, ex-\-e2e.2 + . . . e„ e„ — 0.
8} r = 1, 2, . . . n
to na podstawie poprzedzającego można będzie powiedzieć, że mnożenie zewnętrzne czyni zadość grupom fi i y, mnożenie wewnętrzne grupom a i fi. Można pomyśleć mnożenie, czyniące zadość jednéj grupie środkowéj a; mnożenie takie nazywa Grassmann środkoivem?2. Rozpatrzymy po kolei własności każdego z wymienionych trzech gatunków mnożenia.
25. MNOŻENIE ZEWNETRZNE.
Z teoryi, wyłożonéj w artykule poprzedzającym, wynika bezpośrednio, że mnożenie zewnętrzne dwóch liczb zespolonych nie jest przemiennem.
W saméj rzeczy, niechaj będzie
a = 2 a, er, b = Jg fi*e* >
iloczyny ab i ba, na podstawie wzoru 1. poprzedzającego artykułu, będą
| ab | = 2 arfis | et.e, |T \ baj = Z arfi*
| Mnożenie zewnętrzne dla odróżnienia od innych gatunków mnożenia oznaczać będziemy nawiasem klamrowym |. Ponieważ w mnożeniu zewnętrznem zachodzą związki
| ere,= — \e,e, \
przeto
1. \ ab | = — | ba |.
Jeżeli b=a, ubędzie | aa | = — \aa a więc
2. [aa] = 0.
Iloczyn zewnętrzny dwóch czynników równych jest zerem.
Iloczyn zewnętrzny [abed... | większéj liczby czynników otrzymujemy, mnożąc [ab] zewnętrznie przez c, iloczyn \abc] mnożąc przez d i t. d. Powstają stąd równości:


\abcd..."\ = — \bacd.mĄ [abcd.. Ą — — [d b ca...]
wyrażające, że iloczyn zewnętrzny zmienia znak przy przestawieniu dwóch jakichkolwiek czynników. Stąd wynika, że iloczyn zewnętrzny, w którym dwa którekolwiek czynniki są równe, jest zerem; będzie zatém naprzykład
[abacd...] = 0.
Dwa iloczyny, złożone z tych samych czynników, inaczéj uporządkowanych, będą oczywiście jednego znaku lub znaków przeciwnych stosownie do tego, czy od szeregu czynników w pierwszym iloczynie można przejść do szeregu czynników w drugim za pomocą parzystéj lub nieparzystéj liczby przestawień dwóch czynników. Można przeto napisać
[at a2 . . . au \ = (-1 )* [ au . . . aQ |,
gdzie po drugiéj stronie i, jli, . . . , q jest pewną przemianą liczb 1, 2, . . . ,n i gdzie s jest liczbą przestawień, za pomocą któréj od jednéj przemiany możemy przejść do drugiéj.
Jeżeli pomiędzy czynnikami zachodzi związek liniowy, to iloczyn zewnętrzny jest zerem. W saméj rzeczy, niechaj pomiędzy czynnikami iloczynu [cibc d... | zachodzi związek
a = ($b-\-yc-\-...
Uwzględniając ten związek, znajdziemy na zasadzie prawa rozdzielności:
\abcd. . . | = [ftb + ycĄ. . .~\[bcd . .
= [pbbcd..:]-\-[ycbcd. ..'] + ... = p\bbcd + y[cbcd ...] + ..
Każdy z wyrazów w ostatniem wyrażeniu na mocy równania 4. jest zerem, a zatem
<J. [abcd... | = 0
a = pb-\-yc-{-...
3.
4.
Z tego twierdzenia wynika, że iloczyn zewnętrzny liczb zespolonych nic zmienia się, jeżeli do któregokolwiek czynnika dodamy wielokrotności pozostałych czynników.  Jeżeli określimy dzielenie, odpowiadające mnożeniu zewnętrznemu, jako działanie, za pomocą którego znajdujemy liczbę x9 czyniącą zadość równaniu
xb = a,
to łatwo się przekonać, że dzielenie to nie jest jednowartościowem; jeżeli bowiem x = xx jest jednem z rozwiązań, to, na zasadzie poprzedniego twierdzenia, równaniu xb=a czynić będzie zadość każda liczba zespolona x1Ąfib9 gdzie fi jest liczbą rzeczywistą dowolną.
26. WYZNACZNIKI.
Niechaj będzie układ n2 elementów, uporządkowany w n wierszy, zawierających każdy po n elementów
• . • J <2f,n a2,1? a-2,2? • • • ? <*2tn
(lity 1} . . . )Ct],j)t
Z układu tego wybierzmy n elementów, a mianowicie po jednym z każdego wiersza z różnych kolumn, a więc np. z pierwszego wiersza element aj,o, z drugiego a2l(7,... z ostatniego a„iT gdzie skaźniki a, . . . . T są wszystkie różne, i utwórzmy iloczyn
Takich iloczynów będzie oczywiście tyle, ile przemian można utworzyć z szeregu skaźników Q9O9...9T lub, co na jedno wychodzi, z szeregu 1, 2, . . . ,n, a zatém będzie ich n!. Każdemu z iloczynów dajemy znak dodatni, jeżeli szereg skaźników q9 a, . . . ,T powstaje z szeregu 1, 2,... , n za pomocą parzystéj liczby przestawień dwóch skaźników, —znak ujemny, jeżeli powstaje przez nieparzystą liczbę takich przestawień. Z teoryi elementarnéj przemian wiadomo, że liczba przemian tak jednéj jak i drugiéj klasy jest równa połowie liczby ?i\; a zatem połowa iloczynów, jakie tworzymy, będzie miała znak dodatni, połowa znak ujemny. Suma tak utworzonych iloczynów, którą oznaczamy dla skrócenia przez
26]
159
WVZ.VACZ.V1KI.
2 zha 1,1 a2,• . •
wypisując pod znakiem 2 iloczyn wyrazów na przekątnéj układu 1., albo przez Ol 1.2? . • ? 0.],« ^2,2? • . ? «2,M


lub też przez
3. • | | r=l, 2, . . . ,n.
nazywa się wyznacznikiem20 układu 1. Stopniem jego jest liczba n.
Teorya wyznaczników daje się wysnuć w zupełności z teoryi iloczynów zewnętrznych.
W saméj rzeczy, niechaj będzie układ liczb zespolonych:
,r2 = r/2,1 -}a2,2 -f. . .
4.
= a{ -f«,/|2 a2 -j. . . -fa»
Utwórzmy iloczyn zewnętrzny
Ag . • . «17w J.
Na podstawie twierdzeń, wyłożonych w poprzedzającym artykule, wnosimy z łatwością, że w iloczynie tym znikną wszystkie wyrazy, w których którykolwiek z czynników a2... a„ powtarza się raz lub kilka razy i pozostaną tylko wyrazy, zawierające iloczyn zewnętrzny n czynników ax, a2, . . ., a„; wyrazów tych będzie oczywiście nl. Ponieważ przestawienie czynników może wpłynąć tylko na zmianę znaku, a zatem iloczyny cząstkowe będą wszystkie zawierały czynnik -j\axa2 . . . an\ lub — [axa2. . . anJ; przyjmując więc [ax a2 . . . au] za czynnik wspólny dla całkowitego iloczynu i wyłączając go za nawias, będziemy mieli w nawiasie połowę wyrazów dodatnich i połowę ujemnych. Wyrażenie, zawarte w nawiasie, jest właśnie, jak łatwo widzieć, dopiero co określonym wyznacznikiem 2. lub 3. Możemy więc napisać:
26 I WYZNACZNIKI. 161
5. lvvv2 . . . xH\ = j a,> I . . . a,/|,
a więc wyznacznikiem układu 1. jest współczynnik iloczynu zewnętrznego liczb układu 4., określony za pomocą równania f>. Gdybyśmy zamiast układu 4. przyjęli układ
#1 — «l,l + «>,l «2 + • . + «« , — + «2,2«o + . . . + ,
różniący się od pierwszego tem, że współrzędne, które poprzednio stanowiły wiersze, stanowią obecnie kolumny, to iloczyn zewnętrzny [.^'.^'...a?,/] byłby toźsamościowo równy iloczynowi [<v{ skąd wynika, że wyznacznik układu 1. nie ulega zmiauie, jeżeli w układzie tym przyjmiemy wiersze za kolumny i kolumny za wiersze.
Z równania f>. wypływa cała teorya wyznaczników. Stosując do tego równania prawa, zawarte we wzorach 3. 4. 5. 6. artykułu poprzedzającego, otrzymujemy bezpośrednio następujące twierdzenia:
I. Wyznacznik zmienia znak przy przestawieniu dwóch który chkolwiek rzędów poziomych | pionowych].
II. Przy jakiejkolwiek przemianie rzędów poziomy ch [pionowych] wyznacznik zmienia znak lub nie zmienia znaku, stosownie do tego, czy od dawnego układu przechodzimy do nowego za pomocą parzystéj lub nieparzystéj liczby przestawień dwóch rzędów.
III. Wyznacznik, w którym dwa rzędy poziome [pionowe | składają się z elementów równych lub proporcjonalnych, jest toźsamościowo równy zeru.
IV. Wyznacznik nie zmienia swéj wartości, jeżeli do elementów któregokolwiek rzędu poziomego | pionowego | dodamy, lub od nich odejmiemy, równe wielokrotności odpowiednich elementów innego rzędu poziomego [pionowego].
11
Jeżeli w równaniach 4. w miejsce al9 a2, . . . ,a„. napiszemy
Pojęcia T. I.  a2 = ^2,1 + /?2,2 ^2 + • • •
O.
otrzymamy
• • • • • •••• •«•
Kładąc dla skrócenia
= as,tfiu + P»,t7
otrzymujemy z równań 7. na podstawie równania 5.
9. [.vx x2 . . . «„]•= | | [^ e2 . . .
s,t= 1,2, . . .
Na téj saméj zasadzie z równań 6. wypływa
a2 • • «»] = I /?/,»» I e2 • • •
7/1 = 1, 2, . . . ,
a podstawiając ten wynik we wzorze 5., znajdziemy
10. [xx .-r2 . . . | = I aitr I . I I [ex e2 . . . <?„]
r. /. m = 1, 2, . . . . n.
Porównanie wzorów 9. i 10. doprowadza do związku
11 - || • | = \y»Ą,
t, r, /, m, .ę, == lf 2,. . . , n.
który w połączeniu z wzorem 8. wyraża twierdzenie o mnożeniu wyznaczników.
Jeżeli w iloczynie zewnętrznym |
w miejsce któregokolwiek z czynników, np. w miejsce czynnika x8, podstawimy jego wyrażenie z równań 4., t. j.
x$ = a.^i aj -4a,l2 a2 + • • • + a"ł to będzie można napisać
[c^j x2. . . = 2' av[A'i • • • at .. . |.
26] WYZNACZNIKI. 163
Iloczyn zewnętrzny
[*1 • • • l at '^-f-l • • • ,vu |j
na podstawie równania 5., możemy przedstawić pod postacią
«r2 . . . .r.^ at . . = A$Ąax a2 . . . an\ gdzie Astł oznacza wyznacznik układu współczynników
<*.*— 1,1* Gf—. • . 1 (ls—1/• • .
0, 0, . . . , 1, . . . 0. <2*4-1,2» . . . • • '*.<+]
będzie zatem
<v2 . . . <vn\ — JSagjA^Ąa^a.,, . . . ,a„ j. Porównywając to wyrażenie z wzorem 5., otrzymujemy równanie
t=n
12. I a,, I =
1 1 /=i
i, r = 1. 2, . . . , n.
przedstawiające rozkład wyznacznika danego według elementów wiersza s-go. Wyznaczniki ASjt stanowią tak nazwane wyznaczniki cząstkowe, inaczéj podwyznaczniki lub minory, wyznacznika danego; dają się one przedstawić jako wyznaczniki stopnia (n-l)-go. Jeżelibyśmy w wyrażeniu iloczynu zewnętrznego |
CC2 . . .
zastąpili dwie liczby i xt ich wyrażeniami, wziętemi z równań 4., doszlibyśmy do rozkładu wyznacznika danego na sumę iloczynów, których czynnikami będą wyznaczniki cząstkowe, dające się przedstawić, jako wyznaczniki stopnia (n — 2)-go. Zastępując wogóle m z pomiędzy czynników xv x2,...,xn ich wyrażeniami 4., dojdziemy do wyznaczników cząstkowych stopnia m-go. Dalsze rozwinięcie teoryi wyznaczników cząstkowych znajdzie czytelnik w podręcznikach Algebry i w dziełach, specyalnie traktujących o wyznacznikach.
Podamy tu jeszcze zastosowanie teoryi iloczynów zewnętrznych do rozwiązywania układów równań liniowych.
Niechaj będzie układ n równań liniowych o n niewiadomych
£1»
«I.I + • • • F» == fin
«2,1 fi + «2,2 Ij + • • • + «2,/, = fi2,
1 3.
• • • = fi"f
w którym wszystkie liczby mają być rzeczywiste. Niewiadome możemy wyznaczyć w sposób następujący:
Pomnóżmy równanie pierwsze przez eL, drugie przez e2. . . ostatnie przez i dodajmy je następnie odpowiedniemi stronami. Kładac:
V
fl/.i + + • • • + a>\>< e" ~ a* fil el + fii e2 + • • • + fi" = b
otrzymujemy
14. + -h • • • + & = * Mnożąc zewnętrznie obie strony równania 14. przez
| ax a.> . . . . . . au\
i uwzględniając własności mnożenia zewnętrznego, znajdziemy
15. [a{ a.2 ... v a^a^i ... _| = (a{ a2...at._)i6ał+l...au |
Z równań 13. na podstawie wzoru 5. wynika, że iloczyn zewnętrzny po lewéj stronie równania 15. równa się wyznacznikowi układu 1., pomnożonemu przez [et e2 . . . iloczyn zaś zewnętrzny po prawéj stronie równa się wyznacznikowi tego układu, po zastąpieniu w nim kolumny r-éj rzędem elementów fix fi2 . . . także pomnożonemu przez [e{ e., . . . en |; możemy przeto napisać:
16. <?, | a,v| [e{ e., ... e„] = \aĄr) | ei e2 . .. |
f = 1, 2, . . .
gdzie znaczek (r) ma przypominać, iż w kolumnie r-éj układu 1. uskuteczniono powyższą zmianę. Z równania 16., ponieważ jest liczbą rzeczywistą, \e[: e2,... zaś jest od zera różne, otrzymujemy 27 j II.OOZYNY ODNIESIONE DO DZIEDZINY OI.ÓWNFJ. 105
17. £,j = |«v|(r)
V=l,2. . . . n. ' — 1,2,
Z wzorów 17., jeżeli wyznacznik nie jest toźsamościowo zerem, znajdziemy oznaczone wartości dla niewiadomych ... £„. Jeżeli w układzie równań 13., założvmv
18. />\ — fi.j — ... — p)t = 0,
to wyznaczniki j a.v|<,)i jako zawierające w kolumnie r-éj same zera, będą zerami, a więc. jeżeli wyznacznik | av | nie jest zerem, otrzymamy
U W /I
== • • • == ==
Układ 13. przy założeniach 18., stanowi układ równań liniowych jednorodnych z n niewiadomemi; możemy więc wypowiedzieć twierdzenie:
"Jeżeli wyznacznik układu równań liniowych jednorodnych nie jest zerem, to wartości niewiadomych, czyniące zadość układowi, są wszystkie zerami,..
Gdy ten warunek nie spełnia sie, to wtedy ma miejsce następujące twierdzenie:
"Jeżeli wyznacznik układu jest zerem i wszystkie wyznaczniki cząstkowe stopnia n — I-go, n — 2-go, . . . ,« —/-f-l-go są zerami, a nie jest zerem jeden z wyznaczników stopnia w—wtedy l niewiadomych n.p. można uważać za nieoznaczone a pozostałe fj, . • . , za pomocą pierwszych wyrazić,, 21.
27. ILOCZYNY ODNIESIONE DO DZIEDZINY OI.ÓAYNEJ.
Dziedziną główna nazwijmy dziedzinę jednostek ev e.2) . . . . e„: jéj stopniem jest liczba n. Iloczyn m czynników postaci
1. a = -fa, . . . + e>0 zawierać będzie w każdym wyrazie iloczyny m jednostek fy,...^; iloczyny te nazwijmy jednostkami stopnia m-go. Liczba, utworzona z takich jednostek E2, . . . stopnia m-go, będzie miała postać 2. A = ax Ex -fa2 E2 • • •
i nazywa się liczbą stopnia w-go. Iloczyn dwóch liczb, z których jedna jest stopnia mi9 druga stopnia m2? będzie liczbą stopnia (w1-|-wi2)-go. Jeżeli mx-\-m2 jest większe od w, to iloczyn dwóch takich liczb zawierać będzie jednostki stopnia wyższego od n, a więc iloczyny jednostek. w których jedna lub więcéj jednostek powtarzają się; iloczyn zewnętrzny takich liczb jest zerem [art. 25.j.
Jest przeto rzeczą widoczną, że w dziedzinie »-go stopnia iloczyny czynników postaci 1., jeżeli ich liczba jest większą od w, oraz iloczyny czynników postaci 2., przy mniejszéj liczbie czynników, są zerami. Grassmann obmyślił metodę, za pomocą któréj iloczyny w przypadku, gdy suma stopni czynników ich jest większa od stopnia dziedziny głównéj, zastępujemy innemi iloczynami, dla których suma stopni nie jest większa od n. Metoda ta opiera się na pojęciu tak zwanego dopełnienia | Ergilnzung j.
Niechaj E oznacza jednostkę jakiegokolwiek stopnia, to jest albo jednę z jednostek prostych e19e29. . . 9eit, albo iloczyn pewnéj liczby tych jednostek; otóż dopełnieniem jednostki 2?, które oznaczać będziemy przez
I E,
jest iloczyn zewnętrzny El wszystkich jednostek prostych, w E niezawartych, wzięty ze znakiem dodatnim lub ujemnym, stosownie do tego, czy [EE'\ jest równe 1 lub —1. Iloczyn | ex e2 . . . e„ | przyjmuje się jako równy 1. Możemy przeto napisać:
| E = [EE \ E'
Będzie więc naprzykład:
I el = I e2 ' • • I'
i e2 = j e^ . .
| *„ = (-l)«-i[ex e2 . . . e)t]9
[27
166
Część I. ROZDZIAŁ VI.
I I I = |_«3 • • • e»],
I \ ei ei] = let ei • • • *H |?
| [<?,,_! eu] = | ex e2 . . . i t. d.
Iloczyn zewnętrzny jednostki przez jéj dopełnienie jest oczywiście równy 1.
3. [E | E] = 1.
Dopełnieniem liczb zespolonych 1. i 2., nazywamy wyrażenia: | a = ax | e1 + a2 | e.2~\. . . -\-aH \ eu,
o .
\ A = a{\ Et-\-a2 \ E2Ą-. . . +
Jeżeli m jest stopniem liczby, to n—m jest stopniem jéj dopełnienia.
Iloczyn zewnętrzny dwóch jednostek E i E, gdy suma ich stopni jest mniejsza od n albo równalub też liczbę, któréj dopełnieniem jest iloczyn dopełnień tych jednostek, gdy suma ich stopni jest od n większą. —nazywamy iloczynem jednostek E i E, odniesionym do dziedziny głównéj. Iloczyny odniesione będą wiec miały tę własność że suma ich stopni nie jest od n większa. Niechaj np. dziedzina główna będzie 3-go stopnia, i dajmy, że mamy dwie jednostki E = ex i E = (e2e3], to iloczynem odniesionym będzie wprost
Jeżeli zaś E =\e{ e2], E = [e2 e3], to iloczynem odniesionym będzie liczba, któréj dopełnieniem jest iloczyn dopełnień, t. j.
nm ^'l-
Ponieważ
I E= I h «21 = «3> \ E = \ \ e2 e:i | = ev
przeto
II I Z-** I 1 = [>^1];
iloczynem odniesionym będzie
e2 — | ex e2 e3 J e2.
Podobnież rzecz się ma z mnożeniem nietylko jednostek ale i liczb zespolonych w ogólności. Jeżeli suma stopni tych liczb jest równa n lub jest mniejsza od w, to tworzymy wprost iloczyn zewnętrzny; jeżeli zaś suma stopni jest od n większą, bierzemy iloczyn dopełnień czynników, tworząc dopełnienie na podstawie prawidła 3. Niechaj np. dziedzina dana będzie stopnia 3-go, a czynnikami liczby
a == «1 el + a2 e2 + a3 e3> b = fil + Iloczyn ab =
jest już odniesionym do dziedziny głównéj. Gdy wszakże mamy liczby
* -
dla których suma stopni obu czynników jest większa od 4. wtedy bierzemy dopełnienia. Ponieważ
I Oi «*] = I K €:\\ = e > I k> I
bedzie wiec
| A — a e. — r/ 1 B = pe{-\-jVe, Wykonywaj ac mnożenie, otrzymuj emy
\ \A \ B\ = a'ft\eie2\-afi\ele..\-a'ple2e:i]. a biorąc dopełnienia stron obu, mieć będziemy
| f | A | B\ = a'pe.s Ą-afi e2 a'fie{.
Strona druga wyraża iloczyn, odniesiony do dziedziny głównej2-.
Na podstawie tych określeń można dowieść twierdzenia, że "jeżeli E,F,G są jednostkami, których stopnie równają się razem w, to iloczyn \EF.EG], odniesiony do dziedziny głównéj, równa się iloczynowi \EFG\.E,„ oraz uogólnić to twierdzenie w sposób następujący: "Jeżeli liczba A jest postaci 1., liczby i? i C postaci 2., i jeżeli suma stopni tych trzech liczb jest równa n, to wtedy iloczyn
\ AB.AC\ ,
odniesiony do dziedziny głównéj, równa się iloczynowi | ABC\ An.
Twierdzenia te i wynikające z nich wnioski, których uzasadnienie szczegółowe znajdzie czytelnik w dziele Gr a s s m an n a, mają ważne zastosowanie w badaniach geometrycznych, gdzie z nadzwyczajną łatwością pozwalają na wywód wielu własności linij i powierzchni. | W tomie trzecim podamy zastosowania geometryczne tych metod Grassmanna |.
28. MNOŻENIE WEWNĘTRZNE.
Iloczynem wewnętrznym dwóch jednostek E i F dowolnego stopnia nazywa Grassmann iloczyn odniesiony pierwszéj z nich przez dopełnienie drugiéj, co wyrażamy w ten sposób:
1. (EF) = [E\F].
[Do oznaczenia iloczynu wewnętrznego używać będziemy nawiasu okrągłego].
Z tego określenia wynika, że iloczyn wewnętrzny dwóch liczb A i B równa sie iloczynowi odniesionemu pierwszéj z nich przez dopełnienie drugiéj, t. j.
{AB) = | A | B\.
Jeżeli stopień czynnika A jest równy m, stopień czynnika B równy m', to stopień iloczynu wewnętrznego będzie oczywiście nĄ-m—m! lub m—m, stosownie do tego, czy m' jest mniejsze lub większe od m.
Wynika stąd, że iloczyn wewnętrzny dwóch liczb jednego stopnia jest stopnia zero, czyli jest liczbą rzeczywistą.
Iloczyn wewnętrzny dwóch jednostek równych jest 1, dwóch jednostek różnych tego samego stopnia jest 0. t. j.
2. (ErEr) 1, (Er E,) = 0. r < 5.
W saméj rzeczy, na zasadzie określenia oraz wzoru 3. art. poprzedzającego, jest
(E,Er) = [E, | Er] = 1.
Ponieważ | Es jest iloczynem wszystkich jednostek prostych, w E, nie zachodzących, a więc takich, które zachodzą w Er, więc iloczyn \Er | E, ] zawiera czynniki równe, jest przeto równy zeru.
Stosując to twierdzenie do przypadku jednostek prostych, otrzymujemy
(«,*,) = 1, (e,et) = 0 ,
169
28]
MN0ŻF.N1F. WF.WNKTKZNR.
t. j. układ równań równoważnych grupom a. i w art. 24., charakteryzującym mnożenie wewnętrzne. Określenie przeto, podane na wstępie niniejszego artykułu, zgadza się z określeniem, przytoczoczonem w art. 24.  Jeżeli Ev E2> . . . ,Em są jednostkami dowolnemi równego stopnia, to na podstawie wzorów 2. otrzymujemy
<*i E\ + a2E2 + . . . + atnEm) (plEl + fi2E2 = ax (ix + a2 (}2 + . . . + a,ni%n,
skąd wynika, że mnożenie wewnętrzne, jeżeli oba czynniki są równego stopnia, jest działaniem przemiennem.
Iloczyn wewnętrzny dwóch czynników równych nazywa Grassm a n n kwadratem wewnętrznym i oznacza w ten sposób
(AA) A1.
Z tego określenia wynika:
(ax Ex + a2Ev -f . . , + aj + di~\. . . -j-am2
Dwie liczby, których kwadraty wewnętrzne są równe, nazywa Grassmann liczbami równéj wartości bezwzględnéj. Normalnemi względem siebie nazywa dwie liczby różne od zera, których iloczyn wewnętrzny jest równy zeru; układem normalnym stopnia rc-go w dziedzinie stopnia n-go —układ n liczb pierwszego stopnia różnych od zera, mających równą wartość bezwzględną, która uważa się zarazem za wartość bezwzględną samego układu. Układ jednostek pierwotnych el9 e2, . . . , en stanowi taki układ normalny, którego wartość bezwzględna jest 1., gdyż dla tego układu zachodzą równości
ex = e2 = . . . = e,t = 1 (e{ e2) = (e, e:i) = ... = (en e„) = 0.
29. MNOŻENIE ŚRODKOWE.
Mnożenie to, jak wiemy, czyni zadość równaniom warunkowym p w art. 24. t. j. równaniom
1 • e$ —Jes es = 0: s r 9 ex e2 — exe2 . . . = en en.
Porównywając równanie 1. z warunkami mnożenia zewnętrznego, i wewnętrznego, dostrzeżemy z łatwością, że pomiędzy temi trzema mnożeniami zachodzi związek bardzo prosty, który, według G ras sm a n n a 2[\ można przedstawić pod postacią
ab — A [ab)ix[ab\.
W równaniu tem a i b są liczbami zespolonemi, utworzonemi z jednostek prostych, ab jest iloczynem środkowym, (ab) wewnętrznym, | ab | zewnętrznym, l i fi pewnemi współczynnikami dowolnemi, nierównemi zeru. Ponieważ, gdy X i zmieniają się w stosunku stałym, t. j. gdy Ijfji pozostaje pewną liczbą rzeczywistą, różną od zera, iloczyn ab zmienia tylko swój czynnik rzeczywisty, w skutek czego ani istota powyższego związku ani istota mnożenia nie ulega zmianie, można przeto przyjąć, że jeden ze współczynników, np. JLI— 1. Będzie tedy
2. ab = ł(ab)+[ab ],
Kładąc w tem równaniu a = e,., b — e,., i zważając, że iloczyn wewnętrzny (e, er) = 1, iloczyn zaś zewnętrzny \ercr ] = 0, otrzymujemy
3. e, er— X, r= 1,2,... n.
Kładąc zaś a —er, b = es, r ^ s, i zważając, że (eres) = 0, mieć będziemy
4. eres = [e,-e,]
t. j. że iloczyn środkowy dwóch jednostek różnych równa się ich
iloczynowi zewnętrznemu.
Z równań 3. i 4. wynika, że określenie istoty mnożenia środko-
kowego sprowadza się do określenia znaczenia iloczynu erer zgo-
. . . n(n — 1) .. , dnie z równaniem 3. i do oznaczenia — lloczynow zewnętrz-
-J
Tl (71 — 1 )
nych eres\ razem więc mamy do określenia —--(1 iloczynów
jednostek.
Na teoryi mnożenia środkowego oparta jest teorya kwaternionów, do któréj teraz przechodzimy.
30. KWATERNIONY HAMILTONA.
Kicaternionem nazywamy liczbę zespoloną postaci
1. a = a0 -f ax ex -fa2 e2 -(a3 e3,
utworzoną z czterech jednostek, z których jedną jest 1, trzy zaś pozostałe el9 e2, *?3 ulegają prawu mnożenia środkowego.
Na podstawie równań 1., artykułu poprzedzającego będzie
I.
Aby określić istotę mnożeuia trzeba, według podanéj wyżéj teoryi, oznaczyć liczbę X, dla której:
elrl = r2c2 = eA — h
oraz trzy iloczyny Połóżmy tedy
3. c{ e., = c.a więc e.JeJ = — c...
i przyjmijmy, że do mnożenia jednostek stosuje się prawo łączności. Na téj zasadzie z pierwszego równania 3., otrzymujemy
'l C\ C2 = C1 e3
stad:
&
4.
Z'., <?,
ei e \\ — L e 2 el = — *r2 Podobnież z drugiego równania 3. będzie
e*'i*i = Ae, = — e2 e..:
stąd:
e, e.A = lc{
5.
C; e.j — /
Ponieważ równa się z jednéj strony A, z dru
giéj zaś ere2 <?3 = —A*?, e, — — A2, a zatem być winno — X'2 = X, skąd X = — 1. Wstawiając tę wartość w równania 4. i 5., otrzymujemy
el ey. = —e->, r;t ri = Ci
Ostatecznie wiec mamy następujący szereg równań, charakteryzującycb jednostki zasadnicze kwaternionów:  = — 1, e2 e.,: — U e.. e3= - Cl e., = e.{, e2 el = - e:{ = elf en c>2 = 'i, ei = C2> el e.,
o — — Cj , e:>. = éj *3 <>l = e., •> Cj e.j = — 1. C.J = ^2 = H e2et = l.
Dodawanie i odejmowanie kwaternionów odbywa się według ogólnych prawideł tych działań dla liczb zespolonych wyższych | art. 22.]. Mnożenie wykonywamy, uwzględniając prawo rozdzielności oraz równania G. Na téj podstawie iloczyn dwóch liczb
a = «0 + + ai e2 "f «3 eA>
* = A + M +
przyjmuje postać następującą
a (a0/?0 <hfL a-A(t-A)
+(«o/Si+ai <hf>-2
Widzimy więc, że iloczyn dwóch kwaternionów jest kwaternionem téj saméj postaci, jakiéj są czynniki. Własność ta stosuje się do jakiejkolwiek skończonéj liczby czynników.
Mnożenie kwaternionów nie jest przemiennem. W saméj rzeczy, tworząc, według powyższego prawidła, iloczyn ba, otrzymamy
ba = (/J0a0 -ftai
+(■+A «u+M« ~
Dwa iloczyny ab i ba nie są zatem wogóle równe.
6.
Celem prostszego przedstawiania wyników działań nad kwaternionami 1. zastosujemy niektóre pojęcia i odpowiadające im oznaczenia, wprowadzone przez Hamiltona. Część rzeczywistą a0 kwaternionu a nazwijmy skalarem i oznaczmy przez Sa, część zaś nierzeczywistą nazwijmy wektorem i oznaczmy przez Va; będzie tedy: 



a — Sa -| • Ya.
Z tych określeń wynika, że skalar sumy równa się sumie skalarów, wektor sumy sumie wektorów; podobnież, skalar różnicy równa się różnicy skalarów, wektor różnicy jest równy różnicy wektorów.
Z wzorów 7. i 8. wypływa, że skalar S(ab) iloczynu dwóch kwaternionów a i b równa się
aofio — rhfi\ (hfi'2 — chfi<


Możemy też, korzystając ze skróconéj formy 9., przedstawić iloczyn dwóch kwaternionów a i b pod postacią
(Sa + Va) (Sb + Vb) = Sa. Sb -fSb. Va -jSa. Vb -fVa. Vb;
iloczyn zaś ba będzie miał postać
(Sb+ Vb) (Sa -f Va) = Sa. Sb -fSb. Va-jSa. Vb-f Vb. Va.
Oba iloczyny różnią się tylko czwartemi wyrazami, gdyż według wzorów 7. i 8., zakładając w nich a0 = /?0 = 0, otrzymujemy:
Va. Vb = (a1 fix + a, + a, fi,)
10. + (a2fi,-asfi2)el+(a3fi1 a1fi:i)e2-h(a1fi2-a2fi1)e.i
Vb. Va = (a, fi, + a2fi2 + a,fi,)
11.
-(a2fi,-a3fi2)el-(a,fi1-alfid)e2-(alfi2-a2fil)e.i.
Te wzory pokazują, że skalary iloczynów Va. Vb i b.Va są równe, ich wektory są znaków przeciwnych; mamy tedy
S(Va.Vb) = S(Vb. Ya)
V(Va. Vb)= — V( Vb. Va) skutkiem czego iloczyny ab i ba przyjmują postać:
skąd 13.
ab = Sa.Sb -fSb. Va + Sa. Vb -f S( Va. Vb) + V{ Va. Yb)
12.
ba = Sa.Sb + Sb. Ya -f Sa. Yb + S{ Ya. Yb)— Y( Ya. Yb).
ab ba = 2 Y(Ya. Yb).  30] KWATEKKIONY I1AMII.TONA. 175
Zakładając a = b, otrzymujemy ab —ba—a2, V (Ya VI) — o, S (Va. Vb) = (Ya)2, a zatem
14. a2 = (Sa)2-]-2 Sa Va -j(l a)2, skąd
S.a2 = (Sa)*+( Va)2 V. a1 = 2 Sa . 1 a.
Z równań zaś 10., gdy w nich założymy a = b, znajdziemy
15. (Fa)2 = — (ax2 + +
Potęga trzecia kwaternionu a będzie miała następujące wyrażenie
a* = (£a):ł+3(£a)2. Fa -f 3 Sa.( Fa)2 + (Fa):{, przyczem, jak łatwo okazać, zachodzi związek
^ = (3ao2-a12-a2^a32)a-2ao(ao2+a12+G22+a32) = 0,
z którego wypływa, że kwaternion a czyni zadość następującemu równaniu stopnia trzeciego:
a* (3 a2—ax2 a2 a2)a + 2a0(a02 + a,2 + «22 + a33) = 0
Dwa kwaterniony Sa-{-Va i Sa — Va, różniące się znakiem części wektorowéj, nazywają się wzajemnie sprzęionemi; kwaternion sprzężony z kwaternionem a oznacza Hamilton przez Ka. Z określenia tego otrzymujemy bezpośrednio
a -fKa = 2 &a a — Ka = 2 Fa a . tfa = (£a -fFa) (£a Fa) = (Sa)2 (Fa)2, a przy uwzględnieniu wzoru 15.:
a . Ka = «02+ai2+
Wyrażenie na stronie drugiéj téj równości nazywa się nonmj kwaternionu i oznacza się przez N(a), będzie zatem
16. a . Ka = JV(a) = a^+a^+a,2^2.
Jeżeli w wyrażeniu 12. iloczynu ab zmienimy znak części wektorowéj, znajdziemy
K(ab) = Sa.Sb-Sb. Ya-Sa. Vb-\-S( Va. Yb) — Y(Ya.Yb).
I)wa ostatnie wyrazy, na podstawie równań 11., można zastąpić jednym Yb . Ka, będzie zatem
K(ab) =Sa.Sb— Sb. Ya-Sa. Yb-fYb . la.
Z drugiéj strony
Kb . Ka = (Sb Yb) (Sa Ya)
= Sb.Sa Yb.Sa Sa. Vb-\Yb . \ a, dochodzimy więc do związku 17. Kb . Ka = K(ab).
z którego, kładąc b = a, otrzymujemy
(Aa)2 = A'. a2. Mnożąc obie strony równania 17. przez b i zważając, że
b.Kb = N(b),
mieć będziemy
N(b) . Ka = b. K(ab), a przez pomnożenie obu stron przez a. znaj duj em y
N(b). a . Ka — ab . K (ab)
lub
N(a)N(b) = N(ub).
Wzór ten wyraża, że norma iloczynu dwóch czynników równa się iloczynowi norm tychże czynników.
Stosując do tego twierdzenia wzory 7. i 16. otrzymujemy tożsamość
K2+ (h") (/V + /V + fił + A3)
= («o/>o «i/>l + <ht>2 -
+ + aA + «A)2
pozwalającą nam przekształcić iloczyn dwóch liczb, z których każda jest sumą czterech kwadratów, na sumę czterech kwadratów. Wzór ten zawdzięczamy Eulerowi.
Z określenia normy wynika że wszystkie kwaterniony
a = a0 + axex-\-a2e2 + a3f3,
w których odpowiednie współczynniki mają wartości bezwzględne, równe wartościom bezwzględnym współczynników kwaternionu a, będą miały normy równe. Jeżeli wyobrazimy sobie, że a0 jest stałe i że zmieniamy tylko znaki współczynników pozostałych, otrzymamy 8 kwaternionów:
<*n + <h e\ + a2 c2 + a.A e.A, a0 — ax ex + a2 e2 + a:t e:i,
ao — ai e2 — a2 e2 +aAe:i>
a0 — axex — av e2 — a, <?3,
«o + ei ~ «2 ai + rh
«o + a\ ei — a2 e2 — (h eM
«0 + ai e\ + a2 e2 — (h e:v a0 — ax ex -f a2 — a3 e3,
mających normy równe, a gdy zmienimy jeszcze znak przy a0, to takich kwaternionów będzie szesnaście. Ale wymienione kwaterniony nie wyczerpują jeszcze mnogości kwaternionów, mających normy równe, albowiem jest rzeczą widoczną, że dojdziemy do téj saméj normy ctQ-\-ax*-\-a2ż-\-a^, skoro przemienimy wszystkiemi możliwemi sposobami współczynniki przy jednostkach; ponieważ zaś tych przemian może być 1.2.3.4 = 64, a zatem będziemy mieli 16.64 = 1024 kwaterniony, mające normy równe |od zera różne].
Wartość bezwzględną pierwiastka kwadratowego z normy nazywa Hamilton tensorem kwaternionu, oznacza go przez Ta i kwaternion a przedstawia pod postacią
a — Ta. Va.
Czynnik Ua nosi nazwę wersora. Własnościami kwaternionów, wynikaj ącemi z téj postaci, nic będziemy się tu zajmowali. Iloraz dwóch kwaternionów
a b
określamy jako kwaternion dla którego zachodzi równość
Pojęcia, T. L 12 178 C7,ĘŻĆ I. ROZDZIAŁ VI. [30
x .b — a.
Dla oznaczenia x pomnóżmy obie strony przez Kb:
x.b. Kb — a .Kb xN(b) = a .Kb
stąd
18. * = jĄbf'Kb
a więc iloraz jest oznaczony, gdy
m = pł+a2+p-ł+A*
nie jest zerem, co spełnia się zawsze, jeżeli kwaternion nie jest zerem.
Gdybyśmy przyjęli, że współczynniki kwaternionu są liczbami zespolonemi zwyczajnemi, to norma mogła by być zerem, jakkolwiek sam kwaternion nie jest zerem. Przypadek ten wyłączamy. Kładąc
* = £0 + fl el + £2 e2 + f3 e3 i uwzględniając, że na mocy wzoru 7., jest
aKb = («,) + «! ex + a2e2 + a:ie3)(fi0 — fix — fi2e2 fi3 e3)
= («o Po + «i fii + chfi« + as fi:i) + (<*1 Po ~aofil + «3 fi<2 <h Pz) el + (®2 fi O «3 fil ~ «0 fi2 + «1 fis) e2 + («3 fio + «2 fil — P2 ~ aofio) otrzymujemy
fo = jyjfij ("ofio + alfil + «2 /?2 + «3 A),
Si = A> ~ Mi + a3 /?a «2M
fs = + a2#i ~ ai P2 — aofiz)- Z równania 18. znajdujemy '
a a Kb
J ~ Ń(b) '
a dla a = 1:
1 Kb
b N(b)r
stąd zaś wynika:
1 _ Kb __ a
t.j. związek analogiczny do związku lOb. art. 11 w teoryi działań formalnych.
Na podstawie określenia ilorazu będzie
b bKc abKc ab
a ' 7= a' iV(7) = 7%) ^ V '
Jest to związek téj saméj postaci, jak związek 4b. art. 11 w teoryi działań formalnych.
W podobny sposób można okazać, że dzielenie kwaternionów posiada własności, wyrażone wzorami
(t) _ a
~ Ib 7
a ac
(7)
analogicznemi z drugim i trzecim wzorem 4&. art. 11 w teoryi działań formalnych; że natomiast do kwaternionów, z przyczyny nieprzemienności mnożenia, nie stosują się np. następujące równania:
a ba
a a
©
31. DZIAŁANIA NAD WEKTORAMI.
Prawidła rachunku nad wektorami, t. j. nad liczbami trójjednostkowemi postaci
«i + a2 e2 + (H e.\ >
wynikają bezpośrednio z teoryi, podanéj w poprzedzającym artykule.
Niechaj będą dwa wektory
a = a{ e{ -f a2 e2 + az ei
b — P\ e\ + fi* e2 + Pi
Suma ich
a + b = (al+pl)eL + (a2-f p2)e2 + (<xy+ /?8) ^
będzie również wektorem. Dodawanie wektorów jest działaniem łącznem i przemiennem. Różnica wektorów a i b.
a — b = (a{ —pt)el + (a2-p2) e9 + (a3 —p3) e3
jest również wektorem. Różnica ta jest zerem, t. j. dwa wektory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy
ax = r/2, fix = p.2, a3 = /?3.
Iloczyn wektorów a i b, według wzorów poprzedzającego artykułu, będzie
ab= — (atpt+a2p2+azpz)
+ («2& — <*Sp2)ei + ~ + (fl\p2 — a2p\)eZ-
a zatem iloczyn wektorów jest kwaternionem. Iloczyn ba wyrazi się w ten sposób;
— (?2p% — asp2)e, («3/?x - (axp2 -a2p{)ez.
Iloczyny ab i ba mają części skalarowe równe, wektorowe zaś części równe i znaków przeciwnych, są więc kwaternionami sprzężonemi, a zatem:
S(ab) =■S(ba), V(ab) = V(ba).
ab -fba — 2S(ab) , ab ba = 2V(ab).
Mnożenie wektorów nie jest więc działaniem przemiennem. Kładąc b—a, otrzymujemy
=== (V+«22+«82)
Kwadrat wektora jest zatem równy normie, wziętéj ze znakiem przeciwnym.
Wyrazimy iloczyn trzech wektorów, mnożąc iloczyn ab dwóch wektorów przez wektor trzeci
e = 7l*l + 72*2 + 73*3Na zasadzie prawidła mnożenia kwaternionów otrzymamy
abc= ~(«2/?3 -«3 A)7I -(<*3A A)72-(«iA-«2A)73 + [ — («1 A + a2p2 + «3 A )7l + («3 A A )7s ~ («1 A asA )72>1 + [ — («lA+a2A+«3A)72+(«lA~«2A)7l+(a2A—«sA)78>2 + [ — («1 A + a2A + a3 A )7s + («2A «3 A)72 («3 A «1 A )7l >3• Skalar iloczynu, t. j.
S(abc) = -
= (a2ft-a8A)7i—(«3A-«iA)72-(aiA~°2A)73ł możemy przedstawić pod postacią wyznacznika
«1> «3
A> A» A
7i» 72> 73
Na podstawie téj formy wyznacznikowéj wnosimy, że skalar iloczynu trzech wektorów zmienia znak przy przestawieniu dwóch czynników.
Wektor iloczynu V(abc) możemy przedstawić pod postacią skróconą, wychodząc z tożsamości
2. abc — bca = (ab-\ba)c—b(ca-\-ac).
Na podstawie równań 1. mamy
2V[a. V(bc)] = a.V{bc)F(£e) . a,
a dodając do tego tożsamość  0 = A. S(BC) S(BC).A,
otrzymujemy:
2V\AV(BC)\ = A V(BC)\ f(S(BC)+ V(BC)] A
lub 2 V[AV(BC)] = a BC BCA.
Na podstawie tychże równań 1. jest
AB + BA —2 S(AB) , CA -JAC — 2 S (CA) .
Kładąc przeto w równanie 2. wartości, otrzymane dla obu jego stron, znajdziemy
V[A . V{BC)] = C S(AB) B . S(C A); dodając tu do obu stron tożsamość
V[A.S (BC)] = A S (BC)
i zważając, że
F[a£(£c)]+ V[AV(BC)]=V(A.BC)I dochodzimy do równania
V(ABC) = A S(BC) — BS(CA) -F CS(AB),
przedstawiającego wektor iloczynu trzech czynników. Iloraz wektorów, określony za pomocą równania
,RB — A,
jest wogóle kwaternionem. Zakładając w równaniach 19. art. poprzedzającego:
«o = 0, A = otrzymujemy iloraz .r pod postacią
* = fo + fiei + + '
gdzie
fo = ^^(oiA+^A+af A); fi =
PftRYiTłY.
=
1 Teorya kwaternionów jest nauką czysto angielską, która dopiero w ostatnich czasach zaczęła rozpowszechniać się na kontynencie. Opowiadanie o usiłowaniach swych utworzenia nowego rachunku umieścił Hamilton w przedmowie do dzieła: Lectures on Quaternions containing a systematic statement of a new mathematical metod etc. 1853. [Jednocześnie tym samym przedmiotem zajmowali się bracia J. T. Graves i Ch. Gravesj. Największą trudność stanowiło ustanowienie własności zasadniczych mnożenia wektorów [porówn. art, 31.], przedstawianych za pomocą liczb o trzech jednostkach zasadniczych k [u nas el9 e2j «3]. Hamilton mniemał zrazu, że utrzymanie przemienności mnożenia jest rzeczą konieczną; po wielu wszakże próbach przekonał się, że iloczyn i iloraz wektorów nie są już wektorami, lecz kwaternionami, i że należy odrzucić przemienność mnożenia wektorów, zachowując łączność i rozdzielność tego działania. "Według teoryi, którą dajemy w tekście, fakty te są nadzwyczaj prostemi, ale Hamiltonowi, który dążył do nich na innéj drodze, nie mogły się one prędko ujawnić.
183
Drugie obszerne dzieło Hamiltona, poświęcone kwaternionom, wydane zostało w r. 1866. [po śmierci autora] p. t: Elements of Quaternions [Przekład niemiecki G1 ana p. t. Elemente der Quaternionen, I, 1882, II. 1884.] zawiera treść poprzedzającéj jego pracy w bardziéj systematycznym układzie. Wykład ma charakter geometryczny, rozpoczyna się od teoryi wektorów, a następnie przechodzi do kwaternionów, uważanych jako ilorazy wektorów. Algebra kwaternionów, Teorya funkcyj kwaternionów, wreszcie liczne zastosowania do rozmaitych zagadnień Geometryi i Fizyki wykazują użyteczność i elegancyą metod kwaternionowych. Uczeni angielscy z upodobaniem stosują też tę metodę do badań fizykalnych; C1 er k-M ax we 11 używa jéj w znakomitym swym Traktacie o elektryczności i magnetyzmie. Elementarną teoryą kwaternionów ogłosił Tait uczeń Hamilton a: An elementary treatise on ąuaternions [drugie wydanie 1873.]. Kelland i tenże Tait napisali Introduction to ąuaternions with numerous examples, 1873. We Francyi Allegr et [Essai sur le calcul des ąuaternions, 1862.], H o ii e 1 [Theorie elementaire des quantitćs complexes. IV-me Partie, Elements de la thćorie des ąuaternions, 1873.] i Lais ant [Introduction a la metliode des ąuaternions, 1881.] przeszczepili naukę angielską na grunt francuski. W Niemczech H a nke 1, jeden z pierwszych, uprzystępnił ją w treściwem, niezależnem od metod geometrycznych przedstawieniu, z którego po części korzystamy i w naszym wykładzie. W języku polskim mamy pracę K. Hertza p. t. Pierwsze zasady kwaternionów Hamiltona, 1887.
Skupienie [a,, cc2,... ,a*J, w którśm at, a2v..,aw są liczbami rzeczywistemi, określamy jako liczbę, podlegającą następującym prawom: [Porówn. Peano, Intśgration par series des eąuations differentielles lineaires Mathematische Annalen, XXXII, 1888, str. 451 i dalsze, a także dzieło Calcolo geometrico secondo rAusdehnungslehre di H.Grassmann etc., 1888.]: Równość dwóch skupień
a = [a,, oe2, . . . , o.n J, b = [?!, f 2, . . . ,
gdzie a i $ są liczbami rzeczywistemi, określamy za pomocą równań
ai = Pi« rj~i ~ ?j2t . • • ,
sumę a -f6 za pomocą równania
iloczyn Xa, gdzie a jest liczbą rzeczywistą, za pomocą wzoru
Xa == [X a„ X . . . , X «»]; różnicę za pomocą równania
a — b = a + (—1) 6. Zerem jest skupienie, dla którego
= O, a., = 0, . . . , a» = 0.
Liczba X a -Jfi 6 -J-... gdzie X, JJ. ... są liczbami rzeczywistemi, jest oczywiście liczbą, podlegającą powyższym określeniom działań. Jeżeli położymy
«, = [1,0,0,... ,0], = [0,1,0,... ,0], . . . , = [O, 0, . . . , 0,1],
otrzymamy skupienie a pod postacią
a = a, e, 'u Cj -f... + rxn e,h
to jest pod postacią liczby zespolonéj wyższéj o n jednostkach zasadniczych.
Teorya ta obejmuje w sobie podane w art 22. teorye Hamiltona i L er ch a.
3 Pierwszą pobudkę, do badań wspomnionych w tekście, dały Gras sm anno w i spostrzeżenia nad stosowaniem liczb ujemnych w Geometryi, jak to czytamy w przedmowie do dzieła z r. 1844. Podobne pomysły podjęli wcześniéj jeszcze Mobius w rachunku bary centry cznym [1827.], i B ellayitis w teoryi ekwipolencyj [1839], ale najpłodniéj myśl ta rozwinęła się w umyśle Grassm a n na. Twierdzenie, że gdy Z?, Coznaczają punkty na prostéj, jest zawsze AB-\-BC=A C, bez względu na to, czy punkt Cleży między punktami A i B, czy zewnątrz ich, rozszerzył Grassinan n do przypadku, w którym punkty A, B, C nie leżą na prostéj, a przechodząc, od sumy do iloczynu zauważył, że nietylko prostokąt ale i równoIegłobok może być uważany za iloczyn odcinków, w których, oprócz długości, uwzględniamy jeszcze i kierunki. To uogólnione mnożenie pozostawało w związku z uogólnionem dodawaniem, podobnie jak mnożenie zwykłe ze zwykłśm dodawaniem. Lecz zachodziła i różnica obu mnożeń, polegająca na tem, że w mnożeniu nowem porządek czynników nie był bez wpływu na znak iloczynu. Wnikając coraz głębiéj w treść tych wyników, przekonał się Grassmann, że polegają one na pewnych zasadach ogólnych, niezależnych od obrazu geometrjrcznego form badanych, i tym sposobem doszedł do ogólnéj nauki, którą przedstawił w dziele: Die lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, 1844. Dzieło to, odbiegające tak metodą jako też i formą od ówczesnych dzieł matematycznych, pozostało na razie bez wpływu, mimo że Grassmann w rozmaitych rozprawach, ogłoszonych w dzienniku Journal Jur die reine und angewandte Mathematik, wykazał całą płodność i użyteczność swojéj metody. Nawet i nowe opracowanie z r. 1862. w szacie algebraicznéj na razie pozostało prawie niepostrzeżonem. Dopiero Hankel w pracy swéj Ueber complexe Zahleusysteme, 1867. wykazał doniosłość badań Grassmanna, i od téj chwili pomysły jego zaczęły sobie zdobywać uznanie. Schlegel, Preyer, Notb, S c h e n d e 1, O a s p a r y, Peano i inni w wielu kierunkach wykazują ważność i użyteczność metod nauki Grassmannowskiéj. Sam Grassmann udowodnił [ Der Ort der Hamiltonschen Quaternionen in der Ausdehnungslehre, Mathematische Annalen, XII. 1877. str. 375 — 386.], że rachunek kwaternionów stanowi tylko szczególny przypadek jego metody ogólnéj. [ Mówimy o tem w artykule 30.].
3 H. Scheffler ogłosił swoje pomysły w pracach: Ueber das Verhaltniss der Arithmetik zur Geometrie etc. 1846. i Der Situationscalcul etc. 1851. Na takiśjże podstawie oparta jest metoda Ż mur ki, którą rozwinął w dziele: Wykład matematyki na podstawie ilości o dowolnych kierunkach. [Porówn. P. D z i w i ń s k i, Rys działalności naukowéj i nauczycielskiśj Wawrzyńca Z murki. Prace matematyczno-fizyczne, II, 1890, str. 433-453.].
4 Hankel 1. c. str. 106 — 107. Dowód II a n k e 1 a podajemy niżéj w przypisie 17-ym.
5 Weierstrass. Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen. [ Gmtinyer Nachrichten, 1884. str. str. 395—419.].
6 Dedekind. Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen [Góttinyer Nachrichten, 1885. str, 142—159.].
7 Kronecker. Zur Theorie der allgemeinen complexen Zahlen und der Modulsysteme [Mittheilunyen der Berliner Akademie, 1888. Str. 249— 250]. Porówn. także tego autora Sur les unites complexes [Comptes Iicndus, XCVI, XCIX, 1883. 1884.].
8 D e d e k i n d, 1. c. str. 156.
C/.KŚĆ I. KOK 1)21 AI, VI
9 Lipschitz, Untersuchungen liber die Summen von Quadraten, 1886.
10 Schur, Zur Theorie der aus n Haupteinheinten gebildeten complcxen Zahlen [.Mathematische Annalen, XXXIII, 1889., Str. 49—60.]
11 Study, Coraplexe Zahlen und Transformationsgruppen [Berichte der k. sachsischen Gesellschaft d. Wisa. 1889. str. 177—228].
13 Scheffers, Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten complexen Grossen, tamże, 1889. str. 290—307 oraz, Ueber die Berechnung der Zahlensysteme, tamże, 1889. str. 400—457.
13 Grassmann, Die neuere Algebra und die Ausdehnnngslehre [Mathematische Annalen. VII., 1874. str. 538—548].
14 O tych i jeszcze ogólniejszych liczbach całkowitych mówić będziemy w części II. niniejszego tomu.
15 Rachunek Diihringa [Neue Grundmittel, i tal.] polega na rozkładzie równań, wtedy mianowicie, gdy wielkości, zachodzące w równaniu, nie są jednowartościowe. Jest on rozwinięciem téj saméj zasady, na któréj opieramy określenie równości liczb urojonych | art. 22. i 24. zwłaszcza twier. VIII], a którą oddawna stosowano w Algebrze w teoryi związków, zawierających wyrażenia wymierne i niewymierne. Najprostszy przypadek takiego rozkładu przedstawia już równanie A + B = 0. w którem A jest jednowartościowóm, Hh B—dwuwartościowem, rozkładające się na dwa równania A = 0. B=i). Drugi przykład przedstawia równanie A-\-BV-1 = 0, w którśm A jest jednowartościowóm, B V—i zaś przedstawia również dwie wartości Ą-BV-\ i —B F— i; z tego równania wynika również ,4=0, B=0. Wyrażenie A± B+jC, gdzie j jest pierwiastkiem pierwotnym trzeciego stopnia z jedności, jest złożone z Avielkości jedno wartościowój, dwu i trójwartościowéj, i dlatego równanie
A± /5+yc=o,
sprowadza się do układu trzech równań
,4=0, B= 0, C=0.
W saméj rzeczy, jeżeli oznaczymy A± B przez S, będziemy mieli
0.
Równanie to przedstawia trzy następujące:
s+jc^o, £-H/*C=O, s+j*c=o,
których dodanie, z uwagi, że j-\-}2Ą-J*=0, daje:
5=0,
czyli
A ±B = 0,
Stąd, na zasadzie powyższego, znajdziemy
186
A = 0. B = 0,  a uwzględniając wynik &=0 w równaniu S -\-jC=0, otrzymujemy też C=Ó.
Ogólnie, jeżelij oznacza pierwiastek pierwotny równania x» = 1, a więc gdy. . . Jn~~l są pozostałemi pierwiastkami tego równania, wtedy z równania
A+jB+j*0+. . 1 K = 0,
w którem -4, C,. . . ,AT są liczbami rzeczywistemi bezwzględnemi, otrzymujemy
A = 0, £ = 0, . . . ,A'=0.
Jakkolwiek rozwiązywanie równań należy właściwie do części III-éj, podamy jednak dla przykładu zastosowanie powyższéj zasady do rozwiązywania równań stopnia drugiego, trzeciego i czwartego.
Pierwiastkiem równania kwadratowego czystego x*=a jest wyrażenie dwuwartościowe ± F7; jeżeli zaś równanie kwadratowe jest mieszanym postaci
x*+px + g = 0,
to winniśmy przyjąć, że pierwiastek jego składa się z części jedno i dwuwartościowéj, t. j. nadać mu postać k ±1. Wstawiając tę wartość w równanie dane i uskuteczniając rozkład, według zasady ogólnéj, otrzymujemy dwa równania
k'* + PJrPkĄ-q = 0, 2 kl -)-/>/= 0.
Z drugiego z tych równań, jeżeli l nie jest zerem, znajdziemy
skutkiem czego pierwsze przechodzi w następujące:
17=0.
skąd .
Będzie tedy
x = k±l = -f-± J/P! 7.
t 4
Dla równania stopnia trzeciego
Ą. pX2 qx r = 0
należy przyjąć, że pierwiastek składa się z części: jedno-dwui trójwartościowéj, że ma zatśm postać
gdzie j jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia trzeciego z jedności. Wstawiając tę wartość w równanie dane, otrzymujemy

K+jL+j*M= 0.

gdzie
A'== & J{-Gklm-{-P + m*+p fc2 + 2p Im + 7 Jfc-f. r, L = %1c~ I Je m2 + + /> ro2 + 7
3/= 3 fc i3 + 3 fc* t» + 3 i w2 + 2/> fc m + p P + q m. Równanie powyższe rozpada się na trzy następujące:


wstawiając zaś w pierwsze z nich wartości za Jc i /«, dochodzimy do równania stopnia 6-go:


które nazywa się równaniem rozwiazującem i daje się sprowadzić do równania stopnia drugiego.
Metoda niniejsza daje się znacznie uprościć, jeżeli uwzględnimy znane wyrażenia współczynników w funkcyi pierwiastków równania [porówn. art. 37.]. Pokażemy to na przykładzie równania stopnia czwartego, które wyobraźmy sobie bez wyrazu, zawierającego trzecią potęgę niewiadoméj, [do takiéj postaci łatwo każde równanie stopnia czwartego sprowadzić można]
xA 4<?x'2 4" r x s =
Kładąc dla pierwiastków xly x.2, x3j xA tego równania wyrażenia
=Jl +j*m 4-j\ *■> =fl 44-j'2n, —JH Jrj'm +>,
gdzie,/jest pierwiastkiem pierwotnym czwartego stopnia z jedności, i uwzględniając znane związki
r=-£(*ł»4-V + *«, + * A * = ł ^l2 + V + V + V)2 l<V 4V + V + V),
otrzymujemy według zasady rozkładu, prawie bezpośrednio 1'BZtnSY.
q — — (4 In -f 2m%
r = — (4 Pm + 4 w n*),
s = — -f 4 / m* n —2fn— m< ««),
co nas doprowadza do równania rozwiązującego
dającego się sprowadzić do równania stopnia trzeciego.
16 Równanie
aĄ-bx = 0,
ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli współczynniki a i l> mają postać
a=ka', b — kI/.
gdzie k jest dzielnikiem zera, b' zaś nie. W saméj rzeczy, będzie wtedy
k (a' b'x) = 0;
ponieważ zaś k jest dzielnikiem zera, można przeto oznaczyć x tak. aby było
a' 4b'x = ly
gdzie / jest jakimkolwiek dzielnikiem zera. Podobnież, równanie algebraiczne
<24-6*4. . . 4-/i*» = 0, posiada nieskończenie wiele rozwiązań, jeżeli współczynniki są postaci
a = ka\ b — k 6', . . . ,h = kh', gdzie k jest dzielnikiem zera. Albowiem dość oznaczyć x tak, aby było
gdzie l jest jakimkolwiek dzielnikiem zera takim, że
kl = 0
Tę własność równań o współczynnikach, będących dzielnikami zera. można uważać, jak twierdzi We ierstrass. za uogólnienie znanéj w Algebrze własności równań, według któréj posiadają one nieskończenie wiele pierwiastków, jeżeli współczynniki ich są zerami.
17 Hankel w następujący sposób dowodzi twierdzenia wymienionego w tekście.
Niechaj iloczyny jednostek wyrażają się jako funkcye liniowe samych jednostek za pomocą wzorów
189
= is(,y. 4" S,V. = 1, 2 >»;  Ctx i x są liczbami stałemi rzeczywistemi. Kładąc tu i=l, x=2,3,...,n otrzymujemy układ n—l równań
e\ f> = Cj,2 +
= Cl,3 + ^ IM,3 ćs i 2
które można przedstawić pod postacią
—Cl,2 — 11,1,2 = (vj2,l,2 — «i) e2 + "13,1,2 «3 -f- + 1«,1,2 e>»
—— 1,3 = 12,1,3 «2+(l3,l,3 — + + 1*,1,3«»
—Cl,»— 11,1,= 12,1,e.j + ^3,1,w e3 + +(l«,l,H—et)en
Z tych równań możemy otrzymać e,, .. . , en w funkcyi jednostki e,, jeżeli wyznacznik układu [por. art 26.], t.j. 12,1,2— 13,1,2, . . . , 1»,1,2 12,1.3 12,1, n , 13,1, H , . .
nie jest toźsamościowo równy zeru; każda z tych jednostek wyraża się wtedy jako iloraz dwóch funkcyj stopnia n—1-go względem mianownikiem wspólnym wszystkich wyrażeń jest wypisany wyznacznik. Tak otrzymane wyrażenia wstawmy do równania, wyrażającego iloczyn elelf a mianowicie do równania
ei ei = Cu +11,1,1 ei + 12,1,1 e2 +? • • • ^ +1»,U e» i
i znieśmy mianownik, to dojdziemy oczywiście do równania stopnia n+l-go względem e,,wktórém współczynnik przy e,«+i będzie + 1. Niechaj tera równaniem będzie:
exn+1 + A, V' + A2 + . . . + An+1 = 0.
Równanie
s«+i + Ayx>*Ą- + . . . +.4M.fi = 0,
jak wykazuje teorya równań, ma n + 1 pierwiastków zespolonych zwyczajnych t2,. . . tvy które czynią zadość następującym równaniom
Si + 43 + • • • + 5»+i = — yli £2 + + • • • + 5«+i =
£o. . . ęM+i = (—
a zatem być musi toźsamościowo:
4A\ e" 44• • • + AnĄ-1
albo, jeżeli przedstawimy stronę drugą pod postacią iloczynu, winno być
= K — ii) (e2—fe) • • * (ei—
Ponieważ pierwsza strona ma być zerem, powinna przeto i druga być zerem. Lecz strona ta staje się zerem, gdy e, = &=l,2,...,n-|-l, co wyłączamy, ponieważ e, nie ma być liczbą zespoloną zwyczajną. Jeżeli więc et ma być liczbą zespoloną wyższą, to iloczyn poprzedni musi stawać się zerem, jakkolwiek żaden z jego czynników zerem nie jest.
18 H. A. Schwar z. Bernerkung zu der in Nr 10 dieser Nachrichten abgedruckten Mittheilung des Herrn Weierstrass [ Gdttinger Nachrichten, 1884, str. 516 — .519, także Gesammelte mathematische Abhandlungen II, 1890, str. 346-349].
13 Zasadnicze pojęcia nauki Grassmanna i jego teoryą mnożenia przedstawiamy na podstawie dzieła: Die Ausdelinungslehre yollstandig und in strenger Form bearbeitet, 1862., oraz klasycznéj rozprawy Sur les differents genres de multiplication [JournalJur die reine und angewandte Mathematik, XLIX., 1855. Str. 123—141].
20 Metodę wyznaczników, którśj początki znajdujemy u Leibniza [1693. J rozwinęli i udoskonalili. Craraer, Bezo u t, V a n d e r m o nd e, L a p 1 a c e, Lagrange, Wroński, C a u c h y, J a c o b i, Sylvester, Cayley i wielu innych. W r o ń s k i już w rozprawie | niedrukowanej], przedstawionéj Instytutowi francuskiemu w r. 1810, [porówn. wyżéj str. 44.], używa tak nazwanych sum kombinatoryjnych. W rozprawie Refutatiou de la thćorie des fonctions analytiąues de Lagrange, 1812. str. 14, określa on sumę kombinatoryjną
&[\aXl \!>X,...\pX0>)
gdzie X,, X,,.. ,X(o są funkcyami jednéj zmiennéj, jako sumę iloczynów, które otrzymujemy, tworząc wszystkie możliwe przemiany wykładników a, 6, c .. umieszczając te wykładniki, tak jak tworzą przemiany, nad czynnikami iloczynu
AX, . -iXj . . . IXo),
dając tak utworzonym iloczynom znak dodatni, gdy liczba waryacyj wykładników a, b.c..., uważanych w porządku alfabetycznym, jest zerem lub liczbą parzystą, znak ujemny, gdy liczba waryacyj jest nieparzystą, i wreszcie tworząc sumę wszystkich tych iloczynów. Wroński dodaje, że tworzenie tych sum kombinatoryjnych, jest zupełnie analogiczne do tworzenia takichże sum przy rozwiązywaniu równań liniowych; jest mianowicie
R/.EŚ^ I. KQZI>Z1A*, V
= wXl.t>ox2 -
i t. d.
W dziele Philosophie de la technie algorithmiąue. I. Sectiou, 1815 nazywa on sumy kombinatoryjne funkcyami schin. Funkcye schin, wktórych. zamiast różnic funkcyj, występują pochodne, nazwał M u i r [A Treatise on the theory of determinants, 1882] wrońskianami [porówn. art. 38.].
Literatura wyznaczników jest bardzo obszerną. Wykład własności i zastosowań znajdzie czytelnik szczegółowo podany w Teoryi Wyznaczników M. A.Baranieckiego, 1879; treściwe przedstawienie w pracy: Krótkie wiadomości o wyznacznikach skreślił Władysław Trzaska, przypisek do dzieła: Zasady rachunku różniczkowego i całkowłego Wł. Folkierskiego, 1870. Z dzieł obcych klasycznym jest B alt z era: Theorie und Anwendung der Determinantem wyd. 5.1881. Historyą tego algorytmu zawiera Muira The Theory of determinants in the historical order of its developpement, którego część I wyszła w r. 1890.
21 Porówn. M. A. Baraniecki 1. c. str. 297—301.
22 Dla otrzymania iloczynu odniesionego wzięliśmy tu wprost iloczyn dopełnień, na téj zasadzie [Grassmann,Ausdelinungslehre, 1862,str.60.], że jeżeli stopień n dziedziny głównéj jest nieparzysty, to dopełnieniem dopełnienia liczby zespolonéj jest równe saméj liczbie. [Gdy zaś stopień dziedziny jest parzysty, to dopełnienie dopełnienia liczby zespolonéj jest równy téj liczbie pomnożonéj przez (—1)7, gdzie <j jest stopniem téj liczby].
192
2* Grassmann. Der Ort der Hamiltonschen (juaternionen in der Ausdehnungslehre, 1. c. ROZDZIAŁ VII.
FUNKCYE CAŁKOWITE.
32. OKREŚLENIA.
Funkcye całkowite są tem dla Algebry, czem są liczby całkowite dla Arytmetyki. Twierdzenia, któremi wyrażają się ich własności, zawierają się w teoryi funkcyj algebraicznych i zarazem w teoryi ogólnéj funkcyj, należącéj do Rachunku wyższego. Do wywodu wszakże zasadniczych własności funkcyj całkowitych wystarczają prawdy, podane w poprzedzających rozdziałach, i dlatego zajmiemy się tu zbadaniem istoty funkcyj całkowitych na podstawie elementarnéj teoryi działań, oraz przedstawieniem ich własności, potrzebnych nam w częściach nasjtępnych téj książki.
Funkcyą całkowitą n zmiennych ,vv . . . , x„ nazywamy wyrażenie, złożone z wyrazów postaci:
C
ny O. i ryt (A • t)> U.
«„ ult . . . an ,7'1 ,u2 • • "n "
gdzie ... a>/ jest współczynnikiem stałym, wykładniki r.aś ax, a. . . , a„ przyjmują wartości całkowite i dodatnie, nie wyłączając i zera. Ogólna wiec postać funkcyi całkowitéj n zmiennych iTj. .... <V)t jest
. . . , X„) = 2LCuXi</.,y . . . an'T lV2U2 ' ' ' •>
gdzie strona pierwsza wyraża ogólnie funkcyą n zmiennych. Liczbę wyrazów przyjmujemy za skończoną.
Pojęcia, T. I. 13
Jeżeli suma wykładników aj-|~a2-{...-{-«« przynajmniéj w jednym z wyrazów o współczynniku nierównym zeru jest równa m, w pozostałych zaś wyrazach jest mniejsza od m lub równa m, wtedy funkcyą całkowita nazywa się funkcyą stopnia w-go. Jeżeli suma wykładników w każdym wyrazie jest równa ra, funkcyą nazywa się jednorodną stopnia rn-go.
Jeżeli funkcyą całkowita nie zmienia się, gdy przestawiamy dwie którekolwiek zmienne, nazywamy ją symetryczną. Przykłady.
jest funkcyą stopnia 3-go czterech zmiennych xlf x2, xZi x4;
ITj IJJ " CC ty2 2 | iPj ^ ^ 1 | 4<2'|
jest funkcyą jednorodną stopnia 4-go trzech zmiennych xv #21 .?;3;
" "f" 2 ^2 r m I r m 1 l rm
/Yt I" 71 $ _ I yt r yt S I I ^ł . I' n\ $ . I y $ 1' I ■*» S yt f
1 2 1 8 * * * ^n—1 tCn ^2 * * ' 1
są funkcyami symetrycznemi: pierwsza stopnia 3-go trzech zmiennych xu x2, druga stopnia wi-go n zmiennych trzecia stopnia r-\-s tychże zmiennych.
Liczba wyrazów funkcyi całkowitéj jednorodnéj stopnia ra-go zupełnéj, to jest takiéj funkcyi jednorodnéj tego stopnia, w któréj nie brak żadnego wyrazu, wynosi, oczywiście, tyle, ile można utworzyć kombinacyj z powtórzeniem z n elementów, wziętych po jest zatem równa
n (ft-|-l) . . . (n-\-m— 1) 1.2 m
Funkcyą stopniam-go niejednorodną możemy wyobrazić sobie, jako złożoną z funkcyi jednorodnéj stopnia ??i-go, funkcyi jednorodnéj stopnia (m— l)-go, stopnia (m—2)-go . . z funkcyi stopnia 1-go, wreszcie z wyrazu stałego; liczba zatem wyrazów zupełnéj takiéj funkcyi będzie
n(n-{-l)...(n-j-m— 1) n(n-\-\)...(n-\-m — <l) , w(n-f-l) 5 n , 1.2 ... w ' 1.2.. .(m—1) ' 1 . 2 "^T '
Z elementarnéj teoryi kombinacyj wiadomo, że wyrażenie to jest
równe liczbie kombinacyj bez powtórzenia z n Ąm elementów, wziętych po m; otrzymamy tedy na liczbę wyrazów funkcyi niejednorodnéj zupełnéj stopnia m-go wyrażenie
(n-f!)(»+2) . . . Q»+m) 1 . 2 . . . m
Ponieważ ta liczba, jak widzimy, jest zarazem liczbą wyrazów funkcyi jednorodnéj stopnia m-g o, zależnéj od n-\-l zmiennych, przeto funkcyą niejednorodna zupełna stopnia w-go, zależna od n zmiennych, zawiera tyle wyrazów, ile ich ma funkcyą jednorodna zupełna stopnia m-go, zależna od n-j-1 zmiennych. Do tego samego wyniku można dojść bezpośrednio, zważywszy, że funkcyą jednorodna stopnia m-go, zależna od n zmiennych
zamienia się na funkcyą niejednorodną zupełną, zależną od n zmiennych . . . gdy w pierwszéj funkcyi uczynimy
jednę ze zmiennych, np. zmienną xn+i równą 1.
Zważywszy daléj, że liczba, wyżéj otrzymana, może być przedstawiona pod postacią
1.2... n . (w-fl) (n+2) . . . (n-fm) 1 . 2 . . ~n 1 . 2 . . . . . m
wnosimy, że liczba wyrazów funkcyi niejednorodnéj stopnia m-go zupełnéj, zależnéj od n zmiennych, jest równą liczbie wyrazów funkcyi niejednorodnéj stopnia ?i-go zupełnéj, zależnéj od m zmiennych.
Przykład funkcyi jednorodnéj stopnia m-go w któréj nie brak żadnego wyrazu, stanowi rozwinięcie m-éj potęgi wielomianu
H* * * "~f~ i
wyrażające się w sposób następujący:
m •
m! = 1, 2, . . . m; «;.! = 1,2 a.; ' [X = 1,2, . . . »],
gdzie suma rozciąga się na wszystkie wartości całkowite i dodatnie, nie wyłączając i zera, liczb av a2v..,a», czyniące zadość równości
ai + ai + • • • ~)ra>t — m•
Wzór ten stanowi uogólnienie tak nazwanego dwumianu N e wtona:
k = m
k ~ 0
Według określenia, w każdym wyrazie funkcyi jednorodnej
suma wykładników a{ -\~a2 + ...-{-«« jest równa ro; jeżeli przeto zamiast .r,, . . . .rw podstawimy qxv qx.2 . . . gxHi będzie
co można napisać w skróceniu tak:
F(QXv qx2 . . . QXu) = Q"}F(<V «r2 . . . ,vtl).
Wzór ten wyraża własność zasadniczą funkcyj jednorodnych. Jeżeli w jakiejkolwiek funkcyi całkowitej
współczynniki są liczbami rzeczywistemi, zmiennym zaś nadajemy wartości rzeczywiste, to i sama funkcyą przyjmuje wartości rzeczywiste. W szczególności, jeżeli współczynniki są całkowite, a zmienne przyjmują wartości całkowite, funkcyą przedstawia liczby całkowite.
Jeżeli przy współczynnikach rzeczywistych zmiennym nadajemy wartości zespolone zwyczajne, to funkcyą przyjmuje wogóle również wartości zespolone zwyczajne. W szczególności, jeżeli w funkcyi jednéj zmiennej
F(tv) = c0.v'"-j-crv">-1-\. . . —j— 1*1* —j-cm,
o współczynnikach rzeczywistych, za zmienną «r podstawimy raz yĄ-zi, drugi raz y—ziy wtedy, jak łatwo sprawdzić, i funkcyą F(x) stanie się w pierwszym razie (y, z)xF(y,z)i, w drugim (y,z) — xF(y, z)i, gdzie 0 i W są funkcyami stopnia m-go dwóch zmiennych y i z. Jeżeli więc funkcyą F(.v) staje się zerem dla pewnéj wartości;c—y-j-zi, to być musi jednocześnie P(y,*) = 0, W(y,z) = 0,
skąd wynika, że funkcyą musi stawać się zerem i dla wartości sprzężonéj x = y — zi.
Jeżeli w funkcyi całkowitéj zmienne przyjmują wartości zespolone wyższe, to wartości funkcyi całkowitéj zależą od założeń, jakie przyjmujemy dla działań nad liczbami zespolonemi. Przy założeniach, jakie służą za podstawę teoryi Weierstrassa [art. 22J, funkcyą całkowita liczb zespolonych przyjmuje wogóle wartości, należące do téj saméj dziedziny, do jakiéj należą zmienne.
Funkcyą całkowita n zmiennych, przyjmujących wartości rzeczywiste, może być przedstawiona jako funkcyą jednéj liczby n-wymiarowéj. W saméj rzeczy, mając funkcyą F(xx x2 . . . xu), połóżmy
X = -f#2 * • • ł
gdzie ev e2, . . . eu stanowią układ normalny [porówn. art. 28.J; będzie tedy, na podstawie prawideł mnożenia wewnętrznego:
(x€y) * * * ^^^n) X)i,
a więc
jFfo, x2 . . . xn) = J^((««!>, . . . (*«„)).
Przekształcenie to, wskazane przez Grassmanna1, może być zastosowane do funkcyj nietylko całkowitych ale i do jakichkolwiek. Jeżeli jednostki ev e2, . . . eu zastąpimy ich dopełnieniami [art. 27.]. które oznaczmy dla krótkości przez rv r2, ... r„, wtedy mnożenie wewnętrzne na stronie drugiéj powyższéj równości możemy zastąpić mnożeniem zewnętrznem i napisać
F(xu x2 . . . xn) = F([xrx\ [xr2] . . . [xrn]).
Jeżeli w szczególności funkcyą F jest funkcyą całkowitą jednorodną stopnia m-go, to w każdym wyrazie liczba zespolona x występuje m razy jako czynnik.
Wyobraźmy sobie, że we wszystkich wyrazach rozwinięcia strony drugiéj usuwamy liczbę x z połączeń [ xr], otrzymamy wtedy wyrażenie, w którem miejsca, zajęte poprzednio przez liczbę x, są pustemi. Oznaczmy to wyrażenie dla skrócenia przez a, wyrażenie tedy funkcyi ir,(|«rr2j, . . . [<r rM]) stanie się nadzwyczaj prostem, bo przybierze postać
axm,
która ma właśnie oznaczać, że w wyrażenia a z pustemi miejscami ["Luckenausdruck„, jak się wyraża Grassmann] w każdem z tych miejsc umieszczamy zmienną
33. TWIERDZENIE ZASADNICZE.
"Jeżeli dwie funkcye całkowite zmiennych xv cc2, ... xn są toźsamościowo równe, wówczas współczynniki odpowiednich wyrazów są równe,,.
Niechaj będą dwie funkcye całkowite toźsamościowo równe: F (.Tj, tTg, . . . Xu) = Cait ax.. . an X^ai * * * 9 F (^TJ, • • • TTN) " ^ ... AU ^I"1 • • • CCN°'N»
wyrazami ich odpowiedniemi nazywamy dwa wyrazy, w których wykładniki przy każdéj ze zmiennych są odpowiednio równe2.
Uporządkujmy obie funkcye dane według potęg jednéj ze zmiennych np. zmiennéj xiy względem któréj niechaj funkcye będą stopnia m-go; przyjmą one tedy postać
Fx = J£fłt{l)(*2« *S • . • F2 = 2:/k{2)(*2Vr3 • • •
gdzie /A (1)./A(2), sąfunkcyami, zależnemi tylko od pozostałych zmiennych .r2, . . . xn. Ponieważ funkcye Fx i F2 są toźsamościowo równe, różnica zatem F{ — F2 dla każdéj wartości zmiennéj xv [przy danym układzie wartości pozostałych zmiennych x2, «r3 jest toźsamościowo zerem; a więc
Jeżeli za xx podstawimy tu kolejno m liczb dowolnych ale różnych a, /?,... otrzymamy następujący układ równań:
(/o(1,-/«,20 + (fia>—fi(2])a + (f9V -/2<2')«2 + ■+ (/.»<" = 0
t/o(1,-/o(-J)+(f^-f^p+W>-/,«) ...+</m(1) -/W" =0
(/o"'-/o'2Jj++(j\<u /V!V+...+<fJx)-U2) K"=o
Jako układ równań względem różnic
/o(1)-/o(2), /i(1)-/i(2), • • • jest to układ jednorodny i liniowy; ponieważ zaś wyznacznik tego układu, t. j. 1, a, a2 . . . a'" i, P • . . (?» 1, y} .
jest różny od zera, gdy a, /?, . . . x są liczbami różnemi3, co było wyżéj zastrzeżone, na podstawie więc znanego twierdzenia [art. 26.] wnosimy, że musi być koniecznie
/o0)-/o(2) = 0, /i(1)-/i(2)= 0 . . ./„W-/,,,<*>= 0.
skąd wynika następujący układ funkcyj toźsamościowo równych, zależnych od zmiennych x2, xZ) . . . xn;
fjl> =/u(2), /1(2>=/1<2>. . ./„(') =/J2'.
Jeżeli do dwóch funkcyj każdego z tych układów zastosujemy metodę, użytą przy funkcyach Fx i F2i dojdziemy do równań, wyrażających tożsamość funkcyj, zależnych od n — 2 zmiennych x3,x4, ...xn Fostępując kolejno tąż drogą, dojdziemy wreszcie do równań
c(i> _ cW
co było do okazania.
Z twierdzenia powyższego wyprowadzić można wiele ważnych wniosków, z których przytoczymy następujące:
I. Jeżeli funkcyą całko wita jest toźsamościowo zerem, to jéj współczynniki są zerami.
II. Jeżeli dwie funkcye całkowite Ft i F2 stopnia m-go zmiennéj x są równemi dla m-j—1 różnych wartości téj zmiennéj, to funkcye te są toźsamościowo równe.
III. Jeżeli funkcyą całkowita stopnia m-go zmiennéj x staje się zerem dla m-(-1 różnych wartości téj zmiennój, to jest toźsamościowo równą zeru. 34. ILORAZ FUNKCYJ CAŁKOWITYCH.
Niechaj będą dwie funkcye całkowite F i / stopnia m-go i n-go, [m nie mniejsze od n], a mianowicie:
F = % -f + . . . -f -f
/ = «0 + a*"1-f. . x + bn.
Oznaczmy dwie inne funkcye całkowite Q i R, jednę stopnia (m-n)-go, drugą stopnia (n —l)-go:
ą = . . . +
tak aby zachodziła tożsamość
F = /Q+R.
Pomnóżmy funkcyą / przez funkcyą Q i dodajmy do iloczynu funkcyą i?, następnie porównajmy współczynniki otrzymanéj funkcyi ze współczynnikami funkcyi F. Na podstawie twierdzenia w art. poprzedzającym podanego, otrzymany układ m-j-1 równań
K =
bi co + C1 = «„
^ bm_n w—j— . . . =
m—n
+ d\ = an+2
w których dla symetryi wprowadzono współczynniki bUĄ.\>bnĄ.2,...bm, równe zeru. Z równań 1. możemy wyznaczyć [porówn. art. 26.| m-\-\ współczynników
a więc tem samem funkcye Q i R, z których pierwsza nazywa się ilorazem funkcyj F i /, druga resztą z podzielenia funkcyi F przez przez funkcyą /.
Do wyznaczenia m — n -]-1 współczynników ilorazu wystarcza
m-n-f-1 pierwszych równań powyższego układu, a mianowicie dla wyznaczenia współczynnika cr — n] dość uwzględnić tylko r
pierwszych równań. "W saméj rzeczy, wyznacznik układu r pierwszych równań jest:
bQi0 ,0 , . . . 0 5 0 , . . • 0
=
br , br_u br—2? ... ^o współczynnik zaś cr przyjmuje postać wyznacznika
ao> 0 , . . 0 <*1> » . . 0 —1 > • 2.
(?r =

Celem wyznaczenia współczynnika dr reszty [r=0,l,2,...n-l] uważmy układ, złożony z m—n-\-\ pierwszych równań 1. oraz z jednego z równań, które po nich następują, mianowicie równania
btn_nĄ.rJr\ C0 + bm-n+r Cx -j. . . -jbr_x Cm_n -\-dr= a,n_„_J
będziemy mieli tym sposobem układ m — n-\-2 równań, z którego rugując m — 1 liczb c0, cv . . . otrzymujemy jedno ró
wnanie ,. . . ,0 ,. . . ,0
,0
A
> a0 , ax

Rozkład tego wyznacznika na dwa inne daje:
= 0.
b>n—n > w—1> • • • ? ^o
w+r-fl, n-f-rj • • • > ^r-f-1, H-fr+1 fi ...0 , 0 ...0 ao A ...0 , 0 ...0 bm- -n —n—\» 0 > b ui— -w—1 K -nĄ-rĄ-lfim- —w-j"'"*' 9 dr

skąd za pomocą łatwego przekształcenia dochodzimy do wzoru
a0, at . • —u—1> Q>m—n ł w-j-^+l (>n—n) (m—w—1) ( — 1) 2 0,0.. 0,0,.. .0 yb0
• Ą) » , ^42

• ^/w-f-w—2> bm—n— -Ił ^/•-f-wł—u • 1? bm—n
Wzozy 2. i 3. dają szukane wyrażenia współczynników ilorazu i reszty za pomocą współczynników funkcyj danych. Możemy też wyrazić sam iloraz i resztę bezpośrednio pod postacią wyznaczników. Jeżeli mianowicie do powyższego układu m—nĄ-l równań dodamy tożsamość
+ . . . Q = 0,
będziemy mieli układ m-n-\-2 równań, z którego rugując
3. dr =
* • * Hi
= 0.
otrzymamy związek «o ,0 0 1 h 0 a2 > > • . , . . 0 n—1? • • . ybv b0 a n Tm—?i— 1
Wynika z niego 4.

  • * * »—1 > Wj 0

(m—ti) (m—n—\)
4. Q~-
bQr"-H-H
0 , 0 , 0 ... 0 , 60 ,1 0 , 0 , 0 . . . b0 ,b{
0 , j . . . b/n—n—2 y b,n—n—\^n "n 1 * * w—1 j b/n—n >
Gdy zaś w wyrażeniu reszty R=d0xn~1 -}di 2-(. . .
podstawimy wartości 3. współczynników dri dojdziemy po odpowiednich przekształceniach5 do wzoru: («i— mi (M—N—L)
5. ' 0,0, . 0,0,. . Cl/N— N . 0 . f>0 — 1) AM—1) ,F 0 , i0, . -2J b/N-N- 60, 6lf . • b/N—7I- -lł B»I—N , xm~"/
Niechaj w szczególnym przypadku funkcyą / będzie stopnia pierwszego, i dajmy, że
f=x-h.
Dla otrzymania ilorazu i reszty należy tedy w powyższych wzorach położyć
K = 1> bi = — h> b2 = h = ••• =0,
6.
skutkiem czego dla kolejnych współczynników ilorazu otrzymujemy
= ao
= c0h c, = c{h-\-a2
C>n—\ — cm —2 ^ "T" a>»—
skąd wynika:
a0
au7'+al
Cn =
Co =
7.
a0 k'2 -\-a{ h -ja2
= a0 ^-i-f-aj h'»-*-\-a2h»>-*-ł. . . a,^; reszta zaś R sprowadza się do wyrazu t. j. do wartości funkcyi F przy x = k, którą oznaczamy przez F(h). Jeżeli więc dla x = h będzie F(h) — 0, to:
F=(x-k)fv
gdzie /i jest funkcyą o współczynnikach c0, cv. . . cm__u wyżéj wypisanych.
Jeżeli funkcyą F staje się zerem dla m różnych wartości zmiennéj np. dla x — hu h2 . . .,hm, wtedy, na zasadzie powyższego, będzie najprzód
F = (x—h)fx,
gdzie J\ jest funkcyą oznaczoną stopnia M I-go, która nie jest zerem dla x = h, lecz musi stawać się zerem dla x = k2} hs. . ,hm. Z tego powodu można znów funkcyą fx przedstawić pod postacią
fy — (x-h2)f2)
gdzie funkcyą f2 stopnia m—2-go nie jest zerem dla x = li2, lecz staje się równą zeru dla x=:k3y . . . ,h)n. Można tedy napisać:
F=(x-h2) (x-h2)/2
oraz
f2 = (x—/i)/8,
gdzie/3 jest funkcyą stopniam —3-go. Postępując tą drogą daléj, otrzymamy funkcye/4, . . .fm-ufm kolejno stopnia m—4-go, t/ł—5-go.... 1 "go, 0-go, z których ostatnia /,„ jest równa współczynnikowi a0. Tym sposobem dochodzimy do następującego rozkładu funkcyi danej:
F (x) = a0 (x—h2) ...
t. j. do rozkładu funkcyi całkowitéj m-go stopnia na m czynników stopnia pierwszego.
Funkcyą Fstopnia m, stając się zerem dla m różnych wartości zmiennéj x, t. j. dla hly h2y . . . nie może być już zerem dla żadnéj innéj wartości zmiennéj, chyba, że [na zasadzie twierdzenia w art. 34. | jest toźsamościowo równą zeru.
Oznaczenie liczb hu h2, . . . ,h)n dla każdéj (lanéj funkcyi F(x) t. j. dla funkcyi, któréj współczynniki są dane, należy do Algebry.
35. NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK.


gdzie reszta Rx jest funkcyą całkowitą stopnia nv nie większego od n — 1, iloraz Q jest stopnia równego m —n. Podzielmy funkcyą przez funkcyą R i niechaj będzie
/ ^z R{ -{7?2;
Reszta R2 będzie stopnia ?i2, nie większego od nt—1, funkcyą zaś Q stopnia n—nl. Postępując tą drogą, dochodzimy do następującego układu równań:
F = + Ą / = Rx Q3 + i?2
1.
Ąe-1 ĄeQ/e
w których stopnie reszt i?,, R2, . . . R^+i są kolejno: n2 < 7is < n2 . . . nrl<stopnie zaś ilorazów Q1...Q/ł są: m—m, — w,, w2 . . . Współczynniki wszystkich ilorazów
i reszt można wyznaczyć na podstawie wzorów, podanych w poprzedzającym artykule.
Widzimy stąd, że podstawiając wyrażenia reszt ^,-2
205
35]
NAJWIĘKSZY WSPÓLNY DZIELNIK.
Z równań 1. otrzymujemy:

u— 1
  w poprzedzające równości, kolejno otrzymywane, dochodzi się do związku
w którym Pfi i Qu są funkcyami całkowitemi zmiennéj pierwsza stopnia n—n,n druga stopnia m — n,n o współczynnikach, które dają się wyrazić wymiernie przez współczynniki funkcyj danych F i /.
Kolejne działania, wykonywane według algorytmu, wskazanego w równaniach 1., doprowadzają ostatecznie do reszty równéj zeru. Niechaj taką resztą będzie R^+z. Poprzedzająca reszta Ru+i stopnia nu+j będzie albo stałą, różną od zera, wtedy nfl+x = 0; albo też pewną funkcyą całkowitą zmiennéj wtedy nu+x > 0. W każdym razie ta poprzedzająca reszta Ru+u na mocy równania
Rtu — Rfl+1 Qfi+\,
będzie dzielnikiem reszty Ru, a więc na mocy równań 1. będzie dzielnikiem kolejnych funkcyj Rfl±uRfl-2...R,f9 F. Jest ona największym wspólnym dzielnikiemfunkcyj / i F. Jeżeli Rfi±i jest stałą, różną od zera, to funkcye dane F i f nie mają żadnego wspólnego dzielnika, który byłby funkcyą całkowitą i nazywamy je wówczas względnie pierwszemi; jeżeli zaś Rfi+\ jest funkcyą całkowitą stopnia nu+mówimy, że obie funkcye Fi/ za największy wspólny dzielnik mają funkcyą całkowitą stopnia »/e+s.
W przypadku gdy funkcye F i / są względnie pierwsze, gdy więc RuĄą jest stałą, od zera różną, możemy równanie 2., przez podzielenie przez sprowadzić do postaci
3. 1 =PF-\-Qf;
gdzie funkcyą całkowita P będzie stopnia najwyżéj n — 1-go, funkcyą całkowita Q stopnia najwyżéj m — 1-go. Kładąc:
P = pQxn-i + plx»-*-\. . .
Q = % 'v>n~l •+P\ . . .
możemy współczynniki p i q oznaczyć tą samą metodą, jakiéj użyliśmy w poprzednim artykule do oznaczenia współczynników ilorazu i reszty. Mnożąc P przez F, Q przez /i stosując twierdzenie artykułu 33. otrzymujemy układ -n równań 35]
207
NAJWIĘKSZY WSRÓLKY DZIELNIK. % Po
a2P0+aiPl+aQ Pl
+!>lq0+b0ql
= 0 = 0

am+Ji-2Po+aM+H--dPl+"'+ar»PH--2+<*M—lPn—l Jt-bmĄ.n _ -\-bmJrn i-.. .4 ^ » q,n-2+b>t\Q/n-\' amĄ. p{t 4 + 4»—1 +.. ^m-2-f Ąm -1:
w który ch dla sy metry i wprowadziliśmy współczynniki
równe zeru. Z tych wi-J-rc równań oznaczymy m-\-n współczynników
Po> Pi • • • <7O> • • • SW-I-
W saméj rzeczy, jeżeli wyznacznik układu powyższych równań, t. j. wyznacznik | podany przez SylvesteraJ a0, av a2 . . . ,0, . . 0 0 , a0, fl! . • 1? an •1 5 . . 0 0,0 . 60, . . . . . , 0 . . . 0 , 0 . . 0 0 , 60,. . . 0,0,.... .. h .
oznaczymy przez C0, a wyznaczniki cząstkowe, odpowiadające elementom ostatniéj kolumny, oznaczymy odpowiednio przez
0 1
C'oo> Ool . . . C0l n—l, B00, D0,1 . . . Do, m—lł otrzymamy
i~n—l h—m— i
C0 = F £ C0ti**-<-*+f Z
1=0 A=0
r* — ' — n
a równanie 3. przyjmie postać 4.
Gdy więc funkcye F i / są względnie pierwsze, zachodzi związek 4. w którym C0 jest od zera różne, i odwrotnie, jeżeli wyznacznik C0 jest różny od zera, zachodzi związek 4. lub 3., funkcye F i / są względnie pierwszemi.
Gdy wszakże wyznacznik C0 jest toźsamościowo zerem, funkcye F i /, jak to zaraz okażemy, mają za największy wspólny dzielnik pewną funkcyą całkowitą stopnia Q-go [ęS^l]. W saméj rzeczy, związek 2., gdy w nim uczynimy przez X0 zaś rozumieć
będziemy resztę JSei w którój współczynnik przy otf uczyniliśmy równym 1, a zamiast P^ i Q/t napiszemy wprost P i przedstawić można pod postacią
5. X0=PF-\-Qf.
Kładąc
F = P0 . . . ,
możemy metodą poprzednią wyrazić współczynniki PI • • 'PN-Q-1 ? <7o» • • •
oraz
przez współczynniki funkcyj danych /'T i /. Jeżeli oznaczymy mianowicie wyznacznik al, «2 a2 • . . amĄ.u-. 2o—2

bo, h ht. . KM b{ . . • • —o
przez Ce, a jego wyznaczniki cząstkowe, odpowiadające elementom ostatniéj kolumny, przez
znajdziemy, jak wyżej;


a związek 5. przyjmie postać
i = o
Zachodzenie tego związku stwierdza, że funkcye F i / mają za największy wspólny dzielnik DQXQ, t. j. funkcyą całkowitą stopnia £-go, a nie mają dzielnika stopnia wyższego. Gdy więc wyznacznik C0 jest zerem, wyznacznik zaś Cx nie jest zerem, funkcye Fi f mają za największy wspólny dzielnik funkcyą całkowitą stopnia pierwszego C\ Xv Gdy wyznaczniki C0 i Cx są toźsamościowo zerami, wyznacznik zaś C2 nie jest zerem, funkcye F i / mają za największy wspólny dzielnik funkcyą C2X2 stopnia 2-go. Wogóle, jeżeli
C0 = 0, Ci = 0, Ce_x = 0
wyznacznik zaś CQ jest od zera różny, wtedy funkcye jFi / mają za największy wspólny dzielnik funkcyą CeX0 stopnia £-go, anie mają wspólnego dzielnika stopnia wyższego6. Jeżeli nakoniec
Cą — 0, C\ — 0, . . . Cn,
to wtedy funkcja / jest sama dzielnikiem funkcyi F. Tak więc
Co = 0,
przedstawia warunek konieczny i dostateczny, aby dwie funkcye F i / miały czynnik wspólny.
Wyznacznik C0 nazywa się rugownikiem funkcyj danych. Twierdzenia te mają ważne zastosowanie w teoryi eliminacyi.

36]
209
ROZKŁAD FCNKCYT CAŁKOWITEJ.
36. ROZKŁAD FUNKCYI CAŁKOWITE.) WEDŁUG POTĘG INNEJ.
Jeżeli F i f są dwie funkcye całkowite zmiennéj x stopni m i n |"m>n], to pierwszą z nich można przedstawić pod postacią
F = + FMf + F®f + . . + F<*)/*,
gdzie są funkcyami całkowitemi tejże zmiennej
14
stopnia co najwyżéj (n — l)-go, p zaś jest liczbą całkowitą nie większą od m/n.
Pojęcia, T. I.  Dla okazania tego twierdzenia7 podzielmy funkcyą F przez/, i niechaj będzie
F= Q/ + 2*°>
Jeżeli stopień funkcyi Q jest większy od stopnia funkcyi /, podzielmy Q przez / i dajmy, że
Q = CIS+FW
Jeżeli stopień funkcyi Q{ jest większy od stopnia funkcyi /, podzielmy znowu Qx przez /, otrzymamy tedy
Qi = Q2/ +
Prowadząc to działanie w dalszym ciągu, otrzymujemy szereg równań
Q,p-2 = Qp-if + Znajdujemy z tych równań
F = Qf + I<<°> = + 2*» )/ +
= JFW + i'7(1)/+ (Q/ + 2<^>)/2 = F^/4+ Q2/3
Ostatecznie więc, jeżeli Qp-i oznaczymy przez dojdziemy do wzoru, który należało dowieść. Z natury ilorazu wynika, że funkcye F<°>, FW, . . . jpte-1) są wszystkie stopnia nie wyższego od n— 1, stopnie zaś funkcyj Q2, . . . są odpowiednio nie wyższe od w — w, w — 2??, . . . m — np, a zatem np musi być
.. m mniejsze od m, czyli p <! — .
n
37. FUNKCYE SYMETRYCZNE.
Określenie funkcyj symetrycznych podaliśmy już w art. 32. Nie wdając się tu w szczegółowy wykład teoryi tych ważnych form matematycznych, chcemy tu podać niektóre tylko ich własności zasadnicze8.
Przedewszystkiem rozpatrzmy iloczyn
1. (.r — (.?•—,,r2) . . . (> -«r'w)
Który, jak to bezpośrednio widać, jest funkcyj symetryczną zmiennych Wykonawszy mnożenie, otrzymujemy funkcyą 1. pod postacią
%Vn — #2 • • ♦ "ł~ *~f"('^i'^~t~ • • • ~ł~ 1 2
-(• • • -f( l)w (Cx «r2 . . .
t. j. pod postacią funkcyi całkowitéj stopnia ?*-go względem zmiennéj x
2. <r» — px + .r»~2 -f . . . + ( — 1 )np„.
Współczynniki téj funkcyi, t. j.
Pi = lVi *ł" "f* • • •
2>n = • • • 'cn
są funkcyami całkowitemi, jednorodnemi i symetrycznemi zmiennych xx, #2, . . . xn. Funkcye symetryczne 3., które oznacza się dla krótkości przez
4. Pi = £ 2 == Z '^i • • • V>i ==z Z ,l\ • • nazywają się funkcyami symetrycznemi elementarnemu.
Funkcye jednorodne
"I" ~f~ • • • "f" xn i
które oznacza się krótko przez sr lub 2xxr9 t. j. sumy jednakowych potęg zmiennych xv ,r2, . . . są funkcyami symetrycznemi jednorodnemi; funkcye te możemy wyrazić, jak to zaraz okażemy, za pomocą funkcyj symetrycznych elementarnych. W saméj rzeczy, według 2. i 3. mamy
5. a* — Ą-p2xłl~2 — ... + ( — 1 YPil=(x —ax) (<v—x2)...(,v—,v„).
Druga strona téj równości jest podzielna przez każdy z iloczynów ,v—xx> ,v—,r2 . . . toż samo więc stosuje się do strony
pierwszéj. Iloraz z podzielenia strony pierwszéj przez którykolwiek z tych czynników jest funkcyą całkowitą stopnia (w —l)-go. Współczynniki funkcyi całkowitéj, jaką otrzymujemy, dzieląc stronę pierszą równości 5. przez ,v—xrj oznaczmy przez p^r\ p2(r) • • • Pn-i(r)l sam więc iloraz będzie miał postać
6. ....+(-1ypp*"-*... + i-iy-Ynli-
Współczynniki funkcyi 6., obliczymy według wzorów 7., w art. 34; współczynnik będzie miał wyrażenie następujące:
t = 1, 2, . . . n—1. Ponieważ zaś na zasadzie wzorów 6. w tymże artykule 34. jest
Pi =płr) +Pi-i{r)*r,
otrzymujemy przeto
r = l, 2, . . . n.
Sumując obie strony względem r, i zważając, że stosując wzory 3. do funkcyi 6., mamy
dochodzimy do związku:
7. — +p25<_2...+ ( — l)'-1 +(-l)< 2>,= 0
i = 1, 2, . . . n—1.
z którego wynikają tożsamości
SI — P\ = °>
A 5i + -P2 = 0 >
8. sl —pls2+ p2s1 — 3/>3 = 0,
Sn-l—p^n-i +p2Sn_2 . • • + ( — 1 ^(tt — 1) = 0,
znane pod nazwą wzorów Newton a9. Za pomocą z nich wyrażamy sv s2y . . . i przez />2, . . . to jest przez funkcye symetryczne elementarne. Rozwiązując równania 7., względem 5J u otrzymujemy 2Ps, 3;?r . Pi > p2 . . A-i ! •
ł
| 1 , Pi • • P/— 2 1 o, 0 , 0. . . . . fi
Dla obliczenia funkcyj symetrycznych 8g o skaźniku większym od n — 1, pomnóżmy tożsamość
Xrn-P{ . . . + (■~ 1)*Pn = 0
r = 1, 2, . . . n.
przez xrk, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą, i w otrzymanéj nowéj tożsamości
a*\*—px Xrn+k-1 +prVrnJrK'~2. . . +( —1 )*Pn*rk = 0
zmieniając r przez wszystkie jego n wartości, a następnie sumując wszystkie tożsamości, znajdziemy równość
9. 1 + P2+ . . . (—l)nPnSk = 0
k = 0, 1,2 . ..
pozwalającą nam obliczać sni s,t+lt . gdy znamy już sly e2...s, i stwierdzającą zarazem, że wzór 9. jest wzorem ogólnym, służącym dla dowolnych wartości skaźników 2, byleby współczynniki p, ze skaźnikiem i większym od n uważać za zera. Wzór 9. można przedstawić pod postacią
10. «, • •.PiW'-P..x»
gdzie kv A2, . . . kn czynią zadość równaniu warunkowemu
+ 2l2 + . . . + n = i.
Wzór ten znany jest pod nazwą wzoru W a r i n g a10.
Naodwrót możemy wyrazić funkcye symetryczne elementarne przez sumy jednakowych potęg, to jest przez funkcye s. Mianowicie z powyższych równań 7. dochodzimy do wzoru ogólnego. S17 S2» S 3 . . 8g 1 . • —1 0,2, Sj • • . 2 1.2.3...i 0,0, 0. . . . 81.
W badaniach Wrońskiego ważną rolę odgrywają funkcye. symetryczne, które nazwał funkcyami ale/; powstają one, gdy w rozwinięciu m-éj potęgi wielomianu [porówn. art. 32.] uczynimy wszystkie współczynniki równemi jedności. Funkcye te oznaczać bę- dziemy11 przez Am (xx ... + au)> lub gdy nie zachodzi
obawa dwuznaczności, wprost przez Am\ jest zatem
12. . .xH«*
+ «2 + • • • + «>, = m.
Funkcye alef dają, się wyrazić za pomocą funkcyj symetrycznych elementarnych. W saméj rzeczy, z łatwością dostrzegamy, źe
A + + . . . + = ^'i + x2 + ... + xtl = p19
— (x1X2+ . . . + X„_1xtl)y
gdzie A0(x, • • • uważamy jako równe l.
(iVl 4"łr2 • • • ,?'*/<) = («?;i | • • | )*2 (A1
~ 0*1*2 + • • • 0*l+'*2+ • • • + -\-(x1 X2X.Ą+ . . . —JXU—2 Xn).A0 -fA>2~f" • • • &11)
co prowadzi do następującego wzoru12
13. Ai =px Ai-y —p2—Pi Ao
którego ogólność stwierdzić można za pomocą przejścia od At do Af+1 .
Z wzoru 13. wynikają następujące wyrażenia funkcyj alef pierwszych ośmiu rzędów:
A =Pv
A2=Pi2-P2>
A =Pi:i — 2Pi P2 +ft>
A = Pi4 ~ 3 Pi2P2 + 2 Pi P* •+ Pł Pi >
A = Pi5 -iPi*P2 + 3 Pl">3 + 3 Pl Po2 ~ 2Pl P4 2 P2 Pił +P5> A=Pl6^p/pg+ip^^ps + ^pi2^2ZPl2P4-6PlP2P* + 2 Pi Pr, P23+ 2 P2 P4 +P32 ~ Pt;?
A =Pi76Pi5ft + 3ft4ft+ 10PI3P32 — 4pl3p4-l2p12p2p3 + 3 Pip23 + 3Pi P32 + 6 Pj p2p4 2 P, p6 + 3 Po2 p3
- -P2/?5 -2p3p4+p7ł
7P!6P2 + 6p!5p3 -flop/po2 5p/p4 20p13p2p8 + ^P13P5 + 6pA2Pa2-10p12p23+12p12p2p4~3p12p<; + iSPlPo2/^ —SP1P2P-0 — ^PlPsP4+ 2PlP?+P24
- 3P22P4— 3P2P3L, + 2ZJ2P6+2P3P5+P42— PSOgólnie można wyrazić funkcyą alef pod postacią wyznacznika Pl t Psi P:i • . P< Pv?2 ' . . p<-1 14. 0, 1 ,Pi . . P<—2 0, 0 , 0 • . . .pt
który służy dla wszelkich wartości dodatnich skaźnika i, byleby wartości p, dla skaźników i większych od n uważać za zera.
Na podstawie wzoru 13., możemy otrzymać związek pomiędzy funkcyami alef a sumami równych potęg, wyrażający się wzorem
15. . . . +
Wzór 14., można przedstawić pod postacią analogiczną do wzoru W a r i n g a, mianowicie
16. ^ = P2li-P»x" >
Aj! A2! •. ,
X, + 2 X2 H-... + n =£
Gdy rozwiniemy tu stronę drugą, dojdziemy do wzoru, podanego przez Wrońskiego13:
17. At = Vl<
Pi'"6 {(*-3)Pi2P4-H«-3)2I-' PlPiPt
Strona druga przerywa się na wyrazie, w którym wykładnik przy staje się ujemnym; symbole («'—2)2l—1,(e — 3)3'""1,.. i t. p., I2'1,l3'1... mają znaczenie, które objaśnia wzór
M±» = l (l±n) (l±2n)... (l±(m—l)n).
Za pomocą wzoru 16. lub 17., można obliczać kolejne wartości funkcyj alef, potrzebne zwłaszcza w tak zwanéj teleologicznéj metodzie Wrońskiego rozwiązywania równań algebraicznych. Wyżéj podane wyrażenia fuukcyj alef ośmiu pierwszych rzędów zawierają się oczywiście w tym wzorze.
Zauważmy, że na zasadzie określenia 12. funkcyą alef At jest funkcyą symetryczną jednorodną, którą można rozłożyć na sumę funkcyj symetrycznych prostych
/r> f /*> V<m i— 2 /)> 2 V*ł> ' 3 <ł» 3
, ' 2 ' ct,2 • * * *
2 .>> /»t Yłi ?—3 t> 2 .)» ^itj 1 2ł 3? i ' 2 ' 3* * *
Tak np. funkcye symetryczne A2, Az, .. . wyrazić można w ten sposób:
A == ,
A2 = £x12-l-J£.vlx2,
Aq ... ^md \ ^—|—^mj ^^ g | ^\ '
Ah = 2>i 5 + £xl 4 X2 4" ,<tT2«r3 + 3
—{" CCpC^ł "i" ^d 1
" X.2 ^ 3 A>4 Z 2 2,7's 2
~~ł~" 2 #2 2 '^3 '^4 "t" 2 *V3 ,r4 *
i t. d.
W Teoryi liczb stosuje Wroński inną własność funkcyj alef, którą można przedstawić w ten sposób;
18. At(x2 + ^3+ • • • + ■*») — A/fa • • •
=Cvn — ,ri) i (,ri ~ł~ «r2 * • • W saméj rzeczy, z tożsamości
= +'r3+...+*»)'+i ('r2+'r3 +• • Y'"
przechodząc do funkcyj alef otrzymujemy
At (xx + ,r2 + • • • + = + <r3 + • • • ~r x>>)
skąd
Wyrażenie, zawarte w nawiasie, jest oczywiście równe
A-l + • • • + *»)>
będzie przeto
Podobnież
4-^2+' • '^n -1)• » ) —
Odejmując od siebie ostatnie równości, dochodzimy do związku 18. Ponieważ
Xx 1
są dowolnemi z pomiędzy liczb xly «r2..,możemy więc, kładąc za nie xp i i oznaczając dla skrócenia xx+x2+...+xn przez X, napisać wzór 18. pod postacią, nadaną mu przez Wrońskiego 14 19. Ai (X — xp) — Af(X — xq) =z (xq — xp) A,(X).
Wszystkie podane wzory na wyrażenie funkcyj symetrycznych przez funkcye elementarne wynikają z ogólnego twierdzenia, orzekającego, że każda funkcyą całkowita symetryczna może być przedstawiona jako funkcyą całkowita funkcyj symetrycznych elementarnych.
W saméj rzeczy, daną jakąkolwiek funkcyą symetryczną cp uporządkujmy w sposób następujący15. Niechaj oCj będzie wykładnikiem najwyższéj potęgi zmiennéj xx, zachodzącéj w wyrazach téj funkcyi, a2 wykładnikiem najwyższéj potęgi zmiennéj x29 znajdującéj się w wyrazach funkcyi po czynniku xlaa:i wykładnikiem najwyższéj potęgi zmiennéj x3y znajdującéj się w wyrazach funkcyi po czynniku x1a»x2<^f i t. cl.; wreszcie niechaj an będzie wykładnikiem najwyższéj potęgi zmiennéj xn w wyrazach funkcyi po czynniku xia*x2a*. . . x,l_1an-~i. Otóż wyraz
CXxai X2a* . . . xn-1an—lXnan
gdzie c jest współczynnikiem stałym, przyjmujemy za pierwszy wyraz funkcyi cp. Z powyższego wynika, że niektóre z wykładników
a2, a3 . . . a„_i,
mogą być zerami, że każdy z nich może być równy poprzedzającemu, lecz żaden nie może być większy od poprzedzającego. Gdyby bowiem było naprzykład a3>a2, wtedy — ponieważ w danéj funkcyi symetrycznéj być musi i wyraz cx^x2u\v.ia\..xan-\xnan—nie by-
M—1
łoby x2a* najwyższą potęgą zmiennéj x2, następującą po x1a\
Mając już pierwszy wyraz funkcyi cp, przyjmujemy jako drugi jéj wyraz ten, w którym zmienna x, ma wykładnik najwyższy po wykładniku zmienna x2 wykładnik najwyższy po czynniku, zawierającym potęgę pierwszéj zmiennéj i t. d. Tym sposobem będzie
Z wzorów 4., po podniesieniu obu stron pierwszego z nich do potęgi at—a2, drugiego do potęgi a2—a3,. . . ., przedostatniego do potęgi an—aM_i, ostatniego do potęgi a«, a następnie po pomnożeniu przez siebie otrzymanych równości, dochodzimy do związku
20. C.p^-^p^-** .... pH-.ian-an-\pHan = "a2 {£,x\X2)a*-a* ....{J£xvv2...xn)nn
Pierwszy wyraz strony drugiéj będzie oczywiście równy
to jest wyrazowi pierwszemu funkcyi danéj cp.
Jeżeli funkcyą, symetryczną 20. oznaczymy przez P, to różnica cp — P będzie nową funkcyą symetryczną cpx, do któréj można zastosować toż samo postępowanie i dojść w ten sposób do funkcyi symetrycznéj cpv=.cp—Pu gdzie Pt powstaje tak samo jak funkcyą P, przez podniesienie funkcyj elementarnych pi9 p2... do potęg wskazanych przez różnice wykładników w pierwszym wyrazie funkcyi cp{.
Proces ten doprowadza do szeregu funkcyj symetrycznych
(fu p2
czyniących zadość równościom
cp — P = cpx,
Vi — — <f2>
(pi-2 Pi-2 = (pi1>
(pi-1 — Pi = (pi, gdzie funkcyą cp< jest stałą. Z tych równań wynika
co stwierdza właśnie, ze funkcyą cp daje się przedstawić jako funkcyą całkowita funkcyj elementarnych.
Sposób, w jaki dowiedliśmy ogólnego twierdzenia o funkcyach symetrycznych, jest zarazem metodą przedstawiania ich za pomocą funkcyj symetrycznych elementarnych. Metodę tę obmyślił W aring.
Przykład. Niechaj będzie dana funkcyą symetryczna Pierwszym jéj wyrazem jest
o
Xl' 2~ t/?3>
zatem a{ = 3, a2 = 2, a3 — 1; — a2 = 1, a2 — a3 = 1. Tworzymy
220 CZĘŚĆ I. ROZPZUŁ VII. [37
P = Pj Pz = . JS* *
Wykonawszy iloczyn funkcyj symetrycznych £xi, ^ otrzymujemy funkcyą symetryczną
3 2 iPj ■■ J 3 j^J X| 3 <^4 3^^ 2 X*22 Xg 2 | B ^ 2 3
J 22 2 X%2 Xą Xr) —60 i2?2 XĄ tTiTg,
skąd
(pl = cp — P = — 3 X2 x3 XA 3 2 2 8 JS*^!2 x22 x.ó x±
~ 2 2 ^^ 2 i^j iP^ tPj 6 0 ^
Pierwszym wyrazem funkcyi cpx jest
a kolejne różnice wykładników są
2, 0, 0, 4;
tworzymy przeto funkcyą symetryczną
Px = 3 Pl2P-i == 3 l73
=== — 3 ^^ 3 X%2 XQ — G Xj ^ ^4 — ^ / ^^ 2 X2 Xr)
90 '^2 '^4 lVó
oraz różnicę
— —~ — — 3 j^i x.2 — 2 Xi ^ x2^
X\ " ,r2 ,r3 ,r4
X2 X.J x4 xb X{].
Pierwszym wyrazem funkcyi cp2 jest
3
rrt 2 /y» 2 » 2 CC ^ 2 3 J
a kolejne różnice jéj wykładników są:
0, 0, 2;
tworzymy przeto funkcyą
P2 = — 3p32 = — 3 (2? «r3)2
= — 3 J£X12x22X32 — 6 2?X12X2*X3 Xa — 18 2£Xx2X2Xz x±xb
— 60 2j xlx2x.AxAx:tx., skutkiem czego będzie:
cp-s —cp2—P2=iZxx2x22x%xa -f 23Zx{2x2x.ixAx:j + x2x.ixix:>x(t, gdzie pierwszym wyrazem jest
4 " x\) a kolejne różnice wykładników są
0, 1, 0, 1.
Tworzymy funkcyą
pz = = 4 2 xxx2. Z xx x2x3 xA
+ 16 Z
-f 60^
tak że
9>4 = 9*3 — P3 = 7 + 30 j; ^ ^ ^
gdzie pierwszym wyrazem jest
7 " x2 Xq Xą xb , a kolejne różnice wykładników wynoszą
1, 0, 0, 0, 1.
Tworzymy daléj funkcyą
^4 = 7 Pi Pt, = 7 2 x2 X4 *5
= 7 Z x\ #2 X3 Xi Xh ~ł~ ^ 2 x\ X2 Xi Xi Xb Xe a więc
cPb = P\ — P\ = — 12Zx1x2x^xAxyrC). Pierwszym wyrazem funkcyi pb jest
—12 xx x2 «r3 xb kolejne zaś różnice wykładników są
0, 0, 0, 0, 0, 1;
tworzymy więc funkcyą
P5 = — 12= — 12^^x2x3x4x5 skutkiem czego "będzie
Pe = Ps-p5 = °>
tak że ostatecznie to jest WP4 3p32+4p2p4 + 7p1p5 12p6
Z tego przykładu widać, że przedstawianie funkcyj symetryczny cłi za pomocą, funkcyj symetrycznych, w zasadzie proste, jest jednak w wykonaniu za pomocą metody Waringa żmudne, bo wymaga wielokrotnego mnożenia funkcyj symetrycznych elementarnych.
Zauważmy, że ogólny kształt każdéj funkcyi symetrycznéj, wyrażonéj przez funkcye symetryczne elementarne, jest
21. cp — Z Ap^pJ*. . .pn}'» ,
zadanie przeto, o którem mowa, sprowadza się do oznaczenia najprzód wykładników l2 a następnie współczynników A we wszystkich wyrazach. Oznaczenie wykładników jest rzeczą łatwą i opiera się na pojęciu tak zwanéj wagi, wprowadzonem przez Cay1 e y'a i S y 1 v e s t e r a.
Przy sprowadzaniu funkcyi symetrycznej
22. cp = Za^-cc.f • •
do postaci 21. zachodzi mianowicie, jak to zaraz okażemy, ta ważna okoliczność, że stopień funkcyi 21. jest równy najwyższemu z wykładników av a2 . . . a«, wykładniki zaś Xl9 ),2 . . . Xn czynią zadość równości
23. 4-2^2+ • • • = • • •
W saméj rzeczy, jeżeli w wyrażeniu 21. zamiast p2, . . . pn napiszemy odpowiednio, co jest dozwolonem na mocy równań 3.,
/j xk-\-mv l2xk-\~m2 .... ln >v,-{mn,
gdzie Z1? są funkcyami całkowitemi zmiennych
. . . i. . . otrzymamy wyrażenie
p — 2 (li (^2 .
którego stopniem względem jest oczywiście najwyższa wartość sumy • • • zaś jest równa najwyższemu z wy
kładników1 aI?a2 • • • a»Daléj znów, gdy w 22.
zamiast v.)f
napiszemy Qx2,...Qxtl, to cp przejdzie w jednocze
śnie zaś funkcye symetryczne elementarne p^ . . . pn jako funkcye jednorodne, na podstawie twierdzenia w art. 32., przechodzą w 9Pn • • • QvPm przez co druga strona równania 21. staje się otrzymujemy więc
skąd bezpośrednio wypływa warunek 23.
Liczba Aj-j-S^-j-.. nazywa się wa^g wyrazu
Funkcyą, któréj wyrazy mają wagi równe, nazywa się izobaryczną. Przykłady
Funkcyą . . . = pt ma wagę równą 1.
Funkcyą 2£<v1x2=p2 ma wagę równą 2; takąż wagę ma funkcyą symetryczna
i* V + 2 JE = Pi2
Funkcye:
^ ,r2 ,? 3 ~ Pz ? ^ 2 iTj 3 Ji CC2 #3 = Pi P2> Z 3 32 tY2 ,r3 ==
mają wagę równą 3. Funkcye:
Z ~f~ ^ lV2 XA — Pl Pi
2CC2Ź #2 ,r3 ^ £ ,rl ,?>2 ,r3 ,r4 — 2;22
i t. d, mają wagę równą 4.
Twierdzenie powyższe ułatwia wielce przekształcanie funkcyj symetrycznych dowolnych na funkcye elementarne. W saméj rzeczy, jeżeli mamy przekształcić funkcyą np. Z3<r22, to wiemy na zasadzie tego twierdzenia, że odpowiadające jéj wyrażenie, złożone z funkcyj elementarnych, musi być stopnia trzeciego i wagi równéj 6., t. j. że zawierać będzie wyrazy p1p2ps,Pi2p4,p32,p2P4Pu Pat pozostaje więc tylko oznaczenie współczynników.
Do tego celu służą specyalne tablice funkcyj symetrycznych, ułożone przez Meiera Hirscha16, Cayley?a17, Faa de Bruno18
V v
Rehorovsky'ego19. Objaśnimy tu układ i sposób użycia takich tablic według symbolistyki C a y 1 ey'a.
Funkcye symetryczne oznacza się za pomocą symbolu, zawierającego wykładniki jéj elementów, tak np. funkcyą 2xx oznaczamy krótko przez (1), J£xvv2 przez (11) lub (l2), 2JXxX2Xz przez (111) lub (13), 2JXx*X2 przez (31), 2£xl3x22xs przez (321), JSx1ix29xzx4xb przez (43111) lub (4313) i t. d.
Funkcye symetryczne, wyrażone przez funkcye elementarne, oznaczamy za pomocą podobnych symbolów, w których wykładniki zastępujemy wagami. Musimy wszakże zwrócić uwagę na to, że w tablicach funkcyj symetrycznych zamiast
V 1> PFR PI 9 • * P* • • • •
znajdujemy gdzie:
a\=—Pvao=P2->az=—Pv • • • ( — • • «»=(—
Funkcyą a/-a/'a/'... oznacza się za pomocą symbolu a"*' a"*'"... tak że np.
«i2= l2, «22= 22, a2«3 = 23, «4 = 4, a14d2=l42, a1a2a3=123, ax3a22a3 — 13223, i t. p.
Przy takiem znakowaniu, funkcyą, którą obliczyliśmy wyżéj za pomocą metody Waringa, przedstawi się pod postacią
(321) = 123 3.124 3.32 -j4.24 + 7.15 12.6
a funkcye, podane w przykładach na poprzedzającéj stronnicy, w sposób następujący:
(l2) = 2,
(2) + 2.(l2)=l2,
(13) = 3.,
(21) -f 3.(l3j = 12,
(3)+ 3.(21) + 6.(13) = 13,
(14) = 4,
(212) + 4.(1*) = 13,
(22) -f-2.(212) + 6.(14) = 22. 37] Fl'NKCYE SYMETRYCZNE, 225
Tablice funkcyj symetrycznych kolejnych wag są tak urządzone, że w kolumnie pierwszéj po stronie prawój są wypisane wyrażenia funkcyj symetrycznych w zmiennych w pierwszym zaś wier
szu poziomym od góry agregaty funkcyj symetrycznych elementarnych; w innych kolumnach i wierszach są wypisane współczynniki. Do każdego agregatu postaci pierwszéj należą współczynniki, znajdujące się w tym samym wierszu poziomym; współczynniki te, przy przekształcaniu funkcyj symetrycznych, wypisują się obok odpowiednich agregatów postaci drugiój. W przypisach20 podajemy tablice funkcyj symetrycznych, odpowiadające wagom od 1 do 8 włącznie, tu zaś na kilku przykładach objaśniamy ich użytek.
Przykłady.
1. Mamy do przekształcenia funkcyą Z ,v12. Funkcyą ta jest wagi =2; znajdujemy ją pod formą (l2) w tablicy2-éj, będzie więc
(l2) = -f1 . I2 — 2.2
t. j.
2. Niechaj będzie do przekształcenia funkcyą, wyżéj podana: JE\vx*<c2ic2v Funkcyą ta jest wagi=6. Znajdujemy ją w tablicy 6-éj pod postacią (321); współczynnikami jéj są
+ 1, -3, -3, + 4, +7, -12 a odpowiedniemi agregatami funkcyj symetrycznych elementarnych:
123, 32, 124, 24, 15. 6, otrzymujemy przeto
(321) = + 1.123-3. 32—3.124+ 4.24 + 7.15 12.6 t. j.
3 ,r22 #3 = axa2a3 — 3 a32 — 3aj2 aA + 4 a2 a4 -f 7axa:i — 12a6 = P\lhPz W ^Pi2PA + 4p2p4-|-7p12?5-12p6
3. Dajmy funkcyą
3 <v2■—■ (313) • Podług tablicy 6-éj jéj współczynnikami będą
Pojęcia, T.I. 15
1, 0, -2, -1, 6, a odpowiedniemi agregatami
32, 124, 24, 15, 6;
znajdujemy przeto
(313) = 1.3* + 0.124 2.24 1.15 + 6.6,
a więc:
Z 3x2 = a32 — 2a2aA — a{a:) -j-
= P2 2pap4 ~ PiP3+6/V Niechaj będzie jeszcze funkcyą symetryczna
— ^W*®* = l612) — (422)-
Podług tablicy 8-éj mamy:
(612) = 1 .1*3 5 . 1823 + 5.1223 + 5 .1232 — 5 .23*— 1.144 + 4.1224 — 2.224 — 9.134 + 4.42 + 1.1 »5 — 3.125 + 8. 35 — 1.126 +2 .26 + 1.17 8 .8;
(422) = 1 . 1232 2.232 + 0.144 2.1224 + 4.224+0.134
4 . 42 + 2 .135 4.125 + 8. 35 2 .126 4 .26
+ 8.17 -8.8; a więc
(61)2-(422) = 1.153 5 .1323 + 5 . 1223 + 6 .1232 7 . 232 1 .144 2 . 1224 + 2 . 224 9 .134 + 3 .135 -7.125 + 16 . 35—3. 1»6—2 . 26 + 9 .17 -16 . 8;
t. j.
= «i503 — 5a13a2a3 + 5 axa22a^ + 6al2a32
7a2 a32 — ax4 a4 + 2aj2 a2 a4 + 2a2'Ja4
9 a{ a3 a4 + 3 a{ 3 au — laxa2a:> +16a3a5
3 a2 aQ — 2 a2 a6 + 9 ax a7 — 16 as,
lub
- Vi Pi ~ *P*Pdh + *PiP<fP 3 + 6Pi~Pi2
7P2P32 ~ Pi4PA + 2Pi2lhPi + 2P22PA ~ SPiPrfh + ZPi'3Pj ~nhP2P:>+
3p^ps 2p,p. + 9plPl 16p8.
Tablice funkcyj symetrycznych mogą też służyć do obliczania funkcyj alef. W saméj rzeczy, dajmy, że mamy do obliczenia funkcyą Ah. Funkcyą ta, jak wiadomo, jest sumą funkcyj symetrycznych (5), (41), (32), (312), (221), (213), (55), którym odpowiadają następujące współczynniki:
— 1 przy agregacie 1"',
+5-1 = 4 „ „ 1*2,
—5+3 — 1=—3 „ „ 122,
— 5 + 1+2 — 1 = — 3 „ „ 1*3,
+5—5 + 1+2—1 = 2 „ „ 23,
+3—1—5 + 1+3—1 = 2 „ „ 14,
—5 + 5 + 5 — 5 — 5 + 5 —1 = —1 „ „ 5,
będzie zatem
Ab = — 1.1* + 4.132 — 3.122 — 3.123 + 2.23 -+2.14 — 1.5, to jest
Ab = —axb + 4 ai'a2 — 3 a{a22— 3aA2a3 + 2a1a4 + 2a2a3 — a-t lub
Aó = Pi5 — 4Pi ?'P2 + 3PiP22 + 3Pi 2Pa — ZPiPi — ZPtPz + pb.
Wynik ten jest zgodny z podanym wyżéj.
W końcu wspomnimy jeszcze o metodzie, za pomocą któréj Kronecker21 sprowadza badanie funkcyj symetrycznych, zależnych od zmiennych , x2 . . . , <vn do pewnego układu takichże funkcyj, zwanego układem zasadniczym. Do układu zasadniczego należą funkcye
^ .ij a2 . . >i—l 11 'i
dla których
al^>a2 . . . «w—i,
ax < 11—1
a«> < n — 2
a*, i^l
W saméj rzeczy, jeżeli iloczyn 1., który jak wiadomo, równa się
__ Pl 4—1 + 2 + ... + (_i)«. pnt podzielimy przez iloczyn k—1 czynników:
{x—xx) (x—.r2) . . . otrzymamy iloczyn n—&-|-l czynników
{x—sck) (x—xk+l) . . . xn)
pod postacią funkcyi całkowitéj stopnia (n— &-{-l)-go, któréj współczynniki, na podstawie teoryi, podanéj w art. 34 wyrazić można, jako funkcye całkowite liczb
•Tj, • • • > Vit V'2 * • • P7*'
Funkcyą ta staje się oczywiście zerem dla x = xk; kładąc więc w niéj xk na miejsce .r, otrżymujemy równanie, którego pierwszym wyrazem będzie a pozostałe wyrazy zawierać będą potęgi
liczby xu o wykładniku mniejszym od n—To więc równanie daje nam możność wyrażenia każdéj potęgi liczby xk, wyższéj od (n—fc)-ój za pomocą potęg niższych. Kładąc więc k= 1,2...w, będziemy mogli każdą funkcyą zmiennych xu x2 . . . xn sprowadzić do takich funkcyj całkowitych, które względem zmiennéj xt są stopnia 11—1, względem zmiennéj x2 stopnia n—2, . . . względem zmiennéj xn stopnia 0, a który ch współczynniki są funkcyami całkowitemi funkcyj symetrycznych elementarnych. Tym sposobem twierdzenie ogólne o funkcyach symetrycznych zostało jeszcze raz dowiedzione. Funkcye całkowite, do których zredukowaliśmy funkcye dane, stanowią układ zasadniczy.
Funkcye tego układu można uporządkować według ich wag, wypisując najprzód funkcye symetryczne o wadze równéj 1, następnie
funkcye o wadze równéj 2, . . ., w końcu o wadze równéj ^ ^ .
38. POCHODNE FUNKCYI CAŁKOWITEJ.
Niechaj będzie funkcyą całkowita n zmiennych xu x2,. . . xtt: 1. F — Z xl«> x2a*. . . .
Uporządkujmy tę funkcyą według potęg jednéj ze zmiennych np.  zmiennéj xg i dajmy, że otrzymujemy wówczas funkcyą całkowitą stopnia w, względem téj zmiennej:
Z'
:=o
2. F = a«
u) /nI .
= a/ « ?
współczynniki a/')[Z=0,1, 2 . . . m/| są tu funkcyami zmiennych . . . . . xM. Każdy z wyrazów funkcyi 2. pomnóż
my przez wykładnik znajdującéj się w nim potęgi zmiennéj a następnie w każdym wykładnik zmiennéj zniżmy o 1, t. j. zamiast
3. a,(iKvi,ni-1 napiszmy
4. (m«—ĄaftsPr1'1
| Zamiast ostatniego wyrazu a'J. X<1 napiszemy oczywiście 0], Nazwijmy wyrażenie 4. pochodna wyrazu 3. względem zmiennéj Xg i utwórzmy funkcyą stopnia mg—1, złożoną z wyrazów postaci 4. Funkcyą ta
= J? /) a</> 1= 0 '
nazywa się pochodną funkcyi całkowitéj .F względem zmiennéj xś i oznacza się przez
Fx. lub DX.F.
Będzie tedy
— i
5. Fx. = F— Z (m—l) a?x'*r'"1
/= O
Z tego określenia wynika: 1°. że pochodna funkcyi całkowitéj względem zmiennéj xg jest równa sumie pochodnych jéj wyrazów względem tejże zmiennej; 2°. pochodna względem zmiennéj xg wyrazu, zmiennéj téj nie zawierającego, jest równa zeru; 3°. stopień pochodnéj względem zmiennéj xg jest o 1 niższy od stopnia funkcyi pierwotnéj względem tejże zmiennéj.
Zmieniając we wzorze 5. skaźnik i, to jest kładąc kolejno
i = 1, 2, 3 . . . n,
otrzymujemy n pochodnych Fxo Fx^ . .
Niechaj będzie naprzykład funkcyą jednorodna
6. F = Z cai, a, ...,«„• • • •rCt/71 i• • •
ai+«2+...H-«n = IM
Biorąc według prawidła pochodne względem zmiennéj .?v, znajdujemy
Fx = a/...«ra<—i *«ffi. .
?—1 i "
skąd
*iF*x = £caua Mnaixi«*xf>...a«i-\ai*j 1. . .
i " - i—l j w
Suma podobnych równości dla t= 1, 2, ... n daje:
= (Oi+«2+ • • ' +«») .. .
= m F.
skąd
7. F = —2,xiFx.
m 1
Wzór ten, zwany wzorem E u 1 e r a, wyraża następującą własność funkcyj całkowitych jednorodnych.
"Każda funkcyą całkowita jednorodna stopnia m-go, zależna od n zmiennych, jest równa w-éj części sumy pochodnych, wziętych względem każdéj ze zmiennych a pomnożonych przez zmienne odpowiednie".
Własność ta przedstawia pod inną postacią twierdzenie o funkcyach jednorodnych, podane w artykule 32.
Do funkcyi 5. można zastosować to samo działanie, jakie stosowaliśmy do funkcyi 1. lub 2. Biorąc pochodną wyrazu 4. względem zmiennéj cc i, znajdujemy:
8. {m—l) (m—l—i) a/'> aj»< -' 2
a suma wyrazów 8., t. j. funkcyą całkowita stopnia — 2)-go
l = mi — 2
z {rn , — l) (m, — l— 1) a!p x™rl~2 t=o
jest pochodną funkcyi F*x. względem zmiennéj xczyli jest pochodną pochodnéj funkcyi danéj F\ nazywamy ją pochodną rzędu drugiego lub pochodną drugą funkcyi F i oznaczamy przez JF"^. albo przez , albo wreszcie przez I>lsF; będzie zatem
/ = w, 2
9. = = Z («*-0(«r-l)a\lh<v"c1-2
* 1 = o
Wyraz 4. jest funkcyą całkowitą nietylko zmiennéj cc i ale wogóle i pozostałych zmiennych; możemy przeto otrzymać pochodną jego względem którejkolwiek z tych zmiennych np. względem xk; w działaniu tem czynnik ximi-l~l należy wtedy uważać za współczynnik stały. Pochodna tedy wyrazu 3. względem xk będzie równa:
10. (mj — l)
gdzie pochodną funkcyi całkowitéj aft względem xk wyznaczamy na podstawie tego samego prawidła, podług którego oznaczyliśmy wyżéj pochodną względem cc; funkcyi F. Biorąc sumę wyrazów postaci 10., otrzymujemy pochodną względem xk pochodnéj F*x.; tę pochodną drugą funkcyi F oznaczamy przez F"x.xk lub D2x.xfc F, będzie tedy
— i
11. F"x.xk = B%XkF= Z (m—l) DXk af.x?i-<" 1
Wzór 11. obejmuje w sobie n(n—1) pochodnych, które otrzymujemy, zmieniając skaźniki i i fc; pomiędzy temi pochodnemi będzie wszakże tylko połowa różnych, o czein przekonywa twierdzenie
12. F'x^k = FffXkX.
wyrażające, że pochodna druga nie zależy od porządku skaźników.
W saméj rzeczy, biorąc pochodną wyrazu 3. względem zmiennéj xk, otrzymujemy
Dk aft x/ni ,
pochodna zaś tego wyrażenia względem xi9 ponieważ Dkaf0 od «r, nie zależy, będzie 232 CZJfrŚĆ ). K0ZD7JAŁ Ml. [38
K — l)Dxkaft^1,
to jest zupełnie identyczną z wyrażeniem 10. Jest zatem:
t = /«/ — J
1=0
skąd wynika prawdziwość twierdzenia 12.
Pochodnych rzędu drugiego różnych będzie .
M
Od pochodnych rzędu drugiego możemy przejść do pochodnych rzędu trzeciego, biorąc pochodne funkcyj całkowitych 9. i 10. względem którejkolwiek ze zmiennych. I tak biorąc pochodne funkcyi całkowitéj 9. względem zmiennéj xi9 otrzymujemy pochodną rzędu trzeciego lub pochodną trzecią funkcyi F względem . Wyrażenie téj pochodnéj jest następujące:
1 = 01; — 3
13. = Z (m—l) (im-l-l) {mi-l-2)afxmi-i-?>
1=0
Biorąc zaś pochodną funkcyi całkowitej lub F1\},Xi względem
zmiennéj xr, znajdziemy:
1 = 1*1 — 1
1 i. n,v, = D\.HXrF= z (n, l) B\Xr af x<»< ~' ~ i
/=0
I tu sposobem, podobnym do podanego wyżéj, przekonać się można, że pochodna
1 *i*k*r '
nie zależy od porządku skaźników. Postępując tą metodą daléj, dochodzimy do pochodnych rzędu czwartego, piątego i t. d. Pochodne te będą miały następujące wyrażenia:
l — TTlii
4
F»\ = L*X.*F= Z (mi-l)(mi-l-l)(mi —1-2) (m-l-Z) ap x>»<-1 1 1=0
l = m-t — 5
FY> = £%>F= Z (ą -i-1) (wr/-2)(mr-i-3) (fl»r-l—4)
1 1=0
i = ni; — s
= tF = Z (mi — l) (mt-l—l) . . . (m,l—s+1) a^x»H~' -*
z) 1=0 1 Pochodna rzędu mrgo funkcyi F względem x{ będzie składała się z jednego wyrazu
16. Fim,ż!= D \ F=mi(mi-l)(mi — 2) . . . 2.1.4°
xi % 'x i 1
to jest będzie funkcyą całkowitą, zależną tylko od zmiennych pozostałych, a wszystkie jéj następne pochodne względem zmiennéj xi9 to jest
<mrł-l) Onr\-2)
Fxm.-r1> FxmŁ+2 . . .
będą zerami. Jeżeli w szczególności funkcyą F jest funkcyą całkowitą stopnia m jednéj tylko zmiennéj x, to kolejne jéj pochodne: pierwsza, druga i t. d. są funkcyami całkowitemi stopni: m—1, m—2 . . ., pochodna rzędu m-go jest stopnia zero, czyli jest liczbą stałą, a wszystkie pochodne rzędów wyższych od m-go są zerami. Niechaj będą dwie funkcye całkowite zmiennéj x
Fx = 2}, a;. , F2 = bfl x-u;
postarajmy się oznaczyć pochodną ich iloczynu Fx F2 względem zmiennéj x. Ponieważ
FXF2 = 2ifUaxbflxKv« = £;.flakbflx>-+t\ przeto na podstawie określenia będzie:
nx{F,F2) = ^(A+^a;.^^-!
= 2U ba 2)1 ai. x}'-l-\-Z)ai. Zu ju.bu , skąd wynika wzór
17. Dx(FxF2) = F^DXFX^FVDXF2
wyrażający, źe pochodna iloczynu dwóch funkcyj równa się sumie iloczynów pierwszego czynnika przez pochodną drugiego i drugiego czynnika przez pochodną pierwszego.
Na zasadzie tego twierdzenia możemy otrzymać prawidło, według którego znajdujemy pochodną trzech, czterech i w ogóle skończonéj liczby czynników. W saméj rzeczy:
I'\F,F3 = (FvF2).F3,
a więc według 16.
Dx (F, F2F3) = F,.Dx (/•;Ft) + Fl F2.DX F,
= F, (F2.DxF, 4FvDxF2) + F,F,.DXFS = F.1FiJ)JFl -f F3F1.DxF2 + F1F.2.DxFx
Podobnież będzie
Dx (F1F2F,F,)=FsFsFt.DxFx7'3 F,.DX F^F, F, Ft. Dx F, + FlF2F3DxFi
i w ogólności
18. Dx (Fi F2 . . . Fn—i Fn) = . . .Z)* Fj
+ ^1*3 • • • Fn.DxF2+. . .+ F,F2 . . . Fn_x.DxFv.
Jeżeli przez P nazwiemy iloczyn FXF2.. ,FJn to wzór 17 możemy przedstawić pod postacią,
(b , (b (f) Dx P = ~.DX F^-JJX F, + . . .+ -„JhF, 1 " 2 ""
19.
Zakładajcie FX=F2 = . . . = = F, a więc 0= 7y\ otrzymujemy z wzoru 17.
20. DxF»=nF»~\DxF,
t. j. wzór na pochodną potęgi funkcyi całkowitéj. Biorąc pochodną obu stron wzoru 16., otrzymujemy na zasadzie tego samego wzoru:
D2ĄFXF2)=DX Fx . DXF2 + F2. D%FlĄ-DxF2 .D Fx-\-FxI)>,F2
= F2. D2X,FX +2 DxFv Dx F2 + FvDl* F2 Biorąc pochodną obu stron, będziemy mieli
D\ (FlF2)=F2.D%F1 -)-3 Dx F2. D\iFl 43 D%F2.DXFX -j-Fi.Dx*F2,
*i postępując w ten sam sposób daléj, dojdziemy do wzoru ogólnego D^F,) = F2.D^„F1 + m I), F.ź.D"ml'Fl
+ . Dm~UFx +...-}-m7/'MlI F,. DxFv+F,D'\m F2,
którego ogólność stwierdzić można, przechodząc od rzędu m do rzędu m-f-l-go. Wzór ten, znany pod nazwą wzoru Leibniza, możemy przedstawić pod postacią,
l—m
21. Z>';M F^-ltF,
jmmm J. • «J . . . £
/=<)
rozumiejąc przez pochodne rzędu 0, t. j. przez D^i i Fx same funkcye Fx i F.2.
Wzór ten można uogólnić, rozszerzając go na iloczyn ilukolwiek funkcyj całkowitych. Wzór ogólniejszy ma postać
22. D^ĄF^.F,,) = V , D^.D^F^Dfr F„ ,
+• + • • • an = m
i
analogiczną z wzorem, dającym rozwinięcie ro-éj potęgi wielomianu
+ • • • I art22.].
Wzory 21. i 22. przedstawia się niekiedy symbolicznie pod postacią
23
DZn{FxF2.. . .:+DxFn)m,
którą należy rozumieć w ten sposób, że rozwijając potęgę ra-ą sumy DXFXĄ-DXF2 lub sumy DXFX + DXF2 + ...DXF„, nie opuszczamy wyrazów z wykładnikiem zero, oraz zastępujemy
(DXFX)% (DrF2)«> . . .
przez
1 ^ x 2
gdy av a.2 . . . nie są zerami, a przez
F F
x j, x 2 . • •
gdy te wykładniki są zerami.
Jeżeli w równaniu 17. napiszemy Fx F2 = F, skąd
F F
znajdziemy z niego lub
94 n F _F1.DmF-F.DjeF1
t. j. wzór na pochodną ilorazu dwóch funkcyj całkowitych. Jeżeli w szczególności F= 1, otrzymujemy
25.
rrr c>.
F, Ft
Jeżeli we wzorze 18. położymy
F1 = xl—ali F2=x—a2, . . . Fn=x — an, (p = {x — al)(x—a2) . . . (a — an), gdzie al5 a2 . . . an są liczby różne, będziemy mieli DXFX = DXF2 = . . . =DXF„ = 1,
zatem
(p (b 0 p 26. 1JX + + = V—.
#—#—a2 1 1 x—an —a,-
*=i
Podamy jeszcze określenia kilku pojęć, które będą późniéj potrzebne.
Jeżeli dla funkcyi
F = a0 ax a2 x'n-2 + . . . -jam~l x -{am
i jéj pochodnej
Fx = ma0 am"x -j(m—1) a, + . . . +
utworzymy rugownik według teoryi podanéj w art. 35., otrzymamy wyznacznik, który podzielony przez a0, stanowi wyróżnik [discriminant] funkcyi danej22. Wyróżnik ten, przyrównany do zera, przed stawia warunek, przy którym funkcyą dana i jéj pochodna mają czynnik wspólny. W Algebrze pojęcie wyróżnika ma znaczenie bardzo ważne.
Wrońskianem m funkcyj Fv,F2,..,Fm jednéj zmiennéj <r, nazywamy wyznacznik Fy ,F2 . . F
. X M Fv F2 F
• • ■*■ m Fr' ,F,' .. F '
• m DFX, DF2 ■ . DFm r? tr jp "
1 5 2 F "
. j m D*FU D*F2 . . . D2Fm Fx<»\ F2(m~lK T? (w-1) • J m Dm~lFx, Dm^F2. . . Dm~1F,„
w którego pierwszym wierszu znajdują się funkcye dane, w drugim pochodne pierwsze tych funkcyj, w trzecim pochodne drugie . . ., w m-ym pochodne (m—l)-e. Wrońskian oznaczać będziemy przez
W(Flt F21... Fm).
W r o ń s k i nazywał te wyznaczniki funkcyami schin | porów. str. 192 ]23. Pojęcie wrońskianu można rozszerzyć do funkcyj FvF2y.Fm, zależnych od n zmiennych au x2 . . . wprowadzając funkcye utworzone z pochodnych, a mianowicie funkcye
bFi = qx DXx F, + q2DX3 Fi -f . . . + qn DXf} F,
gdzie qv q2, . . . qn są liczbami dowolnemi, oraz
W(FvF2,...Fm)=
m
dFi=S(ÓFi), d*Fj = d(d*F() . . . Wrońskianem takich funkc}rj nazwiemy wtedy wyrażenie: Fv F2, F
• • • -*j/I dFv ?>F2, ■.. SF„, d2Fv VF2, ... d2FJit
d'"-]F1, dm-lF2 ... Óm~l F, Jakobianem24 funkcyj Fv F2, . . . Fn n zmiennych x2 . . . xn nazywamy wyznacznik "Wyznacznik ten oznaczać będziemy przez
J, . . . Fn).
Jeżeli funkcye Flf F2,. . . Fn są same pochodnemi pierwszemi pewnéj funkcyi F, to jest jeżeli
FX=DXF, F2 = DXiF, . . . Fn = VXnF,
wtedy elementy jakobianu są wszystkie pochodnemi drugiego rzędu funkcyi F\ oznaczając pochodną F>xixu Fdla krótkości przez Fa-— na mocy twierdzenia 12. jest Fik= Fkl — otrzymujemy wyznacznik F12 . . . Fin F.n, F 2 2* . . F,)( Ku Fn 2 . . F
• x nn (
nazwany hessianem funkcyi F i oznaczany zwykle przez II (F)2b.
Określenia tu podane są ogólne, bo stosują się nietylko do funkcyj całkowitych, ale do wszelkich funkcyj w ogólności. We właściwem miejscu poznamy ważne własności i zastosowania tych algorytmów, a zastosowania wrońskianów wskażemy już w art. 42.
39. WZÓR TAYLORA.
W art. 36 podaliśmy wzór F=FJ)-\-F^]f-]-F2y2-\-. . Ą-F&p. na zasadzie którego funkcyą całkowitą F zmiennéj x możemy rozłożyć według potęg innéj funkcyi całkowitéj /tejże zmiennéj. Niechaj będzie
238
[39
CZ^SĆ J. ROZDZIAŁ Tli. A.. Fx, Fv . A, F, > Dx, F2, . ' D*nF2 F„, ^ Fn) . • • • •
. DXn Fn 1. F(x) = aQ x>»-{a{ X'"-1 -[a2 . . . -f am^x +■ am, 39] wzór taylora, 239
f zaś niechaj będzie funkcyą. liniową,
2. / = x — h.
Według teoryi podanéj w art. 36, współczynniki rozkładu otrzymujemy, dzieląc F przez /, iloraz z tego dzielenia przez / i t. d. i oznaczając reszty w każdem z ty ch dzieleń. Kolejne ilorazy i reszty oznaczymy na podstawie wzorów 7. i 8. art. 34. Według tych wzorów, iloraz z podzielenia funkcyi 1. przez funkcyą 2. będzie
3. a0 xm~l -j(a0/i + ax)x}n-2-\(a07i2 -fath + a2)xm~2 -f...
+ K hm~l + h>n~2 + . • . + 1).
reszta zaś będzie równa
= a0 h>» + aA . . . -f a*.! h + aM = F(h).
Dzieląc funkcyą 3. przez x—h, otrzymujemy iloraz
4. a0xm—2-\(2%h-\-ax)xm-* + (3a0k2 + 2ath + a2)x}n~l + . . .
-(-{(w—_J_(W_2) ai
reszta zaś FM będzie równa wartości funkcyi 4. dla x = /*, to jest:
5. FW = maQhm-*-{-(m—l)ax hm-'z-\. . . Dzieląc funkcyą 4. przez x—A, znajdujemy iloraz
a resztą będzie
6. —l)a0ft'n~2-{-(m—l)(wi—
Postępując tą drogą daléj, otrzymamy następujące wyrażenia reszt:
7
——i l)(m—2) .. . 3 .2.1. a0
I z A m N x  Z porównania wzorów 5. 6. 7 z wzorami 5. 9. 15. 16 artykułu poprzedzającego widzimy, że pomiędzy resztami a wartościami, jakie przyjmują funkcyą F(cc) i jéj kolejne pochodne względem zmiennéj x, przy wartości cc równój h, zacłiodzą związki bardzo proste, a mianowicie:
m = F(h),
FU =F\k\
o.
** ih '
gdzie F$>(h) oznacza wartość, jaką przyjmuje pochodna F0^(cc) dla wartości x=h. Dochodzimy więc do wzoru:
F'(h) FwHh)
który możemy napisać także pod postacią
10. F(x+h)=F{x)+hF(z) + J£F"»(X)
Wzór ten nazywa się wzorem Taylora. Daje on rozwinięcie przyrostu funkcyi, t. j. różnicy
F(*+h)—F(a)9 według potęg przyrostu zmiennej:
h2 tin
Z wzoru 9. gdy w nim napiszemy h = 0, wypływa,
[39
240
CZĘŚć I. ROZPZIAI. VII.
12. F(x) = F(0) + * F{0) + ^ + • • ^
Wzór ten nazywamy wzorem M a c 1 a u r i n a. Z wzoru 11. kładąc w nim
F(x) = xr\
otrzymujemy
(a+h)™ + mk+ k2z»l~2+ . . .-f-
to jest dicumian N e w t o n a.
Naodwrót, opierając się na dwumianie Newtona, można rozwinięcie funkcyi F(x-\-li), przedstawiające się pod postacią
F(x+k) = a0(x-\-h)>»+al(x-t-hyn-i+ . . . +om-1(x-)rh)+am,
przekształcić na wzór Taylora lub Maci a u r i n a.
Od wzoru, dającego rozwinięcie przyrostu funkcyi jednéj zmiennéj, można z łatwością przejść do wzoru, dającego rozwinięcie funkcyi, zależnéj od wielu zmiennych. Dla przypadku dwóch zmiennych .rj, x2 otrzymujemy wtedy rozwinięcie
= + (!ixTJxF+hD,tsF) + 7^ (h*lĄl*F+ 2 Jh h2 DlXiFĄ-h2I>l,F) 13. +
+ *, ^V V F+' • •+
Wywód tego wzoru, jak i rozciągnięcie go na większą liczbę zmiennych, znajdzie czytelnik w podręcznikach Algebry lub Rachunku Wyższego.
40. RÓŻNICE FUNKCYJ CAŁKOWITEJ.
Wzór 11. art. poprzedzającego daje nam przyrost funkcyi całkowitéj, t. j. różnicę dwóch jéj wartości F(x-\-h) i F(x), wyrażoną za
Pojęcia. T. I. 16
242 CZEŚĆ I. H0ZDZ1AL VI!. | 40
pomocą przyrostu A, zwanego różnicą zmiennéj x. Jeżeli wprowadzimy oznaczenia
Ax = K F(x-\-h) F(x) = AF(x\
to wzór ten można napisać w ten sposób:
1. = F»(«)+ ... f
Zajmiemy się tu bliższem zbadaniem różnic pomiędzy wartościami funkcyi, odpowiadaj ącemi różnym wartościom zmiennéj. W tym celu wyobraźmy sobie szereg wartości funkcyi całkowitéj F(x), odpowiadających wartościom zmiennej
x, x + 1x + 2 lx, x + o lx....,
t. j.
F(x), F(x+lx), F(x+21x), F(x+3±x), . . . Różnice pomiędzy kolejnemi wyrazami tego szeregu, t. j.
F{x-\-lx) — —Aa-) Aar;—JT'\a?+2 Aa?),
które oznaczamy przez
A F(x), 1 F{x-{-lx), lFyx+21x). . . .
stanowią różnice pierwszego rzędu funkcyi F{x).
Różnice pomiędzy kolejnemi różnicami pierwszego rzędu oznaczamy przez
l2F{x\ l-F(x-\-lx) . . .
i nazywamy różnicami drugiego rzędu. W podobny sposób otrzymujemy różnice rzędu trzeciego, czwartego i t. d.. które oznaczamy przez A:iF(x), AAF(x) i t. d.
Jeżeli dana funkcyą całkowita F(x) jest stopnia m-go, to różnice rzędu pierwszego są funkcyami całkowitemi stopnia (m—l)-go, różnice rzędu drugiego—funkcyami stopnia (m—2)-go i t. d. różnice rzędu (m—l)-go są funkcyami stopnia pierwszego, wreszcie różnice rzędu m-go są stopnia zero, t. j. są wszystkie równe jednéj liczbie stałéj. Różnice rzędów wyższych od m-go są wszystkie zerami. W saméj rzeczy, jeżeli funkcyąF(x) jest stopnia m-go, to z wzoru 1. widzimy bezpośrednio, że funkcyą lF(x) jest stopnia pochodnéj F(x), a wiec, jak to widzieliśmy w art. poprzedzającym, stopnia m—1-go. Kładąc we wzorze 1. xĄ-\x w miejsce x, otrzymujemy
AF(x-\-Ax) = ~ -Ff(x + lx) -f F" (x -f Az) + . . .
i 1 « M
1 1.2.. .m 1 7 a odejmując równanie 1., będziemy mieli
A2 F(x) = -p A F'(x)+ ^ AF"(x) + ... + ig-A*^),
skąd widać, że różnica A2F(x) jest funkcyą stopnia równego stopniowi funkcyi AF\x)\ a że stopień funkcyi F(x) równa się vi — 1, stopień przeto funkcyi A F (x) i funkcyi A2 F(x) równa się m — 2. Wynika stąd zarazem, że stopień funkcyi A2F(x) jest m—3. W ten sposób rozumując daléj, przekonywamy się o prawdzie powyższego twierdzenia.
Z tego twierdzenia wynika, że dwie funkcye, różniące się stalą dowolną, mają oczywiście różnice pierwszego rzędu równe; dwie funkcye, różniące się od siebie funkcyą stopnia pierwszego, mają różnice pierwsze, różniące się o stałą, różnice zaś rzędu drugiego równe. Wogóle funkcye całkowite stopnia m-g o, różniące się od siebie funkcyą stopnia k-go <m], mają różnice rzędu fc-|-l-go równe. Z podanych określeń wynikają bezpośrednio równości:
A F(x) = F(x+A.z0 F{x),
A2F(x) = AĄx-\-Ax) Ai<T(;r) = F(x-\-2Ax)-F{xĄ-Ax)
- Z^-fAz) + F(x)
= F(x+2lx) 2F(x-\-\x) + F(x). A*F(x) = 2F(x-f-2A;r) + i^+Atf)
- 21x) + 2F(x-\-Ax) F(x)
= Jfa+3 Aa?) SF(x-\-2bx)+ZF(x+bx)—F(x). Za pomocą tego rachunku dochodzimy do wzoru ogólnego
2. AiF{x) = + i\x) iF(x+ 0-1) A.r) +
... + (-1 YF(x),
o którego ogólności przekonywamy się, przechodząc od skaźnika i do skaźnika i-j-1.
Wzór 2. daje różnicę rzędu 2-go funkcyi F(x), wyrażoną przez wartości funkcyi
F(x), F(x+Ax) . . . F(x+tAx);
współczynniki rozwinięcia są takie same, jak w rozwinięciu potęgi z-éj dwumianu.
Poczyńmy po kolei rozmaite założenia o funkcyi F(x). Jeżeli
F(x) =
to
1 . u
a więc
3. A xm —mxłn-l\xĄ-m<^~l>)xm~\\x)2-\-... -f (Ax)m.
1 ? *
Wogóle będzie
A' xm = m(m— l)...(m — )xm'i(Ax)i + Axm-i-](Ax)'+1
gdzie A, B . . . oznaczają współczynniki przy dalszych potęgach zmiennéj cc. Dla i=m będzie
4. Amxm=m(rn—1) . . . 2.1.(A:r)'w = ?tt!(Ar)'»
= (Ax)m;
dla i>m będzie A* Xm =0. Jeżeli
F(x) = a0xm + at xm~l -)-... am, wtedy z wzoru 2 lub na podstawie wzoru 4. otrzymamy z łatwością
5. AmF(x) = lm\\a0(Ax)m
A' F(x) = 0, gdy rząd różnicy jest większy od stopnia funkcyi, co zgadza się z wyżéj podanem twierdzeniem. Niechaj 40] ROŻSIĆE FCFTKCYI CAŁKOWITEJ. 245
F(x) = x(x—Ax)(x—2Ax). . . (m—l)\x. Funkcyą ta oznacza się za pomocą, symbolu
Xm\-Ax
i nazywa się faktoryalną.
Jéj kolejne różnice mają następujące wyrażenia:
AF(x) = mAx.x(x—Ax)(x—2Ax) . . . (x—(m—2)Ax), 6. A2F(x)=m(m—l)(Ax)2.x(x-Ax)(x-2Ax) . . . (x—(m—Z)Ax),
AiF(x)=m{m — l)(m—2)...(ra—iĄ-\)(Ax)ix.(x—Ax)(x-2Ao:)...(x~(m-i-\)Ax)
Jeżeli funkcyą faktoryalna jest postaci
= x (x + Aa;) (os+2A#).. . (x -f (w—1) Aa;) = xm\Ax,
wtedy podobnież dochodzimy do wzoru A\F(x)=m(m—1)...(m—i-\-1)(Aa;)' —l)Ao?)
= w'1-1 (Aa;)1 (x-\-i\x)m~i\-Ax.
Jeżeli funkcyą F(x) jest iloczynem dwóch funkcyj Fx{x)F2(x\ to
AF(x) = FX (x+Ax). F2 (X+AX) — FX (x)F2(x) = {FX(x)+AFx{x)) {F2(X) + AF2(X)) — Fx(X)F2(X)
= FT (x) .\F2(X) + A Fx (x) {F2 (x) + A F2 {x)} Biorąc różnicę drugiego rzędu, otrzymujemy
A2 F (x) = Fx (x) A2F2 (X) -f 2AFl (x) {AF2 (x) + A2 F2 (x)} + A2 FX (x) {F2(X) + 2AF2(x) + A2F(x)) Postępując w ten sposób daléj, dochodzimy do wzoru ogólnego A™ F(x) = Fx(x)Am F2(X) + ?nDF1(x){A'^F2(x) + A mF(x))
+ 2F2(X)+2A™->F2 (*)+A»F2(X)}
8.
1 • h*0
+ 246 cząśćl. ROZDZIAŁ VIL [40
którego ogólność za pomocą indukcyi zupełnéj sprawdzić można. Wzór ten na różnicę m-go rzędu iloczynu funkcyj odpowiada wzorowi Leibniza, podanemu w art. 38.
Mając dla danéj wartości x wartość funkcyi całkowitéj F(x) oraz jéj różnic AF(x), A2F(x) . . , AinF(x)> możemy oznaczyć wartość F(x-\-i\x), za pomocą wzoru
9. F(x+=F(x)+i±F(.f )-\fc^ \2F(x) +. . .+\*F(x),
l .z
którego współczynniki są takie same, jak w rozwinięciu potęgi dwumianu. Dla wyprowadzenia tego wzoru, zauważmy, że, jeżeli mamy szereg wartości funkcyi
F(x), F(x-\-\x)y F(x+2\x) . . . F(x+m\x) , to wtedy zachodzą następujące równania:
F(x+Ax) = F(x) + \F(x), Ąx+2\x) = Ąx+A.r) + A F(x+\x)
= Ąx)+\F{x) + A F\x) + A 2F(x) = F{x) + 2AF(x) + A 2F(x)
F(x+ 3 A./;) = F(x+2\x) + AF(x-{-2\x)
=F{X) + 2 A F(x) + A *Ąx)+lF(x)-\-2\2F(X) + A 3F(x) = F(x) + 3 A F(x) + 3A2F(x) + A 3F(x).
Postępując daléj tym sposobem, dochodzimy do wzoru 9., którego ogólność stwierdzić można, przechodząc od liczby całkowitéj i do i+1. Kładąc i = m, gdzie m jest stopniem funkcyi całkowitéj, otrzymujemy
JL . — L.Ji.o
+ -f-A mF(x)
k
Połóżmy m\x=k, a więc m=—, wtedy wzór ten przybiera postać fOc + k) = F(x) + T-+ + W
, k (h In) (k 2 lv) . . . (Ar —(y/ł—1 > Ą.g) XnĄ.v) + ' ' • + IT 2TTT . . m (A.r)'
lub
A: AjF(V) fc2!"^ A2FiV) , k*\~**l*Fx
+ ' • * + (A.rjw
Wzór ten zawdzięczamy N e w t o 11 o w i26; służy on do tak nazwanśj interpolacyi, któréj najogólniejsze zadanie polega na oznaczaniu wartości funkcyi z dostatecznéj liczby innych jéj wartości. Jeżeli mamy dane wartości funkcyi
Ąx), F(x+Xv) . . . ĄtV+(m—1)4.*),
to możemy obliczyć kolejne różnice AF(x), A2F(x) . . , AmF(.v), a na podstawie wzoru 10. znaleźć wartość funkcyi dla wartości zmiennéj gdzieś jest liczbą dowolną. Rozwiązaniem tego samego zadania inną metodą zajmiemy się w następnym artykule.
Działanie, za pomocą którego znajdujemy różnice funkcyj nazywamy różnicowaniem. Działanie odwrotne, za pomocą którego od różnic przechodzimy do samych funkcyj, nazywa się różnicowaniem odwrotnem albo całkowaniem (sumowaniem). Różnica odwrotna, lub całka oznacza się za pomocą znaku 2, a za jéj określenie służyć może równanie
2AF{x) = F(x),
które wyraża, że działania A i zastosowane do funkcyi F(*v), nie zmieniają téj funkcyi; podobnież jest
\2F(.v) = F(x).
Do wyrażenia całki danéj różnicy możemy zawsze dodać stałą dowolną, dlatego że, jak wyżéj objaśniono, dwie funkcye, różniące się stałą, mają oczywiście różnice równe.
10.
Z powyższego określenia wynika, że różnica odwrotna sumy dwóch funkcyj równa się sumie różnic odwrotnych obu funkcyj i że wogóle dla zcałkowania sumy trzeba dodać sumy całek jéj składników.  Na téj zasadzie z wzoru 3., całkując obie jego strony, otrzymujemy:
2(Axm)—xm = m A 0 2xm~l + 'T?
i .z
Równanie to pozwala nam znaleźć całkę 2xw~ly gdy znamy całki 2xm~2, Kładąc w niem m—l—i, będziemy mieli
Kładąc zaś tu kolejno i = 0, 1, 2... dochodzimy do następujących wzorów:
2 ~ —
^ ,L —
12.
Av
1 x2 1 Y ' A.r 0 1 i 1 2
T + J-
2.3 «r A A* , i 1 3
Y + -L
1 c) o T ' Ar ~~ i T" + T" " 5 j <t 5.6 i .r6 1 - + -1 2.G ,r4 A 1 ~ 6
2
Jeżeli napiszemy ogólnie
2 = + ifr" + CV"-1 + . . .
to biorąc różnice stron obu, możemy dojść z łatwością do bezpośredniego oznaczenia współczynników i do następującego wzoru: 40]
249
BÓŻNICE FUNKCTI CAŁKOWITEJ.
gdzie Cjest stałą dowolną. Współczynniki Bv B2) zacho
dzące w tym wzorze, nazywają się liczbami B e r n o u 11 iłe g o i mają następujące wartości
h i n — in -_L n 1 /? 5 6 ' 30' 3 42' — 30' 66'
_ l9! T? _ JL z? 3617 T, _ ^3867
6 ~~ 2730' 7 ~~ 6 ' 8 " 510 ' * ~ 798 '
_ 1222277 10 ~ 2310 '
Liczby Bernoulli'ego mają zastoswanie w wielu zagadnieniach Analizy. [Niekiedy znakowania, używane przez różnych autorów, różnią się od podanego tu, mianowicie nasze współczynniki Ąbywają oznaczane przez B2l lub przez i; w pierwszym razie wszystkie liczby Bernoullfego ze skaźnikiem parzystym, drugi raz liczby ze skaźnikiem nieparzystym są zerami]. Wroński nazywa liczbami B e r n o u 11 i'e g o współczynniki
1 B, Ą Ą Ą Ą
2 ' 2 ' 4 ' 6 ' 8 ' 10
i oznacza je przez
06> °10i
wszystkie zaś współczynniki 0 ze skaźnikami nieparzystemi prócz J- przyjmuje za zera27.
Liczby B er no uli Tego napotkano po raz pierwszy w rozwiązaniu zagadnienia, dotyczącego oznaczenia sumy jednakowych potęg kolejnych liczb całkowitych, to jest sumy
gdzie x jest liczbą całkowitą. W kursach Algebry elementarnéj podawane bywają wzory
1 + 2 + 3 + . . . + (v-l) = y y !*_]_ 2*+3*4... + y+ |
l»+2» + 3«+ (.r_l)3= _ _ _ + _
y
1* + 2< + 3* + . . . y + T 30 •
250# OZĘŚÓI. ROZDZIAŁ VII. [41
Pierwszy z nich otrzymujemy, jeżeli w tożsamości (t -fl)2 — t~ = 2^+1 za t położymy 1, 2 . . . x — 1, a otrzymane równości dodamy; drugi wynika podobnie z tożsamości 1)3~*3=3*2-|-3ż-|-l, trzeci z tożsamości (£-f-4)4 — *4=4*3-|-6$2+4£-j-l, czwarty z tożsamości Podobną drogą przekonać się można, że suma
jest funkcyą stopnia (?-|-l)-go liczby x. Funkcyą ta ma postać następującą
,,• + f Ą _ A
1 2 2! 4!
14. i (i !)(/—2)(2 —3)(?--4) ^ o
+ 6! ^ -
Wzór ten podał Jakób Bernoull i28. Podana w przypisach tablica ca liczb 6, wzięta z dzieł W r o ó s k i e g o29, służyć może do rozwiązywania zagadnień, w których stosowane bywają liczby B ern o ulli'ego.
41. WZÓR INTERPOLACYJNY L.AGRANGE A. Rozwiążmy zadanie:
"Znaleźć najogólniejszą funkcyą całkowitą zmiennéj xt która dla m-j-1 różnych wartości zmiennej: a0, av . . am przyjmuje 7/a-j-l wartości danych iv0, ivv . . . wMn.
Niechaj funkcyą szukaną F(x) stopnia ra-go będzie
1. F(.x) = Cqxm-fX'*-1 -j. . . + x + cM
Dla oznaczenia m-j-1 współczynników jéj mamy. według założenia,
2. F(a0) = w0. F(aL) = wx . . . F{am) = wm t. j. układ równań
co aom + ci aom_1 + • • • -)~e?n-i*o+c>,i = Wo< o C0 aim aim~l -f . . . + = w{,
c0 amhl -fCj a„tm-] -f . . . 4" <?,„_i am -f= wm ,
41] WZÓR INTERPOLACYJNY LAGRANGE*A. 25)
Ponieważ wyznacznik układu 3.,t. j. wyznacznik V > n tn—1 a0 . . a0l 1 V, a m~1 . . an 1 U//C 1 '
jest różny od zera, możemy przeto współczynniki Cj . . . c,n oznaczyć; a mianowicie będzie W,) , ci m~ 1 a 1 a . 1 1 wi, 1 1 a m W1 • . 1 iv ' w • z'/ w — l a 1 n m . 1
i t. d.
Współczynniki, jak widać z tych wzorów, są funkcyami liniowemi liczb w0, wx . . . wm. Można więc napisać
4. = a0(i)w0 4a^ + . . . + a>tlu> iv,n, [i = 0,1, 2...w],
gdzie współczynniki a0, a1? . . . am są zupełnie oznaczone; wstawiając 4. w równanie 1., otrzymamy po odpowiedniem uporządkowaniu wyrazów:
5. F(v) ~ w0 F0(x) -f wxFx (.v) -j. . . + w"t Ftn (,v).
Tu F^ Fl . . . Fm są funkcyami stopnia m-go, maj ącemi tę własność, że funkcyą F^a) jest równą 1 dla równą 0 dla af:,
gdzie k ^ i.
Ponieważ funkcyą FĄx) staje się tym sposobem zerem dla m wartości zmiennych a0, av..a^l9 a^nie więc może być już zerem dla żadnéj innéj wartości, bo w takim razie na zasadzie twierdzenia, podanego w art. 33, byłaby toźsamościowo zerem, co nie jest, gdyż dla xz=zat jest równa 1. Na téj zasadzie możemy napisać:
6. Fi (x) = bi (.v—a0)... (a—a^) a/+1)... (x—an)
gdzie bi jest pewną stałą. Wprowadzając funkcyą, określoną za pomocą równania: 252 CZĘŚĆ I. ROZDZIAŁ Vii- [41
f{x) Z= («r — at — a2)—•(* — am)>
będziemy mieli:
x — a4
a ponieważ według wzoru 26. w art. 38 jest
jSjx—ak h
k
przeto
ĄW
h
Kładąc tu x=a, i uwzględniając warunki, jakim czynią zadość funkcye Fk, otrzymujemy z tego równania:
BI=RH
skutkiem czego funkcyą 6. przyjmuje postać
Fi O) =j^—lx--a0)..\x — a/_i)(.r —al+1)...(.r—aw) / \ai)
= /(*) (* — «/)/'(«/) '
a równanie 5. przechodzi w następujące
w i f («r)
7. F(.v)=
i
stanowiące tak nazwany wzór wzór interpolacyjny L a g r a n g e'a. Jeżeli w miejsce/(a,) napiszemy wartość téj pochodnćj, równą
(a, — a0)...(a/ —a/_! )(a,— )...(<*,—a,„), otrzymamy wzór Lagrangea pod postacią
O rv \ {v—%)...(x—ai-i)(x—ai-x)...(x—a,n)
o. r(x)= > w,; x—, r—7 r
^J (a, —a0)...(a, — — )...(a,— a„)
i Znalazłszy funkcyą F(x), czyniącą zadość warunkom zadania, możemy znaleźć rozwiązanie jeszcze ogólniejsze. W saméj rzeczy, jeżeli P(x) jest inną funkcyą, czyniącą zadość tym samym warunkom, to oczywiście różnica
staje się zerem dla m-j-1 wartości
X = CZj . . . dm ,
jest zatem podzielna bez reszty przez iloczyn
(x—aQ)(v—ax) . . . (x—am ), to jest przez funkcyą f(x); możemy przeto napisać,
0(x)-F(x)=f(x). 6(0),
gdzie 0(«r) jest pewną dowolną funkcyą całkowitą zmiennéj x. Otrzymujemy więc
Tak więc
i
gdzie G(«ił) jest funkcyą dowolną, przedstawia najogólniejsze rozwiązanie naszego zagadnienia™. Jeżeli funkcyą szukana ma być stopnia m-go, musi być 0 (.?;) = 0 i otrzymujemy jedno tylko rozwiązanie, dane za pomocą wzoru 7.
Jeżeli równość 9. napiszemy pod postacią
io. m= 0(,)+ -^-i-4-1
fl V / ' ^ I I
/(*) ~ f(a)o v—<*0 1 ' ' ' ' f(am)'x—an
otrzymamy wzór, dający rozkład ułamka
0(x) /(*) '
na część całkowitą 6 (a?) i ułamki częściowe, i stanowiący uogólnienie wzoru 26. w art. 38. Wzór 10. ma ważne zastosowania w Algebrze i w Rachunku całkowym.
Na wzorze 5. lub 8., który można przedstawić pod postacią
11. Ąx) = F(a0) F0(x) -fĄax) Fx{x) + . . . -f F(am) Fm (x)
= 2 F(at) F4(X)9 i
opiera Kronecker metodę badania podzielności funkcyj całkowitych31. Dajmy na to, że mamy pewną funkcyą całkowitą cp (<r) stopnia 2m lub 2m -{1 o współczynnikach całkowitych i chcemy zbadać, czy funkcyą ta jest lub nie jest podzielną przez inne funkcye całkowite o takichże współczynnikach. W tym celu, oczywista, dostatecznie jest zbadać, czy posiada dzielniki całkowite stopnia m-go lub niższego. Dzielnik stopnia m-go może być przedstawiony pod postacią 1.; jeżeli więc funkcyą całkowita ma być podzielną przez funkcyą to liczba całkowita cp( at)
musi być podzielną przez F(at). Jeżeli oznaczymy wszystkie dzielniki całkowite dodatnie i ujemne liczb cp (a,) dla i = 1, 2 , . . . m otrzymamy tym sposobem skończoną liczbę układów wartości liczb F(ał). Te układy, wstawione do równania 11., dadzą nam funkcye stopnia m-go, między któremi znajdują się, o ile istnieją, wszystkie dzielniki stopnia m-go funkcyi danéj. Widać stąd, że za pomocą skończonéj liczby działań przekonać się można, czy funkcyą całkowita dana jest podzielną przez inne lub nie podzielną. Funkcyą całkowita o współczynnikach całkowitych podzielną przez inną takąż funkcyą całkowitą, nazywa się przywiedbią [reductible], w przeciwnym razie nieprzywiedlną [irreductible].
Pokażemy jeszcze jedno interesujące zastosowanie wzoru Lag r a n g eła, również wskazane przez Kronecker a32, do teoryi liczb B e r n o u 11 fe g o, o których mówiliśmy w poprzedzaj ącym artykule.
Dajmy, że mamy oznaczyć funkcyą całkowitą stopnia m-go na mocy m-j-1 warunków, aby mianowicie dla wartości zmiennéj równéj zeru była zerem i aby dla wartości całkowitych 1, 2, 3...r—1 równała się odpowiednim wartościom wyrażenia
2>»-i -f. . . + (*-1)"'-1
Kładąc we wzorze 8.
ao = % = ax = 1, wl = 0,
a2 = 2, w2 = 1,
«,. = Wf = . . . + —1)'""1
am = m, wM = I-ł. . . -j(m—\)m-~l9 L'H A U'O NAJWYŻSZE WKOŃSKIEOO.
będziemy mieli
« i \ f t(t_i) # . . i.— i (ai — i)
i
~~ 1.2.. .m 2j 1.2.. . / ( ' x—i
i
1.2... w 2j 1.2.3... t a?—?
t = l,2,...m—1; k = 2j czyli 0 <;&<
Współczynnik przy potędze pierwszéj zmiennéj A* W tóm rozwinięciu jest równy
^ (m-1)... On-i + l) (-!)<
Jll 1 . 2.3 ...i /
a porównywając to wyrażenie z wzorem 14. w art. poprzedzającym, otrzymuj emy bezpośrednio
jLm 1.2.3...? ? —
t, k
0 <ii<ik <
stosownie do tego, czy m jest parzyste lub nieparzyste. Kładąc n. p. m=5 i ra=6 tu, znajdujemy
1OĄ—10 14-f-24)-|-5.£( 14+24-f-34)—l4+24 + 3 4-j-44)=Tł1T) j
15.4—20. ł(l*+25)+15.ł(lr,+25+35)—6.-J(ls+2ł+3a+45)
+ £ (15-f-25+ 3r,-f4'+ 5r>) = 0.
42. "PltAWO NAJWYŻSZE,, WROŃSKIEGO.
Rozwiążmy zadanie:
"Daną funkcyą całkowitą F(;c) zmiennéj x rozwinąć według innych funkcyj całkowitych Fx(x), F2(x) . . . Flt(x), tejże zmiennéj, czyli, innemi słowy, oznaczyć współczynniki stałe A{)% Av A2.. . . Ar. aby było toźsamościowo
255
1. I'\.v) = A(1 + A, /•;(,') + A2F,(.r)-!r...-\-AllFr(,r)y.
Aby zadanie to rozwiązać, należy mieć daną wartość funkcyj F(x), (#)... Fv(.v) i jéj pochodnych aż do pochodnych rzędu p-go włącznie dla pewnéj wartości zmiennéj a np. dla x = a. W saméj rzeczy, jeżeli równanie 1. ma być tożsamością, to pochodne obu stron winny być toźsamościowo równe, otrzymujemy przeto układ równań
2. F=A0+A1F1 A2 F2 + . ..-\-A0Fp
1)F— A1UF1 + A2DF2 + . . . + APDFP,
IJ-F= AlD2F1 4A2D°-F2-\. . . + AfiD*Fp,
3. '
l)i>F= A1JJPF1 4A2D»F2 + ... 4Ar D>'F„
gdzie F, Fx,. . . DF1JJ2Fl . . . Z)2FVD2F2 . . . i t, d. oznaczają wartości, jakie przyjmują funkcye i ich pochodne przy wartości ,v=a. Z p równań 3., jeżeli wyznacznik DF1 , , . . DF„ D'FU W, . . B"-FL, DFi, . D*Fy
t. j. wrońskian funkcyj DFVDF2 . . . DFp, który oznaczamy przez
W{DFU T)F2 . . . I)FS),
nie jest zerem, możemy wyznaczyć współczynniki Au A2. . . . AJt; będzie mianowicie
_ W(1)FU DF2... DFj-i 1)F, DFj+i. . .DFV) 1 ~~ W(DFX, J)F2 DFy) '
gdzie wyznacznik w liczniku powstaje z wyznacznika w mianowniku, gdy w pierwszym elementy kolumny 2-éj zastąpimy odpowiednio elementami
J)F, JJ2F. . . DrF.
Oznaczywszy przy pomocy 5. współczynniki A[t A2 . . . Ap, znajdziemy z równania 2. współczynnik 40. Tym sposobem zadanie zostało rozwiązane. Wroński podaje dla współczynnika At wzór, w który wchodzą współczynniki A^2. . po nim następujące. Współczyn- 42]
25'
I*RAwo NA;\VYZS/.K WKONSKIF.GO.
nik A0 na zasadzie równania 2. wyraża pod postacią. 6. A0 = F— AXFX — A2F2 — ... — APFP.
Biorąc pochodne obu stron równania 1. otrzymujemy
DĄ,r) = AxL>Fx(.r) + A2VF2{.r) -f . . . -f AvDFv(x)i
7.
skąd
A _L A JJF*M 1 A JJFA'T)
UFx(.r) '
VFx(.r) 1 ~"'JJFx(.r)
a więc, kładąc a za będziemy mieli
8.
DFX "" DFX '
Przechodzimy do wyrażenia współczynnika A2. Biorąc pochodne obu stron równania 7. [na podstawie prawidła 24. w art. 38 |, znajdujemy
(DFX(*)Y
DFx(.T)D2ĄX)— L>Ą.T)D2FX(X) _ UFX (.r)L)2F2(;r)— L>2J>\r)B2FX (.R) A2'
(DFX(*))*
DFx{x) D2F, (g) UF, (.r) D2Fx(.r) , + r
(DFx(.r))2 /JFx(.r) D2Fy{(c) — UFp (.r) D2Fx(.r)
(1'JFX{.R)F
Dzieląc obie strony przez współczynnik przy A2, kładąc następnie we wszystkich wyrazach ,r=a, otrzymujemy
_ JJFX]J'F—DFD2FX __ DFXDH^—DF^D2FX _ 2~ 1)FXD2F2—DF2T)2FX 3 JJFXD2F2—JJF2JJ2FX
1) FX D2FV—DFRD-FX
DFX D2F2 —])F2L)2FV '
Jeżeli zauważymy, że każde z wyrażeń, zawartych po drugiéj stronie, da się przedstawić pod postacią ilorazu wyznaczników, będziemy mogli napisać:
A2 =
DFX, DF | ])2FX, U-F\
1>FX,])F2\ *
D2FX. ]>-F.} JJl\, Jjl\ lJl\, \ JSFt A JJ'ŹF„ DT\, DF, 1 >F„ />F, I h"-F, i>*-rv //-7V lojęcia. T. I.  Postępując tą drogą daléj, t. j. po podzieleniu obu stron przez przez współczynnik przy A2l biorąc pochodne i następnie kładąc x=a [wykonanie tego rachunku pozostawiamy czytelnikowi), dojdziemy do wzoru
10.
=
A.
DFV DF2, DF D2FV D2F2, D-F DZFLY D*F2, D*F
DFV DF2, DF.J D2FU D2F2, D2F3 D*FV D*F2, D2FZ
DFU DF2, DF" D2FV D2F2. D2F4 D*FU D*F2, D*FA
DFU DF2,UĄ D2FV D2F2, D2FZ D*FV D*F2, DIF,
I J>Flf JM?,, DĄ Z)2/^,
[Z^, D*F2, D*FP
DF„ DF2I DF3 D2FV, D-F2, D2F3 D'IFV DSF2, D*F3
Wyznaczniki, zachodzące we wzorach 9. i 10., są wrońskianami; wprowadzając przeto skrócone oznaczenie wrońskianów, możemy napisać wzory te w sposób następujący:
W(DFV DFZ)
W(DFU DF,) W(DFV UF,)'
■...—A
—A
_W(DFUDF) A.? —
W(DFX, DF2) 6 W(DFV DF2)
W(DFV DF2, DF,)
A3 =
— A
_ W(DFL, DF2, DF)
W{DFV DFA, DF3) 4 W(DFV DF2, DF.,)
W(DFX, DF2, DF„)
A" W(DFV DF2, DF3) • Postępując tą drogą daléj, dojdziemy do wzoru ogólnego
A,=

— A„
W(DFV DF2. . .DFT_UDF)
11.
W(DFL, DF,. . DFL+L DF,) W(DFU DF,. . .DF^DF^ ) W(DF1, DF2. . . DFI-I DFI) W{DFU J)FS . . . DF^DF,) W(DFV DF,. . . DFI-IDFF) '
którego ogólność sprawdzić można, przechodząc od wzoru na A, do wzoru na A,-.. 42 j PRAWO NAJWYŻSZE WROŃSKIEGO. 259
Zastosujmy wzór 11. (lo przypadku szczególnego. Niechaj będzie i^r) =/(*), F,(.v)=f(x)\ . . . Fp(x)=/(x)Pf Pochodne kolejne funkcyi
Fr(x) =Ąxy
będą.:
DFr{x) = rf(x)r- Df(x) D Fr (.r)= r(r -1
= r(r-l) . . . 2.1 (DĄx)Y+. . .
Jeżeli założymy, że dla wartości x=a funkcyą f(x) przybiera wartość / równą, zeru, otrzymamy
DFr{x) = 0, D*Fr(x) = 0 . . . Dr-*Fr(x)= 0 2^^) = r(r-l) . . . .2.1(Df(x))r
Jeżeli te wartości pochodnych wstawimy do wrońskianu, stanowiącego mianownik we wzorze 11. otrzymamy wyznacznik, w którym wszystkie elementy, znajdujące się po prawéj stronie głównéj przekątnéj, są zerami; wyznacznik ten sprowadza się przeto do jednego wyrazu,równego iloczynowi elementów na przekątnéj, t. j. równa się
1.D/.1. 2 . (DJ)2.1.2.3.(Z*/) . . . 1.2 . . . i{Dfy
= 1! 2! 3!... i\ (D/y+^+^U 2! 3!... i\ (Df)~. Wrońskiany
W(JJFU DF2 . .. DF^X, DF^)
W(DFV DF<>. .. ,-Di^-i
będą zerami i wyrażenie współczynnika sprowadza się do jednego wyrazu
_W(D;\ Df\ Df. ,DF)_
A' "" " *<i+\)
1! 2! 3 ! ... t! (Df)T  Rozwinięcie funkcyi F(.r) według funkcyj f(.r), /(.r)2 . . . /(.?») będzie zatem miało postać:
1! 2 ! 3! . . . i\ (/>/) 2 Jest to pod inną postacią rozwinięcie podane w art, 36. Zakładając tu, jak to uczyniliśmy w art. 3S, f=.r—h, otrzymamy wzór Taylora.
Zakładając we wzorze 11.
doszlibyśmy podobnym sposobem do rozwinięcia funkcyi danéj F według funkcyj faktoryalnycb Fż, którego rozwinięcie poprzedzające jest przypadkiem szczególnym dla h=0.
Dodamy tu jeszcze, że można otrzymać za pomocą téj saméj metody, inną postać "prawa najwyższego,,, zastępując w równaniach 3. pochodne różnicami odpowiednich rzędów.
"Prawo najwyższe,, można uważać za najogólniejszą postać rozwinięcia funkcyi całkowitéj według innych funkcyj.
|42
260
r. KO/.IW.Ivi v:i.
Wroński zastosował podaną tu formę nie tylko do funkcyj całkowitych ale do wszelkich funkcyj analitycznych. W przypadku tym wszakże rozwinięcie składa się wogóle z nieskończonéj liczby wyrazów i stosowalność jego wymaga pewnych warunków i zastrzeżeń. [porówn. art, 7]. Zbadanie tego przedmiotu należy już do ogólnéj Teoryi funkcyj.
w jeden, a następnie na dodaniu do elementów kolumny tego ostatniego elementów kolumn pozostałych, pomnożonych odpowiednio przez xmy jcw—i . .. x».
6 Temu ważnemu twierdzeniu nadać można jeszcze wyrażenie następujące:
"Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dwie funkcye Fi / miały czynnik wspólny stopnia p>-go a nie wyższego, jest, aby wszystkie minory stopnia 1)-go rugownika C0 były zerami, a nie były zerami wszystkie minory stopnia p-go tegoż rugownika,.
7 Porówn. G. Ch rys tal. Algebra. Part I. 1886, str. 103.
8 Szczegółowy wykład teoryi funkcyj symetrycznych znajdzie czytelnik we wspomnianym dziele Faa di Bruno lub też w dziele V. Rehorovskj'ego, Theorie soumernych funkci korenu, 1883.
9 X e w t o n, Arithmctica universalis, Ed. 1732, str. 192,
10 Wzór ten podał Waring w piśmie Meditationes algebraicae, 1782; przed nim wszakże ogłosił go matematyk holenderski Albert Girard w r. 1629 w piśmie Invention nouvelle en Algebrę. Porówn. Matth i es en, Grundziige der antiken und niodernen Algebra, 1878, str. 62.
11 Funkcye alef oznacza Wroński w dziele swem Introduction a la philosophie des mathćinatiques, str. 65 w sposób następujący:
w rozprawie Resolution generale des equations de tous les degres 1812., pisze zaś już wprost X,,
12 W r o ń s k i, Introduction etc. str. 143.
15 Wzór ten podany przez W r o ń s k i e g o bez dowodu w dziele Reforme absolue et par consequent finale du savoir hiunain. Tome III, 1847, str. 30. Dowód tego wzoru, jak i uzasadnienie innych własności funkcyj alef podał S. Dickstein w Pamiętnikach Akademii Krakowskiéj, Tom XII, 1886 i XVI, 1888.
14 W r o ń s k i. Introduction etc. str. 68.
15 Porówn. J. A. S e r r e t, Haudbnch der hoheren Algebra, deutsch bearbeitet von G. W e r t h e i m. 1868, str. 304—3u8
10 Pierwsze tablice funkcyj symetrycznych Meiera H i r s c h a znajdują się w dziełku Sammlung von Aufgaben aus der Theorie der algebraischeu Gleichungen, Erster Theil, 18U9.
17 C a y 1 e y. A memoir on the symmetric Functions of the roots of an equation, [Philosophical Transactions of the Royal Society of London, vol CXLV1I, 1857, także A. O a y 1 e y, The collected mathematical Papers vol. II, 1889, str. 417 i dalsze].
18 F ail di Bruno 1. c.
19 Rehorovsk\', 1. c., a także tegoż Tafeln der symmetrischen Functionen der Wurzełn und der Coefficienten-Combinationen vom Gewichte 11 und 12 [Denkschriften der k. Akademie in Wien, XLVI, 1882, str. 51—58]. TABLICE FUNKCYJ SYMETRYCZNYCH.
Waga = 1. 1
1 (1) i
Waga = 2. 2 1- C2) _ 2 j+ 1 1 (l2) + 1 i
Waga = 3. 3 12 l3 j (3.» ! |-3 +3 1
— 1 | r21, 43 — 1 1 i i n:i) 1 i
Waga = 4. 4 13 2- 1-2 i4 +1 (4) 4
i 44 + 2 4 (31; + ^ — 1 0
hm +1 4-2 2 + 1 ! (1-2) — 4 + 1 j (1') + .1 i ! i

263
I'K"/.VI'ISY.
Waga = 5. 5 14 o o 123 12-' 132 l5 1 (5) — 5 + 5 + 5 — 5 — 5 + 5 1 (41) + 5
f — 1 — 5 + 1 + 3 — 1 i (32) + 5 — 5 41 + 2 1 i
( | (31s; — 5 + 1 42 1 i (2al) — 5 45 + 3 — 1 | (2i») — 1 i (l5, i — 1 i 1
Wraga = 6. 6 15 24 32 123 133 2s 1*2' 142 1* (6) — 6 + 6 46 6 | 43 —12 + 6 2 + 9 — 6 + 1 (51) 46 — 1 — 6 + 1 3 + 7 — 1 + 2 4 + 1 i (42) 46 — 6 42 42 3 + 4 2 2 + 1 (3») + 3 — 3 o
— o 43 + 3 — 3 0 + 1 (41') — 6 4i 42 — 1 + 3 — 3 + 1 (321) —12 47 "+ 4 — 3 3 4i (23) — 2 42 — 2 0 4i (31*) + 6 — 1 2 + 1 (2n>) 49 4 4 1 (21*) 6 + i ! ! d6) + 1 i
i i i i


264
C.: J. KU/1)7.1 A L VII. K.
r-t rH
1 Ol •f: -H I— + rH
1 1 Tl
«
rH f—l
1 + rH 1 w
<M i—i + uo AA + l CO
rH t1 T—1 + |<N + o rH
1 co
I 4 i Ci 1 'O 1 co + + T—t 1 CO
W
^ 1
* • L-
I + CO 1 rH
4- OJ 1 Ol
4- T—< 1 ! -
! 2 t-
! + t+ >C 1 TH
+ + TH 1 * 1-H ; rH 1 M 1 « 1 TH + CO + O O rH 1 Ol
rH rH
1 00 + + 01 + CO 1 X 1 1—1 + ff. 1
t CO + TH
1 1 CO R+ T1 .o + t4- OJ + o 1 + 1 CO
4- ri
1 >C rH i> l T"*
+ Ol
-L i r—
4- T—11 ! co 1 i Ol 1 rH
+ + O
1 r—( 1 l-O Ol L— + l— . ■» + t> 1 Ol + + + co
I 01 1 O 1 co + Ol
+ TH
1 O L+ r-1 1 t—
1 |> 1 TH + 30 + •5H
4- T4- I—l 1 1 lO 1 I rH + 4- iH 1 jl t— + 1 + + 1 1 I 1—
1 4- 01 + L-
+ i r—l 1 + T-< 1 O Ol CO f Ol r»
CO ĆT
Ol
co e» 1-4
Ol CO rH
pt Ol T
CO « —
M
Ol, —. <N K
»H

265
I "I
i I
+1
l-it/.Yl-JSY.
! 1 I i i i i i i
oi
to
00 I-
!+ C4
CM
0
1 +
+
cz
Ol
o
O ^ IrH + 1 +
Ol
Ol +
Ol
-I-
Ol
Ol
+

cc +
1 o-l co
J
Ol +
Ol
T-* +
X
i L
00 i co
+11
co +
00; oi
w
+
co
c* Ol
uo fO
CO e*
+]+
CO Ol
X |t~< | Ol ICO iO I rH
JI+1+I+LM
jo IO i** Ol r-
+1111111+1+
Ol
i
+
(NIOIO -1 1 rH
-i-
CO
1
-
1 — +
to
4- rH
+
Ol
1 1 II + 'rH
+ 1 1 — ! i 1 •o
+ I Ol 1 rH
: co O o O I—1
+ r-» "rH '01;0 *—< i

+! i1 Ol
i
O (O rH IK* IrH jol
+1 1 11+1 I 1 i 1+
X X K-f IX
01
01 Ol
i l+l 11+! i l
O IO |CC IrH IX rH Uh
I i+l+l+l i I
+
i+
Ol
ot
\ j
"O =st 00 X
c*
Ol rH |
+
+ I ++ I +1
+ +i+l I ! I X IrH
Ol
00 |Ol
CO
+
4-
+1 I CO
Ci + +
X
X CO +11
O CO rn ++;+
CO iO
co
0
1
-I
X +
X
X
X +
co i o
Ol
CO +
CO rl 11+
1 +
+
+
+
+ +

X
CO
c*
: X ! +
X
V-*
0
1
+
Ol i»o
+
Ol |Ol ICC
+
or t-* +
Ol;01 +!+
X ^ł+
+1
+
rH Ol IX IrH +'+!++: i co jo i; i
co +h
lic +:+!+ X; +
IX X
o +
O X +1+
X +
O 'IC l
Ol
CO rH
1 +
*1 + +
+
+
X
X +
X X
X
o i co x
X
X +
Ol
rH
+
Ol X +
-o 'X
I +
0
1 +
X
Ol +
X
+!+
+
+
+
o. £
Ol "O
m —
Ol
X
Ol
Ol
CO
Ol
«
t! pi
ro
I
Ol
  4 Dochodzimy do wzoru 5.. rozkładając pierwszą stronę otrzymanego związku na sumę dwóch wyznaczników, które powstają z niej: pierwszy przez postawienie zer w kolumnie pierwszéj na miejscu elementów a0, at ... «/))-«, drugi przez zastąpienie elementu Q zerem.
5 Przekształcenia te polegają na zebraniu otrzymanych wyznaczników
x