Strona:PL Samuel Dickstein - Matematyka i rzeczywistość szkic.pdf/37

Z Wikiźródeł, wolnej biblioteki
Ta strona została uwierzytelniona.

Jak rozumieć należy to zastrzeżenie? Podaliśmy wyżej cechy zasadnicze dodawania i mnożenia. Jedną z takich cech jest naprzykład przemienność, ab = ba. Otóż w badaniu ogólnem możemy tę cechę pominąć lub zastąpić innym warunkiem np. ab = −ba, i zapytać, jaki jest układ form, który czyni zadość pozostałym warunkom? Zachodzi w tym przypadku analogia do opisanego przez nas poprzednio postępowania w geometryi, kiedy w układzie pewników geometryi euklidesowej pomijamy lub zmieniamy jeden z nich, pozostawiając bez zmiany inne, i tym sposobem od geometryi euklidesowej wznosimy się do geometryi ogólnej.
Zasadę zachowania działań formalnych możemy wypowiedzieć w postaci ogólniejszej [1], która wykaże, że ona ujawnia się w rozwoju całej matematyki, a mianowicie: „Jeżeli formy pewnej określonej dziedziny poddajemy określonym konstrukcyom i działaniom, które doprowadzają do pewnych związków pomiędzy formami tej dziedziny, to związki te uważamy za zachodzące i wtedy, gdy konstrukcye i działania prowadzą do wyników, których nie można uważać bezpośrednio za formy do naszej dziedziny należące“. Utrzymanie właśnie związków tych samych dla jednych i drugich form pozwala objąć dawne i nowe formy jedną dziedzinę rozszerzoną.

Historya wiedzy wskazuje, że istotnie podobna zasada kierowała, lubo niekiedy bezwiednie, krokami wynalazców. Przeczytajmy naprzykład to, co mówi geometra francuski Poncelet we wstępie do swego znakomitego dzieła o własnościach rzutowych figur (Traité des propriétés perspectives des figures, 1822) o zasadzie ciągłości (principe de continuité), która pozwala „aby własności i związki znalezione w jednym układzie figur, stosowały się do układów następujących, z zachowaniem naturalnie zmian szczególnych, jakie zajść mogły“; przeczytajmy niemniej świetny wstęp do równie znakomitego dzieła geometry niemieckiego Steinera o rozwoju systematycznym zależności wzaje-

  1. W „Pojęciach i metodach matematyki“ (1891) uogólniłem w sposób wskazany zasadę zachowania Hankela.