tak, aby w pierwszej znajdowały się wszystkie liczby, których kwadrat jest mniejszy od 2, w drugiej te, których kwadrat jest większy od 2. Ponieważ oczywiście nie ma liczby wymiernej, której kwadrat równa się 2, nie będzie zatem, jak to powiedzieliśmy, ani liczby największej w klasie pierwszej ani najmniejszej w drugiej. Mimo to, dla zachowania analogii, możemy liczbę √2 uważać za „przecięcie“ szeregu liczb wymiernych i będzie ona przez to zupełnie ściśle określona. Na podstawie podobnych określeń da się miejsce liczb niewymiernych w dziedzinie liczb wyznaczyć i teorya działań nad niemi uzasadnić.
Liczby przestępne, arytmetycznie biorąc, mają cechę liczb algebraicznie niewymiernych (wyrażają się jako ułamek dziesiętny nieperyodyczny o nieskończonej liczbie cyfr dziesiętnych), ale geneza ich jest odmienna. Takiemi np. są wogóle logarytmy liczb; taką jest stosunek okręgu koła do średnicy, owa sławna liczba, oznaczana dziś przez π, znana w starożytności, lecz ostatecznie dopiero co do istoty swej zbadana przed niedawnym czasem. Przed dziesiątkiem lat, dzięki pracom Hermite’a, mógł Lindemann [1] dowieść, że liczba π nie może być pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego o współczynnikach wymiernych. Tym sposobem zamknięte zostały długie dzieje daremnych poszukiwań nad kwadraturą koła, które tyle umysłów bezpożytecznie najczęściej podejmowało. Najciekawsza historya błędnych rozumowań mieści się w tych właśnie niezliczonych pracach, które miały na celu dokonanie zupełnie ścisłej kwadratury koła sposobem elementarnym. Jeżeli kto dziś jeszcze podejmuje tego rodzaju usiłowania, to napewno powiedzieć o nim można, że obecnego stanu nauki nie zna i wyników jej nie rozumie.
Wracając do przykładu wyżej podanego liczby niewymiernej √2, możemy powiedzieć, że liczby 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142,... coraz bardziej rosnące, dążą, do granicy „idealnej“ √2 w ten sposób, że różnica między kolejnemi liczbami
- ↑ Rozprawa Hermite'a, stanowiąca podstawę nowych badań nad liczbami e i π ogłoszona została w r. 1874 p. t.: „Sur la fonction exponentielle“. Lindemann ogłosił swoją rozprawę o liczbie π w r. 1882 w tomie XX dziennika: „Mathematische Annalen“. W roku bieżącym (1893) Hilbert, a za nim Hurwitz i Gordan podali sposoby tak proste dowodzenia przestępności liczb e i π, że rzecz ta będzie mogła przejść już do podręczników rachunku wyższego. Dowody trzech wymienionych ostatnio uczonych są powtórzone w znajdującym się pod prasą tomie V „Prac matematyczno-fizycznych“.
