Wartość nauki/Nauki fizyczne/Analiza i fizyka
| <<< Dane tekstu >>> | |
| Autor | |
| Tytuł | Wartość nauki |
| Część | Nauki fizyczne |
| Rozdział | Analiza i fizyka |
| Redaktor | Ludwik Silberstein |
| Wydawca | G. Centnerszwer i Ska. |
| Data wyd. | 1908 |
| Druk | Drukarnia Narodowa w Krakowie |
| Miejsce wyd. | Warszawa |
| Tłumacz | Ludwik Silberstein |
| Źródło | Skany na Commons |
| Inne | Cały tekst |
| Indeks stron | |
Niewątpliwie, zapytywano częstokroć, do czego służy matematyka i czy wszystkie te subtelne konstrukcye, które całkowicie z umysłu naszego wysnuwamy, nie są sztuczne i zrodzone przez kaprys nasz.
Między ludźmi, którzy zwracają się do nas z tem pytaniem, należy jednak uczynić pewne odróżnienie. Ludzie praktyczni wymagają od nas jedynie, abyśmy im wskazali sposób zarobienia pieniędzy. Tacy nie zasługują nawet na odpowiedź; ich to raczej powinnibyśmy zapytać, po co gromadzić tyle bogactw i czy, aby mieć czas na ich zdobycie, godzi się zaniedbywać sztuk i naukę, skoro one jedynie umożliwiają nam korzystanie z bogactw
Nauka zresztą, tworzona jedynie w widoku zastosowań, jest niemożliwą; prawdy są płodne wówczas tylko, gdy wiążą się jedne z drugiemi. Gdy chwytać się będziemy tych jedynie, po których spodziewamy się niezwłocznego rezultatu, zbraknie ogniw pośrednich, a więc też i łańcucha.
Ci nawet, którzy najwięcej gardzą teoryą, znajdują w niej bezwiednie codzienne swe pożywienie; gdyby nie to, postęp zatrzymałby się rychło i popadlibyśmy niebawem w nieruchomość chińską.
Dość już jednak zajmowaliśmy się zatwardziałymi
praktykami. Po za nimi są tacy, których zaciekawia tylko przyroda i którzy zapytują nas, czy możemy ich lepiej z nią zapoznać.
Aby im odpowiedzieć wystarczy pokazać im poprostu wzniesione już dwa pomniki: Mechaniki Niebieskiej i Fizyki Matematycznej.
Przyznaliby nam oni niezawodnie, że pomniki te warte były naszych zachodów. Nie dość jednak na tem.
Matematyka ma cel trojaki. Powinna przedewszystkiem dostarczać nam środków do badania przyrody. Oprócz tego jednak ma ona cel filozoficzny i, jak ośmieliłbym się dodać, cel estetyczny.
Powinna być pomocną filozofowi w zgłębianiu pojęć liczby, przestrzeni i czasu.
Nadewszystko zaś adepci matematyki znajdują w niej roskosze podobne do tych, które daje muzyka i malarstwo. Podziwiają oni subtelną harmonię liczb i form, zachwycają się, gdy nowe jakieś odkrycie otwiera przed nimi nieoczekiwaną perspektywę, — a radość, której wówczas doznają, czyż nie posiada cech estetycznych, aczkolwiek zmysły nie biorą w tem żadnego udziału? Prawda, że do pełnego roskoszowania się nią powołana jest nieliczna tylko garstka wybranych, lecz czyż nie dzieje się podobnie w dziedzinie najszlachetniejszych sztuk pięknych?
Dlatego też nie waham się powiedzieć, że matematyka zasługuje, aby uprawiać ją dla niej samej, i to zarówno w swych działach nie dających stosować się do fizyki, jak we wszystkich innych.
Gdyby nawet cel fizyczny nie kojarzył się z celem estetycznym, to i tak nie powinnibyśmy zrzec się ani jednego, ani drugiego.
Nie dość na tem; dwa te cele są nieodłączne, i najlepszy sposób dopięcia jednego polega na tem, aby dążyć do drugiego, a przynajmniej nie tracić go z oczu. To właśnie pragnąłbym okazać, rozważając szczegółowiej istotę stosunków zachodzących między nauką czystą a jej zastosowaniami.
Matematyk dla fizyka nie powinien być zwyczajnym dostawcą wzorów; między jednym a drugim powinny zawiązać się ściślejsze stosunki spółpracownictwa.
Fizyka matematyczna i analiza czysta są to nietylko dwa pograniczne mocarstwa, podtrzymujące dobre stosunki sąsiedzkie, lecz mocarstwa, które przenikają się wzajemnie i tym samym są ożywione duchem.
Zrozumiemy to lepiej, gdy zobaczymy ile fizyka czerpie z matematyki i ile, wzamian, matematyka zapożycza od fizyki.
Fizyk nie może wymagać od analityka, by objawił mu nową prawdę, lecz najwyżej tylko, by pomógł mu ją przeczuć.
Oddawna już nikt nie marzy o wyprzedzeniu doświadczenia lub o zbudowaniu całego świata na kilku pohopnych hypotezach. Ze wszystkich tych konstrukcyj, któremi przed stu jeszcze laty lubowano się naiwnie, dziś pozostały jedynie ruiny.
Wszystkie więc prawa są wyprowadzone z doświadczenia; dla wysłowienia ich atoli niezbędny jest język specyalny; zwykły nasz język jest zbyt biedny, i zbyt nieokreślony zresztą, aby mógł nadawać się do wyrażenia stosunków tak subtelnych, urozmaiconych i ścisłych.
Oto więc pierwszy powód, dla którego fizyk nie może się obejść bez matematyki: ona to jedynie dostarcza mu języka, którym mówić może.
A dobrze utworzony język bynajmniej nie jest sprawą obojętną; że pozostaniemy w dziedzinie fizyki: ten, kto wynalazł wyraz ciepło, liczne oddał pokolenia na pastwę błędu. Uważano ciepło jako substancyę dlatego poprostu, że było ono oznaczone przez rzeczownik, i dlatego też przypisywano mu niezniszczalność. Ten natomiast, kto wynalazł wyraz elektryczność, miał niezasłużone szczęście obdarzenia fizyki nowem prawem, prawem zachowania elektryczności, które, czystym przypadkiem, okazało się słusznem — do obecnej przynajmniej chwili.
Otóż, aby dalej snuć to porównanie, pisarze, którzy upiększają język, uważając go jako przedmiot sztuki, czynią zeń jednocześnie narzędzie bardziej giętkie, nadające się lepiej do oddania odcieni myśli.
Pojmujemy tedy, jak analityk, mający cele czysto estetyczne, przyczynia się tem samem do stworzenia języka, który lepiej zadowolić może fizyka.
Nie dość tego; prawo wyłania się z doświadczenia, lecz nie bezpośrednio. Doświadczenie jest indywidualne, podczas gdy prawo, które zeń wyprowadzamy, jest ogólne; doświadczenie jest tylko przybliżone, prawo zaś jest dokładne, lub chce niem być przynajmniej. Doświadczenie wykonywa się zawsze w warunkach zawiłych, sformułowanie zaś prawa ruguje te komplikacye. Nazywa się to »poprawianiem błędów systematycznych«.
Jednem słowem, aby wysnuć prawo z doświadczenia należy uogólniać; konieczność ta narzuca się najoględniejszemu nawet obserwatorowi.
Jakże jednak uogólniać? Każda prawda szczególna daje się oczywiście rozszerzyć w nieskończenie wiele sposobów. Pośród tysięcy dróg, które się przed nami otwierają, należy, chociażby tylko prowizorycznie, uczynić pewien wybór. W wyborze tym cóż nam będzie przewodnikiem?
Może nim być jedynie analogia. Lecz jakże wyraz ten jest nieokreślony! Człowiek pierwotny znał tylko grube analogie, takie, które uderzają zmysły, które opierają się na barwach lub dźwiękach. Nie on to marzyłby o zestawieniu, naprzykład, światła z ciepłem promienistem.
Któż tedy nauczył nas poznawać analogie prawdziwe, głębokie, owe analogie, których oczy nie widzą, a które odgaduje rozum?
Oto duch matematyczny, który gardzi materyą (treścią) by zająć się jedynie czystą formą. On to nauczył nas nazywać tem samem mianem rzeczy różniące się jedynie treścią, nazywać tak samo mnożenie kwaternionów, naprzykład, jak mnożenie liczb całkowitych.
Gdyby kwaterniony, o których wspomniałem, nie znalazły tak rychłego zastosowania w rękach fizyków angielskich, wielu widziałoby w nich niezawodnie tylko próżną mrzonkę; a przecież, naprowadzając nas na zestawienie tego, co pozory rozdzielają, kwaterniony przysposobiłyby już nas poniekąd do wniknięcia w tajniki przyrody.
Oto jakich usług oczekiwać może fizyk od analizy; w tym celu jednak analiza powinna być uprawiana w jaknajszerszym zakresie, bez względu na bezpośrednią użyteczność; innemi słowy, matematyk powinien pracować jak artysta.
Wymagamy od niego, aby pomógł nam widzieć i odróżniać drogę naszą w labiryncie, który się przed nami otwiera. Otóż, najlepiej widzi ten, co wzniósł się najwyżej.
Nie brak po temu przykładów, a ograniczę się tu do najwybitniejszych.
Pierwszy z nich wskaże nam, jak wystarcza zmienić sposób wysławiania się, aby dostrzedz uogólnienia, których pierwotnie nie podejrzewało się nawet.
Gdy prawo Newtona zastąpiło prawa Keplera, znano jedynie ruch eliptyczny. Otóż, o ile chodzi o ten właśnie ruch, jedno i drugie różnią się od siebie tylko formalnie; od praw Keplera przechodzimy mianowicie do prawa Newtona za pomocą prostego różniczkowania.
A przecież, z prawa Newtona można wyprowadzić, na drodze bezpośredniego uogólnienia, wszystkie skutki zakłóceń [perturbacyj] i całą mechanikę niebieską. Gdyby natomiast zachowano pierwotne wysłowienie praw Keplerowskich, nie uważanoby nigdy orbit planet zakłócanych, owych zawiłych krzywych, których równania nikt jeszcze nie napisał, nie uważanoby ich nigdy — powiadam — jako naturalne uogólnienia elipsy. Postęp samych obserwacyj przyczyniłby się jedynie do wywołania wiaty w chaos.
Warto się również zastanowić nad drugim naszym przykładem.
Gdy Maxwell rozpoczął swą pracę, prawa elektrodynamiki uznawane aż do jego czasów zdawały sprawę ze wszystkich znanych faktów. Nie osłabiło ich też jakieś nowe doświadczenie.
Rozważając je atoli z nowego punktu widzenia, Maxwell spostrzegł, że równania stają się symetryczniejsze, skoro dodaje się do nich pewien wyraz; z drugiej zaś strony wyraz ten był zbyt mały, aby wywołać, przy dawniejszych metodach, skutki dostrzegalne.
Wiadomo, że aprioryczne przepowiednie Maxwella czekały dwadzieścia lat na potwierdzenie doświadczalne, lub też, że Maxwell wyprzedził doświadczenie o dwadzieścia lat.
Co poprowadziło go do tego tryumfu?
Otóż to, że Maxwell przejął się do głębi poczuciem symetryi matematycznej; czyż jednak nastąpiłoby to, gdyby inni już przed Maxwellem nie zajmowali się tą symetryą gwoli samej jej piękności?
Maxwell nawykł do »myślenia wektorami«; jeżeli jednak wprowadzono wektory do analizy, to stało się to dzięki teoryi wielkości urojonych. Ci zaś, którzy wymyślili wielkości urojone, nie podejrzewali nawet, jak wielka wyniknie z nich korzyść dla badań świata rzeczywistego; dowodziłaby tego sama chociażby nazwa, którą wielkościom tym nadali.
Maxwell, jednem słowem, nie był może wprawnym analitykiem, lecz dar taki byłby dla niego tylko zbytecznym i krępującym balastem. Posiadał on natomiast rozwinięty do najwyższego stopnia i subtelny zmysł analogij matematycznych. Dlatego to zdziałał on tyle na polu fizyki matematycznej.
Przykład Maxwella jest też skądinąd pouczający.
Jak należy traktować równania fizyki matematycznej? Czy mamy z nich wysnuwać poprostu wszelkie wnioski i uważać je jako rzeczywistość nietykalną? Bynajmniej. Powinny nas one uczyć nadewszystko, co można i co należy w nich zmienić. W ten tylko sposób możemy z nich istotnie korzystać.
Trzeci wreszcie przykład okaże nam, jak możemy spostrzegać analogie matematyczne między zjawiskami, które pod względem fizycznym nie mają ze sobą żadnego związku, ani pozornego, ani rzeczywistego, tak iż prawa jednego z tych zjawisk pomagają nam odgadnąć prawa drugiego.
Jedno i to samo równanie, mianowicie równanie Laplace’a, napotykamy w teoryi przyciągania newtonowskiego, w teoryi ruchu cieczy, w teoryi potencyału elektrycznego, w teoryi magnetyzmu, w teoryi przewodnictwa ciepła i w wielu innych jeszcze.
Cóż stąd wynika? Teorye te wydają się obrazami przekalkowanemi jedne z drugich; wyświetlają się one wzajemnie, zapożyczając od siebie języka; zapytajcie elektryków, czy nie są szczęśliwi, że wynaleźli nazwę »przepływu siły« [flux de force], którą nasunęła im hydrodynamika i teorya ciepła[1].
Tak więc analogie matematyczne nietylko naprowadzają nas na odgadywanie analogij fizycznych, lecz nie przestają też być użytecznemi, gdy te nie dopisują.
Jednem słowem, cel fizyki matematycznej nie polega jedynie na tem, aby ułatwić fizykom obliczenie numeryczne pewnych stałych lub całkowanie pewnych równań różniczkowych, lecz również, i nadewszystko —, aby zapoznać fizyka z ukrytą harmonią rzeczy, ukazując mu je w nowem oświetleniu.
Ze wszystkich działów analizy najwyższe i, że tak powiem, najczystsze będą właśnie najpłodniejszemi w rękach tych, którzy umieją się niemi posługiwać.
Zobaczmy teraz, co analiza zawdzięcza fizyce.
Należałoby chyba zapomnieć zupełnie historyę nauki, aby nie pamiętać, że żądza poznania przyrody wywierała na rozwój matematyki wpływ ciągły i najpomyślniejszy.
Przedewszystkiem fizyk zadaje nam problematy, których rozwiązania po nas się spodziewa. Lecz zadając je nam, tem samem już wynagradza nam sowicie usługi, które będziemy mogli mu oddać, skoro uda się nam je rozwiązać.
Jeżeli czytelnik pozwoli mi snuć dalej porównanie ze sztukami pięknemi, powiem, że czysty matematyk, który zapomniałby o istnieniu świata zewnętrznego, przypominałby malarza, umiejącego harmonijnie kojarzyć barwy i kształty, któremu jednak nie dopisują modele. Jego potęga twórcza wyczerpałaby się rychło.
Kombinacyj, które tworzyć mogą liczby i symbole, istnieje nieskończone mnóstwo. Z mnóstwa tego jakże wybierzemy te, które zasługują na ześrodkowanie naszej uwagi? Czyż jedynym naszym przewodnikiem miałby być nasz kaprys? Kaprys ten, który zresztą również znużyłby się rychło, odprowadziłby nas niewątpliwie bardzo daleko jednych od drugich, tak iż niebawem przestalibyśmy rozumieć się wzajemnie.
Lecz najmniejsza jeszcze o to.
Fizyka, bez wątpienia, nie pozwoli nam zbłądzić, lecz uchroni nas ona nadto od poważniejszego jeszcze niebezpieczeństwa: nie pozwoli nam kręcić się ustawicznie w tem samem kole.
Historya dowodzi, że fizyka nietylko zmuszała nas do wyboru z pośród zagadnień, które zjawiały się tłumnie, lecz narzucała nam takie, o których bez niej nie śnilibyśmy nigdy.
Jakkolwiek urozmaiconą byłaby wyobraźnia ludzka, przyroda jest tysiąckrotnie bogatszą jeszcze. Aby pójść w jej ślady, musimy wybrać drogi, które zaniedbalibyśmy, a drogi te częstokroć prowadzą nas ku szczytom, z których odkrywamy nowe pejzaże. Cóż może być bardziej użytecznem?!
Ze symbolami matematycznemi rzecz ma się podobnie jak z rzeczywistością fizyczną; li tylko przez porównywanie różnych stron rzeczy możemy zrozumieć wewnętrzną ich harmonię, a ta jedynie jest piękną, a więc też godną naszych wysiłków.
Pierwszy przykład, który przytoczę, jest tak stary, iż łatwo możnaby o nim zapomnieć; pomimo to jest on jednak najważniejszy ze wszystkich.
Jedynym przedmiotem naturalnym myśli matematycznej jest liczba całkowita. Świat zewnętrzny dopiero narzucił nam continuum; sami, bez wątpienia, wynaleźliśmy je wprawdzie, lecz świat zewnętrzny zmusił nas do wynalezienia go.
Bez niego nie byłoby analizy nieskończonostkowej; cała matematyka sprowadziłaby się do arytmetyki lub do teoryi podstawień [substytucyj].
Badaniu continuum poświęciliśmy jednak cały nasz czas i wszystkie nasze siły. Któż będzie tego żałował; któż sądzić będzie, że czas ten i siły są stracone?
Analiza rozwija przed nami widnokręgi nieskończone, których istnienia nie podejrzewa nawet arytmetyka: pokazuje nam ona przy jednym rzucie oka zespół wspaniały o układzie prostym a symetrycznym; w teoryi liczb natomiast, gdzie panują stosunki nieprzewidziane, wzrok, że tak powiem, zostaje wstrzymany na każdym kroku.
Niezawodnie odpowiedzą nam na to, że poza liczbą całkowitą niema ścisłości, a więc też prawdy matematycznej, że ukrywa się ona wszędzie i że wciąż starać się należy, aby pokrywające ją zasłony stały się przezroczyste, chociażbyśmy dzięki temu mieli narazić się na nieskończone powtórzenia.
Nie bądźmy jednak takimi purystami, a czujmy raczej wdzięczność dla continuum; jeżeli bowiem wszystko wynika z liczby całkowitej, ono to jedynie mogło tyle z niej wysnuć.
Czy nie jest zresztą zbytecznem przypominać, że Hermite wyciągnął zdumiewającą korzyść z wprowadzenia do teoryi liczb zmiennych ciągłych? Tak więc sama też dziedzina właściwa liczb całkowitych została zdobyta, a dzięki temu najściu zapanował porządek, tam gdzie dawniej panował nieład.
Oto co zawdzięczamy pojęciu continuum, a tem samem i przyrodzie fizycznej.
Szereg Fouriera jest drogocennem narzędziem, którem analiza ustawicznie się posługuje; dzięki niemu to udało się jej przedstawić funkcye nieciągłe; jeżeli wynalazł go Fourier, to dlatego, aby z jego pomocą rozwiązać pewne zagadnienie fizyczne dotyczące przewodnictwa ciepła. Gdyby nie to zagadnienie, które nasunęło się w sposób naturalny, nie zdobytoby się nigdy na przyznanie praw należnych funkcyom nieciągłym i długo jeszcze uważanoby funkcye ciągłe jako jedyne funkcye prawdziwe.
Pojęcie funkcyi rozszerzyło się, dzięki temu, znacznie i doznało, za sprawą kilku analityków-logików, nieoczekiwanego zgoła rozwoju. Analitycy ci zapuścili się tym sposobem w krainy, w których najczystsza panuje abstrakcya, i oddalili się możliwie od świata rzeczywistego. Sposobności ku temu dostarczyło im przecież zagadnienie z dziedziny fizyki.
W ślad za szeregiem Fouriera inne też podobne szeregi wkroczyły do dziedziny analizy; weszły one przez te same wrota: wynaleziono je bowiem z widokiem zastosowań.
Podobną była też historya równań o pochodnych cząstkowych drugiego rzędu; i ona to bowiem rozwinęła się głównie dzięki fizyce i dla fizyki. Może ona atoli w wielu różnych występować postaciach; równanie bowiem tego rodzaju nie wystarcza do wyznaczenia funkcyi niewiadomej, lecz należy doń dodać pewne warunki uzupełniające, które noszą miano warunków granicznych, — stąd zaś mnóstwo wypływa różnych zagadnień.
Gdyby analitycy poszli w ślad naturalnych swych dążeń, poznaliby jedyne tylko z tych zagadnień, to mianowicie, które w znakomitej swej rozprawie rozważała Kowalewska.
Istnieje jednak mnóstwo innych, których byliby nigdy nie poznali.
Każda z teoryj fizycznych, teorya elektryczności, teorya ciepła, przedstawia nam te równania z nowej strony. Rzec więc można, że gdyby nie one, nie znalibyśmy równań różniczkowych cząstkowych.
Zbytecznem byłoby nadal jeszcze mnożyć przykłady. Powiedziało się dość, by można było zakonkludować: gdy fizycy żądają od nas rozwiązania jakiegoś zagadnienia, powinniśmy poczuwać się względem nich do wdzięczności raczej, niż uważać to za ciężki obowiązek, którym nas obarczają.
Nie dość na tem; fizyka nietylko nastręcza nam sposobność do rozwiązywania zagadnień, lecz pomaga nam również do znalezienia środków po temu, a to w dwojaki sposób.
Po pierwsze — umożliwia nam ona przewidywanie rozwiązania, po drugie — podsuwa nam rozumowania.
Wspomniałem wyżej o równaniu Laplace’a, które napotykamy w mnóstwie najbardziej odległych od siebie teoryj fizycznych. Odnajdziemy je też w geometryi, w teoryi odwzorowania, i w analizie czystej, w teoryi wielkości sprzężonych.
Tak więc analityk, badając funkcye zmiennych sprzężonych, oprócz obrazu geometrycznego, którym zwykle się posługuje, ma też do wyboru różne obrazy fizyczne, z których korzystać może z niemniejszem powodzeniem.
Dzięki tym właśnie obrazom może on jednym rzutem oka objąć to, co dedukcya czysta odsłaniałaby mu stopniowo tylko. Tym sposobem jednoczy on rozproszone elementy rozwiązania, i wiedziony pewnego rodzaju intuicyą, odgaduje zanim jeszcze zdołał udowodnić.
Odgadnąć zanim się dowiodło! Mamże przypominać, że na tej to właśnie drodze dokonano wszystkich wielkich odkryć.
Ileż jest, prawd, które analogie fizyczne pozwalają nam przeczuć, a których nie możemy jeszcze ustanowić drogą ścisłego rozumowania!
Fizyka matematyczna wprowadza, naprzykład, wiele różnych rozwinięć w szeregi. Rozwinięcia te są zbieżne, nikt o tem nie wątpi; brak atoli pewności matematycznej.
W każdem z nich tkwi pewna zdobycz dla przyszłych badaczy.
Z drugiej strony, fizyka dostarcza nam nietylko rozwiązań, lecz poniekąd również sposobów rozumowania.
Dość będzie przypomnieć, jak to Klein, w kwestyi dotyczącej powierzchni Riemanna, uciekł się do własności prądów elektrycznych.
Prawda, że rozumowania tego rodzaju nie są ścisłe, w znaczeniu, które analityk nadaje temu słowu. Pod tym też względem nasuwa się pytanie, jak dowodzenie, niedość ścisłe dla analityka, może wystarczyć fizykowi. Zdawałoby się, że nie może być dwóch gatunków ścisłości, że ścisłość jest lub że jej niema, i że tam, gdzie jej niema, nie może też być rozumowania. Pozorny ten paradoks zrozumiemy lepiej, skoro przypomnimy sobie, w jakich warunkach liczba stosuje się do zjawisk przyrodzonych.
Skąd pochodzą wogóle trudności, które napotykamy przy dążeniu do ścisłości? Zdarza się to niemal zawsze, ilekroć chcemy okazać, że taka a taka wielkość dąży do takiej a takiej granicy, lub też, że jakaś funkcya jest ciągła, lub też wreszcie —, że posiada ona pochodną.
Otóż wielkości, wymierzane przez fizyka doświadczalnie, znane mu są zawsze tylko w przybliżeniu; z drugiej zaś strony, jakakolwiek funkcya różni się zawsze tak mało, jak tylko chcemy, od funkcyi nieciągłej i podobnie też różni się dowolnie mało od funkcyi ciągłej.
Fizyk może tedy wedle swego upodobania przypuścić, że badana przezeń funkcya jest ciągła, lub też, że jest nieciągła, że posiada ona pochodną, lub też, że jej nie posiada, — nie obawiając się bynajmniej, aby zadało mu kłam jakiekolwiek doświadczenie aktualne lub przyszłe. Pojmiemy łatwo, że przy takiej swobodzie może on drwić z trudności, które wstrzymywałyby analityka.
Może on zawsze rozumować tak, jak gdyby wszystkie w rachunkach jego występujące funkcye były wielomianami całkowitemi.
Tak więc szkic wystarczający dla celów fizyki jest różny od rozumowania, którego wymaga analiza. Nie wynika stąd jednak, aby pierwszy nie mógł być pomocny do znalezienia drugiego.
Tyle już szkiców fizycznych przeistoczono na ścisłe dowodzenia, że przekształcenie takie stało się już obecnie łatwem.
Przykładów mógłbym przytoczyć mnóstwo, gdybym nie obawiał się znużyć czytelnika.
Sądzę, iż dość powiedziałem, aby okazać, że analiza czysta i fizyka matematyczna mogą sobie służyć wzajemnie nie ponosząc względem siebie żadnych ofiar, i że każda z tych nauk powinna cieszyć się wszystkiem tem, co posuwa naprzód drugą, sprzymierzoną jej naukę.
