sowej różną za sprowadzającą się ostatecznie do absurdu. Dühring, Renouvier i inni [1]. Filozofowie ci są zdania, że jedynie pewniki geometryi euklidesowej są idealizacyą rzeczywistości. Czyż tak jest w istocie? Do tego pytania sprowadza się, jak sądzimy, i wielki problemat Kanta o przestrzeni, jako formie koniecznej poznania zmysłowego. Ze stanowiska matematyki problemat ten jest nierozstrzygnięty, a w samej matematyce zbyteczny; doświadczeniem również rozstrzygnąć się nie da. Doświadczenie nic nie może orzec o nieskończoności przestrzeni zjawisk; to zaś, co o skończoności lub nieskończoności przestrzeni wchodzi pod formą pewników do geometryi odnosi się do idealnej formy przestrzeni matematycznej. Matematyka zatem, nie czekając rozwiązania metafizycznego, uogólnia swoje pojęcia i snując wątek swych rozumowań na formach idealnych, dokładnie określonych, stwarza umiejętność w ścisłem znaczeniu tego wyrazu, pozostawiając przyszłości możliwe zastosowanie do badań fizycznych jej prawd abstrakcyjnych, na tej drodze zdobywanych.
Jak w badaniach arytmetycznych używamy liczb ujemnych, ułamkowych, niewymiernych, urojonych i t. d., nie wyrzekając się liczb rzeczywistych całkowitych, które pozostaną układem najprostszym liczb arytmetyki, podobnież badając teoretycznie przestrzenie różne od euklidesowej, nie usuwamy wcale geometryi euklidesowej, która pozostanie układem najprostszym naszej umiejętności geometrycznej. Mylnem więc jest twierdzenie, że zwolennicy nowych geometryi chcą zburzyć geometryą Euklidesa; widzą oni w niej tylko jeden z przypadków szczególnych ogólniejszej nauki formalnej, która prawdy zasadnicze, z doświadczenia poczerpnięte, zastępuje prawdami w pewnej mierze dowolnemi lecz ściśle określonemi. Pewniki lub postulaty i samej geometryi euklidesowej nie są więc, ściśle biorąc, prawdami doświadczalnemi, lecz odnoszą się do form idealnych, jako elementy przestrzeni uważanych [2].
- ↑ Dühring występuje przeciwko geometryi nieeuklidesowej, a zwłaszcza przeciwko poglądom Riemanna, w rozmaitych dziełach swoich, między innemi w książce „Logik und Wissenschaftslehre“ (1878). Polemika napiętnowana namiętnością dotyka atoli mniej strony czysto-matematycznej i obraca się w sferze pojęć ogólno-filozoficznych. Renouvier pomieścił krytykę nowych geometryj w rozprawie p. t. „Le philosophie de la règle et du compas“ pomieszczonej w drugim roczniku czasopisma „L’ Année philosophique“, 1892. Pomijamy nazwiska wielu innych filozofów i matematyków, występujących przeciwko nowym teoryom geometrycznym. Kwestya oczywiście pozostaje sporną ze stanowiska filozoficznego, jak spornemi są kwestye, dotyczące i innych form matematycznych np. ilości nieskończenie małych, co jednak nie staje na zawadzie rozwojowi teoryj pod względem czysto-matematycznym. Dla matematyki w pierwszym rzędzie ważną jest krytyka umiejętna poglądów Riemanna i Helmholtza, taka naprzykład, jaką obecnie ze stanowiska nauki o grupach przekształceń przeprowadza matematyk norwegski Lie, profesor uniwersytetu lipskiego.
- ↑ Filozof belgijski J. Delboeuf w najnowszej swej pracy „L’ancienne et les nouvelles géométries“, której część pierwsza ogłoszona została w zeszycie listopadowym z r. 1893 pisma „Revue philosopheque“ poddaje rozbiorowi pojęcie o przestrzeni, i rozróżniając, jak my to czynimy w tekście, przestrzeń objektywną czyli przestrzeń zjawisk od przestrzeni geometrycznej, dochodzi wszakże do wniosków przeciwnych podanym przez nas. Według Delboeufa przestrzeń euklidesowa jest jednorodna, pozwala na konstrukcyą figur podobnych i jest skończoną; gdy tymczasem w przestrzeni „rzeczywistej“ jednorodności i figur podobnych nie ma, są w niej tylko wielkości bezwzględne, przestrzeń zaś sama jest nieskończoną. Nam się zdaje, że „przestrzeń zjawisk“ może być uważana za przestrzeń, t. j. za formę matematyczną, właśnie w oderwaniu od zjawisk. Forma lub pojęcie nieskończoności daje się do niej przenieść tylko na drodze formalnej, a możliwość istnienia figur podobnych w geometryi euklidesowej nie pociąga za sobą, jak mniemamy, jej skończoności. Mimo całej przenikliwości i jasności, jaką podziwiamy w wykładzie Delboeufa, nie jesteśmy pewni, czy oddzielił on dostatecznie pojęcia czysto-matematyczne od pojęć mechanicznych i fizycznych.
