a jakie są cechy liczb złożonych. Przy pomocy Dra Hossfelda w Eisenach, poznałem zasady funkcyi
. Opracowując tę funkcyę w zakresie do
, potem do
, wykryłem okresy symetrycznych luk między liczbami względnie pierwszemi, po usunięciu każdej z porządku z liczb pierwszych ze wszystkiemi przez nią podzielnemi liczbami i prawidło ogólne, że
|
|
oraz że
|
.
|
Wykryta zaś symetrya luk w danym okresie, t. j. że luka 1-sza
luce ostatniej, 2-ga
przedostatniej , 3-cia z początku
3-ciej od końca i t. d. aż do połowy, czyli środka okresu, to jest do
wskazała możność obliczenia na poczekaniu i zakresu numeracyi
,
oraz
,
gdyż ![{\displaystyle \operatorname {\varphi } (p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}\pm {r},n)=(p_{1}-1)(p_{2}-1)(p_{3}-1)\ldots (p_{n}-1){\begin{cases}+\operatorname {\varphi } (r,n)\\-\operatorname {\varphi } (r-1,n),\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37433fe2c3528d6322eaf769cbc0525cc097516)
oraz ![{\displaystyle \operatorname {\varphi } (g.(p_{1}.p_{2}.p_{3}\ldots p_{n}\pm {r},n))=(g(p_{1}-1)(p_{2}-1)(p_{3}-1)\ldots (p_{n}-1){\begin{cases}+\operatorname {\varphi } (r,n)\\-\operatorname {\varphi } (r-1,n).\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a7f993553b51fa02ba35965a242550ae7840eee)
Zakomunikowałem te spostrzeżenia przez p. Webera Drowi Hossfeldowi, który przyznał im wielką wagę; ale potem zawiadomił mię, że już w roku 1872 Dr. Meissel te same prawa odkrył i ogłosił, tylko jeszcze nie wiedział o wewnętrznej symetryi okresów i dla tego wzór jego posiada tylko
ale nie
Wydrukował o tem za mojem przyzwoleniem króciutki artykulik o dopełnieniu przeze mnie wzoru Meissela. Artykulik wyszedł niefortunnie, bo przed wydrukowaniem nie przysłał mi go do przejrzenia. Wsadził doń bez potrzeby własnego pomysłu
bez potrzeby i sensu. Kiedym go później przekonał, iż wszystkie trudności i pomyłki wyrażenie
usuwa, przysłał mi do przejrzenia napisany do druku drugi artykulik o tem samem; ale jego objaśnienie
, nie trafiło do mojego przekonania; moje zaś objaśnienie on uważał za naciągnięte. W ten sposób artykulik jego nie wyszedł z druku.
Dla większego jeszcze uproszczenia obliczeń funkcyi
, ułożyłem analityczną tablicę okresu
t. j.
, która wielkie daje ułatwienie przy obliczaniu większych zakresów numeracyi.